Macierz nieujemna - Nonnegative matrix

W matematyce , o nieujemną matryca , napisany

${\ displaystyle \ mathbf {X} \ geq 0,}$

to macierz, w której wszystkie elementy są równe lub większe od zera, to znaczy

${\ displaystyle x_ {ij} \ geq 0 \ qquad \ forall {ja, j}.}$

Dodatnie matrycy jest matryca, w której wszystkie elementy są ściśle większy od zera. Zbiór macierzy dodatnich jest podzbiorem wszystkich macierzy nieujemnych. Chociaż takie macierze są powszechnie spotykane, termin ten jest używany tylko sporadycznie z powodu możliwego pomylenia z macierzami dodatnio zdefiniowanymi , które są różne. Macierz, która jest zarówno nieujemna, jak i dodatnia pół-skończona, nazywana jest macierzą podwójnie nieujemną .

Prostokątną nieujemną macierz można aproksymować przez rozkład z dwoma innymi nieujemnymi macierzami poprzez nieujemną faktoryzację macierzy .

Wartości własne i wektory własne macierzy dodatnich kwadratowych opisuje twierdzenie Perrona – Frobeniusa .

Nieruchomości

• Nazwiska i każdy wiersz i kolumnę sumy / produkt dodatnią macierzy jest ujemna.

Odwrócenie

Odwrotnością dowolnej innej niż osobliwa macierzy M jest macierz nieujemna. Jeśli niejednolita macierz M jest również symetryczna, nazywa się ją macierzą Stieltjesa .

Odwrotność macierzy nieujemnej zwykle nie jest nieujemna. Wyjątkiem są nieujemne macierze jednomianowe : nieujemna macierz ma nieujemną odwrotność wtedy i tylko wtedy, gdy jest (nieujemną) macierzą jednomianową. Należy zauważyć, że zatem odwrotność macierzy dodatniej nie jest dodatnia ani nawet nieujemna, ponieważ macierze dodatnie nie są jednomianowe dla wymiaru n > 1 .

Specjalizacje

Istnieje szereg grup macierzy, które tworzą specjalizacje macierzy nieujemnych, np. Macierze stochastyczne ; macierz podwójnie stochastyczna ; symetryczna nieujemna macierz.

Zobacz też

• Macierz Metzlera

Bibliografia

1. Abraham Berman, Robert J. Plemmons , Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences , 1994, SIAM. ISBN   0-89871-321-8 .
2. A. Berman i RJ Plemmons, Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences , Academic Press, 1979 (rozdział 2), ISBN   0-12-092250-9
3. RA Horn i CR Johnson, Matrix Analysis , Cambridge University Press, 1990 (rozdział 8).
4. Mgr Krasnosel'skii (1964). Pozytywne rozwiązania równań operatora . Groningen : P.Noordhoff Ltd. s. 381 s.
5. Mgr Krasnosel'skii ; Lifshits, Je.A .; Sobolev, AV (1990). Pozytywne systemy liniowe: Metoda operatorów dodatnich . Seria Sigma w matematyce stosowanej. 5 . Berlin : Helderman Verlag. s. 354 s.
6. Henryk Minc, Nonnegative matrices , John Wiley & Sons, Nowy Jork, 1988, ISBN   0-471-83966-3
7. Seneta, E. Nieujemne macierze i łańcuchy Markowa . 2 rev. red., 1981, XVI, 288 str., Softcover Springer Series in Statistics. (Pierwotnie opublikowane przez Allen & Unwin Ltd., Londyn, 1973) ISBN   978-0-387-29765-1
8. Richard S. Varga 2002 Matrix Iterative Analysis , drugie wydanie. (z 1962 r. wydanie Prentice Hall), Springer-Verlag.