Półgrupa z inwolucją - Semigroup with involution

W matematyce , zwłaszcza w abstrakcyjnej Algebra , A półgrupa z inwolucji lub * -semigroup jest półgrupa wyposażona involutive anty-automorfizm , który, z grubsza rzecz biorąc, przybliża się do grupy , ponieważ ta inwolucja rozpatrywany jako operatora jednoargumentowy wykazuje pewne podstawowe własności operacji przyjmowania odwrotności w grupie: unikalność, podwójna aplikacja „znosząca się” i to samo prawo interakcji z operacją binarną, jak w przypadku odwrotności grupowej. Nie jest więc zaskoczeniem, że jakakolwiek grupa jest półgrupą z inwolucją. Istnieją jednak znaczące naturalne przykłady półgrup z inwolucją, które nie są grupami.

Przykład z liniowym Algebra jest mnożnikowy monoid od rzeczywistych kwadratowych macierzy o uporządkowaniu  n (zwane pełne monoid liniowej ). Mapę który wysyła matrycę jego transponowaniem jest inwolucją ponieważ transpozycji jest dobrze zdefiniowana dla każdej matrycy i działa zgodnie z prawem ( AB ) T = B , T T , która ma taką samą postać interakcji z mnożenia jak przy odwrotności posiada w ogólna grupa liniowa (która jest podgrupą pełnego liniowego monoidu). Jednak dla dowolnej macierzy AA T nie równa się elementowi tożsamości (czyli macierzy diagonalnej ). Innym przykładem, pochodzące z języka formalnego teoretycznie jest wolna półgrupa generowane przez niepustego zbioru (AN alfabetu ), sznurkiem konkatenacji jako operacji binarnej oraz inwolucji stanowiącego mapę, która odwraca ten porządek liniowy z liter napisu. Trzeci przykład, z podstawowej teorii mnogości , to zbiór wszystkich relacji binarnych między zbiorem a nim samym, przy czym inwolucja jest relacją odwrotną , a mnożenie jest wynikiem zwykłej kompozycji relacji .

Półgrupy z inwolucji pojawił wyraźnie nazwany w 1953 papierze Wiktora Wagnera (po rosyjsku), co wynika z jego próbą zniwelowania teorię półgrup ze skutecznością semiheaps .

Definicja formalna

Niech S będzie półgrupą z operacją binarną zapisaną multiplikatywnie. Inwolucja w S jest operacją jednoargumentową * na S (lub transformacją *: S S , x x *) spełniającą następujące warunki:

  1. Dla wszystkich x w S ( x *) = x .
  2. Dla wszystkich x , y w S mamy ( xy ) * = y * x *.

Półgrupa S z inwolucją * nazywana jest półgrupą z inwolucją.

Półgrupy które spełniają tylko pierwszy z tych aksjomatów należą do większej klasy U półgrup .

W niektórych zastosowaniach drugi z tych aksjomatów został nazwany antydystrybucją . Odnosząc się do naturalnej filozofii tego aksjomatu, HSM Coxeter zauważył, że „staje się to jasne, kiedy myślimy o [x] i [y] jako czynnościach zakładania odpowiednio skarpet i butów”.

