Teoria reprezentacji grupy Lorentza - Representation theory of the Lorentz group

Grupa Lorentza jest grupa Lie symetrii w czasoprzestrzeni o szczególnej teorii względności . Grupa ta może być zrealizowana jako zbiór macierzy , przekształceń liniowych lub operatorów unitarnych na pewnej przestrzeni Hilberta ; ma wiele reprezentacji . Ta grupa jest istotna, ponieważ szczególna teoria względności wraz z mechaniką kwantowąsą dwie teorie fizyczne, które są najdokładniej ustalone, a koniunkcja tych dwóch teorii jest badaniem nieskończeniewymiarowych unitarnych reprezentacji grupy Lorentza. Mają one zarówno znaczenie historyczne w fizyce głównego nurtu, jak i powiązania z bardziej spekulacyjnymi współczesnymi teoriami.

Rozwój

Pełną teorię reprezentacji skończenie wymiarowych algebr Liego grupy Lorentza wyprowadza się za pomocą ogólnych ram teorii reprezentacji półprostych algebr Liego . Reprezentacje skończenie wymiarowe połączonej składowej pełnej grupy Lorentza O(3; 1) uzyskuje się stosując korespondencję Liego i macierz wykładniczą . Pełne skończenie wymiarowa reprezentacja teoria grupy uniwersalnej przewodnim (a także grupy wirowania , podwójna okładka) od uzyskuje, i wyraźnie określonej pod względem działania na przestrzeni funkcji w przedstawieniach oraz . Przedstawiciele odwrócenia czasu i odwrócenia przestrzeni są podani w odwróceniu przestrzeni i odwróceniu czasu , uzupełniając teorię skończenie wymiarową dla pełnej grupy Lorentza. Przedstawiono ogólne własności reprezentacji ( m ,  n ) . Rozważa się działanie na przestrzeniach funkcyjnych , przy czym jako przykłady podano działanie na sferyczne harmoniczne i funkcje P Riemanna . Nieskończenie wymiarowy przypadek nieredukowalnych reprezentacji unitarnych jest realizowany dla szeregu głównego i szeregu komplementarnego . Na koniec podana jest formuła Plancherela dla , a reprezentacje SO(3, 1) są klasyfikowane i realizowane dla algebr Liego. ${\ Displaystyle {\ tekst {SO}} (3; 1) ^ {+}}$${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C})}$${\ Displaystyle {\ tekst {SO}} (3; 1) ^ {+}}$${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C})}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})}$${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C})}$ ${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C})}$

Rozwój teorii reprezentacji historycznie podążał za rozwojem ogólniejszej teorii reprezentacji grup półprostych , głównie dzięki Élie Cartanowi i Hermannowi Weylowi , ale grupa Lorentza również otrzymała szczególną uwagę ze względu na jej znaczenie w fizyce. Godnymi uwagi autorami są fizyk EP Wigner i matematyk Valentine Bargmann ze swoim programem Bargmanna-Wignera , którego jednym z wniosków jest z grubsza klasyfikacja wszystkich unitarnych reprezentacji niejednorodnej grupy Lorentza sprowadzająca się do klasyfikacji wszystkich możliwych relatywistycznych równań falowych . Klasyfikacja nieredukowalnych nieskończonych wymiarowej reprezentacji grupy Lorentza powstała przez Paul Diraca doktorskiej Studenta fizyki teoretycznej Harish-Chandra później okazało matematyka w 1947. Odpowiadająca klasyfikacją opublikowano niezależnie od BARGMANN i Israel Gelfand wspólnie z Markiem Naimarkiem w tym samym roku. ${\ Displaystyle \ operatorname {SL} (2, \ mathbb {C})}$

Aplikacje

Wiele reprezentacji, zarówno skończenie wymiarowych, jak i nieskończenie wymiarowych, jest ważnych w fizyce teoretycznej. Reprezentacje pojawiają się w opisie pól w klasycznej teorii pola , przede wszystkim pola elektromagnetycznego i cząstek w relatywistycznej mechanice kwantowej , jak również cząstek i pól kwantowych w kwantowej teorii pola oraz różnych obiektów w teorii strun i nie tylko. Teoria reprezentacji dostarcza również teoretycznej podstawy dla koncepcji spinu . Teoria ta wchodzi w zakres ogólnej teorii względności w tym sensie, że w wystarczająco małych obszarach czasoprzestrzeni fizyka jest fizyką szczególnej teorii względności.

Skończenie wymiarowe nieredukowalne niejednolite reprezentacje wraz z nieredukowalnymi nieskończenie wymiarowymi reprezentacjami unitarnymi niejednorodnej grupy Lorentza, grupy Poincarego, są reprezentacjami, które mają bezpośrednie znaczenie fizyczne.

Nieskończonej wymiarowe jednostkowe reprezentacje grupy Lorentza pojawiać się przez ograniczenie z nieredukowalnych nieskończonych trójwymiarowy jednostkowych reprezentacji grupy Poincaré działającego na przestrzeni Hilberta z relatywistycznymi mechaniki kwantowej i teorii pola kwantowej . Ale mają one również znaczenie matematyczne i mają potencjalne bezpośrednie znaczenie fizyczne w innych rolach niż zwykłe ograniczenie. Istniały teorie spekulatywne (tensory i spinory mają nieskończone odpowiedniki w ekspansorach Diraca i ekspinorach Harisha-Chandry) zgodne z teorią względności i mechaniką kwantową, ale nie znalazły żadnego udowodnionego fizycznego zastosowania. Współczesne teorie spekulacyjne potencjalnie mają podobne składniki, o których mowa poniżej.

Klasyczna teoria pola

Podczas gdy pole elektromagnetyczne wraz z polem grawitacyjnym są jedynymi polami klasycznymi dostarczającymi dokładnych opisów przyrody, ważne są również inne typy pól klasycznych. W podejściu do kwantowej teorii pola (QFT) określanej jako druga kwantyzacja punktem wyjścia jest jedno lub więcej pól klasycznych, gdzie np. funkcje falowe rozwiązujące równanie Diraca są uważane za pola klasyczne przed (drugą) kwantyzacją. Podczas gdy druga kwantyzacja i związany z nią formalizm Lagrange'a nie jest fundamentalnym aspektem QFT, to jednak do tej pory można w ten sposób podejść do wszystkich kwantowych teorii pola, łącznie z modelem standardowym . W takich przypadkach istnieją klasyczne wersje równań pola wynikających z równań Eulera-Lagrange'a wywodzących się z Lagrange'a z wykorzystaniem zasady najmniejszego działania . Te równania pola muszą być relatywistycznie niezmiennicze, a ich rozwiązania (które będą kwalifikować się jako relatywistyczne funkcje falowe zgodnie z poniższą definicją) muszą zostać przekształcone zgodnie z pewną reprezentacją grupy Lorentza.

Działanie grupy Lorentza na przestrzeni konfiguracji pola ( konfiguracja pola to historia czasoprzestrzenna konkretnego rozwiązania, np. pole elektromagnetyczne w całej przestrzeni przez cały czas jest konfiguracją jednego pola) przypomina działanie na przestrzeniach Hilberta kwantowych mechaniki, z tym wyjątkiem, że nawiasy komutatora zostały zastąpione przez teoretyczne nawiasy Poissona .

Relatywistyczna mechanika kwantowa

Na potrzeby niniejszej definicji przyjmuje się następującą definicję: Relatywistyczna funkcja falowa to zbiór n funkcji ψ ^α w czasoprzestrzeni, który podlega arbitralnej transformacji Lorentza Λ jako

${\ Displaystyle \ psi '^ {\ alfa} (x) = D {[\ Lambda] ^ {\ alfa}} _ {\ beta} \ psi ^ {\ beta} \ lewo (\ Lambda ^ {-1} x \Prawidłowy),}$

gdzie D [Λ] jest n- wymiarową macierzą reprezentującą Λ należącą do pewnej sumy bezpośredniej reprezentacji ( m , n ) przedstawionych poniżej.

Najbardziej użyteczne Relatywistyczna mechaniki kwantowej jedna cząstka teorie (nie ma całkowicie zgodne takich teorii) są równanie Klein-Gordon i równanie Diraca w pierwotnym ustawieniu. Są one relatywistycznie niezmiennicze, a ich rozwiązania przekształcają się w grupie Lorentza jako skalary Lorentza ( ( m , n ) = (0, 0) ) i odpowiednio bispinory ( (0, 1/2) (1/2, 0) ). Pole elektromagnetyczne jest relatywistyczną funkcją falową zgodnie z tą definicją, przekształcającą się pod (1, 0) ⊕ (0, 1 ) .

Reprezentacje nieskończenie wymiarowe mogą być wykorzystane w analizie rozpraszania.

Kwantowa teoria pola

W kwantowej teorii pola pojawia się zapotrzebowanie na relatywistyczną niezmienniczość, między innymi w tym, że macierz S z konieczności musi być niezmiennikiem Poincarégo. Z tego wynika, że ​​istnieje jedna lub więcej nieskończenie wymiarowych reprezentacji grupy Lorentza działającej w przestrzeni Focka . Jednym ze sposobów zagwarantowania istnienia takich reprezentacji jest istnienie opisu Lagrange'a (z nałożonymi skromnymi wymaganiami, patrz odnośnik) systemu przy użyciu formalizmu kanonicznego, z którego można wywnioskować realizację generatorów grupy Lorentza.

Przekształcenia operatorów pola ilustrują komplementarną rolę odgrywaną przez skończenie wymiarowe reprezentacje grupy Lorentza i nieskończenie wymiarowe unitarne reprezentacje grupy Poincare, świadczące o głębokiej jedności między matematyką a fizyką. Dla ilustracji, rozważmy definicję n- składnikowego operatora pola : relatywistyczny operator pola to zbiór n funkcji o wartościach operatorowych w czasoprzestrzeni, które przekształcają się zgodnie z odpowiednimi transformacjami Poincarégo (Λ, a ) zgodnie z

${\ Displaystyle \ psi ^ {\ alfa} (x) \ do \ psi '^ {\ alfa} (x) = U [\ Lambda, a] \ psi ^ {\ alfa} (x) U ^ {-1} \left[\Lambda ,a\right]=D{\left[\Lambda ^{-1}\right]^{\alpha }}_{\beta }\Psi ^{\beta }(\Lambda x+a )}$

Tutaj U [Λ, a] jest operatorem unitarnym reprezentującym (Λ, a) na przestrzeni Hilberta, na której Ψ jest zdefiniowane, a D jest n- wymiarową reprezentacją grupy Lorentza. Reguła transformacji jest drugim aksjomatem Wightmana kwantowej teorii pola.

Rozważając ograniczenia różniczkowe, którym musi podlegać operator pola, aby opisać pojedynczą cząstkę o określonej masie m i spinu s (lub helicity), wywnioskowano, że

${\ Displaystyle \ psi ^ {\ alfa} (x) = \ suma _ {\ sigma} \ int DP \ lewo (a (\ mathbf {p}, \ sigma) u ^ {\ alfa} (\ mathbf {p} ,\sigma )e^{ip\cdot x}+a^{\sztylet }(\mathbf {p} ,\sigma )v^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{-ip \cdot x}\prawo),}$

( X1 )

gdzie a ^† , a są interpretowane odpowiednio jako operatory kreacji i anihilacji . Operator kreacji a ^† przekształca się zgodnie z

${\ Displaystyle a ^ {\ sztylet} (\ mathbf {p}, \ sigma) \ rightarrow a'^ {\ sztylet} \ lewo (\ mathbf {p}, \ sigma \ po prawej) = U [\ Lambda] a ^ {\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )U\left[\Lambda ^{-1}\right]=a^{\dagger }(\Lambda \mathbf {p} ,\rho )D^{ (s)}{\left[R(\Lambda ,\mathbf {p} )^{-1}\right]^{\rho }}_{\sigma },}$

podobnie dla operatora anihilacji. Należy zwrócić uwagę, że operator pola przekształca się zgodnie z skończenie wymiarową niejednostkową reprezentacją grupy Lorentza, podczas gdy operator kreacji przekształca się zgodnie z nieskończenie wymiarową unitarną reprezentacją grupy Poincare charakteryzującą się masą i spinem ( m , s ) cząstki. Połączeniem między nimi są funkcje falowe , zwane również funkcjami współczynników

${\ Displaystyle u ^ {\ alfa} (\ mathbf {p}, \ sigma) e ^ {ip \ cdot x}, \ quad v ^ {\ alfa} (\ mathbf {p}, \ sigma) e ^ {- ip\cdot x}}$

które zawierają zarówno indeksy ( x , α ) operowane przez transformacje Lorentza jak i indeksy ( p , σ ) operowane przez transformacje Poincarégo. Można to nazwać połączeniem Lorentza–Poincaré. Aby pokazać związek, poddaj obie strony równania (X1) przekształceniu Lorentza, w wyniku czego np. u ,

${\ Displaystyle {D [\ Lambda] ^ {\ alfa}} _ {\ alfa '} u ^ {\ alfa '} (\ mathbf {p} \ lambda) = {D ^ {(s)} [R ( \Lambda ,\mathbf {p} )]^{\lambda '}}_{\lambda }u^{\alpha }\left(\Lambda \mathbf {p} ,\lambda '\right),}$

gdzie D jest niejednolitego reprezentatywna Lorentza z Λ i D ^{( a )} jest jednolitym reprezentatywne tzw Wignera obrotu R związany z X i P , który wynika z reprezentacją grupy Poincaré, a y jest spin cząstka.

Każdy z powyższych wzorów, w tym definicji operatora pola pod względem operatorów tworzenia i zniszczenia, a także równań różniczkowych spełnione przez operatora pola na cząstki o określonej masie, wirowanie i ( m , n ) reprezentację, w jakich zakłada się, że transformacja, a także funkcja falowa, może być wyprowadzona wyłącznie z rozważań teoretycznych grupy, gdy zostaną podane ramy mechaniki kwantowej i szczególnej teorii względności.

Teorie spekulatywne

W teoriach, w których czasoprzestrzeń może mieć więcej niż D = 4 wymiary, uogólnione grupy Lorentza O( D − 1; 1) odpowiedniego wymiaru zajmują miejsce O(3; 1) .

Wymóg niezmienności Lorentza nabiera chyba najbardziej dramatycznego efektu w teorii strun . Klasyczne relatywistyczne ciągi mogą być obsługiwane w ramach Lagrange'a za pomocą akcji Nambu-Goto . Skutkuje to relatywistycznie niezmienniczą teorią w dowolnym wymiarze czasoprzestrzeni. Okazuje się jednak, że teoria otwartych i zamkniętych strun bozonowych (najprostsza teoria strun) jest niemożliwa do kwantyzacji w taki sposób, że grupa Lorentza jest reprezentowana na przestrzeni stanów ( przestrzeń Hilberta ), chyba że wymiar czasoprzestrzeni jest 26. Odpowiedni wynik dla teorii superstrun jest ponownie wydedukowany wymagając niezmienności Lorentza, ale teraz z supersymetrią . W tych teoriach algebra Poincarégo zostaje zastąpiona algebrą supersymetrii, która jest algebrą Liego o stopniu Z ₂ rozszerzającą algebrę Poincarégo. Struktura takiej algebry jest w dużym stopniu ustalona przez wymagania niezmienności Lorentza. W szczególności operatory fermionowe (klasa 1 ) należą do a (0,1/2) lub (1/2, 0) przestrzeń reprezentacji (zwykłej) algebry Lorentza Liego. Jedynym możliwym wymiarem czasoprzestrzeni w takich teoriach jest 10.

Reprezentacje skończenie wymiarowe

Teoria reprezentacji grup w ogóle, aw szczególności grup Liego, jest bardzo bogatym tematem. Grupa Lorentza ma pewne właściwości, które sprawiają, że jest „przyjemna” i inne, które sprawiają, że jest „niezbyt przyjemna” w kontekście teorii reprezentacji; grupa jest prosta, a więc półprosta , ale nie jest połączona i żaden z jej elementów nie jest po prostu połączony . Ponadto grupa Lorentz nie jest zwarta .

