Relacje Greena - Green's relations

W matematyce , Relacje Greena pięć relacja równoważności , które charakteryzują się elementy półgrupa pod względem ideał główny one generują. Relacje zostały nazwane na cześć Jamesa Alexandra Greena , który przedstawił je w artykule z 1951 roku. John Mackintosh Howie , wybitny teoretyk półgrup, opisał tę pracę jako „tak wszechprzenikającą, że po zetknięciu się z nową półgrupą prawie pierwsze pytanie zadaje się to „Jakie są relacje Zielonych?” (Howie 2002). Relacje są przydatne do zrozumienia natury podzielności w półgrupie; są one również ważne dla grup , ale w tym przypadku nie powiedz nam nic użytecznego, ponieważ grupy zawsze mają podzielność.

Zamiast pracować bezpośrednio z półgrupą S , wygodnie jest zdefiniować relacje Greena nad monoidem S 1 . ( S 1 to „ S z dołączoną tożsamością, jeśli to konieczne”; jeśli S nie jest już monoidem, nowy element jest dołączany i definiowany jako tożsamość.) Zapewnia to, że główne ideały generowane przez jakiś element półgrupy rzeczywiście zawierają ten element . Dla elementu a z S odpowiednie ideały to:

  • Główny lewy idealny generowane przez : . To jest to samo co , czyli .
  • Główny prawy idealny generowane przez : lub równoważnie .
  • Główny dwustronny ideał generowany przez : lub .

Relacje L, R i J

Dla elementów i b z S , Greena stosunki L , R i J są zdefiniowane

  • a L b wtedy i tylko wtedy, gdy S 1 a = S 1 b .
  • a R b wtedy i tylko wtedy, gdy a S 1 = b S 1 .
  • a J b wtedy i tylko wtedy, gdy S 1 a S 1 = S 1 b S 1 .

Oznacza to, że a i b są powiązane z L, jeśli generują ten sam lewy ideał; R- powiązane, jeśli generują ten sam słuszny ideał; i J- powiązane, jeśli generują ten sam dwustronny ideał. Są to relacje równoważności na S , więc każda z nich daje podział S na klasy równoważności. L -class z oznaczamy L (podobnie w przypadku innych stosunkach). W L wyraĹĽenie -lekcje i R wyraĹĽenie -lekcje można równoważnie rozumiane jako silnie połączonych składników w lewo i w prawo na wykresach Cayley z S 1 . Co więcej, relacje L , R i J definiują trzy wstępne porządkiL , ≤ R i ≤ J , gdzie aJ b obowiązuje dla dwóch elementów a i b z S jeśli ideał wygenerowany przez a jest zawarty w tym z b , tj S 1 S 1S 1 b S 1 i ≤ L i ≤ R są zdefiniowane analogicznie.

Green użył czarnej litery , a dla tych relacji napisał dla a L b (i podobnie dla R i J ). Dzisiejsi matematycy mają tendencję do używania liter skryptowych, takich jak zamiast tego, i zastępują modułową notację arytmetyczną Greena stylem wrostkowym używanym tutaj. W klasach równoważności używane są zwykłe litery.

The L i R relacje lewo-prawo podwójny do siebie; twierdzenia dotyczące jednego można przełożyć na podobne stwierdzenia o drugim. Na przykład, L jest zgodne z prawami : jeśli a L b i c są innym elementem S , to ac L bc . Podwójnie, R jest kompatybilne lewostronnie : jeśli a R b , to ca R cb .

Jeśli S jest przemienne, to L , R i J pokrywają się.

Relacje H i D

Pozostałe relacje pochodzą z L i R . Ich przecięcie to H :

a H b wtedy i tylko wtedy, gdy a L b i a R b .

Jest to również relacja równoważności na S . Klasa H jest przecięcie L a i R a . Mówiąc bardziej ogólnie, przecięcie dowolnej klasy L z dowolną klasą R jest albo klasą H, albo zbiorem pustym.

