Macierz jednostkowa - Unitary matrix

W liniowym Algebra , A kompleks kwadratowy macierz U jest jednolity , gdy jego koniugat transpozycji U ^* jest jej odwrotne , to znaczy, jeżeli

$${\ Displaystyle U ^ {*} U = UU ^ {*} = Ja,}$$

gdzie I jest macierzą tożsamości .

W fizyce, zwłaszcza w mechanice kwantowej, sprzężenie transponowane jest określane jako sprzężenie hermitowskie macierzy i jest oznaczone sztyletem (†), więc powyższe równanie staje się

$${\ Displaystyle U ^ {\ sztylet} U = UU ^ {\ sztylet} = ja.}$$

Rzeczywistym analogiem macierzy unitarnej jest macierz ortogonalna . Macierze unitarne mają duże znaczenie w mechanice kwantowej, ponieważ zachowują normy , a co za tym idzie amplitudy prawdopodobieństwa .

Nieruchomości

Dla dowolnej jednolitej macierzy U o skończonej wielkości obowiązuje:

• Biorąc pod uwagę dwa wektory zespolone x i y , mnożenie przez U zachowuje ich iloczyn skalarny ; czyli ⟨ U x , U y ⟩ = ⟨ x , y ⟩ .
• U jest normalne ( ).${\ Displaystyle U ^ {*} U = UU ^ {*}}$
• U jest diagonalizowalne ; to znaczy, U jest unitarnie podobny do macierzy diagonalnej, jako konsekwencja twierdzenia spektralnego . Zatem U ma dekompozycję postaci, w której V jest unitarne, a D jest diagonalne i unitarne.${\ Displaystyle U = VDV ^ {*}}$
• ${\ Displaystyle \ lewo | \ det (U) \ prawo | = 1}$.
• Jego przestrzenie własne są ortogonalne.
• U można zapisać jako U = e ^iH , gdzie e oznacza macierz wykładniczą , i jest jednostką urojoną, a H jest macierzą hermitowską .

Dla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej n zbiór wszystkich n  ×  n unitarnych macierzy z mnożeniem macierzy tworzy grupę zwaną unitarną grupą U( n ).

Dowolna macierz kwadratowa z jednostkową normą euklidesową jest średnią z dwóch macierzy unitarnych.

Warunki równoważne

Jeżeli U jest macierzą kwadratową, złożoną, to następujące warunki są równoważne:

1. ${\ Displaystyle U}$ jest jednolity.
2. ${\ Displaystyle U ^ {*}}$ jest jednolity.
3. ${\ Displaystyle U}$jest odwracalny z .${\ Displaystyle U ^ {-1} = U ^ {*}}$
4. Kolumny tworzą bazę ortonormalną w stosunku do zwykłego iloczynu skalarnego. Innymi słowy, .${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ Displaystyle U ^ {*} U = I}$
5. Rzędy tworzą bazę ortonormalną względem zwykłego iloczynu skalarnego. Innymi słowy, .${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ Displaystyle UU ^ {*} = ja}$
6. ${\ Displaystyle U}$jest izometrią w stosunku do zwykłej normy. To znaczy dla wszystkich , gdzie .${\ Displaystyle \ | Ux \ | _ {2} = \ | x \ | _ {2}}$${\ Displaystyle x \ w \ mathbb {C} ^ {n}}$${\textstyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}}$
7. ${\ Displaystyle U}$jest macierzą normalną (równoważnie istnieje baza ortonormalna utworzona przez wektory własne ) z wartościami własnymi leżącymi na okręgu jednostkowym .${\ Displaystyle U}$

Konstrukcje elementarne

2 × 2 unitarna macierz

Ogólnym wyrażeniem jednolitej macierzy 2 × 2 jest

$${\ Displaystyle U = {\ zacząć {bmatrix} a & b \ \ - e ^ {i \ varphi} b ^ {*} i e ^ {i \ varphi} a ^ {*} \ \ \ koniec {bmatrix}} \ qquad \left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2}=1,}$$

który zależy od 4 rzeczywistych parametrów (faza a , faza b , względna wielkość między a i b , kąt φ ). Wyznacznikiem takiej matrycy

$${\ Displaystyle \ det (U) = e ^ {i \ varphi}.}$$

Podgrupa tych elementów z nazywa się Grupa Su su (2). ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle \ det (U) = 1}$

Macierz U można również zapisać w tej alternatywnej postaci:

$${\ Displaystyle U = e ^ {i \ varphi /2} {\ zacząć {bmatrix} e ^ {i \ varphi _ {1}} \ cos \ theta i e ^ {i \ varphi _ {2}} \ sin \ theta \\-e^{-i\varphi _{2}}\sin \theta &e^{-i\varphi _{1}}\cos \theta \\\end{bmatrix}},}$$

co przez wprowadzenie φ ₁ = ψ + Δ oraz φ ₂ = ψ − Δ , przyjmuje następującą faktoryzację:

$${\ Displaystyle U = e ^ {i \ varphi /2} {\ zacznij {bmatrix} e ^ {i \ psi} i 0 \ \ 0 i e ^ {-i \ psi} \ koniec {bmatrix}} {\ zacznij {bmatrix} \cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\Delta }&0\\0&e^{-i \Delta }\end{bmatryca}}.}$$

Wyrażenie to wskazuje zależność pomiędzy 2 x 2 jednostkowe matryce i 2 x 2 macierzy ortogonalnych kąta θ .

Kolejna faktoryzacja to

$${\ Displaystyle U = {\ zacznij {bmatrix} \ cos \ alfa & - \ sin \ alfa \ \ \ sin \ alfa i \ cos \ alfa \ \ \ koniec {bmatrix}} {\ zacznij {bmatrix} e ^ {i \xi }&0\\0&e^{i\zeta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \beta &\sin \beta \\-\sin \beta &\cos \beta \\\end {bmatryca}}.}$$

Możliwych jest wiele innych faktoryzacji macierzy unitarnej w macierzach podstawowych.

Zobacz też

• Macierz hermitowska
• Rozkład macierzy
• Grupa ortogonalna O( n )
• Specjalna grupa ortogonalna SO( n )
• Macierz ortogonalna
• Bramka logiki kwantowej
• Specjalna grupa jednostkowa SU( n )
• Macierz symplektyczna
• Grupa jednostkowa U( n )
• Operator unitarny

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Weisstein, Eric W. „Unitary Matrix” . MatematykaŚwiat . Todda Rowlanda.
• Ivanova, OA (2001) [1994], "Unitary matrix" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press
• „Pokaż, że wartości własne macierzy unitarnej mają moduł 1” . Wymiana stosu . 28 marca 2016 r.