Jednorodny wielomian - Homogeneous polynomial

W matematyce , o jednorodnej wielomian , czasami nazywany Quantic w starszych tekstach, to wielomian którego niezerowe warunki wszystkie mają ten sam stopień . Na przykład jest jednorodnym wielomianem stopnia 5 w dwóch zmiennych; suma wykładników w każdym członie wynosi zawsze 5. Wielomian nie jest jednorodny, ponieważ suma wykładników nie jest zgodna z wyrazu na wyraz. Wielomian jest jednorodny wtedy i tylko wtedy, gdy definiuje jednorodną funkcję . ${\ Displaystyle x ^ {5} + 2x ^ {3} y ^ {2} + 9xy ^ {4}}$ ${\ Displaystyle x ^ {3} + 3x ^ {2} y + z ^ {7}}$

Algebraiczna forma , lub po prostu formę , to funkcja określa jednorodnej wielomianu. Postaci binarnej jest formą dwóch zmiennych. Forma jest funkcją określoną w przestrzeni wektora , który może być wyrażony jako funkcja jednorodna współrzędnych ponad każdej podstawy .

Wielomian stopnia 0 jest zawsze jednorodny; jest to po prostu element pola lub pierścienia współczynników, zwykle nazywany stałą lub skalarem. Forma stopnia 1 jest formą liniową. Forma stopnia 2 jest formą kwadratową . W geometrii The odległość euklidesowa jest pierwiastek kwadratowy z formy kwadratowej.

Jednorodne wielomiany są wszechobecne w matematyce i fizyce. Odgrywają fundamentalną rolę w geometrii algebraicznej, ponieważ algebraiczna odmiana rzutowa jest definiowana jako zbiór wspólnych zer zbioru jednorodnych wielomianów.

Nieruchomości

Jednorodny wielomian definiuje jednorodną funkcję . Oznacza to, że jeśli wielomianowy wielomian P jest jednorodny stopnia d , to

{\ Displaystyle P (\ lambda x_ {1}, \ ldots, \ lambda x_ {n}) = \ lambda ^ {d} \, P (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ ,,}

dla każdego w każdym polu zawierającym współczynniki o P . I odwrotnie, jeśli powyższa zależność jest prawdziwa dla nieskończenie wielu, to wielomian jest jednorodny stopnia d . ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ lambda}$

W szczególności, jeśli P jest wtedy jednorodny

{\ Displaystyle P (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad P (\ lambda x_ {1}, \ ldots, \ lambda x_ {n}) = 0,}

dla każdego Ta właściwość ma fundamentalne znaczenie w definicji odmiany rzutowej . ${\ displaystyle \ lambda.}$

Każdy niezerowy wielomian można rozłożyć w wyjątkowy sposób jako sumę jednorodnych wielomianów o różnym stopniu, które nazywane są jednorodnymi składowymi wielomianu.

Ze względu na pierścień wielomianów na polu (lub, bardziej ogólnie, pierścień ) K , jednorodne wielomiany stopnia d tworzą przestrzeń wektorową (lub moduł ), powszechnie oznaczane Powyższy unikalnych pomocą rozkładu, który jest bezpośredni suma z (suma po wszystkich nieujemnych liczbach całkowitych ). ${\ Displaystyle R = K [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$ ${\ displaystyle R_ {d}.}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle R_ {d}}$

Wymiar przestrzeni wektorowej (lub modułu swobodnego ) to liczba różnych jednomianów stopnia d w n zmiennych (czyli maksymalna liczba składników niezerowych w jednorodnym wielomianu stopnia d w n zmiennych). Jest równy współczynnikowi dwumianu ${\ displaystyle R_ {d}}$

{\ Displaystyle {\ binom {d + n-1} {n-1}} = {\ binom {d + n-1} {d}} = {\ Frac {(d + n-1)!} {d ! (n-1)!}}.}

Jednorodny wielomian spełnia tożsamość Eulera dla funkcji jednorodnych . Oznacza to, że jeśli $P$ jest jednorodnym wielomianem stopnia $d$ w nieokreślonych , które mamy, w zależności od tego, który z nich jest przemiennym pierścieniem współczynników, ${\ Displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n},}$

{\ displaystyle dP = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} {\ frac {\ częściowe P} {\ częściowe x_ {i}}},}

gdzie oznacza formalny częściową pochodną o $P$ w stosunku do ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {\ częściowe P} {\ częściowe x_ {i}}}}$ ${\ displaystyle x_ {i}.}$

Homogenizacja

Niejednorodny wielomian P ( x ₁ , ..., x _n ) można ujednolicić, wprowadzając dodatkową zmienną x ₀ i definiując jednorodny wielomian czasami oznaczany jako ^h P :