Przykłady

  1. Jeśli S jest przemienną półgrupą, to mapa tożsamości S jest inwolucją.
  2. Jeśli S jest grupą, to mapa inwersji *: S S zdefiniowana przez x * = x −1 jest inwolucją. Co więcej, na grupie abelowej zarówno ta mapa, jak i ta z poprzedniego przykładu są inwolucjami spełniającymi aksjomaty półgrupy z inwolucją.
  3. Jeśli S jest odwrotną półgrupą, to mapa inwersji jest inwolucją, która pozostawia niezmienne idempotenty . Jak zauważono w poprzednim przykładzie, odwrócenie mapy niekoniecznie jest jedyną mapą z tą właściwością w odwrotnej półgrupie. Mogą istnieć inne inwolucje, które pozostawiają niezmienność wszystkich idempotentów; na przykład mapa tożsamości na przemiennej regularnej, a więc odwrotnej, półgrupie, w szczególności na grupie abelowej. Regularność jest półgrupa odwrotność wtedy i tylko wtedy, gdy przyznaje inwolucją w których każdy idempotent jest niezmienna.
  4. Podstawą każdej C * -algebry jest * -półgrupa. Ważnym przykładem jest Algebra M n ( C ) z n -by- n macierzy ponad C , z koniugatem transponowaniem jako inwolucji.
  5. Jeśli X jest zbiorem, zbiorem wszystkich relacji binarnych na X jest * -półgrupa z * podanym przez relację odwrotną i mnożeniem wynikającym ze zwykłego składu relacji . To jest przykład * -półgrupy, która nie jest zwykłą półgrupą.
  6. Jeśli X jest zbiorem, to zbiór wszystkich skończonych sekwencji (lub ciągów ) elementów X tworzy wolny monoid pod działaniem łączenia sekwencji, z odwróceniem sekwencji jako inwolucją.
  7. Prostokątny zespół na iloczyn kartezjański wyznaczonej A ze sobą, to znaczy z elementami A x A , a produkt półgrupa określonym jako ( a , b ), ( c , d ) = ( a , d ), z zanik będąc odwrócenie kolejności elementów pary ( a , b ) * = ( b , a ). Ta półgrupa jest również regularną półgrupą , jak wszystkie pasma.

Podstawowe pojęcia i właściwości

Element x półgrupy z inwolucją jest czasami nazywany pustelnikiem (przez analogię z macierzą hermitowską ), gdy inwolucja pozostawia go niezmiennym, czyli x * = x . Elementy postaci xx * lub x * x są zawsze pustelnikami, podobnie jak wszystkie uprawnienia elementu pustelniczego. Jak zauważono w sekcji przykładów, półgrupa S jest półgrupą odwrotną wtedy i tylko wtedy, gdy S jest regularną półgrupą i dopuszcza inwolucję w taki sposób, że każdy idempotent jest pustelnikiem.

Pewne podstawowe pojęcia mogą być zdefiniowane na * -półgrupach w sposób odpowiadający pojęciom wywodzącym się z regularnego elementu w półgrupach . Częściowy isometry jest elementem s , tak że ss * s = s ; zbiór częściowych izometrii półgrupy S jest zwykle w skrócie PI ( S ). Występ jest idempotent Element E , który jest również Hermitian, co oznacza, że ee = E oraz E * = e . Każdy rzut jest izometrią częściową, a dla każdej izometrii częściowej s , s * s i ss * są rzutami. Jeśli e i f są rzutami, to e = ef wtedy i tylko wtedy, gdy e = fe .

Częściowe izometrie można uporządkować częściowo przez s t zdefiniowane jako utrzymywanie, gdy s = ss * t i ss * = ss * tt *. Równoważnie, s t wtedy i tylko wtedy, gdy s = et i e = ett * dla pewnego rzutu e . A * -semigroup PI ( S ) jest uporządkowane groupoid z produktu częściowego podanej przez y t = st jeśli s * s = TT *.

Przykłady

Jeśli chodzi o przykłady tych pojęć, w * -semigrrupie relacji binarnych na zbiorze, izometrie cząstkowe są relacjami, które są dwufunkcyjne . Projekcje w tej * -półgrupie są częściowymi relacjami równoważności .

Te częściowe izometrie w C * -algebra są dokładnie określone w tej części. W przypadku M n ( C ) można powiedzieć więcej. Jeżeli E i F są rzuty, następnie E F wtedy i tylko wtedy, gdy im E ⊆ im F . Dla dowolnych dwóch projekcji, jeśli E F = V , wówczas unikalny występ J z obrazem V i jądro ortogonalne dopełnienie o V jest spotyka się z E i F . Ponieważ występy tworzą meet- semilattice cząstkowe izometrycznych na M n ( C ) tworzą półgrupa odwrotny z produktem .