W przypadku reprezentacji skończenie wymiarowych obecność półprostoty oznacza, że ​​z grupą Lorentza można postępować w taki sam sposób, jak z innymi grupami półprostymi przy użyciu dobrze rozwiniętej teorii. Ponadto wszystkie reprezentacje są budowane z nieredukowalnych , ponieważ algebra Liego posiada całkowitą własność redukowalności . Ale brak zwartości grupy Lorentza, w połączeniu z brakiem prostych powiązań, nie może być rozwiązany we wszystkich aspektach, tak jak w prostym schemacie, który stosuje się do po prostu połączonych, zwartych grup. Brak zwartości oznacza, dla połączonej prostej grupy Liego, że nie istnieją żadne nietrywialne, skończenie wymiarowe, unitarne reprezentacje. Brak prostych powiązań powoduje powstanie spinowych reprezentacji grupy. Brak połączenia oznacza, że ​​dla reprezentacji pełnej grupy Lorentza, odwrócenie czasu i odwrócenie przestrzeni muszą być traktowane oddzielnie.

Historia

Rozwój skończenie wymiarowej teorii reprezentacji grupy Lorentza wynika głównie z rozwoju podmiotu w ogóle. Teoria Liego została zapoczątkowana przez Sophusa Liego w 1873 roku. W 1888 roku klasyfikację prostych algebr Liego dokończył w zasadzie Wilhelm Killing . W 1913 r. twierdzenie o największej wadze dla reprezentacji prostych algebr Liego, ścieżką, którą będziemy tu podążać, zostało ukończone przez Élie Cartana . Richard Brauer był w latach 1935-38 w dużej mierze odpowiedzialny za rozwój macierzy Weyla-Brauera opisujących, w jaki sposób reprezentacje spinowe algebry Lorentza Liego mogą być osadzone w algebrach Clifforda . Grupa Lorentza również historycznie zwróciła szczególną uwagę w teorii reprezentacji, patrz Historia nieskończeniewymiarowych reprezentacji unitarnych poniżej, ze względu na jej wyjątkowe znaczenie w fizyce. Matematycy Hermann Weyl i Harish-Chandra oraz fizycy Eugene Wigner i Valentine Bargmann wnieśli znaczący wkład zarówno do ogólnej teorii reprezentacji, jak iw szczególności do grupy Lorentza. Fizyk Paul Dirac był prawdopodobnie pierwszym, który w 1928 roku wyraźnie połączył wszystko razem w praktycznym zastosowaniu o dużym, trwałym znaczeniu z równaniem Diraca .

Algebra Liego

Nieredukowalnych kompleksowe liniowe reprezentacje complexification , algebry Lie grupy Lorentza znajdują się. Dogodnym podstawą jest podane przez trzy generatorów J _i od obrotów i trzech generatorów K _i od dawek przypominających . Są one wyraźnie podane w konwencjach i podstawach algebry Liego . ${\displaystyle {\mathfrak {tak}}(3;1)_{\mathbb {C}}}$${\displaystyle {\mathfrak {tak}}(3;1)}$${\displaystyle {\mathfrak {tak}}(3;1)}$

Algebra Liego jest złożona , a podstawa zostaje zmieniona na składowe jej dwóch ideałów

${\ Displaystyle \ mathbf {A} = {\ Frac {\ mathbf {J} + i \ mathbf {K}} {2}}, \ quad \ mathbf {B} = {\ Frac {\ mathbf {J} -i \mathbf {K} }{2}}.}$

Składniki A = ( A ₁ ,  A ₂ ,  A ₃ ) i B = ( B ₁ ,  B ₂ ,  B ₃ ) oddzielnie spełniają relacje komutacyjne algebry Liego, a ponadto komutują ze sobą, ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

${\ Displaystyle \ lewo [A_ {i}, A_ {j} \ po prawej] = i \ varepsilon _ {ijk} A_ {k}, \ quad \ lewo [B_ {i}, B_ {j} \ po prawej] = i \varepsilon _{ijk}B_{k},\quad \left[A_{i},B_{j}\right]=0,}$

gdzie i ,  j ,  k to indeksy, z których każdy przyjmuje wartości 1, 2, 3 , a ε _ijk jest trójwymiarowym symbolem Levi-Civita . Niech a oznacza złożony liniowy zakres od A i B , odpowiednio. ${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {\ mathbb {C}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {B} _ {\ mathbb {C}}}$

Jeden ma izomorfizmy

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ mathfrak {tak}} (3; 1) \ hookrightarrow {\ mathfrak {tak}}} (3; 1) _ {\ mathbb {C}} i \ cong \ mathbf {A } _{\mathbb {C} }\oplus \mathbf {B} _{\mathbb {C} }\cong {\mathfrak {su}}(2)_{\mathbb {C} }\oplus {\mathfrak { su}}(2)_{\mathbb {C} }\\[5pt]&\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2, \mathbb {C} )\\[5pt]&\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus i{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )= {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )_{\mathbb {C} }\hookleftarrow {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),\end{wyrównany}}}$

( A1 )

gdzie jest złożoność${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {su}} (2) \ cong \ mathbf {A} \ cong \ mathbf {B}}.$

Użyteczność tych izomorfizmów wynika z faktu, że znane są wszystkie nieredukowalne reprezentacje${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ , a zatem wszystkie nieredukowalne złożone liniowe reprezentacje . Nieredukowalna złożona reprezentacja liniowa jest izomorficzna z jedną z reprezentacji o najwyższych wagach . Są one wyraźnie podane w złożonych liniowych reprezentacjach${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C}),}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C}).}$

Unitariańska sztuczka

Algebra Liego jest algebrą Liego dla It zawiera zwartą podgrupę SU(2) × SU(2) z algebrą Liego Ta ostatnia jest zwartą postacią rzeczywistą Tak z pierwszego zdania triki unitarnej, reprezentacje SU(2) × SU(2) są w korespondencji jeden do jednego z holomorficznymi reprezentacjami${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})}$${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C} ) \ razy {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C}).}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2).}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C}).}$${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C} ) \ razy {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C}).}$

Przez zwartość, twierdzenie Petera-Weyla dotyczy SU(2) × SU(2) , a zatem można odwołać się do ortonormalności znaków nieredukowalnych . Nieredukowalne unitarne reprezentacje SU(2) × SU(2) są dokładnie produktami tensorowymi nieredukowalnych unitarnych reprezentacji SU(2) .

Odwołując się do prostej więzi, stosuje się drugie stwierdzenie triku unitarnego. Obiekty na poniższej liście są w korespondencji jeden do jednego:

• Holomorficzne reprezentacje ${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C} ) \ razy {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C})}$
• Gładkie reprezentacje SU(2) × SU(2)
• Rzeczywiste reprezentacje liniowe ${\displaystyle {\mathfrak {nie}}(2)\oplus {\mathfrak {nie}}(2)}$
• Złożone reprezentacje liniowe ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})}$

Iloczyny tensorowe reprezentacji pojawiają się na poziomie algebry Liego jako jeden z

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ pi _ {1} \ otimes \ pi _ {2} (X) i = \ pi _ {1} (X) \ otimes \ operatorname {identyfikator} _ {V} + \ mathrm {Id} _{U}\otimes \pi _{2}(X)&&X\in {\mathfrak {g}}\\\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X,Y) &=\pi _{1}(X)\otimes \mathrm {Identyfikator} _{V}+\mathrm {Identyfikator} _{U}\otimes \pi _{2}(Y)&&(X,Y)\ w {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}\end{wyrównany}}}$

( A0 )

gdzie Id jest operatorem tożsamości. Tu zamierzona jest ta druga interpretacja, która wynika z (G6) . Reprezentacje o najwyższej wadze są indeksowane przez μ dla μ = 0, 1/2, 1, ... . (Najwyższe wagi to w rzeczywistości 2 μ = 0, 1, 2, ... , ale tutaj notacja jest dostosowana do zapisu ).${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})}$${\displaystyle {\mathfrak {tak}}(3;1).}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C}).}$

Wreszcie, -liniowe reprezentacje rzeczywistych form skrajnej lewej i skrajnej prawej w (A1) są uzyskiwane z -liniowych reprezentacji scharakteryzowanych w poprzednim akapicie. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\displaystyle {\mathfrak {tak}}(3;1)}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C}),}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})}$

Reprezentacje ( μ , ν ) sl(2, C)

Złożone liniowe reprezentacje kompleksowości otrzymanych przez izomorfizmy w (A1) odpowiadają jeden do jednego z rzeczywistymi liniowymi reprezentacjami Zbiór wszystkich rzeczywistych liniowych nieredukowalnych reprezentacji jest zatem indeksowany przez parę ( μ , ν ) . Liniowe zespolone, odpowiadające dokładnie komplikacji rzeczywistych reprezentacji liniowych , mają postać ( μ , 0) , natomiast sprzężone liniowe to (0, ν ) . Wszystkie inne są prawdziwe tylko liniowe. Właściwości liniowości wynikają z wstrzyknięcia kanonicznego, skrajnie po prawej w (A1) , do jego złożoności. Reprezentacje na postaci ( ν , ν ) lub ( μ , ν ) ⊕ ( ν , μ ) są podane przez macierze rzeczywiste (te ostatnie nie są nieredukowalne). Wprost, rzeczywiste liniowe ( μ , ν ) -reprezentacje are ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C}),{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})_{\mathbb {C}}}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C}).}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})}$

${\ Displaystyle \ varphi _ {\ mu, \ nu} (X) = \ lewo (\ varphi _ {\ mu} \ otimes {\ overline {\ varphi _ {\ nu}}} \ po prawej) (X) = \ varphi _{\mu }(X)\otimes \operatorname {identyfikator} _{\nu +1}+\operatorname {identyfikator} _{\mu +1}\otimes {\overline {\varphi _{\nu }( X)}},\qquad X\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

gdzie są złożone liniowe nieredukowalne reprezentacje i ich złożone sprzężone reprezentacje. (Etykietowanie jest zwykle w literaturze matematycznej 0, 1, 2, … , ale liczby połówkowe są tutaj wybrane, aby dostosować się do etykietowania algebry Liego.) Tutaj iloczyn tensorowy jest interpretowany w poprzednim znaczeniu (A0) . Przedstawienia te są konkretnie zrealizowane poniżej. ${\ Displaystyle \ varphi _ {\ mu}, \ mu = 0, {\ tfrac {1} {2}}, 1, {\ tfrac {3} {2}}, \ ldots}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})}$${\displaystyle {\overline {\varphi _{\nu}}},\nu =0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots}$${\displaystyle {\mathfrak {tak}}(3,1)}$

Reprezentacje ( m , n ) so(3; 1)

Dzięki przedstawionym izomorfizmom w (A1) i znajomości złożonych liniowych nieprzywiedlnych reprezentacji po rozwiązaniu J i K , uzyskuje się wszystkie nieredukowalne reprezentacje i, przez ograniczenie, te z . Reprezentacje uzyskane w ten sposób są prawdziwe liniowa (nie złożone lub koniugat liniowe), ponieważ nie są zamknięte Algebra po koniugacji, ale nadal są nierozkładalny. Ponieważ jest półproste , wszystkie jego reprezentacje można zbudować jako bezpośrednie sumy nieredukowalnych. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {tak}} (3; 1) _ {\ mathbb {C}},}$${\displaystyle {\mathfrak {tak}}(3;1)}$${\displaystyle {\mathfrak {tak}}(3;1)}$${\displaystyle {\mathfrak {tak}}(3;1)}$

Tak więc skończenie wymiarowe nieredukowalne reprezentacje algebry Lorentza są klasyfikowane przez uporządkowaną parę liczb połówkowych m = μ i n = ν , konwencjonalnie zapisywaną jako jedna z

${\ Displaystyle (m, n) \ równoważnik \ pi _ {(m, n)}: {\ mathfrak {tak}} (3; 1) \ do {\ mathfrak {gl}} (V),}$

gdzie V jest skończenie wymiarową przestrzenią wektorową. Są to, aż do transformacji podobieństwa , jednoznacznie podane przez

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ pi _ {(m, n)} (J_ {i}) i = J_ {i} ^ {(m)} \ czasami 1_ {(2n + 1)} + 1_ { (2m+1)}\otimes J_{i}^{(n)}\\\pi _{(m,n)}(K_{i})&=i\left(1_{(2m+1)} \otimes J_{i}^{(n)}-J_{i}^{(m)}\otimes 1_{(2n+1)}\right),\end{wyrównany}}}$

( A2 )

gdzie 1 _n jest n- wymiarową macierzą jednostkową i

${\ Displaystyle \ mathbf {J} ^ {(n)} = \ lewo (J_ {1} ^ { (n)} J_ {2} ^ { (n)} J_ {3} ^ { (n)} \Prawidłowy)}$

są (2 n  + 1) -wymiarowymi nieredukowalnymi reprezentacjami${\displaystyle {\mathfrak {tak}}(3)\cong {\mathfrak {su}}(2)}$ zwanych również macierzami spinowymi lub macierzami momentu pędu . Są one wyraźnie podane jako

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ po lewej (J_ {1} ^ { (j)} \ prawej) _ {a'a} i = {\ Frac {1} {2}} \ po lewej ({\ sqrt { (ja)(j+a+1)}}\delta _{a',a+1}+{\sqrt {(j+a)(j-a+1)}}\delta _{a',a -1}\right)\\\left(J_{2}^{(j)}\right)_{a'a}&={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt {( ja)(j+a+1)}}\delta _{a',a+1}-{\sqrt {(j+a)(j-a+1)}}\delta _{a',a- 1}\right)\\\left(J_{3}^{(j)}\right)_{a'a}&=a\delta _{a',a}\end{aligned}}}$

gdzie δ oznacza deltę Kroneckera . W składowych, gdzie − m ≤ a , a′ ≤ m , − n ≤ b , b′ ≤ n , reprezentacje są dane wzorem

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ po lewej (\ pi _ {(m, n)} \ po lewej (J_ {i} \ po prawej) \ po prawej) _ {a'b', ab} & = \ delta _ { b'b}\left(J_{i}^{(m)}\right)_{a'a}+\delta _{a'a}\left(J_{i}^{(n)}\right )_{b'b}\\\left(\pi _{(m,n)}\left(K_{i}\right)\right)_{a'b',ab}&=i\left( \delta _{a'a}\left(J_{i}^{(n)}\right)_{b'b}-\delta _{b'b}\left(J_{i}^{(m )}\right)_{a'a}\right)\end{aligned}}}$

Wspólne reprezentacje

Reprezentacje nieredukowalne dla małych ( m , n ) . Wymiar w nawiasie.

	m = 0	1/2	1	3/2
n = 0	Skalarny (1)	Leworęczny spinor Weyla (2)	Własna podwójna 2-formularz (3)	(4)
1/2	Praworęczny spinor Weyla (2)	4-wektorowe (4)	(6)	(8)
1	Anti-self-dual 2-form (3)	(6)	Tensor bezśladowy symetryczny (9)	(12)
3/2	(4)	(8)	(12)	(16)

• Reprezentacja (0, 0) jest jednowymiarową trywialną reprezentacją i jest realizowana przez relatywistyczne teorie pola skalarnego .
• Fermionowe generatory supersymetrii przekształcają się pod jednym z (0, 1/2) lub (1/2, 0) reprezentacje (spinory Weyla).
• Czteropęd z cząstek (albo bez masy lub masowe ) przekształca się w (1/2, 1/2) reprezentacja czterowektorowa.
• Fizycznym przykładem (1,1) bezśladowego symetrycznego pola tensorowego jest bezśladowa część tensora energii i pędu T ^μν .

