Pierścień produktu - Product ring

Struktura algebraiczna → Teoria pierścieni Teoria pierścieni
Podstawowe koncepcje Pierścienie • Podkolczyki • Idealny • Pierścień ilorazowy • Ułamkowy ideał • Pierścień ilorazu całkowitego • Pierścień produktu • Wolny iloczyn algebr asocjacyjnych • Iloczyn tensorowy pierścieni Homomorfizmy pierścieniowe • Jądro • Automorfizm wewnętrzny • Endomorfizm Frobeniusa Struktury algebraiczne • Moduł • Algebra asocjacyjna • Pierścionek z podziałką • Ewolucja pierścienia • Kategoria pierścieni • Pierwszy dzwonek ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Pierścień zaciskowy ${\ displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Powiązane struktury • Pole • Pole skończone • Pierścień niezespolony • Pierścień do kłamstwa • Pierścień Jordan • Semiring • Semifield
Algebra przemienna Pierścienie przemienne • Domena integralna • Domena integralnie zamknięta • Domena GCD • Unikalna dziedzina faktoryzacji • Główna domena idealna • Domena euklidesowa • Pole • Pole skończone • Pierścień kompozycji • Pierścień wielomianowy • Formalny pierścień serii mocy Algebraiczna teoria liczb • Algebraiczne pole liczbowe • Pierścień liczb całkowitych • Niezależność algebraiczna • Transcendentalna teoria liczb • Stopień transcendencji p -adyczna teoria liczb i ułamki dziesiętne • Bezpośredni limit / Odwrotny limit • Pierścień zerowy ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Liczby całkowite modulo p n ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -ring ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (p ^ {\ infty})}$ • Podstawa - pierścień p- kołowy ${\ displaystyle \ mathbb {T}}$ • Base - liczby całkowite p ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ • uzasadnienia p -adyczne ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1 / p]}$ • Podstawa - p liczby rzeczywiste ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -adyczne liczby całkowite ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • liczby p -adyczne ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • solenoid p -adyczny ${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Geometria algebraiczna • Odmiana afiniczna
Algebra nieprzemienna Pierścienie nieprzemienne • Pierścień dzielenia • Pierścień półpierwotny • Prosty pierścień • Komutator Nieprzemienna geometria algebraiczna Wolna algebra Algebra Clifforda • Algebra geometryczna Algebra operatorów
v t mi

W matematyce możliwe jest połączenie kilku pierścieni w jeden duży pierścień produktowy . Odbywa się to przez podanie iloczynu kartezjańskiego (prawdopodobnie nieskończonej) rodziny pierścieni koordynowanych przez dodawanie i mnożenie. Powstały pierścień nazywany jest bezpośrednim produktem oryginalnych pierścieni.

Przykłady

Ważnym przykładem jest pierścień Z / n Z o całkowitych modulo n . Jeśli n jest zapisane jako iloczyn potęg pierwszych (patrz podstawowe twierdzenie arytmetyki ),

${\ Displaystyle n = p_ {1} ^ {n_ {1}} p_ {2} ^ {n_ {2}} \ cdots \ p_ {k} ^ {n_ {k}},}$

gdzie p _i są różnymi liczbami pierwszymi, wtedy Z / n Z jest naturalnie izomorficzne z pierścieniem produktu

${\ Displaystyle \ mathbf {Z} / p_ {1} ^ {n_ {1}} \ mathbf {Z} \ \ times \ \ mathbf {Z} / p_ {2} ^ {n_ {2}} \ mathbf {Z } \ \ times \ \ cdots \ \ times \ \ mathbf {Z} / p_ {k} ^ {n_ {k}} \ mathbf {Z}.}$

Wynika to z chińskiego twierdzenia o resztach .

Nieruchomości

Jeśli R = Π _{i ∈ I} R _i jest iloczynem pierścieni, to dla każdego i w I mamy surjektywny homomorfizm pierścieniowy p _i : R → R _i, który rzutuje iloczyn na i- tą współrzędną. Iloczyn R wraz z rzutami p _i ma następującą właściwość uniwersalną :

jeżeli S jest dowolnym pierścieniem i f _ı : S → R _i jest homomorfizmem pierścień każdego I w I , to istnieje dokładnie jeden pierścień homomorfizm f : S → R tak, że p _i ∘ F = f _I o co I w I .

To pokazuje, że iloczyn pierścieni jest przykładem produktów w sensie teorii kategorii .

Kiedy I jest skończone, podstawowa grupa addytywna Π _{i ∈ I} R _i pokrywa się z bezpośrednią sumą grup addytywnych R _i . W tym przypadku niektórzy autorzy nazywają R „bezpośrednią sumą pierścieni R _i ” i piszą ⊕ _{i ∈ I} R _i , ale jest to niepoprawne z punktu widzenia teorii kategorii, ponieważ zwykle nie jest to koprodukt w kategorii pierścieni: na przykład, gdy dwa lub więcej R _i są niezerowe, mapa inkluzji R _i → R nie mapuje 1 do 1, a zatem nie jest homomorfizmem pierścienia.

(Skończony koprodukt w kategorii algebr przemiennych (asocjacyjnych) nad pierścieniem przemiennym jest iloczynem tensorowym algebr . Koprodukt w kategorii algebr jest iloczynem wolnym algebr .)

Produkty bezpośrednie są przemienne i asocjacyjne (aż do izomorfizmu), co oznacza, że ​​nie ma znaczenia, w jakiej kolejności tworzy się produkt bezpośredni.

Jeśli _i jest idealny z R _ı dla każdego I w I , a następnie = Π _{i ∈ I i} jest idealny z R . Jeśli ja jest skończone, to odwrotność jest prawdą, tj. Każdy ideał R ma tę postać. Jeśli jednak ja jest nieskończone, a pierścienie R _i są niezerowe, to odwrotność jest fałszywa: zbiór elementów ze wszystkimi, ale skończenie wieloma niezerowymi współrzędnymi tworzy ideał, który nie jest bezpośrednim produktem ideałów R _i . Ideał A jest pierwszym ideałem w R, jeśli wszystkie z wyjątkiem jednego A _i są równe R _i, a pozostałe A _i jest pierwszym ideałem w R _i . Jednak odwrotność nie jest prawdą, kiedy jestem nieskończony. Na przykład, suma prosta z R _i tworzyć ideał nie zawarty w takiej A , ale aksjomat wyboru daje, że jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym co jest tym bardziej podstawowym.

Element x w R jest jednostką wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego składniki są jednostkami, tj . Wtedy i tylko wtedy, gdy p _i ( x ) jest jednostką w R _i dla każdego i w I. Grupa jednostek R jest iloczynem grup jednostek R _i .

Iloczyn dwóch lub więcej niezerowych pierścieni zawsze ma niezerowe dzielniki zerowe : jeśli x jest elementem iloczynu, którego wszystkie współrzędne są równe zero z wyjątkiem p _i ( x ) , a y jest elementem iloczynu o wszystkich współrzędnych zerowych z wyjątkiem p _j ( y ) gdzie i ≠ j , a następnie xy = 0 w pierścieniu produktowym.

Zobacz też

• Produkt bezpośredni

Uwagi

Bibliografia

• Herstein, IN (2005) [1968], pierścienie nieprzemienne (wyd. 5), Cambridge University Press , ISBN   978-0-88385-039-8
• Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (poprawione wydanie trzecie), New York: Springer-Verlag, str. 91, ISBN   978-0-387-95385-4 , MR   1878556 , Zbl   0984.00001