Kolejny prosty przykład tych pojęć pojawi się w następnej sekcji.

Pojęcia regularności

Istnieją dwa powiązane, ale nie identyczne pojęcia regularności w * -podzielonych grupach. Zostały one wprowadzone niemal jednocześnie przez Nordahl & Scheiblich (1978) i odpowiednio Drazin (1979).

Regularne * - półgrupy (Nordahl & Scheiblich)

Jak wspomniano w poprzednich przykładach , odwrotne półgrupy są podklasą * -półgrup. Z podręcznika wynika również, że półgrupę odwrotną można scharakteryzować jako zwykłą półgrupę, w której dojeżdżają dowolne dwaj idempotenci. W 1963 roku, Boris M. Schein wykazały, że dwa kolejne aksjomaty zapewnić analogiczną charakterystyka odwrotnej półgrup jako subvariety o * -semigroups:

  • x = xx * x
  • ( xx *) ( x * x ) = ( x * x ) ( xx *)

Pierwsza z nich wygląda jak definicja elementu regularnego, ale w rzeczywistości odnosi się do inwolucji. Podobnie wydaje się, że drugi aksjomat opisuje komutację dwóch idempotentów. Wiadomo jednak, że regularne półgrupy nie tworzą odmiany, ponieważ ich klasa nie zawiera wolnych obiektów (wynik ustalony przez DB McAlister w 1968 r.). Ta linia rozumowania zmotywowała Nordahla i Scheiblicha do rozpoczęcia w 1977 roku badań nad (różnorodnością) * -grup, które spełniają tylko pierwsze z tych dwóch aksjomatów; ze względu na podobieństwo formy do właściwości definiującej półgrupy regularne, nazwali tę odmianę regularnymi * -półgrupami.

Prostym obliczeniem jest ustalenie, że regularna * -półgrupa jest również regularną półgrupą, ponieważ x * okazuje się odwrotnością x . Prostokątne pasmo z przykładu 7 jest regularną * półgrupą, która nie jest odwrotną półgrupą. Łatwo jest również sprawdzić, czy w zwykłej * -semigroup iloczyn dowolnych dwóch projekcji jest idempotentny. We wspomnianym powyżej przykładzie prostokątnego pasma rzuty są elementami postaci ( x , x ) i [jak wszystkie elementy pasma] są idempotentne. Jednak dwa różne rzuty w tym paśmie nie muszą dojeżdżać do pracy, ani też ich iloczyn nie jest koniecznie rzutem, ponieważ ( a , a ) ( b , b ) = ( a , b ).

Półgrupy, które spełniają tylko x ** = x = xx * x (ale niekoniecznie antyrozdzielczość * w mnożeniu) były również badane pod nazwą I-półgrup .

Systemy P.

Problem scharakteryzowania, kiedy półgrupa regularna jest regularną * -semgrupą (w rozumieniu Nordahla i Scheiblicha) została podjęta przez M. Yamada (1982). Zdefiniował P-system F (S) jako podzbiór idempotentów S, oznaczonych jak zwykle przez E (S). Używając zwykłej notacji V ( a ) do odwrotności a , F (S) musi spełnić następujące aksjomaty:

  1. Dla każdego a w S istnieje unikalne a ° w V ( a ) takie, że aa ° i a ° a są w F (S)
  2. Dla każdego a w S i b w F (S), a ° ba jest w F (S), gdzie ° jest dobrze zdefiniowaną operacją z poprzedniego aksjomatu
  3. Dla każdego a , b w F (S), ab jest w E (S); uwaga: niekoniecznie w F (S)

Regularna półgrupa S jest * -regularną półgrupą, zgodnie z definicją Nordahla i Scheiblicha, wtedy i tylko wtedy, gdy ma p-system F (S). W tym przypadku F (S) jest zbiorem rzutów S w odniesieniu do operacji ° określonej przez F (S). W półgrupie odwrotnej cała półpłata idempotentów jest p-systemem. Ponadto, jeśli regularna półgrupa S ma p-system, który jest multiplikatywnie zamknięty (tj. Podgrupa), to S jest odwrotną półgrupą. Zatem układ p może być traktowany jako uogólnienie semilattice idempotentów odwrotnej półgrupy.

