Zamknięcie (matematyka) - Closure (mathematics)

W przypadku innych zastosowań zobacz Zamknięcie (ujednoznacznienie) .

W matematyce zbiór jest zamykany w ramach operacji, jeśli wykonanie tej operacji na elementach zbioru zawsze tworzy członka tego zbioru. Na przykład liczby całkowite dodatnie są zamykane przy dodawaniu, ale nie przy odejmowaniu: 1 - 2 nie jest liczbą całkowitą dodatnią, nawet jeśli zarówno 1, jak i 2 są liczbami całkowitymi dodatnimi. Innym przykładem jest zbiór zawierający tylko zero, który jest zamykany na dodawanie, odejmowanie i mnożenie (ponieważ0 + 0 = 0, 0 − 0 = 0, i 0 × 0 = 0).

Podobnie o zbiorze mówi się, że jest on zamknięty pod zbiorem operacji, jeśli jest zamykany pod każdą z operacji z osobna.

Podstawowe właściwości

Mówi się, że zestaw, który jest zamknięty w ramach operacji lub kolekcji operacji, spełnia właściwość closure . Często właściwość domknięcia jest wprowadzana jako aksjomat , który jest wtedy zwykle nazywany aksjomatem domknięcia . Współczesne definicje mnogościowe zwykle definiują operacje jako odwzorowania między zbiorami, więc dodawanie domknięcia do struktury jako aksjomatu jest zbędne; jednak w praktyce operacje są często definiowane początkowo na nadzbiorze danego zbioru i wymagany jest dowód zamknięcia, aby ustalić, że operacja zastosowana do par z tego zbioru wytwarza tylko elementy tego zbioru. Na przykład zbiór parzystych liczb całkowitych jest zamykany podczas dodawania, ale zbiór nieparzystych liczb całkowitych nie.

Gdy zbiór S nie jest domknięty w niektórych operacjach, zwykle można znaleźć najmniejszy zbiór zawierający S, który jest domknięty. Ten najmniejszy zbiór zamkniętych nazywany jest zamknięcie z S (w odniesieniu do tych operacji). Na przykład zamknięcie w wyniku odejmowania zbioru liczb naturalnych, postrzeganego jako podzbiór liczb rzeczywistych, jest zbiorem liczb całkowitych . Ważnym przykładem jest domknięcie topologiczne . Pojęcie domknięcia jest uogólniane przez połączenie Galois , a następnie przez monady .

Zbiór S musi być podzbiorem zbioru zamkniętego, aby można było zdefiniować operator zamknięcia. W poprzednim przykładzie ważne jest, aby liczby rzeczywiste były zamknięte przy odejmowaniu; w dziedzinie odejmowania liczb naturalnych nie zawsze jest zdefiniowane.

Nie należy mylić dwóch zastosowań słowa „zamknięcie”. Pierwsze użycie odnosi się do właściwości bycia zamkniętym, a drugie odnosi się do najmniejszego zamkniętego zestawu zawierającego taki, który nie może być zamknięty. Krótko mówiąc, zamknięcie zbioru spełnia właściwość domknięcia.

Zamknięte zestawy

Zestaw jest zamykany w ramach operacji, jeśli operacja zwraca element zestawu podczas oceny na elementach zestawu. Czasami wymóg wyceny operacji w zbiorze jest wyraźnie określony, w którym to przypadku jest znany jako aksjomat domknięcia . Na przykład, można zdefiniować grupę jako zbiór z operatorem iloczynu binarnego spełniającym kilka aksjomatów, w tym aksjomat, że iloczyn dowolnych dwóch elementów grupy jest ponownie elementem. Jednak współczesna definicja operacji sprawia, że ​​ten aksjomat jest zbędny; n -ary działanie na S tylko podzbiór S n +1 . Z samej swojej definicji operator w zbiorze nie może mieć wartości poza zbiorem.

