Grupa Grothendiecka - Grothendieck group

W matematyce , grupa Grothendieck budowa konstruuje grupa przemienna z przemiennej monoid M w najbardziej uniwersalny sposób, w tym sensie, że każda grupa przemienna zawierający homomorphic obraz M będzie również zawierać homomorphic wizerunku grupy Grothendieck z M . Konstrukcja grup Grothendiecka bierze swoją nazwę od konkretnego przypadku w teorii kategorii , wprowadzonego przez Alexandra Grothendiecka w jego dowodzie twierdzenia Grothendiecka–Riemanna–Rocha , w wyniku którego powstała K-teoria . Ten konkretny przypadek jest monoidem klas izomorfizmu obiektów kategorii abelowej , której działaniem jest suma bezpośrednia .

Grupa Grothendiecka monoidu przemiennego

Motywacja

Mając przemienny monoid M , „najogólniejszą” grupę abelową K, która powstaje z M, należy skonstruować przez wprowadzenie addytywnych odwrotności. Taka abelowa grupa K istnieje zawsze; nazywa się to grupą Grothendiecka M . Charakteryzuje się pewną uniwersalną właściwością i może być również konkretnie skonstruowana z M .

Zauważ, że istnienie elementu zerowego w monoidzie jest sprzeczne z właściwością odwrotności, ponieważ osadzony element zerowy w K musi mieć element odwrotny, którego suma z 0 musi jednocześnie wynosić 0 i 1, wymuszając . Ogólna konstrukcja w obecności elementów zerowych zawsze konstruuje grupę trywialną , jako jedyną grupę spełniającą to równanie. ${\ Displaystyle 0 ^ {-1}}$${\displaystyle 0=1}$

Własność uniwersalna

Niech M będzie monoidem przemiennym. Jej grupa Grothendiecka K jest grupą abelową o następującej uniwersalnej własności: Istnieje homomorfizm monoidalny

${\displaystyle i:M\doK}$

tak, że dla dowolnego homomorfizmu monoidu

${\ Displaystyle f: M \ do A}$

od przemiennego monoidu M do grupy abelowej A istnieje unikalny homomorfizm grupy

${\displaystyle g:K\do A}$

takie, że

${\displaystyle f=g\circ i}$

Wyraża to fakt, że każda grupa abelowa A zawierająca homomorficzny obraz M będzie również zawierała homomorficzny obraz K , przy czym K jest „najbardziej ogólną” grupą abelową zawierającą homomorficzny obraz M .

Wyraźne konstrukcje

Aby skonstruować grupę Grothendiecka K monoidu przemiennego M , tworzy się iloczyn kartezjański . Dwie współrzędne mają reprezentować część dodatnią i część ujemną, więc odpowiada to w K . ${\ Displaystyle M \ razy M}$${\ styl wyświetlania (m_ {1}, m_ {2})}$${\displaystyle m_{1}-m_{2}}$

Dodawanie jest definiowane na podstawie współrzędnych: ${\ Displaystyle M \ razy M}$

${\displaystyle (m_{1},m_{2})+(n_{1},n_{2})=(m_{1}+n_{1},m_{2}+n_{2})}$.

Następnie definiujemy relację równoważności na , taką, która jest równoważna z if, dla pewnego elementu k z M , m ₁ + n ₂ + k = m ₂ + n ₁ + k (element k jest konieczny, ponieważ prawo anulowania nie obowiązuje we wszystkich monoidach). Klasa równoważna elementu ( m ₁ , m ₂ ) jest oznaczone przez [( m ₁ , m ₂ )]. Jeden definiuje K jako zbiór klas równoważności. Ponieważ operacja dodawania na M × M jest zgodna z naszą relacją równoważności, otrzymujemy dodatek na K , a K staje się grupą abelową. Elementem tożsamości K jest [(0, 0)], a odwrotnością [( m ₁ , m ₂ )] jest [( m ₂ , m ₁ )]. Homomorfizm wysyła element m do [( m , 0)]. ${\ Displaystyle M \ razy M}$${\ styl wyświetlania (m_ {1}, m_ {2})}$${\displaystyle (n_{1},n_{2})}$${\displaystyle i:M\doK}$