* -regularne półgrupy (Drazin)

Półgrupa S z inwolucji * jest nazywany * -regular półgrupa (w sensie Drazin), jeśli dla każdego x w S , x * oznacza H -equivalent pewnym odwrotności X , w której H jest przez Greena związek H . Tę właściwość definiującą można sformułować na kilka równoważnych sposobów. Innym jest stwierdzenie, że każda klasa L zawiera rzut. Definicja aksjomatyczna to warunek, że dla każdego x w S istnieje element x ′ taki, że x xx ′ = x , xx x = x , ( xx ′) * = xx , ( x x ) * = x x . Michael P. Drazin jako pierwszy udowodnił, że przy danym x element x ′ spełniający te aksjomaty jest wyjątkowy. Nazywa się odwrotnością x według Moore'a – Penrose'a . Jest to zgodne z klasyczną definicją odwrotności macierzy kwadratowej Moore'a-Penrose'a .

Jeden motywacja do studiowania tych półgrup jest to, że pozwalają one uogólniając właściwości Moore-Penrose'a w odwrotnych od i do bardziej ogólnych zbiorów.

W multiplikatywnej półgrupie M n ( C ) macierzy kwadratowych rzędu n , mapa, która przypisuje macierz A do jej sprzężenia hermitowskiego A *, jest inwolucją. Półgrupa M n ( C ) jest * -regularną półgrupą z tą inwolucją. Odwrotność A Moore'a – Penrose'a w tej * -regularnej półgrupie jest klasyczną odwrotnością A według Moore'a – Penrose'a .

Wolna półgrupa z inwolucją

Jak w przypadku wszystkich odmian, kategoria półgrup z inwolucją dopuszcza przedmioty swobodne . Konstrukcja półgrupy swobodnej (lub monoidy) z inwolucją jest oparta na konstrukcji półgrupy swobodnej (i odpowiednio monoidu swobodnego). Co więcej, konstrukcję wolnej grupy można łatwo wyprowadzić, udoskonalając konstrukcję wolnego monoidu za pomocą inwolucji.

Te generatory wolnego półgrupa z inwolucji są elementy połączenia dwóch ( równoliczny ) zestawów rozłącznych w bijective korespondencji : . (W zapisie podkreślono, że unia jest w rzeczywistości związkiem rozłącznym .) W przypadku, gdy te dwa zbiory są skończone, ich związek Y jest czasami nazywany alfabetem z inwolucją lub alfabetem symetrycznym . Niech będzie bijekcją; jest naturalnie rozszerzany do bijekcji zasadniczo przez przyjęcie rozłącznego połączenia (jako zestawu) z jego odwrotnością lub w notacji fragmentarycznej :

Konstruować jako wolnej półgrupa na w znany sposób z binarnym (półgrupa) działania na będącego łączenie :

dla niektórych listów

Wypychanie włączone jest następnie przedłużane jako bijekcja zdefiniowana jako odwrócenie ciągów elementów składających się z więcej niż jednej litery:

Ta mapa jest inwolucją w półgrupie . Zatem półgrupa z mapą jest półgrupa z inwolucji, zwany wolny półgrupa z inwolucji na X . (Nieistotność konkretnej tożsamości i bijekcji w tym wyborze terminologii jest wyjaśniona poniżej w kategoriach uniwersalnej właściwości konstrukcji). Należy zauważyć, że w przeciwieństwie do przykładu 6 inwolucja każdej litery jest odrębnym elementem w alfabecie z inwolucją, a zatem ta sama obserwacja rozciąga się na wolną półgrupę z inwolucją.