Niemniej jednak własność zamknięcia operatora na zbiorze nadal ma pewną użyteczność. Zamknięcie zestawu niekoniecznie oznacza zamknięcie wszystkich podzbiorów. Zatem podgrupa grupy jest podgrupa, w której produkt dwuskładnikowy i jednoargumentowy działanie z inwersją spełniają Aksjomat zamknięcia.

Innym rodzajem operacji jest znajdowanie punktów granicznych podzbioru przestrzeni topologicznej . Zbiór zamknięty w ramach tej operacji jest zwykle nazywany w kontekście topologii zbiorem domkniętym . Bez żadnych dalszych kwalifikacji, wyrażenie to zwykle oznacza zamknięte w tym sensie. Zamknięte przedziały, takie jak [1,2] = { x  : 1 ≤ x ≤ 2} są w tym sensie domknięte.

Podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego jest zbiorem zamkniętym w dół (zwanym także zbiorem niższym ), jeśli dla każdego elementu podzbioru wszystkie mniejsze elementy również znajdują się w podzbiorze. Dotyczy to np. przedziałów rzeczywistych (−∞,  p ) i (−∞,  p ] oraz liczby porządkowej p reprezentowanej jako przedział [0,  p ). Każdy zamknięty w dół zbiór liczb porządkowych sam w sobie jest liczbą porządkową. Podobnie definiuje się zbiory zamknięte w górę (zwane również zbiorami górnymi).

Przykłady

Operator zamknięcia

Główny artykuł: operator zamknięcia

Mając operację na zbiorze X , można zdefiniować domknięcie C ( S ) podzbioru S z X jako najmniejszy podzbiór zamknięty w ramach tej operacji, która zawiera S jako podzbiór, jeśli takie podzbiory istnieją. W konsekwencji C ( S ) jest przecięciem wszystkich zamkniętych zbiorów zawierających S . Na przykład zamknięcie podzbioru grupy jest podgrupą generowaną przez ten zestaw.

Zamknięcie zbiorów w odniesieniu do jakiejś operacji definiuje operator domknięcia na podzbiorach X . Zamknięte zbiory można określić za pomocą operatora zamknięcia; zbiór jest zamknięty, jeśli jest równy jego własnemu zamknięciu. Typowe właściwości strukturalne wszystkich operacji zamykania to:

  • Zamknięcie jest rosnące lub ekstensywne : zamknięcie obiektu zawiera obiekt.
  • Zamknięcie jest idempotentne : zamknięcie zamknięcia jest równe zamknięciu.
  • Zamknięcie jest monotonne , to znaczy, jeśli X jest zawarte w Y , to również C ( X ) jest zawarte w C ( Y ).

Obiekt, który jest własnym zamknięciem, jest nazywany closed . Zgodnie z idempotencją obiekt jest zamykany wtedy i tylko wtedy, gdy jest zamknięciem jakiegoś obiektu.

Te trzy właściwości definiują abstrakcyjny operator zamknięcia . Zazwyczaj zamknięcie abstrakcyjne działa na klasę wszystkich podzbiorów zbioru.

Jeśli X znajduje się w zbiorze zamkniętym w ramach operacji, to każdy podzbiór X ma zamknięcie.

Zamknięcia relacji binarnych

Rozważmy pierwsze relacje jednorodne R ⊆ A × A . Jeżeli relacja S spełnia aSb ⇒ bSa , to jest to relacja symetryczna . Dowolna jednorodna relacja R może nie być symetryczna, ale zawsze zawarta jest w jakiejś symetrycznej relacji: R ⊆ S . Operacja znalezienia najmniejszego takiego S odpowiada operatorowi domknięcia zwanego domknięciem symetrycznym .

A przechodnia relacja T spełnia ATB ∧ BTC ⇒ ATC . Dowolna relacja jednorodna R może nie być przechodnia, ale zawsze jest zawarta w jakiejś relacji przechodniej: R ⊆ T . Operacja znajdowania najmniejszego takiego T odpowiada operatorowi domknięcia zwanemu domknięciem przechodnim .

