Transformacja Möbiusa - Möbius transformation


Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

W geometrii i złożonej analizy , A funkcja homograficzna na płaszczyźnie zespolonej jest funkcją wymierną od formy

jednego złożonego zmiennej Z ; o współczynniki , b , c , d są liczbami zespolonymi spełniające reklamy - BC ≠ 0.

Geometrycznie transformacja Möbiusa można uzyskać przez najpierw prowadząc stereograficznego od płaszczyzny do jednostki dwóch półkuli , obracania i przesuwania kulę w nowe położenie i orientację w przestrzeni, a następnie wykonywanie stereograficznej występ (z nowego położenia kuli ) do powierzchni. Przemiany te zachowania kątów, mapę każdą linię prostą do linii lub okręgu i map każdym kole do linii lub okręgu.

Przemiany Mobius są rzutowe transformacje o skomplikowanej linii projekcyjnej . Tworzą grupę o nazwie grupę Möbius , która jest rzutowe grupę liniową PGL (2, Ç ). Wraz z jego podgrup , ma liczne zastosowania w matematyce i fizyce.

Przekształcenia Mobius są nazwane na cześć Augusta Ferdynanda Möbiusa ; są też różnie nazwane homographies , Przekształcenia homograficzne , liniowe transformacje ułamkowe , Przekształcenia dwuliniowe lub ułamkowe transformacje liniowe .

Przegląd

Przekształcenia MöBIUS określa się na dłuższy płaszczyźnie zespolonej (tj płaszczyźnie zespolonej zwiększona przez punkt w nieskończoności ).

Stereographic projekcja identyfikuje z kuli, która jest następnie nazwie sfera Riemanna ; Alternatywnie, można traktować jako złożoną projekcyjnej linii . Przemiany Mobius są dokładnie bijective konformalne mapy od sfery Riemanna do siebie, czyli automorfizmy sfery Riemanna jako złożonego kolektora ; Alternatywnie, są one Automorfizmy jak algebraiczny odmiany. Dlatego też, zbiór wszystkich przemian MöBIUS tworzy grupę ramach kompozycji . Grupa ta nazywana jest grupa Möbiusa, a czasami jest oznaczona .

Grupa Möbiusa jest izomorficzna z grupą orientacji-konserwowanie izometrii o hiperbolicznej 3-przestrzeni i dlatego odgrywa ważną rolę przy badaniu hiperboliczne 3-rozmaitości .

W fizyce , składnikiem tożsamości z grupy Lorentza działa na sferze niebieskiej w taki sam sposób, że grupa Möbiusa działa na sferze Riemanna. W rzeczywistości, te dwie grupy są izomorficzne. Obserwator, który przyspiesza do prędkości relatywistycznych ujrzy wzór konstelacji widzianych w pobliżu Ziemi stale przekształcać według nieskończenie przemian Mobius. Obserwacja ta jest często traktowana jako punkt wyjścia teoria twistorów .

Niektóre podgrupy grupy Möbius tworzą grupy automorfizmem innych prostu połączonych powierzchni Riemanna (w jego płaszczyźnie zespolonej i hiperboliczny płaszczyzny ). Jako takie transformacje Mobius odgrywają ważną rolę w teorii powierzchni Riemanna . Podstawowym grupa każdej powierzchni Riemanna jest dyskretna podgrupa grupy Möbius (patrz grupę Fuchsian i grupę Kleinian ). Szczególnie ważne dyskretnych podgrupa grupy Möbius jest zespół modułowy ; to jest kluczowa dla wielu teorii fraktali , form modularnych , krzywych eliptycznych i równań Pellian .

Przekształcenia MöBIUS może być ogólnie określona w przestrzeni o wymiarze n > 2 jako bijective konforemnych mapy orientacji zabezpieczonego z n -sphere do n -sphere. Taka zmiana jest najbardziej powszechną formę mapowania konforemnej domeny. Zgodnie z twierdzeniem Liouville'a transformacja Möbiusa może być wyrażony jako kompozycja tłumaczenia, podobieństwa prostopadła przemian i inwersji.

Definicja

Ogólną postać funkcja homograficzna jest przez

gdzie , b , c , d są wszystkie liczbami zespolonymi spełniające reklamy - BC ≠ 0 . Jeśli ad = bc , racjonalne funkcja określona powyżej jest stała od

i nie jest zatem traktowana jako transformacja Möbiusa.

W przypadku c ≠ 0 , definicja ta jest rozszerzony na całą Sfera Riemanna poprzez zdefiniowanie

Jeżeli c = 0 , to określenie

Zatem funkcja homograficzna jest zawsze bijective funkcja holomorficzna ze sfery Riemanna na sferze Riemanna.

Zbiór wszystkich przemian MöBIUS tworzy grupę ramach kompozycji . Grupa ta może mieć strukturę kompleksu rozdzielacza w taki sposób, że skład i inwersji holomorficznymi mapy . Grupa Möbiusa jest wówczas złożona grupa Lie . Grupa Möbiusa jest zazwyczaj oznaczona jako że jest to grupa automorfizmem kuli Riemanna.

punkty stałe

Każdy nie-tożsamości Möbiusa transformacja ma dwa stałe punkty na sferze Riemanna. Należy pamiętać, że stałe punkty liczone są tutaj z wielością ; Przemiany te paraboliczne są te, w których stałe punkty zbieżne. Jeden lub oba stałych punktów może być punktem w nieskończoności.

Określanie punktów stałych

Punkty stałe transformacji

otrzymuje się przez rozpuszczenie stałoprzecinkowe równania F (y) = y. Dla c ≠ 0, to nie ma dwa pierwiastki otrzymana w wyniku spieniania tej równanie

oraz stosując kwadratowego wzoru . Korzenie są

z wyróżnika

,

Paraboliczne transformacje mają przypadkowe stałe punkty ze względu na zerową wyróżnika. Dla c niezerowego i niezerową wyróżnika transformacji jest eliptyczna lub hiperboliczny.