Twierdzenie Greena mówi, że dla dowolnej klasy H półgrupy S albo (i) albo (ii), a H jest podgrupą S . Ważnym wnioskiem jest to, że klasa równoważności H e , gdzie e jest idempotentną , jest podgrupą S (jej tożsamość to e , a wszystkie elementy mają odwrotności) i rzeczywiście jest największą podgrupą S zawierającą e . Żadna klasa nie może zawierać więcej niż jednego idempotentnego, dlatego jest idempotentnym oddzielaniem . W monoidzie M klasa H 1 jest tradycyjnie nazywana grupą jednostek . (Uważaj, że jednostka nie oznacza tożsamości w tym kontekście, tj. na ogół w H 1 występują elementy nie-tożsamości . Terminologia „jednostka” pochodzi z teorii pierścieni .) Na przykład w transformacji monoid na n elementach, T n , grupa jednostek jest grupą symetryczną S n .

Wreszcie, D jest zdefiniowane: a D b wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje c w S takie, że a L c i c R b . W języku krat , D jest połączeniem L i R . (Złączenie dla relacji równoważności jest zwykle trudniejsze do zdefiniowania, ale w tym przypadku jest uproszczone przez fakt, że a L c i c R b dla niektórych c wtedy i tylko wtedy, gdy a R d i d L b dla niektórych d ).

Ponieważ D jest najmniejszą relacją równoważności zawierającą zarówno L, jak i R , wiemy, że a D b implikuje a J b — więc J zawiera D . W półgrupie skończonej D i J są takie same, jak również w wymiernym monoidzie . Co więcej, pokrywają się również w dowolnej epigrupie .

Istnieje również sformułowanie D w kategoriach klas równoważności, wywodzące się bezpośrednio z powyższej definicji:

a D b wtedy i tylko wtedy, gdy przecięcie R a i L b nie jest puste.

W konsekwencji klasy D półgrupy mogą być postrzegane jako związki klas L , związki klas R lub związki klas H. Clifford i Preston (1961) sugerują myślenie o tej sytuacji w kategoriach „pudełka na jajka”:

Każdy rząd jajek reprezentuje klasę R , a każda kolumna klasę L ; same jaja należą do klas H. Dla grupy jest tylko jedno jajko, ponieważ wszystkie pięć relacji Greena jest zbieżne i sprawia, że ​​wszystkie elementy grupy są równoważne. Odwrotny przypadek, występujący na przykład w bicyklicznej półgrupie , to sytuacja, w której każdy pierwiastek należy do własnej klasy H. Pudełko na jajka dla tej półgrupy zawierałoby nieskończenie wiele jaj, ale wszystkie jajka są w tym samym pudełku, ponieważ jest tylko jedna klasa D. (Półgrupa, dla której wszystkie elementy są powiązane z D, nazywa się bisimple .)

Można wykazać, że w ramach klasy D wszystkie klasy H są tej samej wielkości. Na przykład, transformacja półgrupa T 4 zawiera cztery D wyraĹĽenie -lekcje, w ramach którego H wyraĹĽenie -lekcje mieć 1, 2, 6 i 24, odpowiednio, elementów.

Ostatnie postępy w kombinatoryce półgrup wykorzystały relacje Greena do wyliczenia półgrup o określonych właściwościach. Typowy wynik (Satoh, Yama i Tokizawa 1994) pokazuje, że istnieje dokładnie 1 843 120 128 nierównoważnych półgrup rzędu 8, w tym 221 805, które są przemienne; ich praca opiera się na systematycznej eksploracji możliwych klas D. (Dla kontrastu istnieje tylko pięć grup porządku 8 .)

Przykład

Pełna półgrupa transformacji T 3 składa się ze wszystkich funkcji ze zbioru {1, 2, 3} do siebie; jest ich 27. Napisz ( a b c ) dla funkcji , która wysyła 1 do a , 2 do b i 3 do c . Ponieważ T 3 zawiera mapę tożsamości (1 2 3), nie ma potrzeby dołączania tożsamości.

Schemat jaj pole dla T 3 ma trzy D wyraĹĽenie -lekcje. Są to również klasy J , ponieważ te relacje pokrywają się dla półgrupy skończonej.