Wśród relacji heterogenicznych znajdują się własności dwufunkcyjności i kontaktu, które prowadzą do dwufunkcyjnego domknięcia i kontaktu . Obecność tych operatorów domknięcia w relacjach binarnych prowadzi do topologii, ponieważ aksjomaty zbioru otwartego można zastąpić aksjomatami domknięcia Kuratowskiego . Zatem każdej właściwości P , symetrii, przechodniości, dwufunkcyjności lub kontaktowi odpowiada topologia relacyjna.

W teorii systemów przepisywania często używa się bardziej rozwlekłych pojęć, takich jak zwrotne domknięcie przechodnie R * — najmniejszy preorder zawierający R , lub refleksyjne przechodnie domknięcie symetryczne R ≡ — najmniejsza relacja równoważności zawierająca R , a zatem znana również jako zamknięcie równoważności . Rozważając określony termin algebry , relacja równoważności, która jest zgodna ze wszystkimi operacjami algebry, nazywana jest relacją zgodności . Zamknięcie zbieżność z R jest zdefiniowane jako najmniejsze kongruencji związku zawierającego R .

Dla dowolnych P i R , domknięcie P R nie musi istnieć. W powyższych przykładach istnieją one, ponieważ zwrotność, przechodniość i symetria są zamknięte pod dowolnymi przecięciami. W takich przypadkach domknięcie P można bezpośrednio zdefiniować jako przecięcie wszystkich zbiorów o właściwości P zawierającej R .

Niektóre ważne konkretne zamknięcia można konstruktywnie uzyskać w następujący sposób:

  • Cl Nr ( R ) = R ∪ {⟨ x , x ⟩: x ∈ S } jest zwrotna zamknięcie z R ,
  • cl sym ( R ) = R ∪ { ⟨ y , x ⟩ : ⟨ x , y ⟩ ∈ R } jest jego symetrycznym zamknięciem,
  • cl trn ( R ) = R ∪ { ⟨ x 1 , x n ⟩ : n >1 ∧ ⟨ x 1 , x 2 ⟩, ..., ⟨ x n -1 , x n ⟩ ∈ R } jest jego domknięciem przechodnim ,
  • cl emb,Σ ( R ) = R ∪ { ⟨ f ( x 1 ,…, x i -1 , x i , x i +1 ,…, x n ), f ( x 1 ,…, x i -1 , y , x i +1 ,…, x n )⟩ : ⟨ x i , y ⟩ ∈ R ∧ f ∈ Σ Σ n -ary ∧ 1 ≤ i ≤ n ∧ x 1 ,..., x n ∈ S } jest jego osadzenie domknięcia względem danego zbioru Σ operacji na S , każdy o stałej arności.

Mówi się, że relacja R jest zamknięta pod jakimś cl xxx , jeśli R = cl xxx ( R ); na przykład R nazywa się symetrycznym, jeśli R = cl sym ( R ).

Każde z tych czterech domknięć zachowuje symetrię, tj. jeśli R jest symetryczne, tak samo jest z każdym cl xxx ( R ). Podobnie wszystkie cztery zachowują refleksyjność. Co więcej, cl trn zachowuje zamknięcie pod cl emb,Σ dla dowolnego Σ. W konsekwencji domknięcie równoważności arbitralnej relacji binarnej R można otrzymać jako cl trn ( cl sym ( cl ref ( R ))), a domknięcie kongruencji względem pewnego Σ można otrzymać jako cl trn ( cl emb, Σ ( cl sym ( cl ref ( R )))). W tym drugim przypadku kolejność zagnieżdżania ma znaczenie; np. jeśli S jest zbiorem terminów nad Σ = { a , b , c , f } i R = { ⟨ a , b ⟩, ⟨ f ( b ), c ⟩ }, to para ⟨ f ( a ), c ⟩ jest zawarte w domknięciu kongruencji cl trn ( cl emb,Σ ( cl sym ( cl ref ( R )))) R , ale nie w relacji cl emb,Σ ( cl trn ( cl sym ( cl ref ( R ) ) ))).

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia