Linia projekcyjna na pierścieniu - Projective line over a ring

Ośmiu kolorów ilustrują rzutowe linii pola nad Galois GF (7)

W matematyce , rzutowe linia nad pierścieniem jest rozszerzeniem koncepcji projekcyjnej wierszu nad pola . Ze względu na pierścień A z 1, wiersz rzutowym P ( ) w A składa się z punktów zidentyfikowanych współrzędnych jednorodnych . Niech U będzie grupa jednostek o ; par ( , b ) i ( C , D ) z A x A są związane, gdy istnieje u w U w taki sposób, UA = C i UB = d . Ta relacja jest relacją równoważności . Typowa klasa równoważności jest napisane U ( , b ).

P ( ) = { U ( , b ) aA + bA = } czyli U ( , b ) znajduje się w linii rzutowej jeśli idealne generowane przez i b są wszystkie .

Rzutowa linii P ( ) jest wyposażony w grupie homographies . W homographies wyrażone są przez stosowania pierścienia matrycy na A i jej grupę jednostek V w następujący sposób: W przypadku C w Z ( U ), przy czym centrum od U , wówczas grupa działania matrycy na P ( A ) jest taki sam jak działanie macierzy tożsamości. Takie macierze przedstawiają normalne podgrupy N o V . W homographies P ( A ) odpowiadają elementom grupy iloraz V / N .

P ( ) jest uważany za przedłużenie pierścienia A , ponieważ zawiera kopię ze względu na osadzanie E  : aU ( 1) . Liczba odwrotna mapowania U → 1 / U , zwykle ogranicza się do grupy jednostek U o A , jest wyrażona przez homography na P ( A ):

Ponadto, dla U , VU odwzorowanie UAV może być przedłużony do homography:

Ponieważ u jest dowolna, może on być podstawiony przez U -1 . Homographies na P ( A ) są nazywane przekształceń liniowych ułamkową od

Instancje

Sześciu kolorów ilustrują rzutowe linii pola nad Galois GF (5)

Skończonych pierścienie mają skończone projekcyjne linie. Linia rzutowa na GF (2), składa się z trzech elementów: U (0,1), U (1,0), a U (1,1). Jego grupa homography jest grupa permutacji tych trzech.

Pierścień Z / 3 Z lub GF (3), elementy 1, 0 i 1; jej linia projekcyjna ma cztery elementy U (1,0), U (1,1), U (0,1), U (1, -1), ponieważ zarówno z liczb 1 i -1 są jednostki . Grupa homography rzutowej na tej linii zawiera 12 elementów, w tym również opisane w macierzy lub permutacji. Dla skończonego GF ( q ), to jest linia projekcyjna Galois geometria PG (1, q ). JWP Hirschfeld opisał tetrady harmonicznych w linii projekcyjnych dla q = 4, 5, 7, 8, 9.

Rozważmy P (ℤ / nℤ), gdy n jest liczbą złożoną . Jeżeli P i Q są różnymi liczbami pierwszymi dzielące n , to < p > i < Q > są maksymalne idee w ℤ / Nowej Zelandii i przez tożsamość bézouta są i B w Z w taki sposób, tak, że U ( p, q ) jest P ( ℤ / nℤ), ale nie jest to obraz elementu kanonicznej osadzania. Całość P (ℤ / us) jest wypełniony przez elementy Jednostki ℤ / nℤ. Przykładowo, gdy n = 6 występuje U (2,3); gdy n = 10 ma U (2,5). W ℤ / 12ℤ, U = {1, 5, 7, 11} dostarczenie więcej dodatkowych punktów niż ℤ / 6ℤ. Dodatkowe punkty mogą być związane z ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ, w wymiernych na dłuższy złożonej górnej połowie płaszczyzny . Grupa homographies na P (ℤ / nℤ) nazywany jest modułowy podgrupy , jak to jest podgrupą modułowej grupy , grupę homography dla P (Z).

Rzutowa liniowo w pierścieniu podział powoduje jednego punktu pomocniczego ∞ = U (1,0) . Przykłady obejmują rzeczywistą linię projekcyjnej , w złożonej rzutowe linię , a linia rzutową nad quaternions . Te przykłady pierścieni topologicznych mają rzutowe linię jako ich zwartych jednopunktowych . Przypadek liczba złożonych dziedzinie ma grupę Möbius jego grupę homography.

Rzutowa linii nad dwoma numerami opisano Josef Grunwaldem 1906. Pierścień ten zawiera niezerowy nilpotent n satysfakcjonujące NN = 0 . Płaszczyzna { z = x + yn  : x , yR } podwójnych numerów ma linii projekcyjnych zawierającego linię punktów U (1, xn ), xR . Isaak Yaglom opisuje się jako „inversive galilejskim powierzchni”, który ma topologii o cylindra , gdy linia dodatkowe są włączone. Podobnie, jeśli jest pierścień lokalny , a następnie P ( ) jest utworzony przez sąsiednich punktów odpowiadających elementów maksymalnej idealny z .

Rzutowa linii nad pierścieniem M o numerach podziału kompleksu wprowadza linie pomocnicze { U (1 x (1 + J )) xR } i { U (1 x (1 - j )) xR }, , Korzystanie stereograficznego płaszczyznę liczby podziału kompleksu jest zamknięty w tych liniach do A hiperboloidy jednego arkusza. Rzutowa na linii M można nazwać płaszczyzny Minkowski gdy charakteryzuje zachowanie hiperbol pod homograficzna mapowania.

Więzy

Prawdziwa linia w płaszczyźnie zespolonej dostaje permutytu z kręgów i innych rzeczywistych liniach ramach przekształceń Mobius , które faktycznie permutacji kanoniczną osadzanie na prostej rzutowej w kompleksowej linii projekcyjnej . Załóżmy, jest Algebra na polu F , uogólniając przypadek, w którym M jest pole liczby rzeczywistej i jest dziedzina liczbach zespolonych . Kanoniczna osadzania P ( f ) do P ( A ) jest

Łańcuch jest obrazem P ( f ) pod homography na P ( A ). Cztery punkty leżą na łańcuchu wtedy i tylko wtedy, gdy ich cross-stosunek jest w F . Karl von Staudt wykorzystać tę właściwość w swojej teorii „prawdziwych uderzeń” [reeler Zug].

Point-równoległość

Dwa punkty P ( A ) są równoległe czy nie ma łańcuch ich połączeniem. Konwencja została przyjęta, że punkty są równoległe do siebie. Relacja ta jest niezmienna pod działaniem homography na linii projekcyjnej. Biorąc pod uwagę trzy parami punktów nierównoległe, jest unikalny łańcuch, który łączy w sobie trzy.

moduły

Rzutowa linii P ( ) przez pierścień A może także być określony jako przestrzeni modułów projekcyjnych w module . Element P ( A ) jest więc bezpośrednie do składnika o . To bardziej abstrakcyjne podejście następujący pogląd geometrii rzutowej jako geometrii podprzestrzeni o przestrzeni wektorowej , czasami związane z kraty teorii o Garrett Birkhoff'a lub książce algebry liniowej i geometrii rzutowej przez Reinhold Baer . W przypadku pierścienia racjonalnych liczb całkowitych Z , określenie moduł do składnika P ( Z ) zwęża się uwagę na U ( m , n ), m względnie pierwsze dla N , i rzuca zanurzeń które zasada funkcja p ( A ) kiedy jest topologiczną. 1981 artykuł W. Benz, Hans-Joachim Samaga, & Helmut Scheaffer wspomina bezpośredniej definicji do składnika.

W artykule „projekcyjne reprezentacje: rzutowe linie na pierścieniach” z grupy jednostek o pierścieniu macierzy M 2 ( R ) i koncepcji modułu i bimodule są wykorzystywane do określenia linii projekcyjnych nad pierścieniem. Grupa jednostek jest oznaczona przez GL (2, R ), przyjmując zapisu z ogólnej grupy liniowego , gdzie R jest zwykle przyjmuje się pole.

Rzutowa jest to zbiór orbit pod GL (2, R ) wolnej cyklicznego submodule R (1,0) z R x R . Rozszerzanie przemienne teorię Benz, istnienie w prawo lub w lewo Liczba odwrotna elementu pierścieniowego jest związany z P ( R ) i GL (2, R ). Dedekind skończone właściwość jest scharakteryzowana. Co najważniejsze, reprezentacja P ( R ), w przestrzeni rzutowej na pierścieniu podziału K odbywa się ( K , R ) -bimodule U , który jest po lewej K przestrzeń-wektor i prawego R -module. Punkty P ( R ) są podprzestrzeni P ( K , U x U ) izomorficzna ich uzupełnienia.

Dwustosunku

Homography H które ma trzy poszczególnych elementów pierścieniowych , b , c do wskazuje wiersz rzutowym U (0,1), u (1,1), u (1,0) o nazwie dwustosunku homography . Czasami dwustosunku jest przyjmowana jako wartość h w czwartym punkcie x  ( x , a , b , c ) = H ( x ) .

Aby zbudować h z , b , c z homographies generatora

stosuje się, z uwagi na stałe punkty : +1 i -1 są ustalone pod inwersji U (1,0) jest zamocowana na podstawie przeliczenia, a „obracanie” o U pozostawia U (0,1) i U (1,0 ) naprawiony. Instrukcje są umieścić C , następnie doprowadzić do U (0,1) z translacją i ostatecznie korzystać aby przemieścić b na U (1,1).