Alternatywnie, grupę Grothendiecka K z M może być również wykonana za pomocą generatorów i stosunki : oznaczając przez z wolną grupą Abelowych generowanych przez zestaw M The Grothendiecka grupy K jest iloraz od przez podgrupy wytwarzanych przez . (Tutaj +′ i -′ oznaczają dodawanie i odejmowanie w wolnej grupie abelowej, podczas gdy + oznacza dodawanie w monoidzie M .) Ta konstrukcja ma tę zaletę, że może być wykonana dla dowolnej półgrupy M i daje grupę, która spełnia odpowiedni uniwersalne własności dla półgrup, czyli „najogólniejszej i najmniejszej grupy zawierającej homomorficzny obraz M ”. Jest to znane jako „grupowe uzupełnianie półgrupy” lub „grupa ułamków półgrupy”. ${\ Displaystyle (Z(M),+')}$${\ Displaystyle Z (M)}$${\ Displaystyle \ {(x + 'y) -' (x + y) \ średni x, y \ w M \}}$${\ Displaystyle Z (M)}$

Nieruchomości

W języku teorii kategorii każda konstrukcja uniwersalna daje początek funktorowi ; otrzymujemy w ten sposób funktor z kategorii monoidów przemiennych do kategorii grup abelowych, który przekazuje monoid przemienny M do swojej grupy Grothendiecka K . Funktor ten pozostaje obok funktora zapominalskiego z kategorii grup abelowych do kategorii monoidów przemiennych.

Dla monoidu przemiennego M odwzorowanie i  :  M → K jest iniektywne wtedy i tylko wtedy, gdy M ma właściwość anulowania , i jest bijektywne wtedy i tylko wtedy, gdy M jest już grupą.

Przykład: liczby całkowite

Najprostszym przykładem grupy Grothendiecka jest konstrukcja liczb całkowitych z (dodatkowych) liczb naturalnych . Najpierw zauważamy, że liczby naturalne (włącznie z 0) wraz ze zwykłym dodawaniem rzeczywiście tworzą przemienny monoid Teraz używając konstrukcji grupy Grothendiecka otrzymujemy formalne różnice między liczbami naturalnymi jako elementami n − mi mamy relację równoważności ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$${\displaystyle (\mathbb {N},+).}$

${\ Displaystyle nm \ sim n'-m'\Leftrightarrow n+m'+k=n'+m+k}$dla niektórych .${\ Displaystyle k \ Leftrightarrow n + m' = n' + m}$

Teraz zdefiniuj

${\ Displaystyle \ forall n \ w \ mathbb {N} : \ qquad {\ zacząć {przypadki} n: = [n-0] \ \ - n: = [0-n] \ koniec {przypadki}}}$

To definiuje liczby całkowite . Rzeczywiście, jest to zwykła konstrukcja służąca do uzyskiwania liczb całkowitych z liczb naturalnych. Zobacz „Konstrukcja” w części Liczby całkowite, aby uzyskać bardziej szczegółowe wyjaśnienie. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Przykład: dodatnie liczby wymierne

Podobnie grupa Grothendiecka multiplikatywnego monoidu przemiennego (zaczynając od 1) składa się z ułamków formalnych o równoważności ${\ Displaystyle (\ mathbb {N} ^ {*}, *)}$${\displaystyle p/q}$

${\displaystyle p/q\sim p'/q'\Leftrightarrow pq'r=p'qr}$dla niektórych, które oczywiście można utożsamić z dodatnimi liczbami wymiernymi.${\ Displaystyle r\ Leftrightarrow pq'=p'q}$

Przykład: grupa Grothendiecka rozmaitości

Grupa Grothendiecka jest podstawową konstrukcją K-teorii . Grupa zwartej rozmaitości M jest zdefiniowana jako grupa Grothendiecka monoidu przemiennego wszystkich klas izomorfizmu wiązek wektorowych o skończonym rzędzie na M z operacją monoidu określoną sumą prostą. Daje to kontrawariantny funktor od rozmaitości do grup abelowych. Funktor ten jest badany i rozszerzany w topologicznej K-teorii . ${\displaystyle K_{0}(M)}$