Bezpośrednie sumy poza przekątną

Ponieważ dla każdej nieredukowalnego reprezentacji którym m ≠ n jest to niezbędne do pracy w pole liczb zespolonych , do bezpośredniego sumę przedstawień ( m ,  n ) a ( n ,  m ) mają szczególne znaczenie dla fizycznych, gdyż pozwala na wykorzystanie liniowych operatorów nad liczbami rzeczywistymi .

• (1/2, 0) (0, 1/2) jest reprezentacją bispinor . Zobacz także Diraca Spinor i spinors WEYL i bispinors poniżej.
• (1, 1/2) (1/2, 1) jest reprezentacją pola Rarity-Schwingera .
• (3/2, 0) (0, 3/2) byłaby symetrią hipotetycznego gravitino . Można go uzyskać od (1, 1/2) (1/2, 1) reprezentacja.
• (1, 0) ⊕ (0, 1) jest reprezentacją parzystości -invariant 2-formy pola (aka postać krzywizny ). Zgodnie z tą reprezentacją tensor pola elektromagnetycznego ulega transformacji.

Grupa

Podejście w tej sekcji opiera się na twierdzeniach, które z kolei opierają się na fundamentalnej korespondencji Liego . Korespondencja Liego jest w istocie słownikiem między połączonymi grupami Liego a algebrami Liego. Połączeniem między nimi jest wykładnicze mapowanie z algebry Liego na grupę Liego, oznaczone${\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\do G.}$

Jeżeli dla pewnej przestrzeni wektorowej V jest reprezentacją, to reprezentacja Π połączonego składnika G jest określona przez ${\ Displaystyle \ pi : {\ mathfrak {g}} \ do {\ mathfrak {gl}} (V)}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ pi (g = e ^ {iX}) i \ równoważny e ^ {i \ pi (X)} i X \ w {\ mathfrak {g}} \ quad g = e ^{iX}\in \mathrm {im} (\exp ),\\\Pi (g=g_{1}g_{2}\cdots g_{n})&\equiv \Pi (g_{1})\ Pi (g_{2})\cdots \Pi (g_{n}),&&g\notin \mathrm {im} (\exp ),\quad g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n} \in \mathrm {im} (\exp ).\end{wyrównany}}}$

( G2 )

Ta definicja ma zastosowanie niezależnie od tego, czy wynikowa reprezentacja jest rzutowa, czy nie.

Suriektywizm mapy wykładniczej dla SO(3, 1)

Z praktycznego punktu widzenia ważne jest, czy pierwszą formułę w (G2) można zastosować do wszystkich elementów grupy . Odnosi się to do wszystkich , jednak w ogólnym przypadku , np. dla , nie wszystkie g ∈ G są na obrazie exp . ${\ Displaystyle X \ w {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C})}$

Ale jest suriektywna. Jednym ze sposobów wykazania tego jest wykorzystanie izomorfizmu, przy czym ten ostatni to grupa Möbiusa . Jest to iloraz (patrz podlinkowany artykuł). Mapa ilorazu jest oznaczona jako Mapa jest na. Zastosuj (Lie), gdzie π jest różniczką z p w identyczności. Następnie ${\ Displaystyle \ exp : {\ mathfrak {tak}} (3; 1) \ do {\ tekst {SO}} (3; 1) ^ {+}}$ ${\ Displaystyle {\ tekst {SO}} (3; 1) ^ {+} \ cong {\ tekst {PGL}} (2, \ mathbb {C}}),}$${\ Displaystyle {\ tekst {GL}} (n \ mathbb {C})}$${\ Displaystyle p: {\ tekst {GL}} (n \ mathbb {C}) \ do {\ tekst {PGL}} (2, \ mathbb {C}).}$${\displaystyle \exp :{\mathfrak {gl}}(n\mathbb {C})\to {\text{GL}}(n\mathbb {C})}$

${\displaystyle \forall X\in {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C}):\quad p(\exp(iX))=\exp(i\pi(X)).}$

Ponieważ lewa strona jest surjektywna (zarówno exp, jak i p są), prawa strona jest surjektywna, a zatem jest surjektywna. Na koniec powtórz argument jeszcze raz, ale teraz ze znanym izomorfizmem między SO(3; 1) ⁺ i znajdź, że exp jest na połączonej składowej grupy Lorentza. ${\displaystyle \exp :{\mathfrak {pgl}}(2,\mathbb {C})\to {\text{PGL}}(2,\mathbb {C})}$${\ Displaystyle {\ tekst {PGL}} (2, \ mathbb {C})}$

Grupa podstawowa

Grupa Lorentza jest podwójnie spójna , tzn. π ₁ (SO(3; 1)) jest grupą, której elementy stanowią dwie klasy równoważności pętli.

reprezentacje projekcyjne

Ponieważ π ₁ (SO(3; 1) ⁺ ) ma dwa elementy, niektóre reprezentacje algebry Liego dadzą reprezentacje rzutowe . Gdy już wiadomo, czy reprezentacja jest rzutowa, wzór (G2) stosuje się do wszystkich elementów grupowych i wszystkich reprezentacji, w tym rzutowych — przy założeniu, że reprezentant elementu grupy będzie zależał od tego, który element w algebrze Liego ( X in (G2) ) służy do reprezentowania elementu grupy w reprezentacji standardowej.

W przypadku grupy Lorentza reprezentacja ( m , n ) jest rzutowa, gdy m + n jest liczbą połówkową. Zobacz sekcję spinery .

Dla rzutowej reprezentacji Õ o SO (3: 1) ⁺ , ustala się, że

${\ Displaystyle \ lewo [\ Pi (\ Lambda _ {1}) \ Pi (\ Lambda _ {2}) \ Pi ^ {-1} (\ Lambda _ {1} \ Lambda _ {2}) \ prawej] ^{2}=1\Rightarrow \Pi (\Lambda _{1}\Lambda _{2})=\pm \Pi (\Lambda _{1})\Pi (\Lambda _{2}),\quad \Lambda _{1},\Lambda _{2}\w \mathrm {SO} (3;1),}$

( G5 )

ponieważ każda pętla w SO(3;1) ⁺ przebyta dwukrotnie, ze względu na podwójne powiązanie, jest skrócona do punktu, więc jej klasa homotopii jest klasą stałej mapy. Wynika z tego, że Π jest funkcją dwuwartościową. Nie jest możliwe konsekwentne wybieranie znaku, aby uzyskać ciągłą reprezentację całego SO(3; 1) ⁺ , ale jest to możliwe lokalnie wokół dowolnego punktu.

Grupa okrywająca SL(2, C)

Rozważ jako prawdziwą algebrę Liego z bazą ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})}$

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {1} {2}} \ Sigma _ {1}, {\ Frac {1} {2}} \ Sigma _ {2}, {\ Frac {1} {2}} \sigma _{3},{\frac {i}{2}}\sigma _{1},{\frac {i}{2}}\sigma _{2},{\frac {i}{2} }\sigma _{3}\right)\equiv (j_{1},j_{2},j_{3},k_{1},k_{2},k_{3}),}$

gdzie sigma to matryce Pauliego . Z relacji

${\ Displaystyle [\ sigma _ {i}, \ sigma _ {j}] = 2i \ epsilon _ {ijk} \ sigma _ {k}}$

( J1 )

jest uzyskiwany

${\ Displaystyle [j_ {i}, j_ {j}] = ja \ epsilon _ {ijk} j_ {k}, \ quad [j_ {i}, k_ {j}] = ja \ epsilon _ {ijk} k_ { k},\quad [k_{i},k_{j}]=-i\epsilon _{ijk}j_{k},}$

( J2 )

które są dokładnie w postaci 3- wymiarowej wersji relacji komutacji dla (patrz konwencje i podstawy algebry Liego poniżej). Zatem odwzorowanie J _i ↔ j _i , K _i ↔ k _i , rozszerzone o liniowość, jest izomorfizmem. Ponieważ po prostu podłączona, jest powszechne grupy obejmujące od SO (3: 1) ⁺ . ${\displaystyle {\mathfrak {tak}}(3;1)}$${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C})}$

Niesuriektywizm mapowania wykładniczego dla SL(2, C)

Mapowanie wykładnicze nie jest włączone. Macierz ${\displaystyle \exp :{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})\to {\text{SL}}(2,\mathbb {C})}$

${\ Displaystyle q = {\ zacząć {pmatrix} -1 i 1 \ \ 0 i 1 \ \ \ koniec {pmatrix}}}$

( S6 )

jest w ale nie ma takiego, że q = exp( Q ) . ${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C}),}$${\ Displaystyle Q \ w {\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {C})}$

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli g jest elementem połączonej grupy Liego G z algebrą Liego , to przez (Lie) , ${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$

${\ Displaystyle g = \ exp (X_ {1}) \ cdots \ exp (X_ {n}), \ qquad X_ {1}, \ ldots X_ {n} \ w {\ mathfrak {g}}.}$

( S7 )

Macierz q można zapisać

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ exp (-X) \ exp (i \ pi H) i = \ exp \ lewo ({\ zacząć {pmatrix} 0 i 1 \ \ 0 i 0 \ \ \ koniec {pmatrix}} \right)\exp \left(i\pi {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}\right)\\[6pt]&={\begin{pmatrix}1&-1 \\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}\\[6pt]&={\begin{pmatrix}-1&1\\0& -1\\\end{pmatrix}}=q.\end{wyrównany}}}$

( S8 )

Realizacja reprezentacji SL(2, C) i sl(2, C) oraz ich algebr Liego

Złożone reprezentacje liniowe i są prostsze do uzyskania niż reprezentacje. Mogą być (i zazwyczaj są) spisywane od podstaw. Reprezentacje grup holomorficznych (co oznacza, że ​​odpowiadająca im reprezentacja algebry Liego jest zespolona liniowa) są powiązane ze złożonymi liniowymi reprezentacjami algebry Liego przez potęgowanie. Rzeczywiste reprezentacje liniowe są dokładnie reprezentacjami ( μ , ν ) . One też mogą być potęgowane. Reprezentacje ( μ , 0) są złożone liniowe i są (izomorficzne do) reprezentacjami najwyższej wagi. Są one zwykle indeksowane tylko jedną liczbą całkowitą (ale tutaj używane są liczby połówkowe). ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})}$${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C})}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {tak}} (3; 1) ^ {+}}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})}$

Konwencja matematyczna została użyta w tej sekcji dla wygody. Elementy algebry Liego różnią się o współczynnik i i nie ma współczynnika i w mapowaniu wykładniczym w porównaniu z konwencją fizyki używaną gdzie indziej. Niech podstawą będzie ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})}$

${\ Displaystyle H = {\ zacząć {pmatrix} 1 i 0 \ \ 0 i 1 \ \ \ koniec {pmatrix}}, \ quad X = {\ zacząć {pmatrix} 0 i 1 \ \ 0 i 0 \ \ \ koniec {pmatrix}}, \ quad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\\\end{pmatrix}}.}$

( S1 )

Ten wybór podstawy i notacji jest standardem w literaturze matematycznej.

Złożone reprezentacje liniowe

Nieredukowalnych holomorficzny ( n + 1) -wymiarowych reprezentacji może być realizowany na przestrzeni jednorodnej wielomianu o stopniu n w 2 zmiennych elementów, z których to ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C}),n\geqslant 2,}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {P} _ {n} ^ {2}}$

${\ Displaystyle P {\ zacząć {pmatrix} z_ {1} \ \ z_ {2} \ \ \ koniec {pmatrix}} = c_ {n} z_ {1} ^ {n} + c_ {n-1} z_ { 1}^{n-1}z_{2}+\cdots +c_{0}z_{2}^{n},\quad c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {Z} .}$

Akcja jest podana przez ${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C})}$

${\ Displaystyle (\ phi _ {n} (g) P) {\ zacząć {pmatrix} z_ {1} \ \ z_ {2} \ \ \ koniec {pmatrix}} = \ lewo [\ phi _ {n} \begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}P\right]{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=P\lewo( {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}\right) ,\qquad P\in \mathbf {P} _{n}^{2}.}$

( S2 )

Powiązanym działaniem jest, używając (G6) i powyższej definicji, dla podstawowych elementów${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C}),}$

${\ Displaystyle \ phi _ {n} (H) = - Z_ {1} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy Z_ {1}}} + Z_ {2} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy Z_ {2}}},\quad \phi _{n}(X)=-z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}},\quad \phi _{n}(Y )=-z_{1}{\frac {\częściowy }{\częściowy z_{2}}}.}$

( S5 )

Przy wyborze podstawy dla , reprezentacje te stają się macierzowymi algebrami Liego. ${\ Displaystyle P \ w \ mathbf {P} _ {n} ^ {2}}$

Rzeczywiste reprezentacje liniowe

W ( jj , ν ) -representations są zrealizowane w przestrzeni wielomianów w jednorodny stopnia ľ w i jednorodnego stopnia v w te reprezentacje podaje ${\ Displaystyle \ mathbf {P} _ {\ mu, \ nu} ^ {2}}$${\ Displaystyle Z_ {1}, {\ Overline {z_ {1}}}, Z_ {2}, {\ Overline {Z_ {2}}},}$${\displaystyle z_{1},z_{2}}$${\ Displaystyle {\ overline {z_ {1}}}, {\ overline {z_ {2}}}.}$

${\ Displaystyle (\ phi _ {\ mu, \ nu } (g) P) {\ zacząć {pmatrix} z_ {1} \ \ z_ {2} \ \ \ koniec {pmatrix}} = \ lewo [\ phi _ {\mu ,\nu }{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}P\right]{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{ pmatrix}}=P\left({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\ end{pmatrix}}\right),\quad P\in \mathbf {P} _{\mu ,\nu }^{2}.}$

( S6 )

Stosując ponownie (G6), okazuje się, że

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ phi _ {\ mu, \ nu} (E) P = i - {\ Frac {\ częściowy P} {\ częściowy z_ {1}}} \ lewo (E_ {11} z_{1}+E_{12}z_{2}\right)-{\frac {\partial P}{\partial z_{2}}}\left(E_{21}z_{1}+E_{22} z_{2}\right)\\&-{\frac {\partial P}{\partial {\overline {z_{1}}}}\left({\overline {E_{11}}}{\overline {z_{1}}}+{\overline {E_{12}}}{\overline {z_{2}}}\right)-{\frac {\partial P}{\partial {\overline {z_{2 }}}}}\left({\overline {E_{21}}}{\overline {z_{1}}}+{\overline {E_{22}}}{\overline {z_{2}}}\ po prawej)\end{wyrównany}},\quad E\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} ).}$

( S7 )

W szczególności dla elementów bazowych,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ phi _ {\ mu, \ nu} (H) & =-z_ {1} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy z_ {1}}} + z_ {2} {\frac {\partial }{\partial z_{2}}}-{\overline {z_{1}}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{1}}}}}+ {\overline {z_{2}}}{\frac {\partial }{\częściowy {\overline {z_{2}}}}}\\\phi _{\mu ,\nu }(X)&=- z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}-{\overline {z_{2}}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{1}} }}}\\\phi _{\mu ,\nu }(Y)&=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{2}}}-{\overline {z_{1} }}{\frac {\częściowy }{\częściowy {\overline {z_{2}}}}}\end{wyrównany}}}$

( S8 )

Własności reprezentacji ( m ,  n )

W ( m ,  n ) reprezentacje, zdefiniowane powyżej, za pomocą (A1) (jako ograniczenia w stosunku do rzeczywistego formie ) z tensor produktów nieredukowalnych złożonych reprezentacji liniowych π _{m = μ} i π _{n = v} od są nierozkładalny, i są one wyłącznie nieprzywiedlne reprezentacje . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3,1)}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C}),}$

• Nieredukowalność Z unitarne podstęp i reprezentacją Π z su (2) x SU (2) znajduje się nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy Π = Π _ľ ⊗ Π _v , gdzie Π _ľ , Π _v są nieprzywiedlne reprezentacje su (2) .
• Unikalność wynika z tego, że Π _m są jedynymi nieredukowalnymi reprezentacjami SU(2) , co jest jednym z wniosków twierdzenia o największej wadze.