(1 1 1) (2 2 2) (3 3 3)
(1 2 2) ,
(2 1 1)
(1 3 3) ,
(3 1 1)
(2 3 3),
(3 2 2)
(2 1 2),
(1 2 1)
(3 1 3),
(1 3 1)
(3 2 3) ,
(2 3 2)
(2 2 1),
(1 1 2)
(3 3 1),
(1 1 3)
(3 3 2),
(2 2 3)
(1 2 3) , (2 3 1),
(3 1 2), (1 3 2),
(3 2 1), (2 1 3)

W T 3 , dwie funkcje L kondensatorem wtedy i tylko wtedy, gdy mają one ten sam obraz . Takie funkcje pojawiają się w tej samej kolumnie powyższej tabeli. Podobnie funkcje f i g są powiązane z R wtedy i tylko wtedy, gdy

f ( x ) = f ( y ) g ( x ) = g ( y )

dla x i y w {1, 2, 3}; takie funkcje znajdują się w tym samym wierszu tabeli. W związku z tym dwie funkcje są powiązane z D wtedy i tylko wtedy, gdy ich obrazy mają ten sam rozmiar.

Pogrubione elementy to idempotenty. Każda klasa H zawierająca jeden z nich jest (maksymalną) podgrupą. W szczególności, trzecia D -class jest izomorficzny grupa symetryczne S 3 . Istnieje również sześć podgrup rzędu 2 i trzy rzędu 1 (a także podgrupy tych podgrup). Sześć elementów T 3 nie znajduje się w żadnej podgrupie.

Uogólnienia

Zasadniczo istnieją dwa sposoby uogólniania teorii algebraicznej. Jednym z nich jest zmiana jego definicji tak, aby obejmowała więcej lub różne przedmioty; drugim, bardziej subtelnym sposobem, jest znalezienie pożądanego wyniku teorii i rozważenie alternatywnych sposobów dojścia do tego wniosku.

Idąc pierwszą drogą, analogiczne wersje relacji Greena zostały zdefiniowane dla półpierścieni (Grillet 1970) i ​​pierścieni (Petro 2002). Niektóre, ale nie wszystkie właściwości związane z relacjami w półgrupach przenoszą się na te przypadki. Pozostając w świecie półgrup, relacje Greena można rozszerzyć, aby objąć relatywne ideały , które są podzbiorami, które są tylko ideałami w odniesieniu do podsemigrupy (Wallace 1963).

W przypadku drugiego rodzaju uogólnienia badacze skoncentrowali się na właściwościach bijekcji między klasami L- i R- . Jeśli x R y , to zawsze można znaleźć bijekcje między L x i L y, które zachowują klasę R. (Oznacza to, że jeśli dwa elementy klasy L są w tej samej klasie R , to ich obrazy pod bijekcją nadal będą w tej samej klasie R. ) Podwójna instrukcja dla x L y również obowiązuje. Te bijekcje to tłumaczenia prawe i lewe, ograniczone do odpowiednich klas równoważności. Powstaje pytanie: jak inaczej mogłyby istnieć takie bijekcje?

Załóżmy, że Λ i Ρ są półgrupami częściowych przekształceń pewnej półgrupy S . W pewnych warunkach można wykazać, że jeśli x Ρ = y Ρ, gdzie x ρ 1 = y i y ρ 2 = x , to ograniczenia

ρ 1  : Λ x → Λ y
ρ 2  : Λ y → Λ x

są wzajemnie odwrotnymi bijecjami. (Tradycyjnie argumenty są zapisywane po prawej stronie dla Λ, a po lewej dla Ρ.) Wtedy relacje L i R można zdefiniować przez

x L y wtedy i tylko wtedy, gdy Λ x = Λ y
x R y wtedy i tylko wtedy, gdy x Ρ = y Ρ

a D i H postępują jak zwykle. Uogólnienie J nie jest częścią tego systemu, ponieważ nie odgrywa żadnej roli w pożądanej własności.

Parę Zielonych nazywamy (Λ, Ρ) . Istnieje kilka możliwości wyboru półgrupy częściowej transformacji, które dają oryginalne relacje. Jednym z przykładów byłoby wzięcie Λ jako półgrupy wszystkich lewych tłumaczeń na S 1 , ograniczonej do S , oraz Ρ odpowiadającej jej półgrupy ograniczonych prawych tłumaczeń.

Definicje te pochodzą od Clarka i Carrutha (1980). Podsumowują one pracę Wallace'a, a także różne inne uogólnione definicje zaproponowane w połowie lat siedemdziesiątych. Pełne aksjomaty są dość długie do określenia; Nieformalnie, najważniejszymi wymaganiami jest to, że zarówno Λ, jak i Ρ powinny zawierać transformację tożsamości, a elementy Λ powinny komunikować się z elementami Ρ.

Zobacz też

Bibliografia