Przy c = 0, to równanie kwadratowe degeneruje się równanie liniowe i transformacji jest liniowa. Odpowiada to sytuacji, w której jeden z punktów stałych jest punktem w nieskończoności. Gdy ≠ d drugiego stałego punktu jest ograniczony i jest przez

W tym przypadku przemiana będzie proste przekształcenie składa się z tłumaczeniami , obroty i dylatacje :

Jeżeli c = 0, a = d , oba punkty stałe są w nieskończoności, a funkcja homograficzna odpowiada czystą translację:

topologiczna dowód

Topologicznie, fakt, że (nie-tożsamości) transformacje Mobius naprawić 2 punkty (z wielości) odpowiada Charakterystyka Eulera kuli wynosi 2:

Po pierwsze, rzutowa grupę liniową PGL (2, K ) jest ostro 3-przechodni  - dla dwóch uporządkowanych trójek różnych punktach, jest unikalny mapa, która zajmuje jedno potrójne do drugiego, tak jak w przypadku Möbiusa przekształca i przez tego samego algebraiczna dowód (zasadniczo wymiar zliczania , jak grupa 3-wymiarowej). Tak więc każdy mapa, która rozwiązuje przynajmniej 3 punkty jest tożsamość.

Następnie można zobaczyć poprzez identyfikację z grupą Möbius , że każda funkcja Möbiusa jest homotopijne tożsamości. Rzeczywiście, każdy członek ogólnej grupy liniowej może być zmniejszona do mapy tożsamość Gaussa-Jordana eliminacji, to pokazuje, że grupa rzutowa liniowy jest ścieżka połączone jak dobrze, zapewniając homotopią do tożsamości map.The Lefschetz-Hopf twierdzenie Zjednoczone że suma indeksów (w tym kontekście, multipletowość) nieruchomej punktów mapy z skończenie wielu stałych punktów równa liczba Lefschetz mapy, która w tym przypadku jest ślad mapie tożsamości na grupy homologii, która jest po prostu charakterystyka Eulera.

Natomiast rzutowa grupę liniową rzeczywistego rzutowej linii PGL (2, R ) nie musi usunąć wszelkie punkty - na przykład nie ma (REAL) punktów stałych: jak transformaty utrwala ± i  - podczas gdy mapie 2 x poprawek dwa punkty od 0 do ∞. Odpowiada to z faktu, że charakterystyka Eulera okręgu (prawdziwy rzutowe linia) wynosi 0, a tym samym Lefschetz Teoria punktu stałego mówi tylko, że musi naprawić przynajmniej 0 punktów, ale może więcej.

postać normalna

Mobius transformacje są również czasami napisane pod względem stałych punktów w tak zwanej postaci normalnej . My najpierw leczyć non-paraboliczną sprawę, dla której istnieją dwa odrębne punkty stałe.

Non-paraboliczny przypadek :

Każdy non-paraboliczny transformacja jest sprzężona do rozwarcia / obrót, czyli przekształcanie formy

( K  ∈  C ) w ustalonych punktach 0 i ∞. Aby zobaczyć ten zdefiniować mapę

która przesyła punktów (γ 1 , γ 2 ) i (0, oo). Tutaj zakładamy, że y 1 i y 2 są różne i skończony. Jeśli jeden z nich jest już w nieskończoności wtedy g może być zmodyfikowany tak, aby naprawić nieskończoność i wysłać inny punkt 0.

Jeśli f jest odrębne punkty stałe (y 1 , γ 2 ), a następnie przekształcenie punktowego ustalone na 0 i ∞ a zatem rozszerzenie: . Punkt równanie ustalone dla transformacji F może być napisany

Rozwiązywanie f daje związek (w postaci matrycy)

albo, jeżeli jeden z punktów stałych wynosi nieskończoność

Z powyższych wyrażeń można obliczyć pochodne f w stałych punktach:

i

Zauważmy, że, biorąc pod uwagę porządkuje stałych punktów, możemy wyróżnić jeden z mnożników ( k ) o f jako charakterystycznej stałej z f . Odwrócenie kolejności stałych punktów jest równoznaczne z podjęciem mnożnik odwrotny do charakterystycznej stałej:

Dla loxodromic przemian, gdy | k | > 1, jeden mówi, że y 1 jest odpychający punkt stały, a y 2 jest atrakcyjnym punktem stałym. dla | k | <1, role są zamienione.

Paraboliczny przypadek :

W parabolicznym przypadku istnieje tylko jeden punkt stały γ. Transformacja wysyłając ten punkt jest do ∞

lub identyczność jeśli γ jest już w nieskończoność. Transformacja rozwiązuje nieskończoność i dlatego jest to tłumaczenie:

Tutaj β nazywamy długość tłumaczenie . Preparat stały punkt parabolicznego transformacji jest następnie

Rozwiązując F (w postaci matrycy) otrzymano

lub, jeśli y = ∞:

Należy zauważyć, że β jest nie cechą stałą F , który jest zawsze 1 do parabolicznego transformacji. Z powyższych wyrażeń można obliczyć:

Polacy transformacji

Punkt nazywany jest biegunem ; to jest punkt, który przekształca się w punkcie, w nieskończoności mocy .

Odwrotność biegun jest punkt, do którego punktu w nieskończoności transformacji. Punkt w połowie drogi między dwoma biegunami jest zawsze taka sama, jak w połowie drogi między dwoma punktami stałymi:

Te cztery punkty są wierzchołkami równoległoboku, który jest czasami nazywany charakterystyczny równoległobok transformacji.

Transformacji można określić dwa stałe punkty gamma 1 , gamma 2 i słupa .

To pozwala nam czerpać wzór do przeliczenia między K i biorąc pod uwagę :

który redukuje się do

Ostatni ekspresji zbiega się z jednym z obu stron (odwrotność) wartości własnej współczynników macierzy

reprezentujący przekształcenie (porównaj dyskusję w poprzedniej sekcji, o charakterystycznej stałej transformacji). Jego charakterystyczną wielomian jest równa

który ma korzenie

Proste transformacje Möbiusa i skład

Transformacja Möbiusa może składać się w sekwencji przekształceń prostych.

Poniższe proste transformacje są również transformacje Mobius:

Jest to tłumaczenie

Jest to połączenie ( jednokładności i obrotu ) Jeśli to jest obrót, czy to jest to jednokładności

( Inwersja i odbicie w stosunku do osi rzeczywistej)

Skład prostych przekształceń

Pozwolić:

  • ( Tłumaczenie przez d / c )
  • ( Inwersja i odbicie w stosunku do osi rzeczywistej)
  • ( Jednokładności i obrotowy )
  • (przekład w / c )

Następnie te funkcje mogą być w składzie , dając

Rozkład ten sprawia wiele właściwości transformacji Möbiusa oczywiste.

właściwości elementarne

Transformacja Möbiusa odpowiada sekwencji prostszych transformacji. Skład sprawia wiele właściwości transformacji Möbiusa oczywiste.

Wzór na odwrotnej transformacji

Istnienie Möbius odwrotnej transformacji i wyraźna wzorze są łatwo uzyskiwane przez kompozycji funkcji odwrotności prostszych transformacji. Oznacza to, że określenie funkcji g 1 , g 2 , g 3 , g 4 tak, że każdy g i jest odwrotnością f I . Następnie skład

podaje wzór na odwrotnym.

Zachowanie kątów i uogólnionych okręgów

Z tego rozkładu, widzimy, że transformacje Mobius przeniesienie wszystkich nietrywialnych właściwości okręgu inwersji . Na przykład, utrzymanie kąta jest ograniczona do udowodnienia, że koło inwersji zachowuje kąty ponieważ inne typy transformacji jest rozszerzenie i izometrie (przesunięcie, odbicie, obrót), który trywialny zachować kąty.

Ponadto transformacje Mobius map uogólnione okręgi do uogólnionych okręgów ponieważ koło inwersja ma tę właściwość. Uogólniony koło jest albo koło lub linię, przy czym to ostatnie uważa się za pomocą koła przechodzącą przez punkt w nieskończoności. Należy pamiętać, że funkcja homograficzna niekoniecznie map okręgów do kręgów i linii do linii: można go mieszać dwa. Nawet jeśli to mapuje kółko do innego okręgu, to niekoniecznie map centrum Pierwszego Kręgu do centrum drugiego okręgu.

Zachowanie dwustosunku

Poprzeczne stosunki są niezmienne przy przekształceniach MöBIUS. To znaczy, jeśli transformacja Möbiusa mapuje cztery odrębne punkty do czterech różnych punktach , odpowiednio, następnie

Jeśli jeden z tych punktów jest punkt, w nieskończoności, wówczas stosunek przekroju musi być określone poprzez odpowiednie dopuszczalne; np przekroju stosunek jest

Stosunek krzyż z czterech różnych punktów jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje linia lub okrąg przechodzący przez nich. Jest to kolejny sposób, aby pokazać, że transformacje Mobius zachować uogólnione okręgi.

Koniugacja

Dwa punkty z 1 i z 2sprzężone , w odniesieniu do ogólnego koła C , jeżeli ze względu uogólnione koło D przechodzącej przez Z 1 i Z 2 i cięcia C w dwóch punktach a i b , ( Z 1 , ż 2 ; , b )harmoniczne dwustosunku (ich stosunek krzyż 1). Obiekt ten nie zależy od wyboru okręgu D . Ta właściwość jest również czasem określany jako symetryczny względem linii lub okręgu.

Dwa punkty Z , z * są sprzężone w odniesieniu do linii, jeśli są symetryczne względem linii. Dwa punkty są odmieniać w odniesieniu do okręgu, jeżeli są one wymieniane przez inwersję względem tego okręgu.

Chodzi o oo * koniugat Z , gdy L jest linia określa wektor oparty e w punkcie oo 0 można jawnie jak

Chodzi o oo * koniugat Z przy C jest okrąg o promieniu r wycentrowany z 0 można jawnie jak

Od przemiany MöBIUS zachowania uogólnione kręgi krzyżowe i proporcje, zachowują również odmiany.

Rzutowe reprezentacji macierzy

Z każdym odwracania sygnału złożonej matrycy 2-o-2

możemy skojarzyć funkcja homograficzna

Warunkiem ad - BC ≠ 0 odpowiada pod warunkiem, że determinantą powyższej matrycy jest różna od zera, to znaczy, że matryca ma być odwracalna.

Jest to łatwe do sprawdzenia, a następnie produkt z dwóch matryc będą związane z kompozycją dwóch odpowiednich przemian MöBIUS. Innymi słowy, mapa

od ogólnej grupy liniowego GL (2 C ), do grupy Möbiusa, który wysyła matrycę do transformacji F , to homomorfizm grupy .

Należy zauważyć, że dowolną matrycę otrzymuje się przez pomnożenie przez złożony skalarnej Î określa samej transformacji, a więc funkcja homograficzna określa jego matrycy tylko do skalarnych wielokrotności. Innymi słowy: jądro z Õ obejmuje wszystkie skalarnych wielokrotności macierzy jednostkowej I oraz pierwszy Izomorfizm twierdzenie teoretycznej grupy wskazuje, że grupa iloraz GL (2 C ) / (( C \ {0} ) id) jest izomorficzna grupy Möbiusa. Ta grupa iloraz jest znany jako rzutowej grupę liniową i jest zazwyczaj oznaczona PGL (2 C ).

To samo identyfikacyjne PGL (2, K ), z grupy ułamkowe przekształceń liniowych, jak i z grupą projekcyjnych automorfizmy liniowych rzutowej linii posiada na każde pole K , fakt algebraicznej zainteresowania, w szczególności przez określone pole, że obudowa liczby zespolone ma największe zainteresowanie geometryczne.

Naturalne działanie z PGL (2 C ), w złożonym rzutowej linii CP 1 jest dokładnie naturalny działanie grupy Möbius na sferę Riemanna, gdzie linia projekcyjna CP 1 i sfera Riemanna są określone w następujący sposób:

Tutaj [ oo 1 : z 2 ] są współrzędnych jednorodnych na CP 1 ; punktem [1: 0], odpowiada punktowi ∞ kuli Riemanna. Za pomocą współrzędnych jednorodnych, z udziałem wielu konkretnych obliczeń transformacji Möbiusa można uprościć, ponieważ nie są wymagane żadne przypadków wyróżnienia zajmujące ∞.

Jeżeli jeden ogranicza się do macierzy wyznacznik jednego, mapa π ogranicza do suriekcją mapie z specjalnej grupy liniowego SL (2 C ), do grupy Möbius; w zamkniętym ustawieniu jądra jest utworzony przez plus i minus tożsamości, oraz grupy iloraz SL (2 C ) / {± I }, oznaczony PSL (2 C ), jest w związku z tym również izomorficzna grupy Möbius:

Z tego widzimy, że grupa Möbiusa jest 3-wymiarowa kompleks grupa Lie (lub 6-wymiarowa prawdziwa grupa Lie). Jest to półprosty nie- zwarta grupa Lie.

Należy zauważyć, że nie są dokładnie dwie matryce z jednostką determinanty, które mogą być używane do reprezentowania dowolną funkcja homograficzna. Oznacza to, SL (2 C ) jest podwójna osłona PSL (2 C ). Od SL (2, C ) znajduje się po prostu połączone jest to uniwersalne pokrycie grupy Möbiusa. W związku z tym podstawowym grupa grupy Möbius jest Z 2 .

Określanie transformację przez trzy punkty

Biorąc pod uwagę zestaw trzech różnych punktach ż 1 , ż 2 , Ź 3 w zakresie Riemann i drugi zestaw różnych punktach wagowo 1 , w 2 , w 3 , istnieje dokładnie jeden Möbius transformacji M ( Ż ) z f ( oo I ) = w I o I = 1,2,3. (Innymi słowy: działanie grupy Möbius na sferę Riemanna jest ostro 3-przechodni ). Istnieje wiele sposobów, w celu ustalenia, F ( Ż ) z danego zbioru punktów.

Mapowanie pierwszy 0, 1, ∞

Łatwo jest sprawdzić, że funkcja homograficzna

z matrycy

mapy z 1 , z 2 , z 3 do 0, 1, ∞, odpowiednio. Jeżeli jeden z oo I jest ∞, wtedy właściwa formuła jest otrzymywany z powyższym jednym najpierw podziału wszystkie wpisy o oo I i biorąc graniczną Z. i → ∞.

Jeśli jest zdefiniowana mapowania w 1 , w 2 , w 3 0, 1, ∞, wówczas matryca który odwzorowuje Ż 1,2,3 się w 1,2,3 staje

Stabilizator {0, 1, ∞} (jako nieuporządkowane Set) jest podgrupa znany jako anharmonic grupy .

Wyraźny wzór determinantą

Równanie

jest odpowiednikiem równania standardowej hiperboli

w ( oo , W ) -plane. Problem skonstruowania funkcja homograficzna odwzorowujący potrójne do drugiego potrójne jest więc równoważne wyznaczania współczynników , b , c , d hiperboli przechodzącej przez punkty . Wyraźne równanie można znaleźć poprzez ocenę wyznacznik

za pomocą rozszerzenia Laplace'a wzdłuż pierwszego rzędu. Skutkuje to we wzorach determinujących

dla współczynników a, b, c, d macierzy reprezentujących . Skonstruowany matryca zawiera determinantę równa które nie zanikają jeśli się z ı wzgl. W i są parami różne zatem funkcja homograficzna jest dobrze zdefiniowana. Jeśli jeden z punktów z I lub w I jest ∞, to najpierw podzielić przez wszystkie cztery wyznaczniki tej zmiennej, a następnie podjąć limitu jako zmienna zbliża ∞.

Podgrupami grupy Möbiusa

W przypadku konieczności uzyskania współczynników , b , c , d z funkcja homograficzna być liczbami rzeczywistymi z ad - BC = 1 , otrzymujemy podgrupę grupy Möbius oznaczony jako PSL (2, R ) . Jest to grupa tych przekształceń MöBIUS, które mapują się z górnej półpłaszczyźnie H = x + l y  : y > 0 do siebie, i jest równa grupie wszystkich biholomorphic (lub równoważnie: bijective , konforemnych orientację zabezpieczonego) odwzorowuje HH . Jeśli właściwe metryka jest wprowadzany w górnej części w płaszczyźnie staje się model hiperbolicznej płaszczyzny H  2 The Model Poincarégo i PSL, (2, R ) oznacza grupę wszystkich izometrycznych orientacji-konserwowanie H  2 w tym Model.

Podgrupa wszystkich przemian Mobius że mapować otwartą dysk D = Z  : | oo | <1 sobie obejmuje wszystkie zmiany planu

z ∈ R , bC i | b | <1. Odpowiada to grupie wszystkich biholomorphic (lub równoważnie: bijective, konserwujących i kąta orientacji do konserwacji) odwzorowuje DD . Przez wprowadzenie odpowiedniej metryki otwarta dysk obraca się w innym modelu płaszczyzny hiperbolicznych na model Disk Poincaré i grupa ta jest grupą wszystkich izometrycznych orientacji-konserwowanie H  2 w tym modelu.

Ponieważ oba z powyższych podgrup służyć jako izometrii grup H  2 są izomorficzne. Konkretny izomorfizm jest przez koniugacji z transformacją

który bijectively mapuje otwarte dysku urządzenia do górnej połowy samolotu.

Alternatywnie, należy rozważyć otwartą dysk o promieniu R , skupione w RI . Model dysku Poincaré w tym dysku staje się identyczna z modelem górnej półpłaszczyźnie jako R zbliża ∞.

Ilość zwarty podgrupa grupy Möbius jest przez

i odpowiada pod izomorfizmie do rzutowej specjalnego jednostkowej grupy zasilacza (2 C ), który jest izomorficzny w specjalnej grupy prostopadłym SO (3) obrotów w trzech wymiarach i może być interpretowany jako obrotów sfery Riemanna. Każda podgrupa jest ograniczony do tego koniugatu maksymalnej zwartej grupie, a zatem są zgodne dokładnie z grupami wieloboczne, z grupy punktów w trzech wymiarach .

Grupy ikozahedralnymi przemian MöBIUS służyły Felix Klein otrzymując analityczną rozwiązanie Quintic równania w ( Klein, 1888 ); nowoczesna ekspozycja jest podana w.

Jeśli wymaga współczynniki a , b , c , d z funkcja homograficzna być liczbami całkowitymi z ad - BC = 1, otrzymujemy modułowy zespół PSL (2, Z ), dyskretne podgrupa PSL (2, R ) ważna badanie kraty w złożonej płaszczyźnie, funkcji eliptycznych i krzywych eliptycznych . Odrębne podgrupy PSL (2, R ) są znane jako grupy Fuchsian ; są one ważne w badaniu powierzchni Riemanna .

Klasyfikacja

Hiperbolicznej transformacji jest pokazane. Wstępnie obrazy okręgu jednostkowego są koła Apolloniusza ze stosunku odległości c / A i ognisk w temperaturze - b / a -
d / c .
Z tego samego ognisk - b / a -
d / c czerwone koła odwzorowane na promieniowanie przez początek układu współrzędnych.

W poniższej dyskusji zawsze będziemy zakładać, że macierz reprezentująca normalizuje takie, że .

Dla tożsamości transformacje Mobius powszechnie dzieli się na cztery rodzaje, paraboliczny , eliptyczne , hiperboliczne i loxodromic z hiperboliczny z nich są podklasą loxodromic nich. Klasyfikacja ma zarówno algebraicznych i znaczenie geometryczne. Geometrycznie rodzaje prowadzić w różnych przekształceń w płaszczyźnie zespolonej, jak poniżej figury przedstawiają.