Jeśli w powyższej konstrukcji zamiast używamy bezpłatny monoid , który jest po prostu wolny półgrupa rozszerzony o pustym słowie (czyli element neutralny z monoid ) i odpowiednio przedłużyć inwolucji z , otrzymujemy darmowy monoid z inwolucji .

Powyższa konstrukcja jest właściwie jedynym sposobem na rozszerzenie danej mapy od do do inwolucji na (i podobnie dalej ). Kwalifikator „wolny” dla tych konstrukcji jest uzasadniony w zwykłym sensie, że są to konstrukcje uniwersalne . W przypadku półgrupy swobodnej z inwolucją, mając dowolną półgrupę z inwolucją i mapą , istnieje homomorfizm półgrupy taki, że gdzie jest mapa inkluzyjna i skład funkcji jest przyjmowany w kolejności diagramów . Konstrukcja jako półgrupy z inwolucją jest wyjątkowa aż do izomorfizmu . Analogiczny argument dotyczy monoidu swobodnego z inwolucją w kategoriach homomorfizmów monoidów i wyjątkowości aż do izomorfizmu konstrukcji monoidu z inwolucją.

Konstrukcja wolnej grupy nie jest bardzo odległa od konstrukcji swobodnego monoidu z inwolucją. Dodatkowym niezbędnym składnikiem jest zdefiniowanie pojęcia zredukowanego słowa i reguły przepisywania do tworzenia takich słów po prostu przez usunięcie wszelkich sąsiadujących par liter w postaci lub . Można to wykazać, że kolejność przepisywania (usuwania) takich par nie ma znaczenia, tj. Każda kolejność usuwania daje ten sam wynik. (Inaczej mówiąc, reguły te definiują konfluentny system przepisywania). Równoważnie, wolna grupa jest konstruowana z wolnego monoidu z inwolucją, biorąc iloraz tej ostatniej przez kongruencję , która jest czasami nazywana kongruencją Dycka - w pewnym sensie uogólnia język Dycka na wiele rodzajów „nawiasów”. Jednak uproszczenie w kongruencji Dycka ma miejsce niezależnie od kolejności. Na przykład, jeśli „)” jest odwrotnością „(”, to ; jednostronna zgodność, która pojawia się we właściwym języku Dycka , która tworzy instancję tylko do, jest (być może myląco) nazywana kongruencją Shamira . Iloraz wolnego monoidu z inwolucją przez kongruencję Shamira nie jest grupą, ale monoidem; niemniej jednak została nazwana wolną połową grupy przez jej pierwszego odkrywcę - Eli Shamira - chociaż ostatnio nazwano ją inwolutywnym monoidem generowanym przez X (ten drugi wybór terminologii koliduje jednak z używaniem terminu „inwolutywny” na oznaczenie dowolnej półgrupy z inwolucją - praktyka spotykana również w literaturze).

Baer * -semigroups

Półgrupa Baera * jest * -grupą z (dwustronnym) zerem, w której właściwy anihilator każdego elementu pokrywa się z odpowiednim ideałem jakiejś projekcji; Ta właściwość wyrażona jest formalnie jako: dla wszystkich x S istnieje występ E , tak że

{ y S | xy = 0} = eS .

Rzut e jest w rzeczywistości jednoznacznie określony przez x .

Niedawno półgrupy Baera * zostały również nazwane półgrupami Foulisa , od Davida Jamesa Foulisa, który zbadał je dogłębnie.

Przykłady i zastosowania

Zbiorem wszystkich relacji binarnych na zbiorze (z przykładu 5 ) jest półgrupa Baera *.

Półgrupy Baera * spotyka się również w mechanice kwantowej , w szczególności jako multiplikatywne półgrupy pierścieni Baera * .

Jeśli H jest przestrzenią Hilberta , to multiplikatywną półgrupą wszystkich ograniczonych operatorów na H jest półgrupa Baera *. Inwolucja w tym przypadku odwzorowuje operator na jego sprzężenie .

Baer * -semigroup umożliwić coordinatization z ortomodularnych krat .

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia