Preadditive kategoria - Preadditive category

W matematyce , zwłaszcza w teorii kategorii , o preadditive kategoria to inna nazwa dla Ab-kategorii , tj kategorii , która jest wzbogacona w ciągu kategorii grupa przemienna , Ab . Oznacza to, że Ab-kategorii C jest kategoria taki sposób, że każdy hom ustawiony hom ( , B ) z C ma strukturę Abelowych grupy i skład morfizmów jest dwuliniowo w tym sensie, że kompozycja morfizmów rozdziela nad działanie grupy. We wzorach:

i gdzie operacja + oznacza grupę.

Niektórzy autorzy stosowali termin kategorii dodatków dla preadditive kategoriach, ale tutaj możemy śledzić aktualny trend rezerwowania tego słowa w odniesieniu do niektórych szczególnych kategorii preadditive (patrz przypadki szczególne poniżej).

Przykłady

Najbardziej oczywistym przykładem preadditive kategorią jest kategoria Ab sama. Dokładniej, Ab jest zamknięty kategoria monoidal . Zauważ, że przemienność jest kluczowe tutaj; Gwarantuje to, że suma dwóch homomorfizm grup jest ponownie homomorfizmem. Natomiast kategoria wszystkich grup nie jest zamknięta. Zobacz przyśrodkowej kategorię .

Inne częste przykłady:

• Kategoria (po lewej) modułów nad pierścieniem B , a zwłaszcza:
  • kategoria przestrzeni wektorowych nad pola K .
• Algebra z matrycami na pierścieniu traktowane jako kategorii, jak to opisano w artykule kategorii dodatków .
• Wszelkie pierścień, traktowane jako kategorii z tylko jeden obiekt, to preadditive kategorii. Tutaj kompozycja morfizmów tylko pierścień mnożenie i unikalny hom osadzone jest grupa abelowa bazowego.

Będą daje wyobrażenie o tym, co o tym myśleć; więcej przykładów, wykonaj następujące linki do szczególnych przypadkach poniżej.

właściwości elementarne

Ponieważ każdy zestaw hom hom ( , B ) jest grupa przemienna, ma zerowy elementu 0. To morfizmem zera z do B . Ponieważ kompozycja morfizmów jest dwuliniowo skład zerowej morfizmu i innych morfizmem (po obu stronach), musi być inny zera morfizmem. Jeśli myślisz o składzie jak analogiczne do mnożenia, to mówi, że mnożenie przez zero zawsze skutkuje produktem zera, który jest zaznajomiony intuicja. Rozszerzenie tej analogii, fakt, że kompozycja jest dwuliniowo generalnie staje się rozdzielność mnożenie dodawaniem.

Skupiając się na jednym obiekcie A w preadditive kategorii, te fakty mówią, że endomorfizm hom-set Hom ( , ) jest pierścień , jeśli definiujemy mnożenie w pierścieniu się kompozycja. Ten pierścień jest pierścieniem endomorfizm z A . Z drugiej strony, każdy pierścień (o tożsamości ) stanowi pierścień endomorfizm jakiegoś przedmiotu w niektórych preadditive kategorii. Rzeczywiście, biorąc pod uwagę pierścienia R , można określić preadditive kategorię R mają pojedynczy obiekt A , pozwolić hom ( , ) jest R i pozwolić kompozycja była pierścień mnożenia. Ponieważ R oznacza grupę abelową i namnażanie w pierścieniu jest dwuliniowo (rozdzielcze), czyni R preadditive kategorii. Kategoria teoretycy często myśleć pierścienia R oraz kategorii R jako dwie różne reprezentacje tej samej rzeczy, tak że szczególnie perwersyjny kategoria teoretyk może określić pierścień jako preadditive kategorii z dokładnie jednego obiektu (w ten sam sposób, że monoid puszka być postrzegane jako kategoria tylko jednego obiektu - i zapominając strukturę dodatku pierścienia daje nam monoid).

W ten sposób preadditive kategorie mogą być postrzegane jako uogólnienie pierścieni. Wiele pojęć z teorii pierścieni, takie jak ideały , rodników Jacobson i pierścienie czynników można uogólnić w prosty sposób do tego ustawienia. Kiedy próbuje spisać te uogólnienia, należy pomyśleć o morfizmów w preadditive kategorii jako „elementy” w „uogólnionej pierścień”.

dodatek funktory

Jeśli C i D są preadditive kategorie, to funktor F :  C  →  D jest dodatek , jeśli to zbyt jest wzbogacony nad kategorią Ab . To znaczy, że F jest addytywne , wtedy i tylko wtedy , biorąc pod uwagę wszystkie przedmioty A i B z C , w funkcji f : hom ( , B ) → hom ( C ( ) C ( B )) jest homomorfizmem grupy . Większość funktory studiowali między preadditive kategoriach są addytywne.

W przypadku prostego przykładu, jeśli pierścienie R i S są reprezentowane przez jeden obiekt preadditive kategorii R i S , a następnie homomorfizm pierścień z R do S jest reprezentowany przez funktora dodatku z R do S , i na odwrót.

Jeśli C i D są kategorie i D jest preadditive, wówczas kategoria funktor Fun ( C , D ) jest również preadditive, ponieważ transformacja naturalna mogą być dodawane w sposób naturalny. Jeśli C jest preadditive też wtedy kategorii Dodaj ( C , D ) z funktorów addytywnych i wszystkie transformacja naturalna między nimi jest również preadditive.