Cztery typy można wyróżnić patrząc na ślad . Należy pamiętać, że ślad jest niezmienny pod koniugacji , czyli

a więc każdy członek klasa sprzężoności będą miały ten sam ślad. Każda transformacja Möbiusa może być napisany tak, że jego matryca reprezentujący ma wyznacznik jeden (przez pomnożenie wpisy z odpowiednim skalarne). Dwie transformacje Möbiusa (oba nie równe tożsamości) z przekształcenia są sprzężone wtedy i tylko wtedy

paraboliczne transformacje

Wykres Smith , stosowane przez elektryków analizy linii przesyłowych , jest przedstawiony na parabolicznego Möbius transformacji Z = (Γ + 1) / (- Γ + 1). Każdy punkt na wykresie Smitha jednocześnie reprezentuje zarówno wartość oo (na dole po lewej) oraz odpowiednią wartość gamma (prawy dolny róg), na | y | <1.

Nie-tożsamość Möbiusa przetwarzania określony przez matrycę z wyznacznik jednego mówi się, że paraboliczny czy

(tak ślad wynosi plus minus 2; albo może wystąpić dla danego przekształcenia ponieważ jest określana tylko do podpisania). W istocie jedną z opcji dla ma taką samą charakterystykę wielomianu X 2 -2 X +1 jako macierz tożsamości i dlatego unipotentne . Möbiusa transformacji jest paraboliczny, wtedy i tylko wtedy, gdy ma dokładnie jeden stały punkt w rozszerzonym złożonej płaszczyźnie , co dzieje się wtedy i tylko wtedy może być określone przez matrycę koniugatu

który opisuje tłumaczenie na płaszczyźnie zespolonej.

Zbiór wszystkich parabolicznych przemian MöBIUS z określonym ustalonym punkcie , wraz z tożsamością, tworzy podgrupę izomorficzna grupy macierzy

jest to przykład z unipotentne rodnik o podgrupy Borel (grupy Möbius lub SL (2, C ) w grupie matrycy; pojęcie to zdefiniowano dla dowolnego redukcyjnego grupy Lie ).

stała charakterystyka

Wszystkie nie paraboliczne przemian dwa punkty stałe i określone przez koniugatu matrycowego

z liczby zespolonej nie X równa się 0, 1 lub -1, odpowiadający rozwarcia / obracanie przez mnożenie przez liczbę zespoloną k = λ 2 , zwany charakterystykę stałej lub mnożnika transformacji.

transformacje eliptyczne

Transformacja mówi się eliptyczny czy może być reprezentowane przez matrycę , której ślad jest rzeczywistym z

Transformacji jest eliptyczna wtedy i tylko wtedy | λ | = 1 λ ≠ ± 1. Pisanie , przekształcać eliptyczny jest sprzężona do

z alfa rzeczywiste.

Należy zauważyć, że każdy z charakterystycznych stałej K , stała cechą jest k n . Tak więc, wszystkie transformacje Mobius skończonej kolejności są transformacje eliptyczne, czyli dokładnie te, gdzie λ jest pierwiastkiem jedności , lub, równoważnie, gdzie α jest racjonalne wielokrotnością Õ . Najprostszym możliwość ułamkową wiele środków α = π / 2, który jest unikalny przypadku , jest oznaczany także jako okrągły transformacji ; odpowiada geometrycznie na obrót o 180 ° wokół dwóch stałych punktach. Klasa ta jest przedstawiony w postaci macierzowej jako:

Istnieją 3 przedstawicieli mocujące {0, 1, ∞}, które są trzy transpozycje w grupie symetrii tych punktach: 3 , który mocuje 1 i ich zamiany 0 z (obracanie o 180 ° wokół punktu 1 i-1) , który rozwiązuje i ich zamiany 0 z 1 (obrót o 180 ° wokół punktów 1/2 i ), i który rozwiązuje 0 1 i ich zamiany z (obracanie o 180 ° wokół punktów od 0 do 2).

Przekształcenia hiperboliczne

Transformacja mówi się, hiperboliczny , jeżeli może być reprezentowane przez matrycę , której ślad jest rzeczywistym z

Transformacji jest hiperboliczny wtedy i tylko wtedy λ jest realne i pozytywne.

Loxodromic transformacje

Transformaty mówi się loxodromic jeśli nie jest w [0,4]. Transformacja jest loxodromic wtedy i tylko wtedy .

Historycznie nawigacji przez loxodrome lub rumbu linii dotyczy ścieżki stałego łożyska ; otrzymany ścieżka jest spirali logarytmicznej , podobnego w kształcie do transformacji na płaszczyźnie zespolonej, że loxodromic funkcja homograficzna czyni. Patrz figury geometryczne poniżej.

Generalna klasyfikacja

Transformacja Śledzenie squared mnożniki Reprezentant klasy
Okólnik σ = 0 k = -1 z ↦ - oo
Eliptyczny 0 ≤ σ <4 | k | = 1
ze ja θ oo
Paraboliczny σ = 4 k = 1 zoo +
Hiperboliczny 4 <σ <∞
ze θ oo
Loxodromic σ ∈ C \ [0,4]
zkz

Prawdziwy przypadek i uwaga na terminologii

W ciągu liczb rzeczywistych (jeżeli współczynnik może być prawdziwe), nie ma nie hiperboliczne loxodromic przemiany, a klasyfikacja do eliptycznych parabolicznym i hiperboliczny, jak na rzeczywistych stożkowych . Terminologia jest spowodowane za połowę wartości bezwzględnej śladu | tr | / 2, jak mimośrodowość transformacji - dzielenie przez 2 koryguje wymiarze, więc tożsamości mimośrodowości 1 (TR / n jest czasami używane jako alternatywą dla śledzenia tego powodu) i wartość bezwzględna koryguje śladowych, definiowanej do współczynnika ± 1, ze względu na pracę w PSL. Alternatywnie, można stosować połowę śladu kwadratu jako proxy dla mimośrodowości kwadratu, tak jak to odbywa się powyżej; Klasyfikacja ta (nie dokładne wartości mimośrodowości od kwadratury i wartości bezwzględne są różne) zgodę na rzeczywiste ślady ślady, ale nie złożone. To samo nazewnictwo stosowane do klasyfikacji elementów SL (2, R ) (2-krotnie) pokrywy, a analogiczne klasyfikacji stosuje się w innym miejscu. Loxodromic transformacje są zasadniczo złożone zjawisko, i odpowiadają złożonych mimośrodowości.

Interpretacja geometryczna charakterystycznej stałą

Poniższy rysunek przedstawia (po transformacji stereograficznym ze sfery do płaszczyzny) dwoma stałymi punktami transformacji Möbiusa w non-parabolicznym przypadku:

Mobius Identity.jpeg

Charakterystyka stałych może być wyrażona w kategoriach jego logarytmu :

Kiedy wyrażane w ten sposób, rzeczywista liczba ρ staje się czynnikiem ekspansji. To wskazuje, jak odrażające punktu stałego γ 1 , i jak atrakcyjny γ 2 jest. Rzeczywista liczba α jest kąt obrotu, co wskazuje, w jakim stopniu przekształcić obraca płaszczyznę przeciwnym do ruchu wskazówek zegara wokół gamma 1 z ruchem wskazówek zegara o Tt 2 .

transformacje eliptyczne

Jeśli ρ = 0, wówczas punkty stałe są ani atrakcyjna, ani odpychający, ale obojętny, a transformacja mówi się eliptyczny . Przemiany te mają tendencję do poruszania wszystkie punkty w kółko wokół dwóch punktów stałych. Jeżeli jedna ze stałych punktów jest w nieskończoności, jest to równoznaczne z pokrewieństwa robi obrót wokół punktu.

Jeżeli weźmiemy pod uwagę podgrupę jednoparametrową generowanego przez dowolny eliptycznej transformacji Möbiusa, otrzymujemy ciągłą przemianę, tak że każde przekształcenie w podgrupie rozwiązuje te same dwa punkty. Wszystkie inne punkty płynąć wzdłuż rodziny kręgach który jest zagnieżdżony pomiędzy dwoma stałymi punktami na sferze Riemanna. Ogólnie rzecz biorąc, dwa stałe punkty mogą być dowolne dwa różne punkty.

To ma ważną interpretację fizyczną. Wyobraźmy sobie, że jakiś obserwator obraca się ze stałą prędkością kątową o jakiejś osi. Wtedy możemy wziąć dwa punkty stałe za bieguny północ i południe od sfery niebieskiej. Pojawienie się na nocnym niebie jest teraz przekształcił się w sposób ciągły w taki sposób opisany przez podgrupę jednego parametru eliptycznych przemian dzielących się stałe punkty 0, ∞, a wraz z liczbą alfa odpowiadającej stałej prędkości kątowej naszego obserwatora.

Oto dane ilustrujące wpływ eliptycznej funkcja homograficzna na sferę Riemanna (po stereograficznego do płaszczyzny)

Mobius Mały Neg Elliptical.jpeg

Mobius Large Pos Elliptical.jpeg

Te zdjęcia przedstawiają efekt jednej transformacji Möbiusa. Podgrupa jeden parametr, który generuje stale przesuwa punkty wzdłuż rodziny łuków kołowych sugerowanych przez zdjęcia.

przekształcenia hiperboliczne

Jeśli α jest zerowe (lub wielokrotność 2 Õ ), a następnie przekształcenie mówi się hiperbolicznej . Przemiany te mają tendencję do punktów wzdłuż kołowych ścieżek z jednego stałego punktu w kierunku drugiego.

Jeżeli weźmiemy pod uwagę podgrupę jednoparametrową generowanego przez dowolny hiperbolicznej transformacji Möbiusa, otrzymujemy ciągłą przemianę, tak że każde przekształcenie w podgrupie rozwiązuje te same dwa punkty. Wszystkie inne punkty przepływać wzdłuż pewnej rodziny łuków kołowych z dala od pierwszego punktu ustalonego i ku drugim punkcie stałym. Ogólnie rzecz biorąc, dwa stałe punkty mogą być dowolne dwa różne punkty na kuli Riemanna.

To też ma ważną interpretację fizyczną. Wyobraźmy sobie, że obserwator przyspiesza (o stałej wielkości przyspieszenia) w kierunku bieguna północnego na jego sferze niebieskiej. Następnie pojawienie się na nocnym niebie jest przekształcany w taki sposób opisany przez podgrupę jednego parametru hiperbolicznych przemian dzielących się stałe punkty 0, ∞, z liczby rzeczywistej p odpowiadającej wielkości jego przyspieszenia wektorze. Gwiazdy zdają się przesuwać wzdłuż długości geograficznej, z dala od południowego bieguna w kierunku bieguna północnego. (The geograficzne się jako koliste łuki pod stereograficznego ze sfery do płaszczyzny).

Oto dane ilustrujące wpływ hiperbolicznej funkcja homograficzna na sferę Riemanna (po stereograficznego do płaszczyzny)

Mobius Mały Neg Hyperbolic.jpeg

Mobius Large Pos Hyperbolic.jpeg

Te wyniki podobne linie pól o pozytywnym i negatywnym ładunku elektrycznego znajduje się w ustalonych punktach połączenia, ponieważ okrągłe linie przepływu znajdują się naprzeciwko stały kąt między dwoma stałymi punktami.

Loxodromic transformacje

Jeśli zarówno ρ i α są niezerowe, to transformacja mówi się loxodromic . Przemiany te mają tendencję do wszystkich punktów torów w kształcie S z jednego stałego punktu do drugiego.

Słowo " loxodrome " to z greckiego: "λοξος (loxos), skośne + δρόμος (Dromos), oczywiście ". Podczas żeglowania na stałym łożysku - jeśli zachować nagłówek (powiedzmy) północno-wschodniej, w końcu skończyć żeglować wokół bieguna północnego w spirali logarytmicznej . Na projekcja mercator takie postępowanie jest linia prosta, jak projekt biegunów do nieskończoności. Kąt że loxodrome się naprzeciw w stosunku do linii długości (czyli jego nachylenie, w „szczelność” spirali) jest argumentem k . Oczywiście, transformacje Möbiusa może mieć swoje dwa punkty stałe w dowolnym miejscu, nie tylko na północnym i południowym biegunie. Ale każdy loxodromic transformacja będzie sprzężoną do transformacji, która porusza wszystkie punkty wzdłuż takich loxodromes.

Jeżeli weźmiemy pod uwagę podgrupę jednoparametrową generowanego przez dowolny loxodromic transformacji Möbiusa, otrzymujemy ciągłą przemianę, tak że każde przekształcenie w podgrupie rozwiązuje te same dwa punkty. Wszystkie inne punkty przepływać wzdłuż pewnej rodziny krzywych, z dala od pierwszego punktu ustalonego i ku drugim punkcie stałym. W przeciwieństwie do przypadku, hiperboliczny, krzywe te nie są koliste łuki, ale pewne krzywe, które pod stereograficznego ze sfery na powierzchni pojawiają się jako krzywe spiralne które skręcają przeciwnie nieskończenie często około jednego stałego punktu do ruchu wskazówek zegara i skręcają nieskończenie często wokół drugiego stałego punktu. Ogólnie rzecz biorąc, dwa stałe punkty mogą być dowolne dwa różne punkty na kuli Riemanna.

Można się domyślić interpretacji fizycznej w przypadku gdy dwa stałe punkty 0, ∞: obserwator, który jest zarówno obracanie (ze stałą prędkością kątową) o jakiejś osi i porusza się wzdłuż tej samej osi, będzie zobaczyć wygląd nocnego nieba transformacji według jednego z podgrupy parametrów loxodromic przemian ze stałych punktów 0 ∞, i p, cc ustalone odpowiednio do rzeczywistej wielkości liniowych i kątowych prędkości.

Stereographic projekcja

Te zdjęcia pokazują transformacje Mobius stereographically prognozowanych na sferze Riemanna . Uwaga w szczególności, że przy rzutowaniu na kuli, szczególny przypadek stałym punktem w nieskończoności wygląda nie różni się od posiadające stałe punkty w dowolnym miejscu.

Jeden ustalony punkt w nieskończoności
Eliptyczny
Hiperboliczny
Loxodromic
Stałe punkty diametralnie
Eliptyczny
Hiperboliczny
Loxodromic
Stałe punkty w dowolnym miejscu
Eliptyczny
Hiperboliczny
Loxodromic

Iteracji transformacji

Jeśli transformacja ma stałe punkty γ 1 , y 2 i charakterystyczną stałą k , wtedy będzie miał .

Może to zostać wykorzystane w celu iteracji transformacji lub animacji jednej dzieląc go na etapach.

Zdjęcia te pokazują trzy punkty (czerwone, niebieskie i czarne) ciągłego powtórzyć przy przekształceniach z różnych charakterystycznych stałych.

Mobius23621.jpeg Mobius23622.jpeg Mobius23623.jpeg

I te zdjęcia pokazują, co dzieje się podczas przekształcania kółko pod hiperboliczny, eliptyczny, a Loxodromic przemienia. Zauważ, że w eliptycznych i loxodromic obrazów, wartość α jest 1/10.

IteratedHyperbolicTsfm.png IteratedEllipticalTsfm.png IteratedLoxodromicTsfm.png


Polacy transformacji

Punkt

nazywany jest biegunem ; to jest punkt, który przekształca się w punkcie, w nieskończoności mocy .

Odwrotność biegun

Jest to punkt, do którego punktu w nieskończoności transformacji. Punkt w połowie drogi między dwoma biegunami jest zawsze taka sama, jak w połowie drogi między dwoma punktami stałymi:

Te cztery punkty są wierzchołkami równoległoboku, który jest czasami nazywany charakterystyczny równoległobok transformacji.

Transformacji można określić dwa stałe punkty gamma 1 , gamma 2 i słupa .

To pozwala nam czerpać wzór do przeliczenia między K i biorąc pod uwagę :

który redukuje się do

Ostatni ekspresji zbiega się z jednym z obu stron (odwrotność) wartości własnej współczynników macierzy

reprezentujący przekształcenie (porównaj dyskusję w poprzedniej sekcji, o charakterystycznej stałej transformacji). Jego charakterystyczną wielomian jest równa

który ma korzenie

wyższe wymiary

W większych wymiarach, A funkcja homograficzna jest homeomorfizm z The punktowe zwartym z , który jest ograniczony skład inwersji w dziedzinach i odbicia w hiperplaszczyzn . Twierdzenie Liouville'a w geometrii konformalną stwierdza, że w wymiarze co najmniej trzech, wszystkie konformalne transformacje są transformacje Möbiusa. Każda transformacja Möbiusa można umieścić w formie

w której , , jest macierzą ortogonalną , i jest równe 0 lub 2. Grupy przemian MöBIUS zwany jest grupa Möbiusa .

W orientacji zabezpieczonego MöBIUS przekształcenia stanowią podłączonego urządzenia tożsamości w grupie Möbiusa. W wymiarze n = 2 , orientacja-konserwowanie Mobius przekształcenia są dokładnie mapy sfery Riemanna pokryte tutaj. Te orientacji odwracania są otrzymywane z nich przez złożone sprzężenie.

Domena przemian Mobius, czyli jest homeomorficzny do n -wymiarowej kuli . Kanoniczny izomorfizm między tymi dwoma miejscami jest Cayley przekształcać , która sama w sobie jest transformacja Möbiusa od . To oznacza, że identyfikacja transformacje Möbiusa może być również traktowane jako konforemnych isomorphisms o . N -sphere wraz z działaniem grupy Möbius jest struktura geometryczna (w sensie Kleina programu Erlangen ) o nazwie Möbiusa geometrii .

Aplikacje

transformacja Lorentza

Izomorfizmem grupy Möbiusa z grupy Lorentza odnotowano przez kilku autorów: Na podstawie poprzedniej pracy Felix Klein (1893, 1897) na automorficznych funkcji związanych z hiperboliczny geometrii i Möbiusa geometrii, Gustav Herglotz (1909) wykazali, że hiperboliczne wniosków (tj izometryczne automorfizmy o hiperbolicznej przestrzeni ) transformację sfery jednostkowej w sobie odpowiadają transformacji Lorentza, w którym Herglotz był zdolny do klasyfikowania jednego parametru Lorentza transformacji w loxodromic, eliptyczne, hiperbolicznych i parabolicznych grup. Inni autorzy m.in. Emil Artin (1957), HSM Coxeter (1965) oraz Roger Penrose i Wolfgang Rindler (1984).

Przestrzeń Minkowskiego składa się z czterech wymiarów rzeczywistym układzie współrzędnych R 4, składającym się z przestrzeni uporządkowane czterokrotnie ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) liczb rzeczywistych, wraz z formy kwadratowej

Pożyczania terminologia ze szczególnym wzgl wskazuje z Q  > 0 są uznawane timelike ; Ponadto, jeśli x 0  > 0, to punkt nazywa przyszłość wskazującego . Punkty z Q  <0 nazywane są spacelike . Zerowy stożka S składa się z tych punktach, w których Q  = 0; przyszłości zerowy stożka N + są te punkty zerowy stożka X 0  > 0. niebieskich kula jest następnie identyfikowany z kolekcji promieni w N + , którego punkt początkowy znajduje się źródłem R 4 . Zbiór liniowej transformacji na R 4 z pozytywnym czynnikiem determinującym zachowaniu kwadratową formę Q i utrzymanie kierunku czasu wytworzenia ograniczonej grupy Lorentza SO + (1,3).

W związku z geometrią sfery niebieskiej, grupa transformacje + (1,3) jest oznaczony PSL grupy (2, C ) z MöBIUS przemian kuli. Do każdej ( X 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) ∈  R 4 , kojarzy hermitowskiego matrycy

Wyznacznikiem macierzy X jest równe P ( X 0 , x 1 , x 2 , x 3 ). Specjalną grupę liniowy działa na powierzchni takich matryc poprzez

 

 

 

 

( 1 )

dla każdego A ∈ SL (2 C ), a działanie to SL (2, C ) zachowuje determinantę X ponieważ det = 1 . Ponieważ determinantą X jest identyfikowany z formy kwadratowej Q , SL (2 C ) działa przez transformacje Lorentza. Ze względów przestrzennych, SL (2 C ), obejmuje otoczenie tożsamości SO (1,3). Od SL (2 C ), jest połączony, obejmuje całą ograniczonej grupy Lorentza SO + (1,3). Ponadto, ponieważ jądra działania ( 1 ) jest podgrupa {± I }, a następnie przejście do grupy iloraz daje izomorfizm grupy

 

 

 

 

( 2 )

Skupiając się teraz uwagę w przypadku, gdy ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) jest pusty, macierz X ma zerową determinantę, a tym samym dzieli jako zewnętrznego produktu złożonego Ę dwóch wektora z jego kompleksu koniugatu:

 

 

 

 

( 3 )

Dwuskładnikowy wektor ξ działa na nie SL (2 C ), w sposób zgodny z ( 1 ). Jest obecnie jasne, że jądro reprezentacji SL (2 C ) na hermitowskiego matryc {± I }.

Działanie PSL (2 C ), na sferze może być także opisane za pomocą geometrycznie stereograficznej występ . Rozważmy najpierw hiperpłaszczyznę w R 4 określonej przez x 0  = 1. niebieskich kula może być zidentyfikowany ze sferą S + przecięcia hiperpłaszczyznę z przyszłą zerowy stożka N + . Stereograficznej projekcji od bieguna północnego (1,0,0,1) w tej dziedzinie na płaszczyznę x 3  = 0 przyjmuje punkt o współrzędnych (1, x 1 , x 2 , x 3 ), z

do momentu

Wprowadzanie kompleksu współrzędnych

odwrotnością projekcja stereograficzna daje następujący wzór na punkt ( x 1 , x 2 , x 3 ) na S + :

 

 

 

 

( 4 )

Działanie SO + (1,3) w punktach N + nie zachowuje hiperpłaszczyznę S + , ale działającego na punktach S + i przeskalowaniu, tak, że daje w wyniku w S + daje działania SO + ( 1,3) na sferze, która podchodzi do działania na zmiennej zespolonej ç. W rzeczywistości, ta akcja jest ułamkowych przekształceń liniowych, chociaż nie jest łatwo widoczne z tej reprezentacji sfery niebieskiej. Odwrotnie, dla każdej frakcyjnej liniowej transformacji zmiennych ç przechodzi do unikalnego transformacji Lorentza na N + , ewentualnie po odpowiednim (jednoznacznie wyznaczone) zmiany skali.

Bardziej niezmienna opis stereograficznego który umożliwia działanie, które są lepiej widoczne jest, aby wziąć pod uwagę zmienny ç =  Z : w postaci stosunku par współrzędnych jednorodnych dla kompleksu rzutowej linii CP 1 . Stereograficznej występ przechodzi na przemian od C 2  - {0} na N + , który jest jednorodny z stopnia drugiego w stosunku do rzeczywistych zgorzeliny

 

 

 

 

( 5 )

która zgadza się z ( 4 ), przy ograniczeniu do wagi, w którym składniki od ( 5 ) są właśnie te, uzyskane z produktu zewnętrznego

Reasumując, działanie ograniczonej grupy Lorentza SO + (1,3) są zgodne z informacjami z grupy PSL Möbius (2, C ). To motywuje następującą definicję. W wymiaru n  ≥ 2, Möbiusa grupa MOB ( n ) to grupa wszystkich orientacji zabezpieczonego konforemnych izometrycznych z sfera S N do siebie. Realizując sfery ochronnej jako przestrzeń przyszłościowych wskazując promieni stożka pustą w przestrzeni Minkowskiego R 1, n + 1 , to jest izomorfizmem MOB ( n ) o ograniczonej grupy Lorentza SO + (1, n +1 ) przemian Lorentza z dodatnim wyznacznika, przy zachowaniu kierunku czasu.

Coxeter zaczął zamiast z równoważnej formie kwadratowej

Zidentyfikowany grupę Lorentza z przekształceń dla których { x  : Q ( x ) = -1} jest stabilny . Potem interpretować jako x współrzędnych jednorodnych i { x  : Q ( x ) = 0}, z pustym stożkiem , ponieważ Cayley absolutne o hiperbolicznej przestrzeni punktów { x  : Q ( x ) <0}. Następnie Coxeter wprowadzono zmienne

tak, że Lorentz niezmienny Quadric odpowiada kuli Coxeter zauważa, że Felix Klein pisał także tej korespondencji, stosując stereograficznej występ z (0, 0, 1) na płaszczyźnie zespolonej Coxeter stosowany, że kręgi inversive płaszczyźnie reprezentowania płaszczyzny hiperboliczny przestrzeń, a ogólna homography jest produktem inwersji w dwóch lub czterech kół, co odpowiada ogólnej hiperbolicznej przemieszczania, który jest produktem inwersji w dwóch lub czterech płaszczyznach.

hiperboliczny przestrzeń

Jak widać powyżej, grupa PSL Möbiusa (2 C ) działa w przestrzeni Minkowskiego jako grupy tych izometrycznych zachowujących pochodzenie, orientacja miejsca i kierunku czasu. Ograniczanie do punktów, gdzie P = 1 w dodatnim stożek światła, które tworzą wzór hiperbolicznej 3 przestrzeń H  3 , widzimy, że grupa Möbiusa działa w H  3 w grupie izometrycznych orientacji do konserwacji. W rzeczywistości, grupa Möbiusa jest równa grupie orientacji zabezpieczonego izometrycznych hiperboli przestrzeni 3-wymiarowej.

Jeśli używamy modelu kuli Poincarégo , identyfikujące kuli jednostkowej w R 3 z H  3 , wtedy możemy myśleć o sferze Riemanna jako „granicy” z konformalną H  3 . Każdy orientacji zabezpieczonego isometry z H  3 daje początek funkcja homograficzna na sferę Riemann i vice versa; to jest bardzo pierwsza obserwacja prowadzi do ADS / CFT korespondencyjnych hipotez w fizyce.

Zobacz też

Uwagi

Referencje

Konkretny

Generał

Dalsza lektura

Linki zewnętrzne