Wymiar

Reprezentacje ( m ,  n ) są (2 m  + 1) (2 n  + 1) -wymiarowe. Najłatwiej to wynika z obliczenia wymiarów w dowolnej konkretnej realizacji, takiej jak ta podana w przedstawieniach i${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C})}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})}$ . Dla ogólnego Lie Algebra do wzoru wymiarów Weyl , ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\ Displaystyle \ dim \ pi _ {\ rho} = {\ Frac {\ pi _ {\ alfa \ w R ^ {+}} \ langle \ alfa \ rho + \ delta \ rangle {\ pi _ {\ alfa \in R^{+}}\langle \alpha ,\delta \rangle }},}$

ma zastosowanie, gdzie R ⁺ jest zbiorem pierwiastków dodatnich, ρ jest najwyższą wagą, a δ jest połową sumy pierwiastków dodatnich. Produkt wewnętrzną jest to, że leżą Algebra niezmiennika pod działaniem grupy Weyl na tym podalgebrą Cartan . Pierwiastki (tak naprawdę elementy są przez ten produkt wewnętrzny identyfikowane z elementami For, formuła redukuje się do dim π _μ = 2 μ + 1 = 2 m + 1 , gdzie należy wziąć pod uwagę obecny zapis . Najwyższa waga to 2 μ Biorąc produkty tensorowe, wynik jest następujący. ${\ Displaystyle \ langle \ cdot \ cdot \ rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}\podzbiór {\mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}.}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C}),}$

Wierność

Jeśli reprezentacja Π grupy Liego G nie jest wierna, to N = ker Π jest nietrywialną podgrupą normalną. Istnieją trzy istotne przypadki.

1. N jest niedyskretne i abelowe .
2. N jest niedyskretne i nieabelowe.
3. N jest dyskretne. W tym przypadku N ⊂ Z , gdzie Z jest środkiem G .

W przypadku SO(3; 1) ⁺ , pierwszy przypadek jest wykluczony, ponieważ SO(3; 1) ⁺ jest półproste. Drugi przypadek (i pierwszy przypadek) jest wykluczony, ponieważ SO(3; 1) ⁺ jest prosty. W trzecim przypadku SO(3; 1) ⁺ jest izomorficzne z ilorazem Ale jest centrum. Wynika z tego, że centrum SO(3; 1) ⁺ jest trywialne, co wyklucza trzeci przypadek. Wniosek jest taki, że każda reprezentacja Π : SO(3; 1) ⁺ → GL( V ) i każda reprezentacja rzutowa Π : SO(3; 1) ⁺ → PGL( W ) dla V , W skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych są wierne. ${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C}) / \ {\ pm I \}}.$${\ Displaystyle \ {\ pm I \}}$${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C}).}$

Używając fundamentalnej korespondencji Liego, powyższe stwierdzenia i rozumowanie przekładają się bezpośrednio na algebry Liego z (abelowymi) nietrywialnymi niedyskretnymi normalnymi podgrupami zastąpionymi (jednowymiarowymi) nietrywialnymi ideałami w algebrze Liego i środkiem SO(3); 1) ⁺ zastąpione przez centrum Centrum każdej półprostej algebry Liego jest trywialna, półprosta i prosta, a zatem nie zawiera nietrywialnych ideałów. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} (3; 1) ^ {+}}$${\displaystyle {\mathfrak {tak}}(3;1)}$

Pokrewnym faktem jest to, że jeśli odpowiednia reprezentacja jest wierna, to reprezentacja jest rzutowa. I odwrotnie, jeśli przedstawienie nie jest projektywne, to odpowiadające mu przedstawienie nie jest wierne, ale wynosi 2:1 . ${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C})}$${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C})}$

Brak jedności

( M ,  n ) reprezentacja Lie Algebra nie hermitowskie . W związku z tym odpowiednia (projekcyjna) reprezentacja grupy nigdy nie jest jednolita . Wynika to z braku zwartości grupy Lorentz. W rzeczywistości, połączona prosta, niezwarta grupa Liego nie może mieć żadnych nietrywialnych, unitarnych reprezentacji skończenie wymiarowych. Jest na to topologiczny dowód. Niech u  : G → GL( V ) , gdzie V jest skończenie wymiarowe, będzie ciągłą unitarną reprezentacją niezwartej połączonej prostej grupy Liego G . Wtedy u ( G ) ⊂ U( V ) ⊂ GL( V ) gdzie U( V ) jest zwartą podgrupą GL( V ) składającą się z unitarnych przekształceń V . Jądro z U jest normalnie podgrupa o G . Ponieważ G jest proste, ker u jest albo całością G , w tym przypadku u jest trywialne, albo ker u jest trywialne, w którym to przypadku u jest wierne . W tym drugim przypadku u jest dyfeomorfizmem na jego obrazie, u ( G ) ≅ G i u ( G ) jest grupą Liego. Oznaczałoby to, że u ( G ) jest wbudowaną niezwartą podgrupą Lie zwartej grupy U( V ) . Jest to niemożliwe z topologią podprzestrzeni na U ( G ) ⊂ U ( V ) , ponieważ wszystkie osadzone podgrupy kłamstwo grupy Lie są zamknięte Jeśli u ( G ) zostały zamknięte, byłoby niewielkie, a następnie G byłaby zwarta, w przeciwieństwie do założenie.

W przypadku grupy Lorentz widać to również bezpośrednio z definicji. Reprezentacje A i B użyte w konstrukcji są hermitowskie. Oznacza to, że J jest hermitowski, a K jest antyhermitowski . Brak jedności nie stanowi problemu w kwantowej teorii pola, ponieważ obiekty zainteresowania nie muszą mieć dodatniej określonej normy niezmiennej względem Lorentza.

Ograniczenie do SO(3)

Reprezentacja ( m ,  n ) jest jednak jednolita, gdy jest ograniczona do podgrupy obrotowej SO(3) , ale te reprezentacje nie są nieredukowalne jako reprezentacje SO(3). Rozkładu Clebsch-Gordan można stosować pokazano, że ( m ,  n ) reprezentacji mają SO (3) -invariant podprzestrzeni największej masie (wirowanie) m + n , m + n - 1, ..., | m − n |  , gdzie każda możliwa najwyższa waga (spin) występuje dokładnie raz. Podprzestrzeń wagowa o największej wadze (spin) j jest (2 j + 1) -wymiarowa. Na przykład (1/2, 1/2) reprezentacja ma podprzestrzenie spin 1 i spin 0 odpowiednio o wymiarze 3 i 1.

Ponieważ operator momentu pędu jest dany przez J = A + B , najwyższy spin w mechanice kwantowej podreprezentacji rotacji będzie ( m + n )ℏ a "zwykłe" zasady dodawania momentu pędu i formalizm 3 -j symbole , symbole 6-j , itp dotyczy.

Spinory

To podprzestrzenie niezmienniczych reprezentacji nieredukowalnych SO(3) określają, czy reprezentacja ma spin. Z powyższego akapitu widać, że reprezentacja ( m ,  n ) ma spin, jeśli m + n jest półcałką. Najprostsze to ( 1/2, 0) i (0,  1/2) , spinory Weyla o wymiarze 2 . Wtedy na przykład (0,  3/2) i (1,  1/2) to spinowe reprezentacje wymiarów 23/2+ 1 = 4 i (2 + 1) (21/2+ 1) = odpowiednio 6 . Zgodnie z powyższym akapitem, istnieją podprzestrzenie o spinie obydwóch3/2 oraz 1/2w ostatnich dwóch przypadkach, więc te reprezentacje nie mogą prawdopodobnie reprezentować pojedynczej fizycznej cząstki, która musi być dobrze zachowywana zgodnie z SO(3) . Nie można jednak ogólnie wykluczyć, że reprezentacje z wieloma podreprezentacjami SO(3) o różnym spinie mogą reprezentować cząstki fizyczne o dobrze zdefiniowanym spinie. Być może istnieje odpowiednie relatywistyczne równanie falowe, które rzutuje niefizyczne składowe , pozostawiając tylko pojedynczy spin.

Budowa czystego spinu n/2reprezentacje dla dowolnego n (pod SO(3) ) z reprezentacji nieredukowalnych obejmują wzięcie iloczynów tensorowych reprezentacji Diraca z reprezentacją niespinową, wyodrębnienie odpowiedniej podprzestrzeni i na koniec nałożenie ograniczeń różniczkowych.

Podwójne reprezentacje

Poniższe twierdzenia są stosowane w celu zbadania, czy podwójna reprezentacja nieredukowalnej reprezentacji jest izomorficzna z oryginalną reprezentacją:

1. Komplet odważników o podwójnej reprezentacji wystąpienia nieredukowalnej reprezentacji półprosty Lie algebra jest tym krotności negatywny zestawu wag do oryginalnej reprezentacji.
2. Dwie nieredukowalne reprezentacje są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tę samą najwyższą wagę .
3. Dla każdego półprosty Lie Algebra istnieje unikalny element wagowo ₀ z grupy Weyl , tak że jeśli μ jest dominującym integralną masy, a następnie w ₀ ⋅ (- ľ ) jest ponownie dominującym masy całki.
4. Jeżeli jest reprezentacją nieredukowalną o najwyższej wadze μ ₀ , to ma najwyższą wagę w ₀ ⋅ ( − μ ) .${\ Displaystyle \ pi _ {\ mu _ {0}}}$${\ Displaystyle \ pi _ {\ mu _ {0}} ^ {*}}$

Tutaj elementy grupy Weyl są traktowane jako przekształcenia ortogonalne, działające przez mnożenie macierzy, na rzeczywistą przestrzeń wektorów pierwiastków . Jeżeli − I jest elementem grupy Weyla półprostej algebry Liego, to w ₀ = − I . W przypadku grupy Weyl W = { I , − I } . Wynika z tego, że każdy π _μ , μ = 0, 1, … jest izomorficzny ze swoim dualizmem. System pierwiastkowy jest pokazany na rysunku po prawej stronie. Grupa Weyl jest generowana przez gdzie jest odbicie w płaszczyźnie prostopadłej do γ, gdy γ obejmuje wszystkie pierwiastki. Kontrola wykazała, że w _α ⋅ w _β = − I tak − I ∈ W . Korzystając z faktu, że jeśli π , σ są reprezentacjami algebr Liego i π ≅ σ , to Π ≅ Σ , wniosek dla SO(3; 1) ⁺ jest ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C}),}$${\ Displaystyle \ pi _ {\ mu} ^ {*}.}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C})}$${\displaystyle \{w_{\gamma}\}}$${\displaystyle w_{\gamma}}$

${\ Displaystyle \ pi _ {m, n} ^ {*} \ cong \ pi _ {m, n}, \ quad \ pi _ {m, n} ^ {*} \ cong \ pi _ {m, n} ,\quad 2m,2n\in \mathbf {N} .}$

Złożone reprezentacje sprzężone

Jeśli π jest reprezentacją algebry Liego, to jest reprezentacją, w której słupek oznacza sprzężenie zespolone w macierzach reprezentatywnych. Wynika to ze złożonej koniugacji z dodawaniem i mnożeniem. Na ogół, każda nierozkładalny reprezentacja π od można zapisać jednoznacznie jako π = π ⁺ + π ^- , gdzie ${\displaystyle {\overline {\pi}}}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C})}$

${\ Displaystyle \ pi ^ {\ pm} (X) = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (\ pi (X) \ pm i \ pi \ lewo (i ^ {-1} X \ prawej) \Prawidłowy),}$

z holomorficznym (złożony liniowy) i antyholomorficzny (koniugat liniowy). Bo ponieważ jest holomorficzny, jest antyholomorficzny. Bezpośrednie zbadanie wyraźnych wyrażeń dla iw równaniu (S8) poniżej pokazuje, że są one odpowiednio holomorficzne i antyholomorficzne. Bliższa analiza ekspresji (S8) pozwala także na identyfikację i na jak ${\ Displaystyle \ pi ^ {+}}$${\ Displaystyle \ pi ^ {-}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C}),}$${\ Displaystyle \ pi _ {\ mu}}$${\displaystyle {\overline {\pi _{\mu}}}}$${\ Displaystyle \ pi _ {\ mu, 0}}$${\displaystyle \pi_{0,\nu}}$${\ Displaystyle \ pi ^ {+}}$${\ Displaystyle \ pi ^ {-}}$${\displaystyle \pi_{\mu,\nu}}$

${\ Displaystyle \ pi _ {\ mu, \ nu} ^ {+} = \ pi _ {\ mu} ^ {\ oplus _ {\ nu +1}}, \ qquad \ pi _ {\ mu, \ nu} ^{-}={\overline {\pi _{\nu }^{\oplus _{\mu +1}}}}.}$

Stosując powyższe tożsamości (interpretowane jako punktowe dodawanie funkcji), dla SO(3; 1) ⁺ uzyski

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ overline {\ pi _ {m, n}}} i = {\ overline {\ pi _ {m, n} ^ {+} + \ pi _ {m, n} ^{-}}}={\overline {\pi _{m}^{\oplus _{2n+1}}}}+{\overline {{\overline {\pi _{n}}}^{\ oplus _{2m+1}}}}\\&=\pi _{n}^{\oplus _{2m+1}}+{\overline {\pi _{m}}}^{\oplus _{ 2n+1}}=\pi _{n,m}^{+}+\pi _{n,m}^{-}=\pi _{n,m}\\&&&2m,2n\in \mathbb { N} \\{\overline {\Pi _{m,n}}}&=\Pi _{n,m}\end{wyrównany}}}$

gdzie stwierdzenie dla reprezentacji grup wynika z exp( X ) = exp( X ) . Wynika z tego, że reprezentacje nieredukowalne ( m , n ) mają rzeczywiste reprezentacje macierzowe wtedy i tylko wtedy, gdy m = n . Reprezentacje redukowalne na postaci ( m , n ) ( n , m ) również mają macierze rzeczywiste.

Reprezentacja sprzężona, algebra Clifforda i reprezentacja spinora Diraca

W ogólnej teorii reprezentacji, jeśli ( π ,  V ) jest reprezentacją algebry Liego, to istnieje powiązana reprezentacja on End ( V ) , również oznaczana π , podana przez ${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$

${\ Displaystyle \ pi (X) (A) = [\ pi (X), A], \ qquad A \ w \ operatorname {koniec} (V), \ X \ w {\ mathfrak {g}}.}$

( I1 )

Podobnie, reprezentacja (Π,  V ) grupy G uzyskuje się reprezentacji gatunku na końcu ( V ), w G , jeszcze oznaczona Π , podanych

${\ Displaystyle \ Pi (g) (A) = \ Pi (g) A \ Pi (g) ^ {-1}, \ qquad A \ w \ operatorname {koniec} (V), \ g \ w G.}$

( I2 )

Jeśli π i Π są standardowymi reprezentacjami i jeśli działanie jest ograniczone do, to dwie powyższe reprezentacje są odpowiednio sprzężoną reprezentacją algebry Liego i sprzężoną reprezentacją grupy . Odpowiednie reprezentacje (niektóre lub ) zawsze istnieją dla dowolnej macierzowej grupy Liego i są najważniejsze dla badania teorii reprezentacji w ogóle, aw szczególności dla dowolnej grupy Liego. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {tak}} (3,1) \ podzbiór {\ tekst {koniec}} (\ mathbb {R} ^ {4})}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$

Stosując to do grupy Lorentza, jeśli (Π,  V ) jest reprezentacją rzutową, to bezpośrednie obliczenie za pomocą (G5) pokazuje, że indukowana reprezentacja na End( V ) jest właściwą reprezentacją, tj. reprezentacją bez współczynników fazowych.

W mechanice kwantowej oznacza to, że jeśli ( π ,  H ) lub (Π,  H ) jest reprezentacją działającą na pewnej przestrzeni Hilberta H , to odpowiednia indukowana reprezentacja działa na zbiór operatorów liniowych na H . Jako przykład, indukowana reprezentacja wirowania rzutowego (1/2, 0) (0, 1/2) reprezentacja na End( H ) jest nieprojekcyjnym 4-wektorem (1/2, 1/2) reprezentacja.

Dla uproszczenia rozważmy tylko „część dyskretną” End( H ) , to znaczy daną podstawę dla H , zbioru stałych macierzy o różnych wymiarach, w tym możliwie nieskończonych. Indukowana 4-wektorowa reprezentacja powyższego na tym uproszczonym End( H ) ma niezmienną 4-wymiarową podprzestrzeń, która jest rozciągnięta przez cztery macierze gamma . (Konwencja dane są różne w połączonym artykułu). W analogiczny sposób, cały Clifford Algebra czasoprzestrzeni , którego complexification jest generowane przez gamma matryce Rozkłada się w bezpośrednim suma przestrzeni reprezentacji o skalarnej nieredukowalnego reprezentacji (irrep), przy czym (0, 0) , pseudoskalarny irrep, również (0, 0) , ale z odwróceniem parzystości wartość własna −1 , patrz następna sekcja poniżej, wspomniany już wektor irrep, (${\ Displaystyle {\ mathcal {Cl}} _ {3,1} (\ mathbb {R}),}$${\ Displaystyle {\ tekst {M}} (4, \ mathbb {C}),}$1/2, 1/2) , nierep pseudowektora , (1/2, 1/2) z odwróceniem parzystości wartością własną +1 (nie −1) i tensorowym irrep (1, 0) ⊕ (0, 1) . Wymiary sumują się do 1 + 1 + 4 + 4 + 6 = 16 . Innymi słowy,

${\ Displaystyle {\ mathcal {Cl}} _ {3,1} (\ mathbb {R}) = (0,0) \ oplus \ lewo ({\ Frac {1} {2}}, {\ Frac {1 }{2}}\right)\oplus [(1,0)\oplus (0,1)]\oplus \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}} \right)_{p}\oplus (0,0)_{p},}$

( I3 )

gdzie, jak to jest w zwyczaju , przedstawienie jest mylone z jego przestrzenią reprezentacji.

(1/2, 0) (0, 1/2) reprezentacja spinu

Sześciowymiarowa przestrzeń reprezentacji tensora (1, 0) ⊕ (0, 1) -reprezentacja wewnątrz ma dwie role. ten ${\ Displaystyle {\ mathcal {Cl}} _ {3,1} (\ mathbb {R})}$

${\ Displaystyle \ sigma ^ {\ mu \ nu} = - {\ Frac {i} {4}} \ lewo [\ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ prawej]}$

( I4 )

gdzie są macierze gamma, sigma, z których tylko 6 jest niezerowych ze względu na antysymetrię nawiasu, obejmują przestrzeń reprezentacji tensorów. Ponadto mają relacje komutacyjne algebry Lorentza Liego, ${\ Displaystyle \ gamma ^ {0}, \ ldots, \ gamma ^ {3} \ w {\ mathcal {Cl}} _ {3,1} (\ mathbb {R})}$

${\ Displaystyle \ lewo [\ sigma ^ {\ mu \ nu}, \ sigma ^ {\ rho \ tau} \ prawej] = ja \ lewo (\ eta ^ {\ tau \ mu} \ sigma ^ {\ rho \ nu }+\eta ^{\nu \tau }\sigma ^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }\sigma ^{\tau \nu }-\eta ^{\nu \rho }\ sigma ^{\mu \tau }\prawo),}$

( I5 )

a zatem stanowi reprezentację (oprócz obejmujących reprezentacji przestrzeni) siedzących wewnątrz (${\ Displaystyle {\ mathcal {Cl}} _ {3,1} (\ mathbb {R}),}$1/2, 0) (0, 1/2) reprezentacja spinu. Aby uzyskać szczegółowe informacje, zobacz Algebra bispinora i Diraca .

Wniosek jest taki, że każdy element złożonej w End( H ) (tj. każda zespolona macierz 4 × 4 ) ma dobrze zdefiniowane właściwości transformacji Lorentza. Ponadto posiada spinową reprezentację algebry Lorentza Liego, która po potęgowaniu staje się spinową reprezentacją grupy, czyniąc ją przestrzenią bispinorów. ${\ Displaystyle {\ mathcal {Cl}} _ {3,1} (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {4}}$

Reprezentacje redukowalne

Istnieje wiele innych reprezentacji, które można wydedukować z reprezentacji nieredukowalnych, takich jak te uzyskane przez wzięcie sum bezpośrednich, iloczynów tensorowych i ilorazów reprezentacji nieredukowalnych. Inne metody otrzymywania reprezentacji obejmują ograniczenie reprezentacji większej grupy zawierającej grupę Lorentza, np. i grupę Poincaré. Reprezentacje te na ogół nie są nieredukowalne. ${\ Displaystyle {\ tekst {GL}} (n \ mathbb {R})}$

Grupa Lorentza i jej algebra Liego mają całkowitą własność redukowalności . Oznacza to, że każda reprezentacja sprowadza się do bezpośredniej sumy reprezentacji nieredukowalnych. Reprezentacje redukowalne nie będą zatem omawiane.

Inwersja przestrzeni i odwrócenie czasu

Reprezentacja (prawdopodobnie rzutowa) ( m ,  n ) jest nieredukowalna jako reprezentacja SO(3; 1) ⁺ , składnik tożsamości grupy Lorentza, w terminologii fizyki właściwa ortochroniczna grupa Lorentza. Jeśli m = n można go rozszerzyć do reprezentacji wszystkich O(3; 1) , pełnej grupy Lorentza, w tym odwrócenia parzystości przestrzennej i odwrócenia czasu . Reprezentacje ( m , n ) ( n , m ) mogą być rozszerzone w podobny sposób.

Odwrócenie parzystości przestrzeni

Dla odwrócenia parzystości przestrzennej rozważane jest działanie sprzężone Ad _P z P ∈ SO(3; 1) on , gdzie P jest standardowym przedstawicielem odwrócenia parzystości przestrzennej, P = diag(1, -1, -1, -1) , podane przez ${\displaystyle {\mathfrak {tak}}(3;1)}$

${\ Displaystyle \ operatorname {reklama} _ {P} (J_ {i}) = PJ_ {i} P ^ {-1} = J_ {i} \ qquad \ operatorname {reklama} _ {P} (K_ {i })=PK_{i}P^{-1}=-K_{i}.}$

( F1 )

To właśnie te właściwości K i J pod P, które motywują terminy wektor dla K i pseudowektor lub wektor osiowy dla J . W podobny sposób, jeśli π jest dowolną reprezentacją, a Π jest reprezentacją grupy, to Π(SO(3; 1) ⁺ ) działa na reprezentację π przez działanie sprzężone, π ( X ) ↦ Π( g )  π ( X ) Π( g ) ^-1 dla g ∈ SO(3; 1) ⁺ . Jeśli P ma być zawarte w Π , to zgodność z (F1) wymaga, aby ${\displaystyle {\mathfrak {tak}}(3;1)}$${\displaystyle X\in {\mathfrak {tak}}(3;1)}$

${\ Displaystyle \ Pi (P) \ pi (B_ {i}) \ Pi (P) ^ {-1} = \ pi (A_ {i})}$

( F2 )

uchwyty, gdzie A i B są zdefiniowane jak w pierwszej sekcji. Może to mieć miejsce tylko wtedy, gdy A _i i B _i mają te same wymiary, tj. tylko wtedy, gdy m = n . Gdy m ≠ n wtedy ( m ,  n )⊕( n ,  m ) można rozszerzyć do nieredukowalnej reprezentacji SO(3;1) ⁺ , ortochronicznej grupy Lorentza. Reprezentant odwrócenia parzystości Π( P ) nie pojawia się automatycznie wraz z ogólną konstrukcją reprezentacji ( m ,  n ) . Musi być określony osobno. Macierz β = i  γ ⁰ (lub wielokrotność modułu -1 razy) może być stosowana w (1/2, 0) (0, 1/2) reprezentacja.

Jeśli parzystość jest zawarta ze znakiem minus ( macierz 1×1 [−1] ) w reprezentacji (0,0) , nazywa się to reprezentacją pseudoskalarną .

Odwrócenie czasu

Odwrócenie czasu T = diag(−1, 1, 1, 1) , działa podobnie na by ${\displaystyle {\mathfrak {tak}}(3;1)}$

${\ Displaystyle \ operatorname {reklama} _ {T} (J_ {i}) = TJ_ {i} T ^ {-1} = - J_ {i}, \ qquad \ operatorname {reklama} _ {T} (K_ { i})=TK_{i}T^{-1}=K_{i}.}$

( F3 )

Poprzez wyraźne włączenie reprezentanta dla T , jak również jednego dla P , otrzymuje się reprezentację pełnej grupy Lorentza O(3; 1) . Subtelny problem pojawia się jednak w zastosowaniu do fizyki, w szczególności mechaniki kwantowej. Rozważając pełną grupę Poincarégo , cztery dodatkowe generatory, P ^μ , oprócz J ⁱ i K ⁱ generują grupę. Są one interpretowane jako generatory tłumaczeń. Składnik czasowy P ⁰ to hamiltonian H . Operator T spełnia zależność

${\ Displaystyle \ operatorname {Ad} _ {T} (iH) = TiHT ^ {-1} = - iH}$

( F4 )

analogicznie do powyższych relacji z zastąpione przez pełną algebrę Poincarégo . Po prostu anulując i , wynik THT ⁻¹ = − H oznaczałby, że dla każdego stanu Ψ o dodatniej energii E w przestrzeni Hilberta stanów kwantowych o niezmienności w czasie, byłby stan Π ( T ⁻¹ )Ψ o ujemnej energii − E . Takie stany nie istnieją. Operator Π( T ) jest zatem wybrany antyliniowym i antyunitarnym , tak że jest antykomutowany z i , co daje THT ^-1 = H , a jego działanie na przestrzeń Hilberta również staje się antyliniowe i antyunitarne. Może być wyrażona jako kompozycja złożonej koniugacji z mnożeniem przez macierz unitarną. Jest to matematycznie poprawne, patrz twierdzenie Wignera , ale przy bardzo ścisłych wymaganiach terminologicznych Π nie jest reprezentacją . ${\displaystyle {\mathfrak {tak}}(3;1)}$

Podczas konstruowania teorii, takich jak QED, która jest niezmienna w przypadku parzystości przestrzennej i odwrócenia czasu, można wykorzystać spinory Diraca, podczas gdy teorie, które tego nie robią, takie jak siła elektrosłaba , muszą być sformułowane w kategoriach spinorów Weyla. Reprezentacja Diraca, (1/2, 0) (0, 1/2) zwykle przyjmuje się, że obejmuje zarówno parzystość przestrzenną, jak i inwersje czasowe. Bez odwrócenia parzystości przestrzennej nie jest to reprezentacja nieredukowalna.

Trzecia symetria dyskretna wchodząca do twierdzenia CPT wraz z P i T , symetria sprzężeń ładunków C , nie ma nic wspólnego z niezmiennością Lorentza.

Akcja na przestrzeniach funkcyjnych

Jeżeli V jest przestrzenią wektorową funkcji o skończonej liczbie zmiennych n , to działanie na funkcji skalarnej dane przez ${\ Displaystyle f \ w V}$

${\ Displaystyle (\ Pi (g) f) (x) = f \ lewo (\ Pi _ {x} (g) ^ {-1} x \ prawej), \ qquad x \ w \ mathbb {R} ^ { n},f\w V}$

( H1 )

daje inną funkcję Π f ∈ V . Tutaj Π _x jest reprezentacją n- wymiarową, a Π jest prawdopodobnie nieskończenie wymiarową reprezentacją. Szczególnym przypadkiem tej konstrukcji jest, gdy V jest przestrzenią funkcji określonych na grupę liniową G samo postrzegane w n -wymiarowej kolektora osadzony w (z m od wymiaru macierzy). Jest to otoczenie, w którym formułuje się twierdzenie Petera–Weyla i twierdzenie Borela–Weila . Pierwsza pokazuje istnienie rozkładu Fouriera funkcji na zwartej grupie na postacie reprezentacji skończenie wymiarowych. To ostatnie twierdzenie, dostarczając bardziej wyraźnych reprezentacji, wykorzystuje sztuczkę unitarną do uzyskania reprezentacji złożonych niezwartych grup, np.${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m ^ {2}}}$${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C}).}$

Poniżej zilustrowano działanie grupy Lorentza i podgrupy rotacji na niektórych przestrzeniach funkcyjnych.

rotacje euklidesowe

Podgrupa SO(3) trójwymiarowych rotacji euklidesowych ma nieskończenie wymiarową reprezentację w przestrzeni Hilberta

${\ Displaystyle L ^ {2} \ lewo (\ mathbb {S} ^ {2} \ prawej) = \ operatorname {rozpiętość} \ lewo \ {Y_ {m} ^ {l} l \ w \ mathbb {N} ^{+},-l\leqslant m\leqslant l\right\},}$

gdzie są harmoniki sferyczne . Dowolna funkcją prostokątną zabudowy f JednyM kuli urządzenie może być wyrażona ${\ Displaystyle Y_ {m} ^ {l}}$

${\ Displaystyle f (\ theta, \ varphi) = \ suma _ {l = 1} ^ {\ infty} \ suma _ {m = - l} ^ {l} f_ {lm} Y_ {m} ^ {l} (\theta ,\varphi ),}$

( H2 )

gdzie M _LM są uogólnione współczynniki Fouriera .

Akcja grupy Lorentza ogranicza się do SO(3) i jest wyrażona jako

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} (\ Pi (R) f) (\ theta (x), \ varphi (x)) i = \ suma _ {l = 1} ^ {\ infty} \ suma _ {m ,=-l}^{l}\sum _{m'=-l}^{l}D_{mm'}^{(l)}(R)f_{lm'}Y_{m}^{l} \left(\theta \left(R^{-1}x\right),\varphi \left(R^{-1}x\right)\right),\\[5pt]&R\in \mathrm {SO } (3),x\in \mathbb {S} ^{2},\end{wyrównany}}}$

( H4 )

gdzie D ^l są otrzymywane od przedstawicieli nieparzystych wymiarów generatorów rotacji.

Grupa Möbiusa

Składnik tożsamości grupy Lorentza jest izomorficzny z grupą Möbiusa M . Ta grupa może być traktowana jako odwzorowania konforemne albo płaszczyzny zespolonej, albo, poprzez projekcję stereograficzną , sfery Riemanna . W ten sposób można uważać, że sama grupa Lorentza działa konformalnie na płaszczyźnie zespolonej lub na sferze Riemanna.

W płaszczyźnie przekształcenie Möbiusa charakteryzujące się liczbami zespolonymi a ,  b ,  c ,  d działa na płaszczyźnie zgodnie z

${\ Displaystyle f (z) = {\ Frac {az + b} {cz + d}}, \ qquad ad-bc \ neq 0}$.