Ten ostatni przykład prowadzi do uogólnienia modułów na pierścienie: Jeżeli C jest preadditive kategorię, a mod ( C ) = Dodać ( C , Ab ) nazywany jest kategoria moduł nad C . Gdy C jest jeden obiekt kategorii preadditive odpowiadający pierścienia R , zmniejsza zwykłej kategorii (po lewej) R -modules . Ponownie, praktycznie wszystkie pojęcia z teorii modułów może być uogólnione do tego ustawienia.

R -linear kategorie

Bardziej ogólnie, można rozważyć kategorii C wzbogacony przez monoidal kategorii modułów nad pierścienia przemiennego R , zwany R kategorię -linear . Innymi słowy, każdy hom ustawiony Hom ( , B ) z C ma strukturę R -module i skład morfizmów jest R -bilinear.

Rozważając funktory między dwoma R -linear kategorii, często ogranicza się do tych, które są R -linear, więc te, które indukują R -linear mapy na każdym hom-set.

Biproducts

Wszelkie skończony produkt w preadditive kategorii muszą być również współprodukt , i odwrotnie. W rzeczywistości, skończonych produktów ubocznych, i w preadditive kategorii mogą być scharakteryzowane przez następujący warunek produkt uboczny :

Przedmiotem B stanowi produkt uboczny z przedmiotów ₁ , ..., _n , wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje morfizmami projekcyjne p _j :  B  →  A _j i wstrzyknięcia morfizmów ı _j :  A _j  →  B , takich, że: ( I ₁ ^O P ₁ ) + ··· + ( i _n ^o s _n ) jest morfizmem tożsamość B , P _J ^o i _J jest morfizmem identyczność z a _J i s _j ^o i _k jest morfizmem zero z a _K do a _j ilekroć J i K są odrębne .         

Ten produkt uboczny jest często napisane ₁  ⊕ ··· ⊕  A _n , zapożyczając notacji dla bezpośredniego sumy . To dlatego, że produkt uboczny w znanych preadditive kategoriach takich jak Ab jest bezpośrednim suma. Jednak, choć nieskończone bezpośrednie sumy sensu w niektórych kategoriach, jak Ab , nieskończone biproducts temat nie ma sensu.

Warunkiem produkt uboczny w przypadku n  = 0, upraszcza znacznie; B jest sygnalnych produkt uboczny, wtedy i tylko wtedy, gdy morfizmem tożsamość B jest morfizmem zero z B do siebie, albo równoważnie, gdy hom ustawiony hom ( B , B ) jest trywialne pierścień . Należy zauważyć, że ponieważ sygnalnych produkt uboczny będzie zarówno terminala (produkt sygnalnych) i koterminalne (a sygnalnych współprodukt), to w rzeczywistości być obiekt zerowy . W istocie, termin „zerowe obiekt” pochodzi z badań preadditive kategorii, takich jak Ab , w którym przedmiot jest równy zero grupa zera .

Preadditive kategoria, w której istnieje co produkt uboczny (w tym obiekcie zerowym) jest wywoływana dodatek . Dalsze fakty biproducts które są użyteczne głównie w kontekście kategorii dodatków można znaleźć w tym zakresie.

Jądra i cokernels

Ponieważ Hom zestawów w preadditive kategorii mają zero morfizmów pojęcie jądra i cokernel sensu. Oznacza to, że jeśli f :   →  B jest morfizmem w preadditive kategorii, a następnie jądro f jest korektor z f a morfizmem zero z do B , a cokernel od f jest coequaliser od f i to zerowy morfizmem , W przeciwieństwie do produktów i współproduktów, jądro i cokernel z F na ogół nie są równe w preadditive kategorii.

Kiedy specjalizujący do preadditive kategorii grupa przemienna lub modułów nad pierścieniem, to pojęcie jądra zbiega się ze zwykłym pojęciem jądra z homomorfizmem, jeśli ktoś identyfikuje się zwykłą jądra K o f :  A  →  B z jego osadzania K  →  A , Jednak w ogólnej kategorii preadditive może istnieć morfizmów bez jąder i / lub cokernels.

Jest wygodny związek pomiędzy jądrem a cokernel i abelowej struktury grupy na Hom zestawów. Biorąc równoległe morfizmami f i g , korektor z F i g jest tylko jądro g  -  F , albo, jeżeli istnieje, oraz analogiczny fakt odnosi się do coequalisers. Alternatywą określenie „jądro różnica” dla korektorów binarnych wywodzi z tego faktu.

Preadditive kategoria, w której występują wszystkie biproducts, pestek i cokernels nazywa pre-abelową . Kolejne fakty o jądrach i cokernels w kategoriach preadditive które są przydatne głównie w kontekście wstępnie Abelowych kategoriach można znaleźć pod tym tematem.

przypadki szczególne

Większość z tych szczególnych przypadków preadditive kategoriach wszystkie zostały wymienione powyżej, ale są one zebrane tutaj jako odniesienie.

• Pierścień jest preadditive kategorię z dokładnie jednego obiektu.
• Kategoria dodatek jest preadditive kategorii ze wszystkich skończonych biproducts.
• Wstępnie Kategoria Abelowa jest kategoria dodatek ze wszystkich jąder i cokernels.
• Kategoria Abelowa jest pre-Kategoria Abelowa takie, że każdy monomorfizm i epimorfizmem jest normalne .

W preadditive kategorie najczęściej badane są w rzeczywistości abelowej kategoriach; na przykład, Ab jest Kategoria Abelowa.

Referencje

• Nicolae Popescu ; 1973; Abelowe kategorie z aplikacjami do pierścieni i modułów ; Academic Press, Inc .; nakład wyczerpany
• Charles Weibel ; 1994; Wprowadzenie do algebry homologicznych ; Cambridge Univ. naciśnij