Zapominalny funktor - Forgetful functor

W matematyce , w obszarze teorii kategorii , funktor zapominający (znany również jako funktor strippingowy ) „zapomina” lub odrzuca część lub całość struktury lub właściwości danych wejściowych „przed” mapowaniem danych wyjściowych. W przypadku struktury algebraicznej danej sygnatury można to wyrazić poprzez ograniczenie sygnatury: nowa sygnatura jest formą edytowaną starej. Jeśli podpis zostanie pozostawiony jako pusta lista, funktor jest po prostu pobraniem podstawowego zbioru struktury. Ponieważ wiele struktur w matematyce składa się ze zbioru z dodatkową dodaną strukturą, najczęstszym przypadkiem jest zapominający funktor, który odwzorowuje zbiór bazowy.

Przegląd

Jako przykład można podać kilka zapominalskich funktorów z kategorii pierścieni przemiennych . Pierścień ( unitarny ) opisany językiem algebry uniwersalnej jest krotką uporządkowaną ( R , + , × , a , 0 , 1) spełniającą pewne aksjomaty , gdzie "+" i "×" są funkcjami binarnymi na zbiorze R , a jest operacją jednoargumentową odpowiadającą odwrotności addytywnej, a 0 i 1 są operacjami nullarnymi, które dają tożsamości dwóch operacji binarnych. Skasowanie jedynki daje zapominający funktor kategorii pierścieni bez jednostki ; po prostu „zapomina” o jednostce. Usuwanie „x”, a 1 Wydajność funktorem do kategorii grupy abelian , co powoduje przypisanie do każdego pierścienia R bazowym dodatków Abelowych grupy R . Każdemu morfizmowi pierścieni przypisuje się tę samą funkcję, uważaną jedynie za morfizm addycji między grupami leżącymi poniżej. Usunięcie wszystkich operacji daje funktor do zbioru bazowego R .

Korzystne jest rozróżnienie między funktorami zapominania, które „zapominają o strukturze” a tymi, które „zapominają o własnościach”. Na przykład w powyższym przykładzie pierścieni przemiennych, oprócz tych funktorów, które usuwają niektóre operacje, istnieją funktory, które zapominają niektóre z aksjomatów. Istnieje funktor z kategorii CRing to Ring, który zapomina aksjomat przemienności, ale zachowuje wszystkie operacje. Od czasu do czasu obiekt może zawierać dodatkowe zestawy, które nie są zdefiniowane ściśle w kategoriach podstawowego zestawu (w tym przypadku, która część, którą należy wziąć pod uwagę, jest kwestią gustu, choć w praktyce rzadko jest to niejednoznaczne). Dla tych obiektów istnieją funktory zapominające, które zapominają o dodatkowych zbiorach, które są bardziej ogólne.

Większość popularnych obiektów badanych w matematyce konstruuje się jako podstawowe zbiory wraz z dodatkowymi zbiorami struktury na tych zbiorach (operacje na zbiorze podstawowym, uprzywilejowane podzbiory zbioru bazowego itp.), które mogą spełniać niektóre aksjomaty. Dla tych obiektów powszechnie uważany funktor zapominania jest następujący. Niech będzie dowolną kategorią opartą na zbiorach , np. grupy —zbiory elementów — lub przestrzenie topologiczne —zbiory „punktów”. Jak zwykle, pisać dla obiektów o i pisać dla morfizmami samo. Rozważ zasadę: ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Ob} ({\ Mathcal {C}})}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\ Displaystyle \ operatorname {Fl} ({\ mathcal {C}})}$

Dla wszystkich w podstawowym zestawie${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Ob} ({\ Mathcal {C}}), A \ mapsto | A | =}$${\displaystyle A}$

Dla wszystkich w morfizmie , jako mapa zbiorów.${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle \ operatorname {Fl} ({\ mathcal {C}}), u \ mapsto | u | =}$${\ Displaystyle u}$

Funktorem jest wtedy funktor zapominający od do Zbiór , kategoria zbiorów . ${\displaystyle |\cdot |}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Funktory zapominalskie są prawie zawsze wierne . Kategorie konkretne mają funktory zapominalskie do kategorii zbiorów — w istocie można je określić jako te kategorie, które dopuszczają do tej kategorii funktor wierny.

Funktory zapominające, które tylko zapominają aksjomaty, są zawsze w pełni wierne , ponieważ każdy morfizm, który respektuje strukturę między obiektami, które spełniają aksjomaty, automatycznie uwzględnia również aksjomaty. Funktory zapominające, które zapominają o strukturach, nie muszą być pełne; niektóre morfizmy nie respektują struktury. Funktory te są jednak nadal wierne, ponieważ odrębne morfizmy, które respektują strukturę, są nadal wyraźne, gdy struktura jest zapomniana. Funktory zapominające o dodatkowych zbiorach nie muszą być wierne, ponieważ odrębne morfizmy dotyczące struktury tych dodatkowych zbiorów mogą być nie do odróżnienia na zbiorze bazowym.

W języku logiki formalnej funktor pierwszego rodzaju usuwa aksjomaty, funktor drugiego rodzaju usuwa predykaty, a funktor trzeciego rodzaju usuwa typy. Przykładem pierwszego rodzaju jest funktor zapominania Ab → Grp . Jednym z drugiego rodzaju jest funktor zapominania Ab → Set . Funktorem trzeciego rodzaju jest funktor Mod → Ab , gdzie Mod jest kategorią światłowodową wszystkich modułów nad dowolnymi pierścieniami. Aby to zobaczyć, wystarczy wybrać homomorfizm pierścienia między podstawowymi pierścieniami, który nie zmienia działania pierścienia. Pod funktorem zapominania ten morfizm daje tożsamość. Zauważ, że obiekt w Modzie to krotka, która zawiera pierścień i grupę abelową, więc to, o czym zapomnieć, jest kwestią gustu.

Lewe sprzężenia funktorów zapominalskich

Funktory zapominające mają tendencję do pozostawiania sprzężeń , które są konstrukcjami „ wolnymi ”. Na przykład:

• wolny moduł : zapominalskich funktor z (kategorii - moduły ), aby opuścił adjoint , z , wolnej -module z podstawy .${\ Displaystyle \ mathbf {Mod} (R)}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle \ mathbf {zestaw}}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Bezpłatny} _ {R}}$${\ Displaystyle X \ mapsto \ operatorname {wolny} _ {R} (X)}$${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle X}$
• wolna grupa
• darmowa krata
• algebra tensorów
• kategoria swobodna , przylegająca do zapominalskiego funktora z kategorii do kołczanów
• uniwersalna algebra obwiedni

Bardziej obszerną listę można znaleźć w (Mac Lane 1997).

Ponieważ jest to podstawowy przykład adjointów, piszemy to: adjointness oznacza, że ​​dany zbiór X i obiekt (powiedzmy, moduł R ) M , mapy zbiorów odpowiadają mapom modułów : każda mapa zbiorów daje mapę modułów, a każda mapa modułów pochodzi z mapy zestawów. ${\ Displaystyle X\ do | M |}$${\ Displaystyle \ operatorname {wolny} _ {R} (X) \ do M}$

W przypadku przestrzeni wektorowych można to podsumować w następujący sposób: „Mapa między przestrzeniami wektorowymi jest określana przez to, gdzie wysyła bazę, a bazę można odwzorować na cokolwiek”.

Symbolicznie:

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Hom} _ {\ mathbf {Mod} _ {R}} (\ nazwa operatora {wolny} _ {R} (X), M) = \ nazwa operatora {Hom} _ {\ mathbf {zestaw}} (X,\nazwa operatora {Zapomnij} (M)).}$

Jednostka wolnego zapominalskich adjunction jest „włączenie zasadzie”: . ${\ Displaystyle X \ do \ operatorname {wolny} _ {R} (X)}$

Fld , kategoria pól, dostarcza przykładu zapominalskiego funktora bez sprzężenia. Nie istnieje pole spełniające swobodną właściwość uniwersalną dla danego zbioru.

Zobacz też

• Funktory sprzężone
• Funktory
• Projekcja (teoria mnogości)

Bibliografia

• Mac Lane, Saunders . Kategorie dla Matematyka Pracy , Teksty magisterskie z matematyki 5, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, Nowy Jork, 1997. ISBN  0-387-98403-8
• Funktor zapominania w nLab