Przykład: grupa Grothendiecka pierścienia

Zerowa grupa algebraiczna K pierścienia (niekoniecznie przemiennego) R jest grupą Grothendiecka monoidu składającego się z klas izomorfizmu skończenie generowanych modułów rzutowych nad R , przy czym operacja monoidu jest podana przez sumę bezpośrednią. Następnie jest funktor kowariantny od pierścieni do grup abelowych. ${\displaystyle K_{0}(R)}$${\displaystyle K_{0}}$

Dwa poprzednie przykłady są ze sobą powiązane: rozważmy przypadek, w którym jest pierścień funkcji gładkich o wartościach zespolonych na zwartej rozmaitości M . W tym przypadku projekcyjne moduły R są dualne do wiązek wektorowych nad M (według twierdzenia Serre'a-Swana ). Tak więc i są tą samą grupą. ${\ Displaystyle R = C ^ {\ infty} (M)}$${\displaystyle K_{0}(R)}$${\displaystyle K_{0}(M)}$

Grupa Grothendieck i rozszerzenia

Definicja

Inna konstrukcja nosząca nazwę grupy Grothendiecka jest następująca: Niech R będzie algebrą skończenie wymiarową nad jakimś ciałem k lub ogólniej pierścieniem artyńskim . Następnie zdefiniuj grupę Grothendiecka jako grupę abelową generowaną przez zbiór klas izomorfizmu skończenie generowanych modułów R i następujących relacji: Dla każdego krótkiego ciągu ścisłego${\displaystyle G_{0}(R)}$${\ Displaystyle \ {[X] \ mid X \ w R \ operatorname {-Mod} \}}$

${\displaystyle 0\do A\do B\do C\do 0}$

o R -modules dodać związek

${\displaystyle [A]-[B]+[C]=0.}$

Definicja ta implikuje, że dla dowolnych dwóch skończenie wygenerowanych modułów R M i N , , ze względu na rozdzieloną krótką dokładną sekwencję ${\ Displaystyle [M \ oplus N] = [M] + [N]}$

${\ Displaystyle 0 \ do M \ do M \ oplus N \ do N \ do 0.}$

Przykłady

Niech K będzie polem. Wtedy grupa Grothendiecka jest grupą abelową generowaną przez symbole dla dowolnej skończenie wymiarowej przestrzeni K- wektorowej V . W rzeczywistości jest izomorficzny, którego generatorem jest pierwiastek . Tutaj symbol skończonej przestrzeni K- wektorowej V jest zdefiniowany jako , wymiar przestrzeni wektorowej V . Załóżmy, że mamy następującą krótką dokładną sekwencję przestrzeni K -wektorowych. ${\displaystyle G_{0}(K)}$${\ Displaystyle [V]}$${\displaystyle G_{0}(K)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle [K]}$${\ Displaystyle [V]}$${\ Displaystyle [V] = \ słabe _ {K} V}$

${\ Displaystyle 0 \ do V \ do T \ do W \ do 0}$

Ponieważ każda krótka dokładna sekwencja przestrzeni wektorowych dzieli się, zachowuje to . W rzeczywistości, dla dowolnych dwu skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych V i W obowiązuje: ${\ Displaystyle T \ cong V \ oplus W}$

${\ Displaystyle \ słabe _ {K} (V \ oplus W) = \ słabe _ {K} (V) + \ słabe _ {K} (W)}$

Powyższa równość spełnia zatem warunek symbolu w grupie Grothendiecka. ${\ Displaystyle [V]}$

${\ Displaystyle [T] = [V \ oplus W] = [V] + [W]}$

Zauważ, że dowolne dwie izomorficzne skończenie wymiarowe przestrzenie K -wektorowe mają ten sam wymiar. Ponadto dowolne dwuwymiarowe przestrzenie K -wektorowe V i W o tym samym wymiarze są do siebie izomorficzne. W rzeczywistości każda skończona n- wymiarowa przestrzeń K- wektorowa V jest izomorficzna z . Obserwacja z poprzedniego paragrafu dowodzi zatem następującego równania: ${\ Displaystyle K ^ {\ oplus n}}$

${\ Displaystyle [V] = \ lewo [K ^ {\ oplus n} \ prawo] = n [K]}$

Stąd każdy symbol jest generowany przez element o współczynnikach całkowitych, co oznacza, że jest izomorficzny z generatorem . ${\ Displaystyle [V]}$${\ Displaystyle [K]}$${\displaystyle G_{0}(K)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle [K]}$

Bardziej ogólnie niech będzie zbiorem liczb całkowitych. Grupa Grothendiecka jest grupą abelową generowaną przez symbole dla dowolnych skończonych grup abelowych A . Najpierw zauważa się, że każda skończona grupa abelowa G spełnia to . Zachodzi następująca krótka dokładna sekwencja, w której mapą jest mnożenie przez n . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\displaystyle G_{0}(\mathbb {Z})}$${\ Displaystyle [A]}$${\ Displaystyle [G] = 0}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ do \ mathbb {Z}}$

${\ Displaystyle 0 \ do \ mathbb {Z} \ do \ mathbb {Z} \ do \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} \ do 0}$

Dokładna sekwencja implikuje, że , więc każda grupa cykliczna ma swój symbol równy 0. To z kolei implikuje, że każda skończona grupa abelowa G spełnia podstawowe twierdzenie o skończonych grupach abelowych. ${\ Displaystyle [\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}] = [\ mathbb {Z}] - [\ mathbb {Z}] = 0}$${\ Displaystyle [G] = 0}$

Zaobserwować, że do podstawowych twierdzenia skończenie Wygenerowano abelowej grup , każda grupa przemienna jest izomorficzny bezpośrednio sumę podgrupy skręcanie i skręcanie grupa przemienna izomorficzny z jakiegoś nieujemną liczbą całkowitą R , zwany stopień z A i oznaczono przez . Zdefiniuj symbol jako . Wtedy grupa Grothendiecka jest izomorficzna z generatorem Rzeczywiście, obserwacja poczyniona w poprzednim akapicie pokazuje, że każda grupa abelowa A ma swój symbol taki sam jak symbol gdzie . Ponadto ranga grupy abelowej spełnia warunki symbolu grupy Grothendiecka. Załóżmy, że mamy następującą krótką dokładną sekwencję grup abelowych: ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {r}}$${\ Displaystyle r = {\ mbox {ranga}} (A)}$${\ Displaystyle [A]}$${\ Displaystyle [A] = {\ mbox {ranga}} (A)}$${\displaystyle G_{0}(\mathbb {Z})}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\displaystyle [\mathbb {Z}].}$${\ Displaystyle [A]}$${\ Displaystyle [\ mathbb {Z} ^ {r}] = r [\ mathbb {Z}]}$${\ Displaystyle r = {\ mbox {ranga}} (A)}$${\ Displaystyle [A]}$

${\displaystyle 0\do A\do B\do C\do 0}$

Następnie tensorowanie z liczbami wymiernymi implikuje następujące równanie. ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$

${\ Displaystyle 0 \ do A \ czasami _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Q} \ do B \ czasami _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Q} \ do C \ otimes _ {\ mathbb { Z} }\mathbb {Q} \to 0}$

Ponieważ powyższe jest krótkim, dokładnym ciągiem przestrzeni -wektorowych, ciąg się dzieli. Dlatego mamy następujące równanie. ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$

${\ Displaystyle \ słabe _ {\ mathbb {Q}} (B \ czasami _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Q} ) = \ słabe _ {\ mathbb {Q}} (A \ czasami _ {\ mathbb {Z} }\mathbb {Q} )+\dim _{\mathbb {Q} }(C\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )}$

Z drugiej strony mamy też następującą relację. Aby uzyskać więcej informacji, zobacz: Ranga grupy Abelian .

${\ Displaystyle \ Operatorname {ranga} (A) = \ Dim _ {\ mathbb {Q}} (A \ czasami _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Q})}$

W związku z tym zachodzi następujące równanie:

${\displaystyle [B]=\operator {ranga} (B)=\operator {ranga} (A)+\operator {ranga} (C)=[A]+[C]}$

Stąd wykazano, że jest izomorficzny z generatorem${\displaystyle G_{0}(\mathbb {Z})}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\displaystyle [\mathbb {Z}].}$

Własność uniwersalna

Grupa Grothendiecka spełnia właściwość uniwersalną. Jeden sprawia wstępną definicję: funkcja ze zbioru klas izomorfizmu do grupa przemienna nazywa się dodatek , jeżeli dla każdego dokładnej sekwencji , trzeba Następnie dla każdej funkcji dodatków , jest wyjątkowa homomorfizm grupy takie, że czynniki, dzięki i map który przenosi każdy obiekt do elementu reprezentującego jego klasę izomorfizmu w Konkretnie oznacza to, że spełnia równanie dla każdego skończonego modułu - i jest jedynym homomorfizmem grupy, który to robi. ${\ Displaystyle \ chi}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle 0\do A\do B\do C\do 0}$${\ Displaystyle \ chi (A) - \ chi (B) + \ chi (C) = 0.}$${\ Displaystyle \ chi: R {\ tekst {-mod}} \ do X}$${\ Displaystyle f: G_ {0}(R) \ do X}$${\ Displaystyle \ chi}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {A}}}$${\displaystyle G_{0}(R).}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle f ([V]) = \ chi (V)}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle V}$${\displaystyle f}$

Przykładami funkcji addytywnych są funkcja znakowa z teorii reprezentacji : Jeśli jest algebrą skończenie wymiarową , to można powiązać znak z każdym modułem skończenie wymiarowym zdefiniowanym jako ślad po przekształceniu liniowym, który jest podany przez mnożenie z elementem włączonym . ${\ Displaystyle R}$${\displaystyle k}$${\ Displaystyle \ chi _ {V}: R \ do k}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle V: \ chi _ {V} (x)}$${\displaystyle k}$${\ Displaystyle x \ w R}$${\ Displaystyle V}$

Wybierając odpowiednią bazę i zapisując odpowiednie macierze w blokowej formie trójkąta, łatwo można zauważyć, że funkcje znakowe są addytywne w powyższym sensie. Przez uniwersalną własność daje nam to „uniwersalny charakter” taki, że . ${\ Displaystyle \ chi: G_ {0} (R) \ do \ operatorname {Hom} _ {K} (R, K)}$${\ Displaystyle \ chi ([V]) = \ chi _ {V}}$

Jeśli i to pierścień grupa o skończonej grupy czym postać ta mapa nawet daje naturalny izomorfizm i pierścień znaków . W modułowej teorii reprezentacji grup skończonych może być polem algebraiczna zamknięcie w obszarze ograniczonym z p elementów. W tym przypadku analogicznie zdefiniowana mapa, która przyporządkowuje każdemu modułowi jego Brauerowski charakter, jest również naturalnym izomorfizmem na pierścieniu Brauerowskich znaków. W ten sposób grupy Grothendiecka pojawiają się w teorii reprezentacji. ${\displaystyle k=\mathbb {C}}$${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} [G]}$ ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G_ {0}(\ mathbb {C} [G])}$${\ Displaystyle Ch (G)}$${\displaystyle k}$${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbb {F} _ {p}}},}$${\ Displaystyle k [G]}$${\ Displaystyle G_ {0} ({\ overline {\ mathbb {F} _ {p}}} [G]) \ do \ operatorname {BCh} (G)}$

Ta uniwersalna właściwość czyni również „uniwersalnym odbiornikiem” uogólnionych charakterystyk Eulera . W szczególności dla każdego ograniczonego kompleksu obiektów w${\displaystyle G_{0}(R)}$${\ Displaystyle R {\ tekst {-mod}}}$

${\ Displaystyle \ cdots \ do 0 \ do 0 \ do A ^ {n} \ do A ^ {n + 1} \ do \ cdots \ do A ^ {m-1} \ do A ^ {m} \ do 0 \do 0\do \cdots }$

jeden ma element kanoniczny

${\ Displaystyle [A ^ {*}] = \ suma _ {i} (-1) ^ {i} [A ^ {i}] = \ suma _ {i} (-1) ^ {i} [H ^ {i}(A^{*})]\w G_{0}(R).}$

W rzeczywistości grupa Grothendiecka została pierwotnie wprowadzona do badania cech Eulera.