( M1 )

i mogą być reprezentowane przez złożone macierze

${\ Displaystyle \ Pi _ {f} = {\ zacząć {pmatrix} A & B \ \ C & D \ koniec {pmatrix}} = \ lambda {\ zacząć {pmatrix} a & b \ \ c & d \ koniec {pmatrix}}, \ qquad \ lambda \in \mathbb {C} -\{0\},\nazwa operatora {det} \Pi _{f}=1,}$

( M2 )

ponieważ mnożenie przez niezerowy złożony skalar nie zmienia f . Są to elementy i są unikalne aż do znaku (ponieważ ±Π _f dają to samo f ), stąd${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C})}$${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C} ) / \ {\ pm I \} \ cong {\ tekst {SO}} (3; 1) ^ {+}.}$

Funkcje P Riemanna

Funkcje P Riemanna , rozwiązania równania różniczkowego Riemanna, są przykładem zestawu funkcji, które przekształcają się między sobą pod działaniem grupy Lorentza. Funkcje P Riemanna są wyrażone jako

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} w (z) & = P \ lewo \ {{\ zacząć {macierz} a & b & c & \ \ \ alfa & \ beta & \ gamma & \; z \ \ \ alfa '& \ beta ' &\gamma '&\end{matrix}}\right\}\\&=\left({\frac {za}{zb}}\right)^{\alpha }\left({\frac {zc}{ zb}}\right)^{\gamma }P\left\{\begin{matrix}0&\infty &1&\\0&\alpha +\beta +\gamma &0&\;{\frac {(za)(cb) }{(zb)(ca)}}\\\alpha '-\alpha &\alpha +\beta '+\gamma &\gamma '-\gamma &\end{matrix}}\right\}\end{wyrównany }},}$

( T1 )

gdzie a ,   b ,   c ,   α ,   β ,   γ ,   α′ ,   β′ ,   γ′ są stałymi zespolonymi. Funkcja P po prawej stronie może być wyrażona za pomocą standardowych funkcji hipergeometrycznych . Połączenie jest

${\ Displaystyle P \ lewo \ {{\ zacząć {macierz} 0 & \ infty & 1 & \ \ 0 & a & 0 & \; z \ \ 1-c & b & c-ab & \ koniec {macierz}} \ prawo \} = {} _ {2} F_ { 1}(a,\,b;\,c;\,z).}$

( T2 )

Zestaw stałych 0 ∞ 1 w górnym rzędzie od lewej strony są regularne pojedyncze punkty Spośród hypergeometric równanie Gaussa . Jego wykładniki , czyli rozwiązania z indicial równania , ekspansji wokół punktu pojedynczej 0 to 0 i 1 - C , co odpowiada dwóm liniowo niezależne rozwiązania, i do rozszerzenia wokół punktu pojedynczej 1 są 0 oraz c - - b . Podobnie wykładniki do ∞ są i B dla obu rozwiązań.

Jeden ma tak

${\ Displaystyle w (z) = \ lewo ({\ Frac {za} {zb}} \ prawej) ^ {\ alfa} \ lewo ({\ Frac {zc} {zb}} \ prawej) ^ {\ gamma} {}_{2}F_{1}\left(\alpha +\beta +\gamma ,\,\alpha +\beta '+\gamma ;\,1+\alpha -\alpha ';\,{\frac {(za)(cb)}{(zb)(ca)}}\prawda),}$

( T3 )

gdzie warunek (czasami nazywany tożsamością Riemanna)

${\ Displaystyle \ alfa + \ alfa ' + \ beta + \ beta ' + \ gamma + \ gamma ' = 1}$

na wykładnikach rozwiązań równania różniczkowego Riemanna wykorzystano do zdefiniowania γ ′ .

Pierwszy zbiór stałych po lewej stronie w (T1) , a , b , c oznacza regularne punkty osobliwe równania różniczkowego Riemanna. Drugi zbiór, α ,  β ,  γ , są odpowiednimi wykładnikami przy a , b , c dla jednego z dwóch liniowo niezależnych rozwiązań i odpowiednio α′ ,  β′ ,  γ′ są wykładnikami przy a , b , c dla drugie rozwiązanie.

Zdefiniuj działanie grupy Lorentza na zbiorze wszystkich funkcji P Riemanna przez pierwsze ustawienie

${\ Displaystyle u (\ Lambda ) (z) = {\ Frac {Az + B} {Cz + D}}}$

( T4 )

gdzie A ,   B ,   C ,  D to wpisy w

${\ Displaystyle \ lambda = {\ zacząć {pmatrix} A & B \ \ C i D \ koniec {pmatrix}} \ w {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C}}),}$

( T5 )

dla Λ = p ( λ ) ∈ SO(3; 1) ⁺ transformacja Lorentza.

Definiować

${\ Displaystyle [\ Pi (\ Lambda) P] (z) = P [u (\ Lambda) (z)],}$

( T6 )

gdzie P jest funkcją P Riemanna. Otrzymana funkcja jest ponownie funkcją P Riemanna. Efektem transformacji Möbiusa argumentu jest przesunięcie biegunów do nowych miejsc, a więc zmiana punktów krytycznych, ale nie ma zmiany wykładników równania różniczkowego, które spełnia nowa funkcja. Nowa funkcja jest wyrażona jako

${\ Displaystyle [\ Pi (\ Lambda) P] (u) = P \ lewo \ {{\ zacząć {macierz} \ eta & \ zeta & \ theta & \ \ \ alfa & \ beta & \ gamma & \; u \\\alpha '&\beta '&\gamma '&\end{matrix}}\right\},}$

( T6 )

gdzie

${\ Displaystyle \eta = {\ Frac {Aa + B} Ca + D}} \ quad {\ tekst { i}} \ quad \ zeta = {\ Frac {Ab + B} {Cb + D}} \ quad {\text{ i }}\quad \theta ={\frac {Ac+B}{Cc+D}}.}$

( T7 )

Nieskończenie wymiarowe reprezentacje unitarne

Historia

Grupa Lorentza SO(3; 1) ⁺ i jej podwójna osłona również mają nieskończenie wymiarowe reprezentacje unitarne, badane niezależnie przez Bargmanna (1947) , Gelfanda i Naimarka (1947) oraz Harish-Chandra (1947) za namową Paula Diraca . Ten szlak rozwoju rozpoczął się od Diraca (1936), gdzie opracował on macierze U i B niezbędne do opisu wyższego spinu (porównaj macierze Diraca ), opracowane przez Fierza (1939) , patrz także Fierz i Pauli (1939) oraz zaproponowali prekursory z równania Bargmann-Wignera . W Diraca (1945) zaproponował konkretną nieskończenie wymiarową przestrzeń reprezentacji, której elementy nazwano ekspansorami jako uogólnienie tensorów. Idee te zostały włączone przez Harisha-Chandrę i rozszerzone o ekspinorów jako nieskończenie wymiarowe uogólnienie spinorów w jego artykule z 1947 roku. ${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C})}$

Wzór Plancherela dla tych grup został po raz pierwszy uzyskany przez Gelfanda i Naimark poprzez skomplikowane obliczenia. Zabieg ten został następnie znacznie uproszczony przez Harisha-Chandrę (1951) oraz Gelfanda i Graeva (1953) , opierając się na analogii wzoru całkowania Hermanna Weyla dla zwartych grup Liego . Podstawowe opisy tego podejścia można znaleźć w Rühl (1970) i Knapp (2001) . ${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C})}$

Teoria funkcji sferycznych dla grupy Lorentza, wymagane do analizy harmonicznej na hiperboloidę modelu 3-wymiarowej hiperbolicznej miejsca siedzącego w przestrzeni Minkowskiego jest znacznie łatwiejsze niż w ogólnej teorii. Obejmuje ona jedynie reprezentacje ze sferycznej serii głównej i może być traktowana bezpośrednio, ponieważ we współrzędnych promieniowych Laplace'a na hiperboloidzie jest równoważna Laplace'owi na hiperboloidzie. Teoria ta jest omówiona w Takahashi (1963) , Helgason (1968) , Helgason (2000) i pośmiertny tekst Jorgenson & Lang (2008) . ${\ Displaystyle \ mathbb {R}.}$

Seria główna dla SL(2, C)

Główny cykl lub jednolity główny cykl , są jednolite reprezentacje indukowane z jednowymiarowych reprezentacji niższej trójkątnej podgrupy  B z Ponieważ jednowymiarowych reprezentacji B odpowiadać reprezentacji diagonalnych macierzy, z niezerowych złożonych zgłoszeń z i z ⁻¹ , mają więc postać ${\ Displaystyle G = {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C}).}$

${\ Displaystyle \ chi _ {\ nu, k} {\ zacznij {pmatrix} z ​​i 0 \ \ c i z ^ {-1} \ koniec {pmatrix}} = r ^ {i \ nu} e ^ {ik \ theta}}$

dla k liczba całkowita, ν rzeczywista i z = re ^iθ . Przedstawienia są nieredukowalne ; jedyne powtórzenia, czyli izomorfizmy reprezentacji, występują, gdy k zastępuje się − k . Definicji reprezentacje są zrealizowane L ² odcinki wiązek linii na której jest izomorficzny w zakresie Riemanna . Gdy k = 0 , reprezentacje te tworzą tak zwany sferyczny szereg główny . ${\ Displaystyle G / B = \ mathbb {S} ^ {2}}$

Ograniczenie szeregu głównego do maksymalnie zwartej podgrupy K = SU(2) z  G można również zrealizować jako indukowaną reprezentację  K przy użyciu identyfikacji G / B = K / T , gdzie T = B ∩ K jest maksymalnym torusem w  K składający się z macierzy diagonalnych z | z  | = 1 . Jest to reprezentacja wyprowadzona z reprezentacji jednowymiarowej z ^k T i jest niezależna od  ν . Dzięki wzajemności Frobeniusa na  K rozkładają się one jako prosta suma nieredukowalnych reprezentacji  K o wymiarach | k | + 2 m + 1, gdzie m jest nieujemną liczbą całkowitą.

Korzystając z identyfikacji między sferą Riemanna minus punkt a szeregiem głównym można określić bezpośrednio za pomocą wzoru ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ,}$${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {C} )}$

${\ Displaystyle \ pi _ {\ nu, k} {\ zacząć {pmatrix} a & b \ \ c & d \ koniec {pmatrix}} ^ {-1} f (z) = | cz + d | ^ {-2-i \ nu }\left({cz+d \over |cz+d|}\right)^{-k}f\left({az+b \over cz+d}\right).}$

Nieredukowalność można sprawdzić na różne sposoby:

• Reprezentacja jest już nieredukowalna na  B . Widać to bezpośrednio, ale jest to również szczególny przypadek ogólnych wyników dotyczących nieredukowalności reprezentacji indukowanych według François Bruhata i George'a Mackeya , opierając się na dekompozycji Bruhata G = B ∪ BsB gdzie s jest elementem grupy Weyla

${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} 0 i 1 \ \ 1 i 0 \ koniec {pmatrix}}}$.

• Działanie algebry Liego z  G można obliczyć na algebraicznej prostej sumie nieredukowalnych podprzestrzeni  K można obliczyć jawnie i można bezpośrednio zweryfikować, że podprzestrzeń o najniższym wymiarze generuje tę sumę prostą jako -moduł.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Seria uzupełniająca dla SL(2, C)

Dla 0 < t < 2 , szereg uzupełniający jest zdefiniowany dla iloczynu skalarnego ${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {C} )}$

${\ Displaystyle (f, g) _ {t} = \ iint {\ Frac {f (z) {\ overline {g (w)}}} {| zw | ^ {2-t}}} \ dz \ ,dw,}$

z akcją podaną przez

${\ Displaystyle \ pi _ {t} {\ zacząć {pmatrix} a & b \ \ c i d \ koniec {pmatrix}} ^ {-1} f (z) = | cz + d | ^ {-2-t} f \ lewo ({az+b \over cz+d}\right).}$

Reprezentacje w szeregach komplementarnych są nieredukowalne i parami nieizomorficzne. Jako reprezentacja  K , każda jest izomorficzna do przestrzeni Hilberta suma prosta wszystkich nieparzystowymiarowych nieredukowalnych reprezentacji K = SU(2) . Nieredukowalność można wykazać analizując działanie na sumę algebraiczną tych podprzestrzeni lub bezpośrednio bez użycia algebry Liego. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Twierdzenie Plancherela dla SL(2, C)

Jedynymi nieredukowalnymi reprezentacjami unitarnymi są szereg główny, szereg komplementarny i przedstawienie trywialne. Ponieważ − I zachowuje się jak (−1) ^k na szeregu głównym i trywialnie na reszcie, to dadzą one wszystkie nieredukowalne unitarne reprezentacje grupy Lorentza, pod warunkiem, że k jest parzyste. ${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C})}$

Aby rozłożyć lewą regularną reprezentację  G na tylko głównych szeregach są wymagane. To natychmiast daje rozkład na podreprezentacjach lewą regularną reprezentację grupy Lorentza i regularną reprezentację na trójwymiarowej przestrzeni hiperbolicznej. (Pierwsze dotyczy tylko reprezentacji głównych szeregów z parzystym k, a drugie tylko te z k = 0 .) ${\ Displaystyle L ^ {2} (G)}$${\ Displaystyle L ^ {2} (G/\ {\ pm I \}),}$${\ Displaystyle L ^ {2} (G/K)}$

Lewa i prawa reprezentacja regularna λ i ρ są zdefiniowane przez ${\ Displaystyle L ^ {2} (G)}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} (\ lambda (g) f) (x) i = f \ lewo (g ^ {-1} x \ prawej) \ \ (\ rho (g) f) (x) i =f(xg)\koniec{wyrównany}}}$

Teraz jeśli f jest elementem C _c ( G ) , operator zdefiniowany przez ${\ Displaystyle \ pi _ {\ nu, k} (f)}$

${\ Displaystyle \ pi _ {\ nu, k} (f) = \ int _ {G} f (g) \ pi (g) \ dg}$

to Hilbert-Schmidt . Zdefiniuj przestrzeń Hilberta  H przez

${\ Displaystyle H = \ bigoplus _ {k \ geqslant 0} {\ tekst {HS}} \ po lewej (L ^ {2} (\ mathbb {C}) \ po prawej) \ czasami L ^ {2} \ po lewej (\ mathbb {R} ,c_{k}{\sqrt {\nu ^{2}+k^{2}}}d\nu \right),}$

gdzie

${\ Displaystyle c_ {k} = {\ zacząć {przypadki} {\ Frac {1} {4 \ pi ^ {3/2}}} i k = 0 \ \ {\ Frac {1} {(2 \ pi) ^ {3/2}}}&k\neq 0\end{przypadki}}}$

i oznacza przestrzeń Hilberta operatorów Hilberta-Schmidta na Następnie odwzorowanie  U zdefiniowane na C _c ( G ) przez ${\ Displaystyle {\ tekst {HS}} \ lewo (L ^ {2} (\ mathbb {C}) \ po prawej)}$${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {C}).}$

${\ Displaystyle U (f) (\ nu, k) = \ pi _ {\ nu, k} (f)}$

rozciąga się na unitarny na H . ${\ Displaystyle L ^ {2} (G)}$

Mapa  U spełnia przeplatające się właściwości

${\ Displaystyle U (\ lambda (x) \ rho (y) f) (\ nu k) = \ pi _ {\ nu, k} (x) ^ {-1} \ pi _ {\ nu, k} (f)\pi _{\nu ,k}(y).}$

Jeśli f ₁ , f ₂ są w C _c ( G ) to przez unitarność

${\ Displaystyle (f_ {1}, f_ {2}) = \ suma _ {k \ geqslant 0} c_ {k} ^ {2} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ nazwa operatora {Tr} \left(\pi _{\nu ,k}(f_{1})\pi _{\nu ,k}(f_{2})^{*}\right)\left(\nu ^{2}+ k^{2}\prawo)\,d\nu .}$

Zatem, jeśli oznacza splot o i i następnie ${\displaystyle f=f_{1}*f_{2}^{*}}$${\displaystyle f_{1}}$${\ Displaystyle f_ {2} ^ {*},}$${\ Displaystyle f_ {2} ^ {*} (g) = {\ overline {f_ {2} (g ^ {-1})}}}$

${\ Displaystyle f (1) = \ suma _ {k \ geqslant 0} c_ {k} ^ {2} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ operatorname {Tr} \ lewo (\ pi _ { \nu ,k}(f)\prawo)\lewo(\nu ^{2}+k^{2}\prawo)\,d\nu .}$

Ostatnie dwie wyświetlane formuły są zwykle określane odpowiednio jako formuła Plancherel i formuła inwersji Fouriera .

Formuła Plancherela rozciąga się na wszystkich Według twierdzenia Jacquesa Dixmiera i Paula Malliavina każda gładka, zwarta funkcja na jest skończoną sumą splotów podobnych funkcji, formuła inwersji obowiązuje dla takich f . Można ją rozszerzyć na znacznie szersze klasy funkcji spełniających łagodne warunki różniczkowalności. ${\ Displaystyle f_ {i} \ w L ^ {2} (G).}$${\ Displaystyle G}$

Klasyfikacja reprezentacji SO(3, 1)

Strategią stosowaną w klasyfikacji nieredukowalnych reprezentacji nieskończenie wymiarowych jest, analogicznie do przypadku skończenie wymiarowego, założenie, że istnieją, i zbadanie ich właściwości. Tak więc najpierw założyć, że nierozkładalny silnie ciągły nieskończonej wymiarowej reprezentacji Π _H na Hilberta H o SO (3: 1) ⁺ jest w zasięgu ręki. Ponieważ SO(3) jest podgrupą, Π _{H również} jest jej reprezentacją. Każda nieredukowalna podreprezentacja SO(3) jest skończenie wymiarowa, a reprezentacja SO(3) jest redukowalna do prostej sumy nieredukowalnych skończeniewymiarowych unitarnych reprezentacji SO(3), jeśli Π _H jest unitarne.

Kroki są następujące:

1. Wybierz odpowiednią bazę wspólnych wektorów własnych J ² i J ₃ .
2. Oblicz elementy macierzy J ₁ , J ₂ , J ₃ i K ₁ , K ₂ , K ₃ .
3. Wymuś relacje komutacyjne algebry Liego.
4. Wymagaj unitarności wraz z ortonormalnością bazy.

Krok 1

Jeden odpowiedni wybór podstawy i oznakowania jest podany przez

${\ Displaystyle \ lewo | j_ {0}\ j_ {1}; j \ m \ prawo \ rangle.}$

Jeśli to była skończona trójwymiarowy reprezentację, wówczas J ₀ odpowiadałoby najniższy występujących wartości własnej j ( j + 1), w J ² w reprezentacji, która jest równa | m − n | , a j ₁ odpowiadałoby najwyższej występującej wartości własnej, równej m + n . W przypadku nieskończenie wymiarowym j ₀ ≥ 0 zachowuje to znaczenie, ale j ₁ nie. Dla uproszczenia zakłada się, że dane j występuje co najwyżej raz w danej reprezentacji (tak jest w przypadku reprezentacji skończenie wymiarowych) i można wykazać, że założenie to jest możliwe do uniknięcia (przy nieco bardziej skomplikowanym obliczeniu) z takimi samymi wynikami.

Krok 2

Następnym krokiem jest obliczanie elementów macierzy operatorów J ₁ , J ₂ , J ₃ , a K ₁ , K ₂ , K ₃ tworzący podstawę Algebra ukształtowanie elementów macierzy o i (The complexified Lie Algebra rozumie) są znane z teorii reprezentacji grupy rotacyjnej i podane są przez ${\displaystyle {\mathfrak {tak}}(3;1).}$${\ Displaystyle J_ {\ pm} = J_ {1} \ pm iJ_ {2}}$${\ Displaystyle J_ {3}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ lewo \ langle j \ m \ prawy | J_ {+} \ lewy | j \ m-1 \ prawy \ rangle & = \ lewy \ langle j \, m-1 \ right|J_{-}\left|j\,m\right\rangle ={\sqrt {(j+m)(j-m+1)}},\\\left\langle j,m\right|J_ {3}\left|j\,m\right\rangle &=m,\end{aligned}}}$

gdzie etykiety j ₀ i j ₁ zostały usunięte, ponieważ są takie same dla wszystkich wektorów bazowych w reprezentacji.

Ze względu na relacje komutacyjne

${\ Displaystyle [J_ {i}, K_ {j}] = ja \ epsilon _ {ijk} K_ {k},}$

trójka ( K _i , K _i , K _i ) ≡ K jest operatorem wektorowym, a twierdzenie Wignera–Eckarta stosuje się do obliczania elementów macierzowych między stanami reprezentowanymi przez wybraną bazę. Elementy macierzy

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} K_ {0} ^ {(1)} i = K_ {3} \ \ K_ {\ pm 1} ^ {(1)} i = \ mp {\ Frac {1} {\sqrt {2}}}(K_{1}\pm iK_{2}),\end{wyrównany}}}$

gdzie indeks górny (1) oznacza, że ​​określone wielkości są składowymi operatora tensora sferycznego rzędu k = 1 (co wyjaśnia również współczynnik √ 2 ), a indeksy dolne 0, ±1 są określane jako q we wzorach poniżej, są podane przez

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ lewo \ langle j'm '\ lewo | K_ {0} ^ {(1)} \ prawo | j \ m \ prawo \ rangle & = \ lewo \ langle j ' \ ,m'\,k=1\,q=0|j\,m\right\rangle \left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j'\right\rangle ,\ \\left\langle j'm'\left|K_{\pm 1}^{(1)}\right|j\,m\right\rangle &=\left\langle j'\,m'\,k =1\,q=\pm 1|j\,m\right\rangle \left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j'\right\rangle .\end{aligned} }}$

Tutaj pierwszymi czynnikami po prawej stronie są współczynniki Clebscha-Gordana dla sprzężenia j ′ z k, aby otrzymać j . Drugim czynnikiem są zredukowane elementy macierzy . Nie zależą one od m , m′ lub q , ale zależą od j , j′ i oczywiście K . Pełną listę nie znikających równań można znaleźć w Harish-Chandra (1947 , s. 375).

Krok 3

Następnym krokiem jest żądanie, aby relacje algebry Liego były zachowane, tj. aby

${\ Displaystyle [K_ {\ pm}, K_ {3}] = \ pm J_ {\ pm}, \ quad [K_ {+}, K_ {-}] = -2J_ {3}.}$

Daje to zestaw równań, dla których rozwiązania są

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ lewo \ langle j \ lewo \ | K ^ {(1)} \ prawo \ | j \ prawo \ rangle & = i {\ Frac {j_ {1} j_ {0}} {\sqrt {j(j+1)}}},\\\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j-1\right\rangle &=-B_{j} \xi _{j}{\sqrt {j(2j-1)}},\\\left\langle j-1\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &= B_{j}\xi _{j}^{-1}{\sqrt {j(2j+1)}},\end{wyrównany}}}$

gdzie

${\ Displaystyle B_ {j} = {\ sqrt {\ Frac {(j ^ {2}-j_ {0} ^ {2}) (j ^ {2}-j_ {1} ^ {2})} {j ^{2}(4j^{2}-1)}}},\quad j_{0}=0,{\tfrac {1}{2}},1,\ldots \quad {\text{i}} \quad j_{1},\xi _{j}\in \mathbb {C} .}$

Krok 4

Nałożenie wymogu unitarności odpowiedniej reprezentacji grupy ogranicza możliwe wartości dla dowolnych liczb zespolonych j ₀ i ξ _j . Unitarność reprezentacji grupowej przekłada się na wymóg, aby przedstawiciele algebry Liego byli hermitami, co oznacza

${\ Displaystyle K_ {\ pm } ^ {\ sztylet} = K_ {\ mp}, \ quad K_ {3} ^ {\ sztylet} = K_ {3}.}$

To przekłada się na

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ lewo \ langle j \ lewo \ | K ^ {(1)} \ prawo \ | j \ prawo \ rangle & = {\ nadkreślenie {\ lewo \ langle j \ lewo \ | K ^{(1)}\right\|j\right\rangle }},\\\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j-1\right\rangle &=- {\overline {\left\langle j-1\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle }},\end{aligned}}}$

prowadzący do

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} j_ {0} \ po lewej (j_ {1} + {\ nadkreślić {j_ {1}}} \ po prawej) i = 0 \ \ \ po lewej | B_ {j} \ po prawej | \left(\left|\xi _{j}\right|^{2}-e^{-2i\beta _{j}}\right)&=0,\end{aligned}}}$

gdzie β _j jest kątem B _j w postaci biegunowej. Dla | B _j | ≠ 0 następuje i jest wybierane umownie. Możliwe są dwa przypadki: ${\ Displaystyle \ lewo | \ xi _ {j} \ prawo | ^ {2} = 1}$${\ Displaystyle \ xi _ {j} = 1}$

• ${\displaystyle {\podkreślenie {j_{1}+{\nadkreślenie {j_{1}}}=0.}}}$W tym przypadku j ₁ = − iν , ν real,

  ${\ Displaystyle \ lewo \ langle j \ lewo \ | K ^ {(1)} \ prawo \ | j \ prawo \ rangle = {\ Frac {\ nu j_ {0}} {j (j + 1)}} \ quad {\text{i}}\quad B_{j}={\sqrt {\frac {(j^{2}-j_{0}^{2})(j^{2}+\nu ^{2 })}{4j^{2}-1}}}}$

To jest główna seria . Jego elementy są oznaczone${\ Displaystyle (j_ {0}, \ nu), 2j_ {0} \ w \ mathbb {N}, \ nu \ w \ mathbb {R}}.$

• ${\displaystyle {\podkreślenie {j_{0}=0.}}}$ Wynika:

  ${\ Displaystyle \ lewo \ langle j \ lewo \ | K ^ {(1)} \ prawo \ | j \ prawo \ rangle = 0 \ quad {\ tekst {i}} \ quad B_ {j} = {\ sqrt { \frac {j^{2}-\nu ^{2}}{4j^{2}-1}}}}$

Ponieważ B ₀ = B _{j 0} , B²
_jjest rzeczywista i dodatnia dla j = 1, 2, ... , co prowadzi do -1 ≤ ν ≤ 1 . Jest to seria uzupełniająca . Jej elementy oznaczono (0, ν ), −1 ≤ ν ≤ 1 .

Pokazuje to, że reprezentacja powyżej są wszystkie nieprzywiedlne jednostkowe reprezentacje nieskończone wymiarowej.

Jawne formuły

Konwencje i bazy algebr Lie

Wybrana metryka jest podana przez η = diag(−1, 1, 1, 1) i używana jest konwencja fizyki dla algebr Liego i mapowania wykładniczego. Te wybory są arbitralne, ale kiedy już zostaną podjęte, ustalone. Jednym z możliwych wyborów podstaw algebry Liego jest, w czterowektorowej reprezentacji, dane wzorem:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} J_ {1} = J ^ {23} = - J ^ {32} i = i {\ zacząć {pmatrix} 0 i 0 i 0 i 0 \ \ 0 i 0 i 0 i 0 \ \ 0 i 0 i 0 i 1 \ \ 0 i 0 i 1 i 0 \ koniec { pmmatrix}},&K_{1}=J^{01}=-J^{10}&=i{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\\[ 8pt]J_{2}=J^{31}=-J^{13}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{pmatrix}},&K_{2 }=J^{02}=-J^{20}&=i{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\\[8pt]J_{3}= J^{12}=-J^{21}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},&K_{3}=J^{03} =-J^{30}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}.\\[8pt]\end{wyrównany}}}$

Relacje komutacyjne algebry Liego to: ${\displaystyle {\mathfrak {tak}}(3;1)}$

${\ Displaystyle \ lewo [J ^ {\ mu \ nu}, J ^ {\ rho \ sigma} \ prawej] = ja \ lewo (\ eta ^ {\ sigma \ mu} J ^ {\ rho \ nu} + \ eta ^{\nu \sigma }J^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }J^{\sigma \nu }-\eta ^{\nu \rho }J^{\mu \ sigma }\prawo).}$

W notacji trójwymiarowej są to

${\ Displaystyle \ lewo [J_ {i}, J_ {j} \ po prawej] = ja \ epsilon _ {ijk} J_ {k}, \ quad \ lewo [J_ {i}, K_ {j} \ po prawej] = i \epsilon _{ijk}K_{k},\quad \left[K_{i},K_{j}\right]=-i\epsilon _{ijk}J_{k}.}$

Wybór powyższej podstawy zadowala relacje, ale możliwe są inne wybory. Należy zwrócić uwagę na wielokrotne użycie symbolu J powyżej iw sequelu.

Spinory i bispinory Weyla

Biorąc z kolei m =1/2, n = 0 i m = 0, n =1/2 i przez ustawienie

${\ Displaystyle J_ {i} ^ {\ lewo ({\ Frac {1} {2}} \ prawej)} = {\ Frac {1} {2}} \ sigma _ {i}}$

w ogólnym wyrażeniu (G1) i używając trywialnych relacji 1 ₁ = 1 i J ⁽⁰⁾ = 0 , wynika

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ pi _ {\ lewo ({\ Frac {1} {2}}, 0 \ prawej)} (J_ {i}) i = {\ Frac {1} {2}} \left(\sigma _{i}\otimes 1_{(1)}+1_{(2)}\otimes J_{i}^{(0)}\right)={\frac {1}{2}} \sigma _{i}\\\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)}(K_{i})&={\frac {i}{2}}\ left(1_{(2)}\otimes J_{i}^{(0)}-\sigma _{i}\otimes 1_{(1)}\right)=-{\frac {i}{2}} \sigma _{i}\\[6pt]\pi _{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)}(J_{i})&={\frac {1}{2 }}\left(J_{i}^{(0)}\otimes 1_{(2)}+1_{(1)}\otimes \sigma _{i}\right)={\frac {1}{2 }}\sigma _{i}\\\pi _{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)}(K_{i})&={\frac {i}{2} }\left(1_{(1)}\otimes \sigma _{i}-J_{i}^{(0)}\otimes 1_{(2)}\right)={\frac {i}{2} }\sigma _{i}\end{wyrównany}}}$

( W1 )

Są to leworęczne i praworęczne reprezentacje spinorów Weyl . Działają one przez mnożenie macierzy w 2-wymiarowym złożonych przestrzeni wektorowej (z wyboru masy) V, _L i V, _R , której elementy Ψ _L i Ψ _R są nazywane lewo- i prawostronny Weyl spinors odpowiednio. Dany

${\ Displaystyle \ lewo (\ pi _ {\ lewo ({\ Frac {1} {2}}, 0 \ po prawej)}, V_ {\ tekst {L}} \ po prawej) \ quad {\ tekst {i}} \quad \left(\pi _{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)},V_{\text{R}}\right)}$

ich bezpośrednia suma w postaci reprezentacji,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ pi _ {\ po lewej ({\ Frac {1} {2}}, 0 \ po prawej) \ oplus \ po lewej (0, {\ Frac {1} {2}} \ po prawej )}\left(J_{i}\right)&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\sigma _{i}&0\\0&\sigma _{i}\end{pmatrix }}\\[8pt]\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\frac {1}{2}}\right)} \left(K_{i}\right)&={\frac {i}{2}}{\begin{pmatrix}\sigma _{i}&0\\0&-\sigma _{i}\end{pmatrix} }\end{wyrównany}}}$

( D1 )

To jest, aż do transformacji podobieństwa, (1/2,0) (0,1/2) Diraca Spinor reprezentacja oddziaływuje na elementy 4-składowych (Ψ _L , Ψ _R ) z ( V _L ⊕ V _R ) , zwanych bispinors , przez mnożenie macierzy. Reprezentację można uzyskać w sposób bardziej ogólny i bazowo niezależny za pomocą algebr Clifforda . Wszystkie te wyrażenia dla bispinorów i spinorów Weyla rozciągają się przez liniowość algebr Liego, a reprezentacje do wszystkich wyrażeń dla reprezentacji grup są otrzymywane przez potęgowanie. ${\displaystyle {\mathfrak {tak}}(3;1).}$${\displaystyle {\mathfrak {tak}}(3;1).}$

Otwarte problemy

Klasyfikacja i charakterystyka teorii reprezentacji grupy Lorentza została ukończona w 1947 roku. Jednak w związku z programem Bargmanna-Wignera istnieją jeszcze nierozwiązane problemy czysto matematyczne, związane z nieskończenie wymiarowymi reprezentacjami unitarnymi.

Nieredukowalne nieskończenie wymiarowe reprezentacje unitarne mogą mieć pośrednie znaczenie dla fizycznej rzeczywistości w spekulatywnych współczesnych teoriach, ponieważ (uogólniona) grupa Lorentza pojawia się jako mała grupa z grupy Poincarégo wektorów przestrzennopodobnych w wyższym wymiarze czasoprzestrzeni. Odpowiadające im nieskończenie wymiarowe reprezentacje unitarne (uogólnionej) grupy Poincarégo są tak zwanymi reprezentacjami tachionicznymi . Tachiony pojawiają się w widmie strun bozonowych i są związane z niestabilnością próżni. Chociaż tachiony mogą nie być realizowane w naturze, te reprezentacje muszą być matematycznie rozumiane , aby zrozumieć teorię strun. Dzieje się tak, ponieważ stany tachionowe pojawiają się również w teoriach superstrun w próbach stworzenia realistycznych modeli.

Jednym problemem jest otwarte zakończenie programu Bargmann-Wignera dla grupy izometrii SO ( D - 2, 1) w de Sittera czasoprzestrzeni dS _{D -2} . Idealnie, fizyczne elementy funkcji fali będzie realizowane na hiperboloidy dS _{D -2} promienia μ > 0 osadzone w a odpowiadający O ( D -2, 1) covariant wzory falowe nieskończonej trójwymiarowy jednolitą reprezentację być znany. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {D-2,1}}$

Zobacz też

• Równania Bargmanna-Wignera
• Środek masy (relatywistyczny)
• Algebra Diraca
• Macierze gamma
• Grupa Lorentza
• Transformacja Möbiusa
• Grupa Poincare
• Teoria reprezentacji grupy Poincaré
• Symetria w mechanice kwantowej
• Klasyfikacja Wignera

Uwagi

Uwagi

Swobodnie dostępne referencje online

• Bekaert, X.; Boulanger, N. (2006). „Jednostkowe reprezentacje grupy Poincare w dowolnym wymiarze czasoprzestrzeni”. arXiv : hep-th/0611263 . Rozszerzona wersja wykładów prezentowanych na drugiej letniej szkole Modave z fizyki matematycznej (Belgia, sierpień 2006).
• Curtright, TL ; Fairlie, DB ; Zachos, CK (2014), "Zwarty wzór na obroty jako wielomiany macierzy spinowej", SIGMA , 10 : 084 , arXiv : 1402.3541 , Bibcode : 2014SIGMA..10..084C , doi : 10.3842/SIGMA.2014.084 , S2CID  18776942 Elementy grupowe SU(2) są wyrażone w postaci zamkniętej jako skończone wielomiany generatorów algebr Liego, dla wszystkich określonych spinowych reprezentacji grupy obrotowej.

Bibliografia

• Abramowitz, M .; Stegun, IA (1965). Podręcznik funkcji matematycznych: ze wzorami, wykresami i tabelami matematycznymi . Dover Książki o matematyce. Nowy Jork: Dover Publikacje . Numer ISBN 978-0486612720.
• Bargmann, V. (1947), „Nieredukowalne unitarne reprezentacje grupy Lorenz”, Ann. Matematyki. , 48 (3): 568–640, doi : 10.2307/1969129 , JSTOR  1969129(teoria reprezentacji SO(2,1) i SL(2,  R ); druga część dotycząca SO(3; 1) i SL(2,  C ), opisana we wstępie, nigdy nie została opublikowana).
• Bargmann, V.; Wigner, EP (1948), „Grupa teoretyczna dyskusja relatywistycznych równań falowych”, Proc. Natl. Acad. Nauka. USA , 34 (5): 211-23, Bibcode : 1948PNAS...34..211B , doi : 10.1073/pnas.34.5.211 , PMC  1079095 , PMID  16578292
• Bourbaki, N. (1998). Grupy kłamstw i algebry kłamstw: rozdziały 1-3 . Skoczek. Numer ISBN 978-3-540-64242-8.
• Brauer, R .; Weyl, H. (1935), "Spinors w wymiarach n", Amer. J. Matematyka. , 57 (2): 425–449, doi : 10.2307/2371218 , JSTOR  2371218
• Bauerle, GGA; de Kerf, EA (1990). A. van Groesena; EM de Jager (red.). Skończenie i nieskończenie wymiarowe algebry Liego i ich zastosowanie w fizyce . Studia z fizyki matematycznej. 1 . Północna Holandia. Numer ISBN 978-0-444-88776-4.
• Bauerle, GGA; de Kerf, EA; dziesięć Kroode, APE (1997). A. van Groesena; EM de Jager (red.). Skończenie i nieskończenie wymiarowe algebry Liego i ich zastosowanie w fizyce . Studia z fizyki matematycznej. 7 . Północna Holandia. Numer ISBN 978-0-444-82836-1– przez ScienceDirect .
• Cartan, Élie (1913), „Les groupes projectifs qui ne laissant invariante aucun multiplicité plane”, Bull. Soc. Matematyka. Ks. (w języku francuskim), 41 : 53–96, doi : 10.24033/bsmf.916
• Churchill, RV ; Brown, JW (2014) [1948]. Zmienne złożone i aplikacje (9th ed.). Nowy Jork: McGraw-Hill. Numer ISBN 978-0073-383-170.
• Coleman, AJ (1989). „Największy papier matematyczny wszechczasów”. Inteligencja matematyczna . 11 (3): 29–38. doi : 10.1007/BF03025189 . ISSN  0343-6993 . S2CID  35487310 .
• Dalitza, RH; Peierls, Rudolf (1986). „Paul Adrien Maurice Dirac. 8 sierpnia 1902-20 października 1984” . Biogr. Pami. Stypendyści R. Soc . 32 : 138–185. doi : 10.1098/rsbm.1986.0006 . S2CID  74547263 .
• Delbourgo, R .; Salam, A .; Strathdee, J. (1967). „Analiza harmoniczna w zakresie jednorodnej grupy Lorentza”. Fizyka Litery B . 25 (3): 230–32. Kod Bibcode : 1967PhLB...25..230D . doi : 10.1016/0370-2693(67)90050-0 .
• Dirac, PAM (1928), "Teoria kwantowa elektronu", Proc. Roya. Soc. A , 117 (778): 610–624, kod bib : 1928RSPSA.117..610D , doi : 10.1098/rspa.1928.0023 (Darmowy dostęp)
• Dirac, PAM (1936), „Równania fal relatywistycznych”, Proc. Roya. Soc. A , 155 (886): 447–459, Bibcode : 1936RSPSA.155..447D , doi : 10.1098/rspa.1936.0111
• Dirac, PAM (1945), "Jednostkowe reprezentacje grupy Lorentza", Proc. Roya. Soc. A , 183 (994): 284–295, Bibcode : 1945RSPSA.183..284D , doi : 10.1098/rspa.1945.0003 , S2CID  202575171
• Dixmier, J .; Malliavin, P. (1978), „Factorisations de fonctions et de vecteurs indéfiniment différentiables”, Bull. Sc. Matematyka. (w języku francuskim), 102 : 305-330
• Fierz, M. (1939), „Uber die relativistische theorie Kräftefreier teilchen mit beliebigem spin”, Helv. Fiz. Acta (w języku niemieckim), 12 (1): 3–37, Bibcode : 1939AcHPh..12....3F , doi : 10.5169/seals-110930 (dostępny do pobrania w formacie pdf)CS1 maint: postscript ( link )
• Fierz, M .; Pauli, W. (1939), „Na relatywistycznych równaniach falowych dla cząstek o dowolnym spinie w polu elektromagnetycznym”, Proc. Roya. Soc. A , 173 (953): 211–232, Bibcode : 1939RSPSA.173..211F , doi : 10.1098/rspa.1939.0140
• Folland, G. (2015). Kurs abstrakcyjnej analizy harmonicznej (2nd ed.). CRC Naciśnij . Numer ISBN 978-1498727136.
• Fulton, W .; Harris, J. (1991). Teoria reprezentacji. Pierwsze danie . Teksty magisterskie z matematyki. 129 . Nowy Jork: Springer-Verlag. Numer ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249 .
• Gelfand, komunikator internetowy; Graev, MI (1953), „O ogólnej metodzie dekompozycji regularnej reprezentacji grupy kłamstwa na reprezentacje nieredukowalne”, Doklady Akademii Nauk SSSR , 92 : 221–224
• Gelfand, komunikator internetowy; Graev, MI; Vilenkin, N. Ya. (1966), „Analiza harmoniczna na grupie złożonych macierzy jednomodułowych w dwóch wymiarach”, Funkcje uogólnione. Tom. 5: Geometria integralna i teoria reprezentacji , przekład Eugene Saletan, Academic Press, s. 202-267, ISBN 978-1-4832-2975-1
• Gelfand, komunikator internetowy; Graev, MI; Pyatetskii-Shapiro, II (1969), Teoria reprezentacji i funkcje automorficzne , Academic Press, ISBN 978-0-12-279506-0
• Gelfand, komunikatory internetowe ; Minlos, RA ; Shapiro, Z. Ya. (1963), Reprezentacje grup rotacyjnych i Lorentza i ich zastosowania , New York: Pergamon Press
• Gelfand, komunikatory internetowe ; Naimark, MA (1947), "Jednostkowe reprezentacje grupy Lorentz" (PDF) , Izvestiya Akad. Nauka SSSR. Ser. Mata. (w języku rosyjskim), 11 (5): 411-504 , pobrane 2014-12-15 (Pdf z Math.net.ru)CS1 maint: postscript ( link )
• Zielony, JA (1998). „Richard Dagobert Brauer” (PDF) . Wspomnienia biograficzne . Wspomnienia biograficzne. 75 . Wydawnictwo Akademii Narodowej. s. 70–95. Numer ISBN 978-0309062954.
• Greinera, W.; Muller, B. (1994). Mechanika kwantowa: symetrie (2nd ed.). Skoczek. Numer ISBN 978-3540580805.
• Greiner, W .; Reinhardt, J. (1996), Kwantyzacja pola , Springer, ISBN 978-3-540-59179-5
• Harish-Chandra (1947), „Nieskończone nieredukowalne reprezentacje grupy Lorentza”, Proc. Roya. Soc. A , 189 (1018): 372–401, Bibcode : 1947RSPSA.189..372H , doi : 10.1098/rspa.1947.0047 , S2CID  124917518
• Harish-Chandra (1951), „Formuła Plancherela dla złożonych pół-prostych grup Liego”, Proc. Natl. Acad. Nauka. USA , 37 (12) : 813-818 , Bibcode : 1951PNAS...37..813H , doi : 10.1073/pnas.37.12.813 , PMC  1063477 , PMID  16589034
• Hall, Brian C. (2003), Grupy Liego, algebry Liego i reprezentacje: Wprowadzenie elementarne , Teksty podyplomowe z matematyki, 222 (1st ed.), Springer, ISBN 978-0-387-40122-5
• Hall, Brian C. (2015), grupy Liego, algebry Liego i reprezentacje: wprowadzenie elementarne , teksty magisterskie z matematyki, 222 (2nd ed.), Springer, doi : 10.1007/978-3-319-13467-3 , Numer ISBN 978-3319134666, ISSN  0072-5285
• Helgason, S. (1968), Grupy Liego i przestrzenie symetryczne , Battelle Rencontres, Benjamin, s. 1-71 (ogólne wprowadzenie dla fizyków)
• Helgason, S. (2000), Grupy i analiza geometryczna. Geometria całkowa, niezmiennicze operatory różniczkowe i funkcje sferyczne (poprawione przedruk oryginału z 1984 r.) , Mathematical Surveys and Monographs, 83 , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2673-7
• Jorgenson, J.; Lang, S. (2008), The heat kernel i theta inversion on SL(2, C ) , Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-38031-5
• Killing, Wilhelm (1888), „Die Zusammensetzung der stetigen/endlichen Transformationsgruppen” , Mathematische Annalen (w języku niemieckim), 31 (2 (czerwiec)): 252-290, doi : 10.1007/bf01211904 , S2CID  120501356
• Kirillov, A. (2008). Wprowadzenie do grup Liego i algebr Liego . Studia Cambridge z matematyki zaawansowanej. 113 . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. Numer ISBN 978-0521889698.
• Klaudera, JR (1999). "Walentynki Bargmann" (PDF) . Wspomnienia biograficzne . Wspomnienia biograficzne. 76 . Wydawnictwo Akademii Narodowej. s. 37-50. Numer ISBN 978-0-309-06434-7.
• Knapp, Anthony W. (2001), Teoria reprezentacji grup półprostych. Przegląd na podstawie przykładów. , Princeton Zabytki w matematyce, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09089-4(podstawowa obróbka dla SL(2, C ))
• Langlands, RP (1985). „Harish-Chandra” . Biogr. Pami. Stypendyści R. Soc . 31 : 198–225. doi : 10.1098/rsbm.1985.0008 . S2CID  61332822 .
• Lee, JM (2003), Wprowadzenie do gładkich rozmaitości , Springer Graduate Texts in Mathematics, 218 , ISBN 978-0-387-95448-6
• Kłamstwo, Sophus (1888), Theorie der Transformationsgruppen I (1888), II (1890), III (1893) (w języku niemieckim)
• Misner, Karol W. ; Thorne, Kip. S. ; Wheeler, John A. (1973), Grawitacja , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0
• Naimark, MA (1964), Liniowe reprezentacje grupy Lorentz (przetłumaczone z rosyjskiego oryginału przez Ann Swinfen i OJ Marstrand) , Macmillan
• Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups – An Introduction Through Linear Groups , Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
• Rühl, W. (1970), Grupa Lorentza i analiza harmoniczna , Benjamin (szczegółowy opis dla fizyków)
• Simmons, GF (1972). Równania różniczkowe z aplikacjami i uwagami historycznymi (red. TMH). Nowe Dheli: Tata McGra–Hill Publishing Company Ltd . Numer ISBN 978-0-07-099572-7.
• Stein, Elias M. (1970), "analityczna kontynuacja reprezentacji grupowych", Postępy w matematyce , 4 (2): 172-207, doi : 10.1016/0001-8708(70) 90022-8 (James K. Whittemore Wykłady z matematyki wygłoszone na Uniwersytecie Yale, 1967)
• Takahashi, R. (1963), „Sur les représentations unitaires des groupes de Lorentz généralisés”, Bull. Soc. Matematyka. Francja (w języku francuskim), 91 : 289-433, doi : 10.24033/bsmf.1598
• Taylor, ME (1986), nieprzemienna analiza harmoniczna , Mathematical Surveys and Monographs, 22 , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1523-6, Rozdział 9, SL(2,  C ) i bardziej ogólne grupy Lorentza
• Tung, Wu-Ki (1985). Teoria grup w fizyce (wyd. 1). New Jersey·Londyn·Singapur·Hongkong: World Scientific . Numer ISBN 978-9971966577.
• Varadarajan, VS (1989). Wprowadzenie do analizy harmonicznej na półprostych grupach kłamstw . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . Numer ISBN 978-0521663625.
• Weinberg, S. (2002) [1995], Podstawy , Kwantowa teoria pól, 1 , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55001-7
• Weinberg, S. (2000). Supersymetria . Kwantowa teoria pól. 3 (wyd. 1). Cambridge: Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. Numer ISBN 978-0521670555.
• Weyl, H. (1939), Grupy klasyczne. Ich niezmienniki i reprezentacje , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05756-9, MR  0000255
• Weyl, H. (1931), Teoria grup i mechaniki kwantowej , Dover, ISBN 978-0-486-60269-1
• Wigner, EP (1939), „O jednolitych przedstawieniach niejednorodnej grupy Lorentza”, Annals of Mathematics , 40 (1): 149-204, Bibcode : 1939AnMat..40..149W , doi : 10.2307/1968551 , JSTOR  1968551 , MR  1503456.
• Zwiebach B. (2004). Pierwszy kurs teorii strun . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . Numer ISBN 0-521-83143-1.