Maksymalna podgrupa - Maximal subgroup
W matematyce termin maksymalna podgrupa jest używany na oznaczenie nieco innych rzeczy w różnych dziedzinach algebry .
W teorii grupy , A ilość podgrupa H z grupy G jest właściwa podgrupy , tak że nie ma właściwej podgrupy K zawiera H ściśle. Innymi słowy, H jest elementem ilość z częściowo uporządkowanego podgrup G , które nie są równe G . Maksymalne podgrupy są interesujące ze względu na bezpośrednie połączenie z pierwotnych reprezentacji permutacji z G . Są one również szeroko badane dla celów teorii grup skończonych : patrz na przykład podgrupa Frattiniego , punkt przecięcia maksymalnych podgrup.
W teorii półgrupa , A podgrupy ilość z półgrupa S jest podgrupa (to jest subsemigroup która tworzy grupę w ramach operacji półgrupa) z S , która nie jest prawidłowo umieszczone wewnątrz podgrupie S . Zauważ, że tutaj nie ma wymagania, aby maksymalna podgrupa była właściwa, więc jeśli S jest w rzeczywistości grupą, to jej unikalna maksymalna podgrupa (jako półgrupa) jest sama S. Uwzględnianie podgrup, a zwłaszcza podgrup maksymalnych, półgrup często pozwala na zastosowanie technik teorii grup w teorii półgrup. Istnieje zgodność jeden do jednego między idempotentnymi elementami półgrupy a maksymalnymi podgrupami półgrupy: każdy idempotentny element jest elementem tożsamości unikalnej maksymalnej podgrupy.
Istnienie maksymalnej podgrupy
Każda właściwa podgrupa skończonej grupy jest zawarta w jakiejś maksymalnej podgrupie, ponieważ właściwe podgrupy tworzą skończony, częściowo uporządkowany zbiór podlegający włączeniu. Istnieją jednak nieskończone grupy abelowe, które nie zawierają maksymalnych podgrup, na przykład grupa Prüfera .
Maksymalna normalna podgrupa
Podobnie normalne podgrupa N o G mówi się ilość normalnie podgrupie (lub maksymalną właściwą normalne podgrupy I) G jeśli N < G i nie ma normalnego podgrupy K z G , tak że N < K < G . Mamy następujące twierdzenie:
- Twierdzenie : normalna podgrupa N grupy G jest maksymalną normalną podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy iloraz G / N jest prosty .
Diagramy Hassego
Te diagramy Hassego pokazują kraty podgrup S 4 , Dih 4 i Z 2 3 .
Maksymalne podgrupy są połączone z samą grupą (na górze diagramu Hassego) krawędzią diagramu Hassego.
Grupa symetryczna S 4
Maksymalne podgrupy to A 4 , trzy Dih 4 i cztery S 3 (porównaj: podgrupy S 4 ) |
.svg)
|