Lemat: Jeżeli jest przemienne pierścień i b - , c - b , c - są wszystkie urządzenia, a następnie

jest jednostką.

Dowód: Widocznie to jednostka, w miarę potrzeb.

Twierdzenie Jeżeli to urządzenie, następnie jest homography H G ( A ) w taki sposób, że

H ( ) = u (0,1) H ( b ) = u (1,1) i H ( C ) = u (1,0).

Dowód: Chodzi o to obraz B po oddano do 0 ° C i następnie na odwróconej litery U (1,0), i obraz C doprowadza się do U (0,1). A p jest jednostką jego odwrotność stosowane w obrót przesuwa s do U (1,1), w wyniku czego w , b , c są wszystkie prawidłowo umieszczony. Lemat odnosi się do warunków wystarczających do istnienia godz .

Jednym z zastosowań stosunku poprzecznego definiuje rzutowe harmonicznych koniugatu potrójnego a, b, c , a element x spełniających ( X, A, B, C ) = 1. Taki poczwórne jest harmoniczna tetrada . Harmonicznych tetrady rzutowej na linii nad skończonego GF ( q ) użyto 1954 ograniczają rzutowej liniowe grupy PGL (2, q ) dla Q = 5, 7 i 9, i wykazują przypadkowy isomorphisms .

Historia

August Ferdinand Möbius badali przemiany Mobius pomiędzy książce barycentryczne Rachunek (1827) i jego 1855 papieru "Theorie der Kreisverwandtschaft na wodzy geometrischer Darstellung". Karl Wilhelm Feuerbach i Julius Plücker są również uznawany za pochodzący użycie współrzędnych jednorodnych. Eduard Study w 1898 roku, a Élie Cartan w 1908 roku, pisał artykuły na temat liczby hiperzespolone dla niemieckich i francuskich Encyklopedie matematyki , odpowiednio, gdzie oni wykorzystać te arytmetyki z liniowych przekształceń ułamkowych w imitacji tych Möbiusa. W 1902 roku Theodore Vahlen przyczyniły się krótki, ale dobrze odwołuje papier zwiedzania niektórych przekształceń liniowych ułamkowych o algebry Clifforda . Pierścień podwójne numery D otrzymano Josef Grünwald możliwość wykazują P ( D ) w 1906 Corrado Segre (1912) dalszy rozwój z tym pierścieniu.

Arthur Conway , jeden z wczesnych względności poprzez biquaternion przemian, uważany za transformację Kwaterniony-multyplikatywną-odwrotność w swoim 1911 badania względności. W 1947 roku, niektóre elementy inversive geometrii kwaternionów opisał PG Gormley w swojej pracy „stereograficznego i liniową grupą frakcyjną przekształceń quaternions”. W 1968 Isaak Yaglom „s Liczby zespolone w geometrii pojawił się w języku angielskim, tłumaczone z języka rosyjskiego. Tam wykorzystuje P ( D ), aby opisać geometrię linii w płaszczyźnie euklidesowej i P ( M ), aby opisać to na płaszczyźnie Lobachevski użytkownika. Tekst Yaglom za proste dla geometrii euklidesowej ukazał się w języku angielskim w 1979 roku tam na stronach 174 do 200 rozwija geometrii Minkowskiego i opisuje P ( M ) jako „inversive Minkowskiego płaszczyźnie”. Rosyjski oryginalny tekst Yaglom została opublikowana w 1969 roku pomiędzy dwoma edycjach, Walter Benz (1973) opublikował swoją książkę, która obejmowała współrzędne jednorodne zaczerpnięte z M .

Przypisy

Dalsza lektura

  • G. Ancochea (1941) "Le twierdzenie de von Staudt pl geometria rzutowa quaternionienne" Journal für Mathematik , zespół 184, Heft 4, SS. 193-8.
  • Uwaga Limaye (1972) "cross-stosunki i Projectivities od linii" Mathematische Zeitschrift 129: 49-53, MR 0314823 .
  • BV Limaye & NB Limaye (1977) "Zasadnicze twierdzenie dla rzutowych liniową przez pierścień przemienny" Aequationes Mathematica 16: 275-81. MR 0513873 .
  • BV Limaye & NB Limaye (1977) "Zasadnicze twierdzenie dla linii projekcyjnych dla ponad przemienne lokalne Pierścieni", Archiv der Mathematik 28 (1): 102-9 MR 0480495 .
  • Marcel Dziki (2006) "Zasadnicze twierdzenie geometrii rzutowej na dowolnej długości Dwie Module", Rocky Mountain Journal of Mathematics 36 (6): 2075-80.