Element absorbujący - Absorbing element

W matematyce An element pochłaniający (lub elementem anihilujący ) jest szczególny rodzaj elementu z zestawu w odniesieniu do binarnego działania na ten zestaw. Efektem połączenia elementu pochłaniającego z dowolnym elementem zestawu jest sam element pochłaniający. W teorii półgrup element absorbujący nazywa się elementem zerowym, ponieważ nie ma ryzyka pomylenia z innymi pojęciami zera , z godnym uwagi wyjątkiem: w notacji addytywnej zero może, całkiem naturalnie, oznaczać element neutralny monoidu. W tym artykule „element zerowy” i „element absorbujący” są synonimami.

Definicja

Formalnie niech ( S , •) będzie zbiorem S z zamkniętą operacją binarną • na nim (znaną jako magma ). Elementem zerowej jest elementem z tak, że dla wszystkich S w S , oo • y = y • z = oo . Udoskonaleniem są pojęcia lewego zera , gdzie wymaga się tylko , że z • s = z i prawego zera , gdzie s • z = z .

Elementy absorbujące są szczególnie interesujące dla półgrup , zwłaszcza multiplikatywnej półgrupy półpierścienia . W przypadku półpierścienia z 0, definicja elementu pochłaniającego jest czasami rozluźniona, tak że nie jest wymagane pochłanianie 0; w przeciwnym razie 0 byłoby jedynym elementem absorbującym.

Nieruchomości

  • Jeśli magma ma zarówno lewe zero z, jak i prawe zero z ′, to ma zero, ponieważ z = z • z ′ = z ′ .
  • Magma może mieć co najwyżej jeden element zerowy.

Przykłady

  • Najbardziej znany przykład elementu absorbującego pochodzi z algebry elementarnej, gdzie dowolna liczba pomnożona przez zero równa się zero. Zero jest więc elementem absorbującym.
  • Zero każdego pierścienia jest również elementem absorbującym. Dla elementu r pierścienia R , r0=r(0+0)=r0+r0 , więc 0=r0 , ponieważ zero jest unikalnym elementem a, dla którego rr=a dla dowolnego r w pierścieniu R . Ta właściwość obowiązuje również w rng, ponieważ tożsamość multiplikatywna nie jest wymagana.
  • Arytmetyka zmiennoprzecinkowa zdefiniowana w standardzie IEEE-754 zawiera specjalną wartość zwaną Not-a-Number ("NaN"). Jest elementem absorbującym przy każdej operacji; tj. x + NaN = NaN + x = NaN , x - NaN = NaN - x = NaN , itd.
  • Zbiór relacji binarnych nad zbiorem X wraz ze złożeniem relacji tworzy monoid z zerem, gdzie elementem zerowym jest relacja pusta ( zbiór pusty ).
  • Zamknięty przedział H = [0, 1] gdzie x • y = min( x , y ) jest również monoidem z zerem, a element zerowy wynosi 0.
  • Więcej przykładów:
Domena Operacja Absorber
Liczby rzeczywiste ⋅ Mnożenie 0
Liczby całkowite Największy wspólny dzielnik 1
n -by- n macierzy kwadratowych Mnożenie macierzy Macierz wszystkich zer
Rozszerzone liczby rzeczywiste Minimalna/dolna −∞
Maksymalna/najwyższa +∞
Zestawy ∩ Skrzyżowanie ∅ Pusty zestaw
Podzbiory zbioru M ∪ Unia m
Logika Boole'a ∧ Logiczne i ⊥ Fałsz
∨ Logiczne lub ⊤ Prawda

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

  • Howie, John M. (1995). Podstawy teorii półgrup . Clarendon Prasa . Numer ISBN 0-19-851194-9.
  • M. Kilp, U. Knauer, AV Mikhalev , Monoidy, akty i kategorie z zastosowaniami do produktów i wykresów wieńca , De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 1 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN  3-11-015248-7 .
  • Golan, Jonathan S. (1999). Semiringi i ich zastosowania . Skoczek. Numer ISBN 0-7923-5786-8.

Linki zewnętrzne