Element odwrotny -Inverse element

W matematyce pojęcie elementu odwrotnego uogólnia pojęcia przeciwności ( x ) i odwrotności ( 1/ x ) liczb.

Mając operację oznaczoną tutaj i element tożsamości oznaczony e , jeśli xy = e , mówimy , że x jest lewostronnym odwrotnością y i że y jest prawostronnym odwrotnością x . (Element tożsamości to taki element, że x * e = x i e * y = y dla wszystkich x i y , dla których zdefiniowano lewe strony).

Gdy operacja jest asocjacyjna , jeśli element x ma zarówno lewostronną, jak i prawostronną odwrotność, to te dwie odwrotności są równe i niepowtarzalne; nazywane są elementem odwrotnym lub po prostu odwrotnością . Często przymiotnik jest dodawany w celu określenia operacji, na przykład odwrotność addytywna , odwrotność multiplikatywna i odwrotność funkcjonalna . W tym przypadku (operacja asocjacyjna) element odwracalny to element, który ma odwrotność.

Odwrotności są powszechnie używane w grupach — gdzie każdy element jest odwracalny, a pierścienie — gdzie elementy odwracalne są również nazywane jednostkami . Są one również powszechnie używane do operacji, które nie są zdefiniowane dla wszystkich możliwych argumentów, takich jak macierze odwrotne i funkcje odwrotne . Zostało to uogólnione na teorię kategorii , gdzie z definicji izomorfizm jest odwracalnym morfizmem .

Słowo „odwrotność” pochodzi z łaciny : inversus , co oznacza „odwrócony do góry nogami”, „przewrócony”. Może to mieć swój początek w przypadku ułamków , gdzie odwrotność (multiplikatywną) uzyskuje się przez zamianę licznika i mianownika (odwrotność is ).

Definicje i podstawowe właściwości

Koncepcje elementu odwrotnego i elementu odwracalnego są powszechnie definiowane dla operacji binarnych, które są zdefiniowane wszędzie (czyli operacja jest zdefiniowana dla dowolnych dwóch elementów swojej domeny ). Jednak te pojęcia są powszechnie używane z operacjami częściowymi , czyli operacjami, które nie są wszędzie zdefiniowane. Typowymi przykładami są mnożenie macierzy , skład funkcji i skład morfizmów w kategorii . Wynika z tego, że wspólne definicje asocjacji i elementu tożsamości muszą zostać rozszerzone na operacje częściowe; to jest przedmiotem pierwszych podrozdziałów.

W tej sekcji X jest zbiorem (ewentualnie właściwą klasą ), na którym zdefiniowana jest operacja częściowa (ewentualnie całkowita), co oznacza

Łączność

Operacja częściowa jest skojarzona , jeśli

dla każdego x , y , z w X , dla którego zdefiniowany jest jeden z członków równości; równość oznacza, że ​​inny element równości musi być również zdefiniowany.

Przykładami niecałkowitych operacji asocjacyjnych są mnożenie macierzy o dowolnej wielkości i składanie funkcji .

Elementy tożsamości

Niech będzie możliwie częściową operacją asocjacyjną na zbiorze X .

Element tożsamości lub po prostu tożsamość to element e taki, że

dla każdego x i y , dla których zdefiniowane są lewe strony równości.

Jeśli e i f są dwoma elementami tożsamości, takimi jak to jest zdefiniowane, to (Wynika to bezpośrednio z definicji, przez )

Wynika z tego, że operacja totalna ma co najwyżej jeden element tożsamości, a jeśli e i f są różnymi tożsamościami, to nie jest zdefiniowana.

Na przykład w przypadku mnożenia macierzy na każdą dodatnią liczbę całkowitą n przypada jedna macierz identyczności n × n , a dwie macierze identyczności o różnych rozmiarach nie mogą być przez siebie mnożone.

Podobnie funkcje tożsamościowe są elementami tożsamości dla kompozycji funkcji , a kompozycja funkcji tożsamościowych dwóch różnych zbiorów nie jest zdefiniowana.

Lewo- i prawo-odwrotność

Jeśli gdzie e jest elementem tożsamości, mówimy, że x jest lewostronną odwrotnością y , a x jest prawostronną odwrotnością y .

Odwrotności lewo- i prawostronne nie zawsze istnieją, nawet jeśli operacja jest całkowita i skojarzeniowa. Na przykład dodawanie jest całkowitą operacją asocjacyjną na nieujemnych liczbach całkowitych , która ma 0 jako identyczność addytywną , a 0 jest jedynym elementem, który ma addytywną odwrotność . Ten brak odwrotności jest główną motywacją do rozszerzania liczb naturalnych na liczby całkowite.

Element może mieć kilka lewych odwrotności i kilka prawych odwrotności, nawet jeśli operacja jest całkowita i skojarzona. Rozważmy na przykład funkcje od liczb całkowitych do liczb całkowitych. Funkcja podwajania ma nieskończenie wiele lewostronnych odwrotności w skład funkcji , które są funkcjami, które dzielą liczby parzyste przez dwa i nadają dowolną wartość liczbom nieparzystym. Podobnie, każda funkcja, która odwzorowuje n na jedną lub jest prawą odwrotnością funkcji funkcji floor , która odwzorowuje n na lub w zależności od tego, czy n jest parzyste czy nieparzyste.

Mówiąc bardziej ogólnie, funkcja ma odwrotność lewostronną do składania funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy jest injective , i ma prawo odwrotne wtedy i tylko wtedy, gdy jest surjektywna .

W teorii kategorii prawa odwrotne są również nazywane sekcjami , a lewostronne - cofaniami .

Odwrotne

Element jest odwracalny w ramach operacji, jeśli ma odwrotność lewostronną i odwrotność prawostronną.

W powszechnym przypadku, gdy operacja jest asocjacyjna, lewa i prawa odwrotność elementu są równe i niepowtarzalne. Rzeczywiście, jeśli l i r są odpowiednio lewostronnie i prawostronnie odwrotnością x , wtedy

Odwrotnością elementu odwracalnego jest jego unikalna odwrotność lewo- lub prawostronna.

Jeżeli operacja jest oznaczona jako dodawanie, oznaczona jest odwrotność lub odwrotność addytywna elementu x . W przeciwnym razie odwrotność x jest ogólnie oznaczana lub , w przypadku mnożenia przemiennego . symbol operacji może być dodany przed wykładnikiem, tak jak w Notacja nie jest powszechnie używana do składania funkcji , ponieważ może być używana do odwrotności multiplikatywnej .

Jeśli x i y są odwracalne i jest zdefiniowane, to jest odwracalne, a jego odwrotnością jest

Nieodwracalny homomorfizm nazywa się izomorfizmem . W teorii kategorii morfizm odwracalny nazywany jest również izomorfizmem .

W grupach

Grupa jest zbiorem z operacją asocjacyjną, która ma element tożsamości i dla której każdy element ma odwrotność.

Odwrotność jest zatem funkcją grupy dla siebie samej, którą można również uznać za operację arności jeden. Jest to również inwolucja , ponieważ odwrotnością odwrotności elementu jest sam element.

Grupa może działać na zbiorze jako przekształcenia tego zbioru. W tym przypadku odwrotność elementu grupy definiuje transformację, która jest odwrotnością transformacji zdefiniowanej , to znaczy transformację, która „cofa” transformację zdefiniowaną przez

Na przykład grupa sześcianu Rubika tworzy skończone sekwencje ruchów elementarnych. Odwrotność takiego ciągu uzyskuje się przez cofnięcie tej kolejności ruchów, czyli odwrócenie ruchów elementarnych w odwrotnej kolejności.

W polach

W pierścieniach

Matryce

Funkcje

Odwrotny morfizm

Uogólnienia

W jednolitej magmie

Niech będzie magmą unital , czyli zbiorem z operacją binarną i elementem tożsamości . Jeśli dla , mamy , to nazywa się lewą odwrotnością i prawą odwrotnością . Jeśli element jest zarówno lewą, jak i prawą odwrotnością , nazywamy ją dwustronną odwrotnością lub po prostu odwrotnością . Element z dwustronnym odwrotnością in nazywamy odwracalnym in . Element z elementem odwrotnym tylko z jednej strony jest odwracalny z lewej lub z prawej strony .

Elementy magmy jednostkowej mogą mieć wiele lewych, prawych lub dwustronnych odwrotności. Na przykład w magmie podanej przez stół Cayley

* 1 2 3
1 1 2 3
2 2 1 1
3 3 1 1

każdy z elementów 2 i 3 ma dwie dwustronne odwrotności.

Jednolita magma, w której wszystkie elementy są odwracalne, nie musi być pętlą . Na przykład w magmie podanej przez stół Cayley

* 1 2 3
1 1 2 3
2 2 1 2
3 3 2 1

każdy element ma unikalną dwustronną odwrotność (czyli sam siebie), ale nie jest pętlą, ponieważ tablica Cayleya nie jest kwadratem łacińskim .

Podobnie pętla nie musi mieć dwustronnych odwrotności. Na przykład w pętli podanej przez tabelę Cayley

* 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5
2 2 3 1 5 4
3 3 4 5 1 2
4 4 5 2 3 1
5 5 1 4 2 3

jedynym elementem z dwustronnym odwróceniem jest element tożsamości 1.

Jeśli operacja jest asocjacyjna , to jeśli element ma zarówno lewą, jak i prawą odwrotność, są one równe. Innymi słowy, w monoidzie (skojarzeniowej magmie jednostkowej) każdy element ma co najwyżej jedną odwrotność (zgodnie z definicją w tej sekcji). W monoidzie zbiorem elementów odwracalnych jest grupa , nazywana grupą jednostek o i oznaczana przez lub H 1 .

W półgrupie

Definicja z poprzedniej części uogólnia pojęcie odwrotności w grupie w stosunku do pojęcia tożsamości. Możliwe jest również, choć mniej oczywiste, uogólnienie pojęcia odwrotności przez porzucenie elementu tożsamości, ale zachowanie skojarzenia; czyli w półgrupie .

W półgrupie S element x nazywamy (von Neumann) regularnym , jeśli istnieje taki element z w S , że xzx = x ; z jest czasami nazywane pseudoodwrotnością . Element y jest nazywany (po prostu) odwrotnością x , jeśli xyx = x i y = yxy . Każdy regularny element ma przynajmniej jedną odwrotność: jeśli x = xzx , to łatwo jest sprawdzić, czy y = zxz jest odwrotnością x , jak zdefiniowano w tej sekcji. Kolejny łatwy do udowodnienia fakt: jeśli y jest odwrotnością x , to e = xy i f = yxidempotentami , czyli ee = e i ff = f . Tak więc każda para (wzajemnie) odwrotnych elementów daje początek dwóm idempotentom, a ex = xf = x , ye = fy = y , a e działa jako tożsamość lewostronna na x , podczas gdy f działa jako tożsamość prawostronna, a lewostronna/ właściwe role są odwrócone dla y . Tę prostą obserwację można uogólnić za pomocą relacji Greena : każda idempotentna e w dowolnej półgrupie jest tożsamością lewą dla Re i tożsamością prawą dla Le . Intuicyjny opis tego faktu jest taki, że każda para wzajemnie odwrotnych elementów tworzy lokalną tożsamość lewą i odpowiednio lokalną tożsamość prawą.

W monoidzie pojęcie odwrotności zdefiniowane w poprzedniej sekcji jest ściśle węższe niż definicja podana w tej sekcji. Tylko elementy w zielonej klasie H 1 mają odwrotność z perspektywy jednostkowej magmy, podczas gdy dla każdego idempotentnego e elementy He mają odwrotność, jak zdefiniowano w tej sekcji. Zgodnie z tą ogólniejszą definicją odwrotności nie muszą być unikalne (lub istnieć) w dowolnej półgrupie lub monoidzie. Jeśli wszystkie elementy są regularne, to półgrupa (lub monoid) nazywana jest regularną, a każdy element ma co najmniej jedną odwrotność. Jeśli każdy element ma dokładnie jedną odwrotność, zgodnie z definicją w tej sekcji, półgrupa nazywana jest odwrotną półgrupą . Wreszcie odwrotna półgrupa z tylko jednym idempotentnym jest grupą. Odwrotna półgrupa może mieć element absorbujący 0, ponieważ 000 = 0, podczas gdy grupa nie może.

Poza teorią półgrup unikalna odwrotność zdefiniowana w tej sekcji jest czasami nazywana quasi-odwrotnością . Jest to ogólnie uzasadnione, ponieważ w większości zastosowań (na przykład we wszystkich przykładach w tym artykule) obowiązuje łączność, co sprawia, że ​​pojęcie to jest uogólnieniem odwrotności lewej/prawej względem tożsamości (zobacz Odwrotność uogólniona ).

U -półgrupy

Naturalnym uogólnieniem odwrotnej półgrupy jest zdefiniowanie (arbitralnej) operacji jednoargumentowej ° tak, że ( a °) ° = a dla wszystkich a w S ; to daje S algebrę typu ⟨2,1⟩. Półgrupa obdarzona taką operacją nazywana jest U -półgrupą . Chociaż może się wydawać, że ° będzie odwrotnością a , niekoniecznie tak jest. W celu uzyskania interesujących pojęć, operacja jednoargumentowa musi w jakiś sposób współdziałać z operacją półgrupową. Badano dwie klasy półgrup U :

  • I -półgrupy , w których aksjomat interakcji to aa ° a = a
  • *-półgrupy , w których aksjomat interakcji to ( ab )° = b ° a °. Taka operacja nazywana jest inwolucją i zwykle oznaczana przez *

Jasne jest, że grupa jest zarówno I -półgrupą, jak i *-półgrupą. Klasa półgrup ważna w teorii półgrup to półgrupy całkowicie regularne ; są to I -półgrupy, w których jedna dodatkowo ma aa ° = a ° a ; innymi słowy, każdy element ma pseudoodwrotność a °. Istnieje jednak kilka konkretnych przykładów takich półgrup; większość to całkowicie proste półgrupy . W przeciwieństwie do tego, podklasa *-półgrup, *-regularnych półgrup (w sensie Drazina), daje jeden z najbardziej znanych przykładów (unikalnej) pseudoodwrotności, odwrotności Moore'a-Penrose'a . Jednak w tym przypadku inwolucja a * nie jest pseudoodwrotnością. Pseudoodwrotność x jest raczej unikalnym elementem y takim, że xyx = x , yxy = y , ( xy )* = xy , ( yx )* = yx . Ponieważ *-regularne półgrupy uogólniają odwrotne półgrupy, unikalny element zdefiniowany w ten sposób w *-regularnej półgrupie nazywa się uogólnioną odwrotnością lub odwrotnością Moore'a-Penrose'a .

Semiringi

Przykłady

Wszystkie przykłady w tej sekcji zawierają operatory asocjacyjne, dlatego użyjemy terminów odwrotność lewo/prawo dla jednostkowej definicji opartej na magmie i quasi-odwrotność dla jej bardziej ogólnej wersji.

Liczby rzeczywiste

Każda liczba rzeczywista ma odwrotność addytywną (czyli odwrotność względem dodawania ) daną przez . Każda niezerowa liczba rzeczywista ma odwrotność multiplikatywną (czyli odwrotność względem mnożenia ) daną przez (lub ). W przeciwieństwie do tego zero nie ma odwrotności multiplikatywnej, ale ma unikalną quasi-odwrotność „ ”.

Funkcje i funkcje częściowe

Funkcja jest lewą (odp. prawą) odwrotnością funkcji (w przypadku kompozycji funkcji ), wtedy i tylko wtedy, gdy (odp. ) jest funkcją tożsamości w domenie (odp. kodziedzinie ) . Często zapisuje się odwrotność funkcji , ale notacja ta jest czasami niejednoznaczna . Tylko bijekcje mają dwustronne odwrotności, ale każda funkcja ma quasi-odwrotność; oznacza to, że pełny monoid transformacji jest regularny. Monoid funkcji cząstkowych jest również regularny, podczas gdy monoid iniekcyjnych transformacji cząstkowych jest prototypową półgrupą odwrotną.

Połączenia Galois

Dolne i górne sprzężenia w (monotonicznym) połączeniu Galois , L i G są quasi-odwrotnością siebie; to znaczy LGL = L i GLG = G , a jedno jednoznacznie określa drugie. Nie są jednak lewą ani prawą odwrotnością siebie.

Uogólnione odwrotności macierzy

Macierz kwadratowa z wpisami w polu jest odwracalna (w zbiorze wszystkich macierzy kwadratowych tej samej wielkości, przy mnożeniu macierzy ) wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest różny od zera. Jeśli wyznacznikiem jest zero, to nie może mieć jednostronnej odwrotności; dlatego lewa odwrotność lub prawa odwrotność implikuje istnienie drugiej. Zobacz odwracalną macierz, aby uzyskać więcej.

Bardziej ogólnie, macierz kwadratowa na pierścieniu przemiennym jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest odwracalny w .

Macierze niekwadratowe pełnego rzędu mają kilka jednostronnych odwrotności:

  • Bo zostawiliśmy odwrotności; na przykład,
  • Albowiem mamy prawo odwrotności; na przykład,

Lewej odwrotności można użyć do wyznaczenia najmniejszego rozwiązania normy , które jest również równaniem najmniejszych kwadratów dla regresji i jest podane przez

Żadna macierz z niedoborem rang nie ma żadnej (nawet jednostronnej) odwrotności. Jednak odwrotność Moore'a-Penrose'a istnieje dla wszystkich macierzy i pokrywa się z lewą lub prawą (lub prawdziwą) odwrotnością, gdy istnieje.

Jako przykład odwrotności macierzy rozważmy:

Tak więc, jako m < n , mamy prawo odwrotność, Ze składowych jest obliczana jako

Lewa odwrotność nie istnieje, ponieważ

która jest pojedynczą macierzą i nie można jej odwrócić.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

  • M. Kilp, U. Knauer, AV Mikhalev, Monoidy, akty i kategorie z zastosowaniami do produktów i wykresów wieńca , De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN  3-11-015248-7 , s. 15 (def w jednostkowej magmie) i s. 33 (def w półgrupie)
  • Howie, John M. (1995). Podstawy teorii półgrup . Clarendon Prasa . ISBN 0-19-851194-9.zawiera cały materiał półgrupowy, z wyjątkiem *-półgrup regularnych.
  • Drazin, MP, Regularne półgrupy z inwolucją , Proc. Symp. o regularnych półgrupach (DeKalb, 1979), 29-46
  • Miyuki Yamada, P-systems in regular semigroups , Semigroup Forum , 24(1), grudzień 1982, s. 173-187
  • Nordahl, TE i HE Scheiblich, Regular * Semigroups, Semigroup Forum , 16 (1978), 369-377.