Element odwrotny - Inverse element


Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

W algebry abstrakcyjnej , idea element odwrotny generalizowaniu pojęcia o negacji (odwrócenie znaku) w odniesieniu do dodatkowo i Odwrotność w odniesieniu do rozmnażania . Intuicji jest elementem, która nie może cofnąć się efektem kombinacji z innym danego elementu. Podczas gdy dokładna definicja wstecznego elementu zmienia się w zależności od algebraicznej strukturę uczestniczącą definicje te zbiegają się w grupie .

Słowo „odwrotny” pochodzi od łacińskiego : inversus które oznacza „do góry nogami”, „przewrócił”.

definicje formalne

W unital magmy

Pozwolić być zestaw zamknięty pod binarnej operacji (tj magma ). Jeśli jest to element neutralny z (czyli S jest magma unital) i , następnie nazywany jest lewa odwrotny od i nazywa się prawo odwrotności o . Jeśli element jest zarówno w lewo i prawo odwrotność odwrotność , wtedy nazywana jest dwustronny odwrotny , lub po prostu odwrotny , od . Element z dwustronnym odwrotności w nazywany jest odwracalna w . Elementem o element odwrotny tylko po jednej stronie jest lewy odwracalna , wzgl. prawo odwracalna . Unital magmy, w której wszystkie elementy są odwracalny jest nazywany pętli . Pętla którego binarny operacja spełnia prawo asocjacyjną jest grupa .

Tak jak można mieć kilka lewo tożsamości lub kilka właściwych tożsamości, możliwe jest elementem mieć kilka lewe odwrotności lub kilka właściwych odwrotności (należy jednak pamiętać, że ich definicja powyżej wykorzystuje dwustronny tożsamości ). Może nawet mieć kilka pozostawione odwrotności i kilka prawo odwrotności.

Jeśli operacja jest asocjacyjne wtedy, gdy element ma zarówno lewy i prawy odwrotność odwrotność, są równe. Innymi słowy, w monoid (asocjacyjną unital magmy) każdy element zawiera co najwyżej jeden odwrócony (tak jak zdefiniowano w tej sekcji). W monoid, zestaw (lewy i prawy) elementy odwracalna to grupa , zwana grupę jednostek o i oznaczone lub H 1 .

Element lewej jest odwracalna lewo cancellative , i analogicznie dla prawo i dwustronny.

W półgrupa

Definicja w poprzednim rozdziale uogólnia pojęcie odwrotności w grupie w stosunku do pojęcia tożsamości. Jest również możliwe, aczkolwiek mniej oczywiste, uogólnić pojęcie odwrotność przez upuszczenie element neutralny, ale zachowując skojarzenia, czyli w półgrupa .

W półgrupa S element x nazywa (von Neumann) regularna jeśli istnieje jakiś element z, w S w taki sposób, xzx = x ; oo jest czasami nazywany pseudoinverse . Element Y jest wywoływany (tylko) W odwrotny od x jeśli XYX = X i Y = YXY . Każdy stałym elementem jest co najmniej jeden odwrotny: jeśli x = xzx to jest łatwe do sprawdzenia, czy y = zxz jest odwrotnością X , określone w niniejszym rozdziale. Innym łatwo udowodnić fakt: jeżeli Y jest odwrotnością X następnie e = xy i f = yxidempotents , to ee = E i ff = m . Tak więc, każda para (nie działa) element odwrotny powoduje powstanie dwóch idempotents i ex = xf = x , ye = fy = Y i E działa jak lewej identyfikacyjnych x , podczas gdy F działa na prawy tożsamości i lewo / prawy role są odwrócone do y . Ta prosta obserwacja można uogólnić stosując Relacje Greena : każdy idempotent e arbitralnie półgrupa jest lewa tożsamości dla R e i prawej tożsamości dla L e . Intuicyjny opis tego faktu jest to, że każda para elementów wzajemnie odwrotnych wytwarza lokalną tożsamość w lewo, i odpowiednio, lokalny właściwą tożsamość.

W monoid pojęcie odwrotności określone w poprzednim punkcie jest ściśle węższa niż definicja podana w tej sekcji. Tylko elementy Green klasy H 1 o odwróconej od unital magmy punktu widzenia, a dla każdej idempotentnych E , elementy H e o odwróconej określone w tej części. Pod tym bardziej ogólnej definicji, odwrotności nie muszą być unikalne (lub istnieje) w dowolnej półgrupa lub monoid. Jeśli wszystkie elementy są regularne, wtedy półgrupa (lub monoid) nazywany jest regularny, a każdy element ma co najmniej jeden odwrotny. Jeśli każdy element ma dokładnie jeden odwrotność w rozumieniu niniejszej sekcji, wówczas półgrupa nazywamy odwrotność półgrupa . Wreszcie, półgrupa odwrotny tylko jeden idempotent jest grupą. Odwrotna półgrupa może mieć element pochłaniający 0, ponieważ 000 = 0, podczas gdy w grupie nie.

Poza teorią półgrupa, unikatowy odwrotność w rozumieniu niniejszej sekcji nazywa się czasem quasi-odwrotne . Na ogół jest to uzasadnione, ponieważ w większości zastosowań (np wszystkie przykłady w tym artykule) asocjatywność technik, które sprawia, że ten pogląd uogólnieniem lewej / prawej odwrotnym względem tożsamości.

U -semigroups

Naturalny uogólnienie półgrupa odwrotnym jest zdefiniowanie (arbitralne) działanie jednoargumentowy ° tak, że ( °) ° = wszystkim w S ; Ta nadaje S z typem ⟨2,1⟩ Algebra. Półgrupa wyposażony w takiej operacji jest nazywana U -semigroup . Chociaż może się wydawać, że ° będzie odwrotnością , to nie jest to regułą. W celu uzyskania ciekawego pojęcie (y), to jednoskładnikowa, operacja musi w jakiś sposób interakcji z operacji półgrupa. Dwie klasy U -semigroups badano:

  • I -semigroups , w którym Aksjomat interakcja aa ° a = A
  • * -semigroups , w którym Aksjomat interakcja ( ab ) = ° b ° w °. Operacja taka nazywana jest zanik i zazwyczaj oznaczona*

Oczywiście grupa jest zarówno I -semigroup a * -semigroup. Klasa półgrup ważnych teoretycznie półgrupa są całkowicie regularność ; to , że -semigroups w których jeden ma dodatkowo AA ° = ° ; Innymi słowy, każdy piksel ma dojazdy pseudoinverse o °. Istnieje kilka konkretnych przykładów takich półgrup jednak, większość z nich jest zupełnie proste półgrupy . W przeciwieństwie do tego, podklasa * -semigroups, że * półgrupy -regular (w sensie Drazin), otrzymując jedną z najlepiej znanych przykładów (unikalne) pseudoinverse, w odwrotnym Moore-Penrose'a . W tym przypadku jednak inwolucji * nie jest pseudoinverse. Przeciwnie, pseudoinverse z X jest Unikatowy Y tak, że XYX = x , YXY = Y ( XY ) = xy ( yx ) = yx . Od * -regular półgrupy uogólniać odwrotnych półgrup, unikalny elementem zdefiniowany w ten sposób w * -regular półgrupa nazywa się uogólnionej odwrotności lub Penrose-Moore odwrotność .

Pierścienie i semirings

Przykłady

Wszystkie przykłady w tym rozdziale wiąże operatorom asocjacyjnych, więc będziemy używać określenia lewy / prawy odwrotny do definicji magma oparte unital i quasi-odwrotne do jego bardziej ogólnym wersji.

Liczby rzeczywiste

Każda liczba rzeczywista ma odwrotność dodatków (tj odwrotność względem dodatkowo ) wydane przez . Każda niezerowa liczba rzeczywista ma Liczba odwrotna (tzn odwrotnej względem mnożenia ) wydane przez (lub ). Natomiast zerowa ma Liczba odwrotna, ale ma niepowtarzalny quasi-odwrotne „ ” sam.

Oraz funkcje częściowe

Funkcja jest lewa (odp. Z prawej) odwrotnością funkcji (na złożenie funkcji ), wtedy i tylko wtedy (odp. ) To funkcja tożsamości w domenie (wzgl. Codomain ) z . Odwrotnością funkcji jest często napisane , ale ten zapis jest czasem niejednoznaczne . Tylko bijections mają dwustronne odwrotności, ale każdy funkcja ma quasi-odwrotne, czyli pełna transformacja monoid jest regularny. Monoid z funkcji częściowych jest również regularne, podczas gdy monoid z injective przemianach cząstkowych jest prototypowy odwrotny półgrupa.

połączenia Galois

Dolne i górne adjoints w (monotonicznej) związku Galois , L i G są quasi-odwrotne od siebie, tj LGL = L i GLG = G i jeden jednoznacznie określa drugą. Nie są one w lewo lub w prawo odwrotności siebie jednak.

macierze

Macierzą kwadratową wpisami w dziedzinie jest odwracalna (na zbiór wszystkich kwadratowych macierzy tego samego rozmiaru, na mnożenie macierzy ), wtedy i tylko wtedy, gdy czynnikiem decydującym jest różna od zera. Jeżeli wyznacznik jest zerem, to jest niemożliwe, to mieć jednostronny odwrotność; Dlatego w lewo lub w prawo odwrotność odwrotny zakłada istnienie drugiego. Zobacz odwracalnej matrycę o więcej.

Bardziej ogólnie, macierzą kwadratową na pierścienia przemiennego jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jego determinantą jest odwracalna w .

Non-kwadratowe macierze pełno kilka jednostronnych odwrotności:

  • Dla mamy lewy odwrotność:
  • Dla mamy prawo odwrotności:

W lewej odwrócona może być wykorzystane do określenia najmniej roztworu normą , która jest także co najmniej kwadraty formuła regresji i jest podane przez

Nie ranga niedoborem matryca ma żadnych (nawet jednostronny) odwrotność. Jednak odwrotna Moore'a-Penrose'a istnieje dla wszystkich macierzy i zbiega się z lewej lub prawej (lub prawdziwego) odwrotność gdy istnieje.

Jako przykład odwrotności macierzy rozważyć:

Tak, jak m < n , mamy prawo odwrotności, przez składniki jest ona obliczana jako

Lewy odwrotność nie istnieje, ponieważ

która jest pojedynczą matrycę , i nie mogą być odwrócone.

Zobacz też

Uwagi

Referencje

  • M. Kilp U. Knauer, AV Mikhalev, Monoids, działa z aplikacjami i kategorie produktów i wykresy wieniec , De Gruyter Expositions w matematyce obj. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN  3-11-015248-7 , str. 15 (def w unital magmy) i p. 33 (def w półgrupa)
  • Howie, John M. (1995). Podstawy półgrupa Theory . Clarendon Press . ISBN  0-19-851194-9 . zawiera cały materiał półgrupa tu wyjątkiem * -regular półgrup.
  • Drazin, MP, regularność z inwolucji , Proc. Symp. na regularność (DeKalb, 1979), 29-46
  • Miyuki Yamada, P-systemy regularność , półgrupa Forum , 24 (1), grudzień 1982, s. 173-187
  • Nordahl, TE, a on Scheiblich, regularne * półgrup, półgrupa Forum , 16 (1978), 369-377.