Grothendieck grupy dokładnych kategorii

Wspólne uogólnienie tych dwóch pojęć podaje grupa Grothendiecka kategorii ścisłej . Mówiąc najprościej, dokładna kategoria jest kategorią addytywną wraz z klasą wyróżnionych krótkich sekwencji A → B → C . Wyróżnione sekwencje nazywane są „sekwencjami dokładnymi”, stąd nazwa. Dokładne aksjomaty dla tej wyróżniającej się klasy nie mają znaczenia dla konstrukcji grupy Grothendiecka. ${\ Displaystyle {\ Mathcal {A}}}$

Grupa Grothendiecka jest zdefiniowana w taki sam sposób jak poprzednio jak grupa abelowa z jednym generatorem [ M ] dla każdego (klasy izomorfizmu) obiektu(ów) kategorii i jednej relacji ${\ Displaystyle {\ Mathcal {A}}}$

${\displaystyle [A]-[B]+[C]=0}$

dla każdej dokładnej sekwencji

${\displaystyle A\hookrightarrow B\twoheadrightarrow C}$.

Alternatywnie i ekwiwalentnie, można zdefiniować grupę Grothendiecku użyciu uniwersalnej własności: MAP: z w a grupa przemienna X jest nazywany „dodatek”, jeśli dla każdego dokładna kolejność trzeba ; grupa abelowa G wraz z mapowaniem addytywnym nazywana jest grupą Grothendiecka, jeśli każde mapowanie addytywne rozkłada się jednoznacznie przez φ. ${\ Displaystyle \ chi : \ operatorname {ob} ({\ matematyka {A}}) \ do X}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {A}}}$${\displaystyle A\hookrightarrow B\twoheadrightarrow C}$${\ Displaystyle \ chi (A) - \ chi (B) + \ chi (C) = 0}$${\ Displaystyle \ phi : \ operatorname {ob} ({\ matematyka {A}}) \ do G}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {A}}}$${\ Displaystyle \ chi : \ operatorname {ob} ({\ matematyka {A}}) \ do X}$

Każda kategoria abelowa jest kategorią dokładną, jeśli po prostu używa się standardowej interpretacji „dokładnie”. To daje pojęcie grupy Grothendieck w poprzednim rozdziale, jeśli ktoś wybiera - mod kategorii skończenie generowane R -modules jak . To jest naprawdę abelowe, ponieważ w poprzedniej sekcji założono, że R jest rzemieślnicze i (stąd noetherian). ${\ Displaystyle {\ Mathcal {A}}: = R}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {A}}}$

Z drugiej strony, każda kategoria addytywna jest również dokładna, jeśli zadeklaruje się dokładnie te i tylko te sekwencje, które mają postać z kanonicznymi morfizmami inkluzji i projekcji. Ta procedura tworzy grupę Grothendiecka monoidu przemiennego w pierwszym sensie (tutaj oznacza „zbiór” [ignorowanie wszystkich fundamentalnych kwestii] klas izomorfizmu w .) ${\displaystyle A\hookrightarrow A\oplus B\twoheadrightarrow B}$${\ Displaystyle (\ operatorname {Iso} ({\ mathcal {A}}), \ oplus)}$${\ Displaystyle \ operatorname {Iso} ({\ mathcal {A}})}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {A}}}$

Grupy Grothendiecka triangulowanych kategorii

Uogólniając jeszcze dalej, możliwe jest również zdefiniowanie grupy Grothendiecka dla kategorii triangulowanych . Konstrukcja jest zasadniczo podobna, ale wykorzystuje relacje [ X ] - [ Y ] + [ Z ] = 0, gdy istnieje wyróżniony trójkąt X → Y → Z → X [1].

Dalsze przykłady

• W abelowej kategorii skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych nad ciałem k dwie przestrzenie wektorowe są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam wymiar. Zatem dla przestrzeni wektorowej V

${\ Displaystyle [V] = \ lewo [k ^ {\ dim (V)} \ prawo] \ w K_ {0} (\ operator {Vect} _ {\ operator {fin}}).}$

Co więcej, dla dokładnej sekwencji

${\ Displaystyle 0 \ do k ^ {l} \ do k ^ {m} \ do k ^ {n} \ do 0}$

m = l + n , więc

${\ Displaystyle \ lewo [k ^ {l + n} \ prawo] = \ lewo [k ^ {l} \ prawo] + \ lewo [k ^ {n} \ prawo] = (l + n) [k]. }$

Zatem

${\ Displaystyle [V] = \ dim (V) [k],}$

i jest izomorficzny do i jest generowany przez Wreszcie dla ograniczonego kompleksu skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych V *,${\ Displaystyle K_ {0}(\ operator {Vect} _ {\ operator {fin}})}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle [k].}$

${\ Displaystyle [V ^ {*}] = \ chi (V ^ {*}) [k]}$

gdzie jest standardową charakterystyką Eulera określoną przez${\ Displaystyle \ chi}$

${\ Displaystyle \ chi (V ^ {*}) = \ suma _ {i} (-1) ^ {i} \ słabe V = \ suma _ {i} (-1) ^ {i} \ słabe H ^ { i}(V^{*}).}$

• Dla przestrzeni obrączkowanej można rozważyć kategorię wszystkich lokalnie wolnych snopów nad X . jest następnie określana jako grupa Grothendiecka tej właśnie kategorii i znowu daje to funktor.${\ Displaystyle (X {\ Mathcal {O}} _ {X})}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {A}}}$${\displaystyle K_{0}(X)}$

• Dla przestrzeni obrączkowanej można również zdefiniować kategorię jako kategorię wszystkich spójnych snopów na X . Obejmuje to szczególny przypadek (jeśli obrączka jest schematem afinicznym ) bycia kategorią skończenie generowanych modułów nad pierścieniem noetherian R . W obu przypadkach jest to kategoria abelowa i a fortiori dokładna, więc zastosowanie ma powyższa konstrukcja.${\ Displaystyle (X {\ Mathcal {O}} _ {X})}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {A}}}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {A}}}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {A}}}$

• W przypadku, gdy R jest algebrą skończenie wymiarową nad jakimś ciałem, grupy Grothendiecka (zdefiniowane za pomocą krótkich dokładnych sekwencji skończenie generowanych modułów) i (zdefiniowane za pomocą bezpośredniej sumy skończenie generowanych modułów rzutowych) pokrywają się. W rzeczywistości obie grupy są izomorficzne z wolną grupą abelową generowaną przez klasy izomorfizmu prostych modułów R.${\displaystyle G_{0}(R)}$${\displaystyle K_{0}(R)}$

• Istnieje inna grupa Grothendiecka pierścienia lub obrączkowanej przestrzeni, która czasami jest przydatna. Kategoria w tym przypadku jest wybrana jako kategoria wszystkich quasi-koherentnych krążków na przestrzeni obrączkowanej, która sprowadza się do kategorii wszystkich modułów nad pewnym pierścieniem R w przypadku schematów afinicznych. to nie funktorem, niemniej jednak niesie ważną informację.${\displaystyle G_{0}}$${\displaystyle G_{0}}$

• Ponieważ (ograniczona) kategoria pochodna jest triangulowana, istnieje również grupa Grothendiecka dla kategorii pochodnych. Ma to zastosowanie na przykład w teorii reprezentacji. W kategorii nieograniczonej grupa Grothendiecka jednak znika. Dla kategorii pochodnej jakiejś złożonej algebry dodatnio stopniowanej skończenie wymiarowo istnieje podkategoria w nieograniczonej kategorii pochodnej zawierającej abelową kategorię A skończenie wymiarowych stopniowanych modułów, których grupa Grothendiecka jest q- adycznym uzupełnieniem grupy Grothendiecka z A.

Zobacz też

• Topologiczna teoria K
• Ciąg widmowy Atiyaha-Hirzebrucha do obliczania topologicznej K-teorii

Bibliografia

• Michael F. Atiyah , K-Theory , (Notatki sporządzone przez DWanderson, jesień 1964), opublikowana w 1967, WA Benjamin Inc., Nowy Jork.
• Achar, Pramod N.; Stroppel, Catharina (2013), „Completations of Grothendieck groups”, Biuletyn London Mathematical Society , 45 (1): 200-212, arXiv : 1105.2715 , doi : 10.1112/blms/bds079 , MR  3033967.
• „Grothendieck group” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• "Grothendieck grupa" . PlanetMath .
• Grothendieck Group of Algebraic Vector Bundles; Obliczenia przestrzeni afinicznej i projekcyjnej
• Grupa Grothendiecka gładkiej złożonej krzywej rzutowej