Przestrzeń Hilberta - Hilbert space

Stan drgającej struny można modelować jako punkt w przestrzeni Hilberta. Rozkład drgającej struny na jej drgania o wyraźnych wydźwiękach daje rzut punktu na osie współrzędnych w przestrzeni.

W matematyce , przestrzenie Hilberta (określane przez Davida Hilberta ) umożliwiają uogólniając metody Algebra liniowego i rachunku z dwuwymiarowej i trójwymiarowej przestrzeni euklidesowych do przestrzeni, w których mogą mieć nieskończoną wymiar . Przestrzeń Hilberta to przestrzeń wektorowa wyposażona w operację iloczynu wewnętrznego , która pozwala na zdefiniowanie funkcji odległości i prostopadłości (zwanej w tym kontekście ortogonalnością ). Co więcej, przestrzenie Hilberta są kompletne dla tej odległości, co oznacza, że ​​istnieje wystarczająco dużo ograniczeń w przestrzeni, aby umożliwić zastosowanie technik rachunku różniczkowego.

Przestrzenie Hilberta powstają naturalnie i często w matematyce i fizyce , zazwyczaj jako nieskończenie wymiarowe przestrzenie funkcyjne . Najwcześniejsze przestrzenie Hilberta były badane z tego punktu widzenia w pierwszej dekadzie XX wieku przez Davida Hilberta , Erharda Schmidta i Frigyesa Riesza . Są niezbędnymi narzędziami w teoriach równań różniczkowych cząstkowych , mechanice kwantowej , analizie Fouriera (obejmującej zastosowania do przetwarzania sygnałów i wymiany ciepła) oraz teorii ergodycznej (stanowiącej matematyczną podstawę termodynamiki ). John von Neumann ukuł termin Hilbert space dla abstrakcyjnej koncepcji, która leży u podstaw wielu z tych różnorodnych zastosowań. Sukces metod przestrzeni Hilberta zapoczątkował bardzo owocną erę analizy funkcjonalnej . Oprócz klasycznych euklidesowych przykłady przestrzeni Hilberta to przestrzenie funkcji kwadratu zabudowy , przestrzeń sekwencji , Sobolewa składające się z ogólnych funkcji i Hardy'ego z funkcji holomorficznymi .

Intuicja geometryczna odgrywa ważną rolę w wielu aspektach teorii przestrzeni Hilberta. Dokładne analogie twierdzenia Pitagorasa i prawa równoległoboku zachodzą w przestrzeni Hilberta. Na głębszym poziomie rzut prostopadły na podprzestrzeń (odpowiednik „ spadku wysokości ” trójkąta) odgrywa znaczącą rolę w problemach optymalizacyjnych i innych aspektach teorii. Element przestrzeni Hilberta może być jednoznacznie określony przez jego współrzędne względem układu osi współrzędnych ( baza ortonormalna ), analogicznie do współrzędnych kartezjańskich na płaszczyźnie. Gdy ten zbiór osi jest przeliczalnie nieskończony , przestrzeń Hilberta można również pożytecznie myśleć w kategoriach przestrzeni nieskończonych sekwencji, które są sumowalne do kwadratu . Ta ostatnia przestrzeń jest często w starszej literaturze dalej do przestrzeni Hilberta. Operatory liniowe na przestrzeni Hilberta są również dość konkretnymi obiektami: w dobrych przypadkach są po prostu przekształceniami, które rozciągają przestrzeń różnymi czynnikami we wzajemnie prostopadłych kierunkach w sensie, który jest sprecyzowany przez badanie ich widma .

Definicja i ilustracja

Motywujący przykład: euklidesowa przestrzeń wektorowa

Jednym z najbardziej znanych przykładów przestrzeni Hilberta jest euklidesowa przestrzeń wektorowa składająca się z trójwymiarowych wektorów oznaczonych przez R 3 , wyposażonych w iloczyn skalarny . Iloczyn skalarny dwóch wektorów odbywa x i y i tworzy liczbę rzeczywistą xy . Jeśli x i y są reprezentowane we współrzędnych kartezjańskich , to iloczyn skalarny jest określony przez

Produkt kropkowy spełnia właściwości:

  1. Jest symetryczny w x i y : xy = yx .
  2. W pierwszym argumencie jest liniowa : ( a x 1 + b x 2 ) ⋅ y = a x 1y + b x 2y dla dowolnych skalarów a , b , i wektorów x 1 , x 2 i y .
  3. Jest dodatnio określony : dla wszystkich wektorów x , xx ≥ 0 , z równością wtedy i tylko wtedy , gdy x = 0 .

Operacja na parach wektorów, która, podobnie jak iloczyn skalarny, spełnia te trzy właściwości, jest znana jako (rzeczywisty) iloczyn skalarny . Miejsca wektora wyposażony w takim produkcie wewnętrzna jest znany jako (REAL) wewnętrznej powierzchni produktu . Każda skończenie wymiarowa wewnętrzna przestrzeń produktu jest również przestrzenią Hilberta. Podstawową cechą iloczynu skalarnego łączącego go z geometrią euklidesową jest to, że jest on powiązany zarówno z długością (lub normą ) wektora, oznaczoną || x || , a do kąta θ między dwoma wektorami x i y za pomocą wzoru

Kompletność oznacza, że ​​jeśli cząstka porusza się po zerwanej ścieżce (kolor niebieski) pokonując skończoną całkowitą odległość, wówczas cząstka ma dobrze określone przemieszczenie netto (kolor pomarańczowy).

Rachunek wielowymiarowy w przestrzeni euklidesowej opiera się na umiejętności obliczania granic i posiadaniu przydatnych kryteriów do wnioskowania o istnieniu granic. Szereg matematyczny

składający się z wektorów w R 3 jest absolutnie zbieżny pod warunkiem, że suma długości jest zbieżna jako zwykły szereg liczb rzeczywistych:

Podobnie jak w przypadku szeregu skalarów, szereg wektorów, które są zbieżne absolutnie, również są zbieżne do pewnego wektora granicznego L w przestrzeni euklidesowej, w tym sensie, że

Własność ta wyraża zupełność przestrzeni euklidesowej: że szereg zbieżny absolutnie zbiega się również w zwykłym sensie.

Przestrzenie Hilberta są często zastępowane liczbami zespolonymi . Płaszczyźnie zespolonej oznaczonej przez C wyposażona jest pojęciem rzędu wielkości, moduł zespolony | z | który jest zdefiniowany jako pierwiastek kwadratowy iloczynu z z jego sprzężeniem zespolonym :

Jeśli z = x + iy jest rozkładem z na części rzeczywiste i urojone, to moduł jest zwykłą dwuwymiarową długością euklidesową:

Iloczyn skalarny pary liczb zespolonych z i w jest iloczynem liczby z ze sprzężeniem zespolonym w :

To jest złożone. Rzeczywista część z , w daje zwykły dwuwymiarowy euklidesowy iloczyn skalarny .

Drugim przykładem jest przestrzeń C 2 , której elementami są pary liczb zespolonych z = ( z 1 , z 2 ) . Wtedy iloczyn skalarny z z innym takim wektorem w = ( w 1 , w 2 ) jest dany przez

Rzeczywista część z , w jest wtedy dwuwymiarowym euklidesowym iloczynem skalarnym . Ten iloczyn skalarny jest symetryczny hermitowski , co oznacza, że ​​wynikiem zamiany z i w jest sprzężenie zespolone:

Definicja

Przestrzeń Hilberta H jest prawdziwy czy kompleks wewnętrznej przestrzeni produktu , który jest także pełna przestrzeń metryczna w odniesieniu do funkcji odległości wywołanego przez produkt wewnętrznej.

Powiedzieć, że H jest przestrzenią zespoloną iloczynu skalarnego oznacza, że H jest przestrzenią zespoloną, w której istnieje iloczyn skalarny ⟨ x , y wiążący liczbę zespoloną z każdą parą elementów x , y z H spełniającą następujące własności:

  1. Produkt wewnętrzny jest sprzężony symetrycznie; to znaczy, iloczyn skalarny pary elementów jest równy sprzężeniu zespolonemu iloczynu skalarnego zamienionych elementów:
  2. W pierwszym argumencie iloczyn skalarny jest liniowy . Dla wszystkich liczb zespolonych a i b ,
  3. Iloczyn skalarny elementu z samym sobą jest dodatnio określony :
    (Zauważ, że właściwość 1 oznacza, że jest prawdziwy).

Z właściwości 1 i 2 wynika, że ​​złożony iloczyn skalarny jest antyliniowy , zwany także sprzężonym liniowym w drugim argumencie, co oznacza, że

Rzeczywistym wewnętrzna przestrzeń produkt jest zdefiniowana w ten sam sposób, z wyjątkiem H jest przestrzeń rzeczywista wektora i produkt wewnętrzna zajmuje wartości rzeczywiste. Taki iloczyn skalarny będzie dwuliniowym odwzorowaniem i ( H , H , ⟨⋅, ⋅⟩) utworzy układ dualny .

Norma jest funkcją o wartościach rzeczywistych

a odległość d między dwoma punktami x , y w H jest określona w kategoriach normy przez

To, że ta funkcja jest funkcją odległości, oznacza po pierwsze, że jest symetryczna w x i y , po drugie, że odległość między x a nią jest równa zero, a w przeciwnym razie odległość między x i y musi być dodatnia, a na koniec, że nierówność trójkąta utrzymuje się, co oznacza że długość jednego ramienia trójkąta xyz nie może przekraczać sumy długości dwóch pozostałych ramion:

Nierówność trójkąta w przestrzeni metrycznej.svg

Ta ostatnia własność jest ostatecznie konsekwencją bardziej fundamentalnej nierówności Cauchy-Schwarza , która stwierdza:

z równością wtedy i tylko wtedy, gdy x i yliniowo zależne .

Przy tak zdefiniowanej funkcji odległości dowolna wewnętrzna przestrzeń produktu jest przestrzenią metryczną i czasami nazywana jest przestrzenią przed-Hilberta Hausdorffa . Każda przestrzeń sprzed Hilberta, która dodatkowo jest również przestrzenią kompletną, jest przestrzenią Hilberta.

Kompletności z H wyraża się za pomocą formy kryterium Cauchy'ego do sekwencji w H : wstępnie przestrzeni Hilberta H jest kompletna, jeśli każdy Cauchy'ego sekwencji zbieżny w stosunku do tej normy do elementu w przestrzeni. Kompletność można scharakteryzować następującym równoważnym warunkiem: jeśli szereg wektorów

zbiega się absolutnie w tym sensie, że

następnie szereg zbiega się w H , w tym sensie, że sumy częściowe zbiegają się do elementu H .

Jako całkowicie unormowana przestrzeń, przestrzenie Hilberta są z definicji również przestrzeniami Banacha . Jako takie są to topologiczne przestrzenie wektorowe , w których pojęcia topologiczne, takie jak otwartość i zamknięcie podzbiorów, są dobrze zdefiniowane. Szczególne znaczenie ma pojęcie zamkniętej podprzestrzeni liniowej przestrzeni Hilberta, która z iloczynem skalarnym indukowanym przez ograniczenie jest również zupełna (będąc zbiorem domkniętym w całkowitej przestrzeni metrycznej), a zatem przestrzenią Hilberta samą w sobie.


Drugi przykład: spacje sekwencji

Przestrzeń sekwencji l 2 składa się ze wszystkich nieskończonych ciągów z = ( z 1 , z 2 , ...) liczb zespolonych takich, że szereg

zbiega się . Iloczyn skalarny na l 2 jest określony przez

przy czym ten ostatni szereg jest zbieżny w wyniku nierówności Cauchy-Schwarza .

Kompletność przestrzeni zachodzi pod warunkiem, że ilekroć szereg elementów z l 2 zbiega się bezwzględnie (w normie), to zbiega się on do elementu l 2 . Dowód jest podstawowy w analizie matematycznej i pozwala manipulować matematycznymi seriami elementów przestrzeni z taką samą łatwością, jak szeregami liczb zespolonych (lub wektorami w skończenie wymiarowej przestrzeni euklidesowej).

Historia

Przed opracowaniem przestrzeni Hilberta inne uogólnienia przestrzeni euklidesowych były znane matematykom i fizykom. Zwłaszcza idea abstrakcyjnej przestrzeni liniowej (przestrzeni wektorowej) zyskała pewną popularność pod koniec XIX wieku: jest to przestrzeń, której elementy mogą być sumowane i mnożone przez skalary (takie jak liczby rzeczywiste lub zespolone ) bez konieczności identyfikowanie tych elementów za pomocą wektorów „geometrycznych” , takich jak wektory położenia i pędu w układach fizycznych. Inne obiekty badane przez matematyków na przełomie XIX i XX wieku, w szczególności przestrzenie ciągów (w tym szeregi ) i przestrzenie funkcji, można naturalnie traktować jako przestrzenie liniowe. Na przykład funkcje mogą być dodawane lub mnożone przez stałe skalary, a operacje te są zgodne z prawami algebraicznymi spełnianymi przez dodawanie i mnożenie przez skalar wektorów przestrzennych.

W pierwszej dekadzie XX wieku równoległe zmiany doprowadziły do ​​wprowadzenia przestrzeni Hilberta. Pierwszą z nich była obserwacja, która pojawiła się podczas badania równań całkowych przez Davida Hilberta i Erharda Schmidta , że dwie całkowalne do kwadratu funkcje o wartościach rzeczywistych f i g na przedziale [ a , b ] mają iloczyn skalarny

który ma wiele znanych właściwości produktu kropkowego euklidesowego. W szczególności znaczenie ma idea ortogonalnej rodziny funkcji. Schmidt wykorzystał podobieństwo tego iloczynu skalarnego do zwykłego iloczynu skalarnego, aby udowodnić analogię rozkładu widmowego dla operatora formy

gdzie K jest funkcją ciągłą symetryczną w x i y . Wynikowe rozwinięcie funkcji własnej wyraża funkcję K jako szereg postaci

gdzie funkcje φ n są ortogonalne w tym sensie, że φ n , φ m ⟩ = 0 dla wszystkich nm . Poszczególne terminy z tej serii są czasami określane jako elementarne rozwiązania produktowe. Istnieją jednak rozszerzenia funkcji własnych, które nie są zbieżne w odpowiednim sensie do funkcji całkowalnej do kwadratu: brakującym składnikiem, który zapewnia zbieżność, jest zupełność.

Drugim rozwinięciem była całka Lebesgue'a , alternatywa dla całki Riemanna wprowadzona przez Henri Lebesgue'a w 1904 roku. Całka Lebesgue'a umożliwiła całkowanie znacznie szerszej klasy funkcji. W 1907 Frigyes Riesz i Ernst Sigismund Fischer niezależnie udowodnili, że przestrzeń L 2 kwadratowych funkcji całkowalnych Lebesgue'a jest całkowitą przestrzenią metryczną . W konsekwencji współzależności między geometrią a kompletnością, dziewiętnastowieczne wyniki Josepha Fouriera , Friedricha Bessela i Marca-Antoine'a Parsevala dotyczące szeregów trygonometrycznych łatwo przeniesiono do tych bardziej ogólnych przestrzeni, w wyniku czego powstał aparat geometryczny i analityczny, obecnie zwykle znany jako Twierdzenie Riesza-Fischera .

Dalsze podstawowe wyniki zostały udowodnione na początku XX wieku. Na przykład twierdzenie o reprezentacji Riesza zostało niezależnie ustanowione przez Maurice'a Frécheta i Frigyesa Riesza w 1907 roku. John von Neumann ukuł termin abstrakcyjna przestrzeń Hilberta w swojej pracy o nieograniczonych operatorach hermitowskich . Chociaż inni matematycy, tacy jak Hermann Weyl i Norbert Wiener, przestudiowali już szczegółowo poszczególne przestrzenie Hilberta, często z fizycznie motywowanego punktu widzenia, von Neumann po raz pierwszy przedstawił je w całości i aksjomatycznie. Von Neumann wykorzystał je później w swojej przełomowej pracy nad podstawami mechaniki kwantowej oraz w swojej dalszej pracy z Eugene Wignerem . Nazwę „przestrzeń Hilberta” wkrótce przyjęli inni, na przykład Hermann Weyl w swojej książce o mechanice kwantowej i teorii grup.

Znaczenie pojęcia przestrzeni Hilberta zostało podkreślone przez uświadomienie sobie, że oferuje ona jedno z najlepszych sformułowań matematycznych mechaniki kwantowej . Krótko mówiąc, stany układu mechaniki kwantowej są wektorami w określonej przestrzeni Hilberta, obserwowalne są operatorami hermitowskimi w tej przestrzeni, symetrie układu są operatorami unitarnymi , a pomiaryrzutami ortogonalnymi . Relacja pomiędzy kwantowej symetrii mechanicznej i operatorów jednostkowe przewidziane impuls dla rozwoju jednostkowej teorii reprezentacji z grupy zainicjowanego w 1928 pracy Hermann Weyl. Z drugiej strony, na początku lat 30. stało się jasne, że mechanikę klasyczną można opisać w kategoriach przestrzeni Hilberta ( Mechanika klasyczna Koopmana-von Neumanna ) i że pewne właściwości klasycznych układów dynamicznych można analizować za pomocą technik przestrzeni Hilberta w ramach teoria ergodyczna .

Algebra z wykrywalności w mechanice kwantowej ma naturalnie Algebra operatorów zdefiniowanych w przestrzeni Hilberta według Werner Heisenberga jest mechaniki matrycy formulacji kwantowej. Von Neumann zaczął badać algebry operatorów w latach 30. XX wieku, jako pierścienie operatorów na przestrzeni Hilberta. Rodzaje algebr studiowanych przez von Neumanna i jemu współczesnych są obecnie znane jako algebry von Neumanna . W latach czterdziestych Israel Gelfand , Mark Naimark i Irving Segal podali definicję pewnego rodzaju algebr operatorów zwanych C*-algebrami, które z jednej strony nie odwoływały się do podstawowej przestrzeni Hilberta, a z drugiej ekstrapolowały wiele przydatnych cech. algebr operatorów, które były wcześniej badane. Twierdzenie spektralne dla operatorów samosprzężonych, w szczególności leżące u podstaw istniejącej teorii przestrzeni Hilberta, zostało uogólnione na C*-algebry. Techniki te są obecnie podstawowe w abstrakcyjnej analizie harmonicznej i teorii reprezentacji.

Przykłady

Przestrzenie Lebesgue'a

Przestrzenie Lebesgue'a to przestrzenie funkcyjne związane z przestrzeniami pomiarowymi ( X , M , μ ) , gdzie X jest zbiorem, M jest σ-algebrą podzbiorów X , a μ jest przeliczalnie addytywną miarą na M . Niech L 2 ( X , μ ) będzie przestrzenią tych funkcji mierzalnych o wartościach zespolonych na X, dla których całka Lebesgue'a z kwadratu wartości bezwzględnej funkcji jest skończona, tj. dla funkcji f w L 2 ( X , μ ) ,

i gdzie funkcje są identyfikowane wtedy i tylko wtedy, gdy różnią się tylko zbiorem miary zero .

Iloczyn skalarny funkcji f i g w L 2 ( X , μ ) jest wtedy zdefiniowany jako

lub

gdzie druga forma (koniugacja pierwszego elementu) jest powszechnie spotykana w literaturze fizyki teoretycznej. Na f i g w L 2 , integralna istnieje, ponieważ nierówności Cauchy- Schwarz i określa wewnętrzną produktu na powierzchni. Wyposażony w ten wewnętrzny produkt, L 2 jest w rzeczywistości kompletny. Całka Lebesgue'a jest niezbędna, aby zapewnić kompletność: na przykład w dziedzinach liczb rzeczywistych niewystarczająca liczba funkcji jest całkowalna Riemanna .

Przestrzenie Lebesgue'a pojawiają się w wielu naturalnych sceneriach. Przestrzenie L 2 ( R ) i L 2 ([0,1]) funkcji całkowalnych do kwadratu względem miary Lebesgue'a odpowiednio na prostej i przedziale jednostkowym są naturalnymi dziedzinami, na których definiuje się transformatę Fouriera i transformatę Fouriera. seria. W innych sytuacjach miarą może być coś innego niż zwykła miara Lebesgue'a na linii rzeczywistej. Na przykład, jeśli w jest dowolną dodatnią funkcją mierzalną, przestrzeń wszystkich funkcji mierzalnych f na przedziale [0, 1] spełnia

nazywany jest ważona L 2 przestrzeń L2
w
([0, 1])
, a w nazywamy funkcją wagi. Produkt wewnętrzny jest zdefiniowany przez

Ważona przestrzeń L2
w
([0, 1])
jest identyczna z przestrzenią Hilberta L 2 ([0, 1], μ ), gdzie miara μ zbioru A mierzalnego Lebesgue'a jest zdefiniowana przez

Ważona L 2 przestrzenie takie jak ten są często używane do badania wielomianów ortogonalnych, ponieważ różne rodziny wielomianów ortogonalnych są prostopadłe w stosunku do różnych funkcji ważenia.

Przestrzenie Sobolewa

Przestrzenie Sobolewa , oznaczone przez H s lub W s , 2 , są przestrzeniami Hilberta. Są to specjalny rodzaj przestrzeni funkcyjnych, w których można dokonać różniczkowania , ale które (w przeciwieństwie do innych przestrzeni Banacha, takich jak przestrzenie Höldera ) wspierają strukturę iloczynu skalarnego. Ponieważ różniczkowanie jest dozwolone, przestrzenie Sobolewa są wygodnym ustawieniem dla teorii równań różniczkowych cząstkowych . Stanowią również podstawę teorii metod bezpośrednich w rachunku wariacyjnym .

Dla s nieujemnej liczby całkowitej i Ω ⊂ R n , przestrzeń Sobolewa H s (Ω) zawiera funkcje L 2 , których słabe pochodne rzędu do s również są L 2 . Iloczyn skalarny w H s (Ω) to

gdzie kropka wskazuje iloczyn skalarny w przestrzeni euklidesowej pochodnych cząstkowych każdego rzędu. Przestrzenie Sobolewa można również zdefiniować, gdy s nie jest liczbą całkowitą.

Przestrzenie Sobolewa są również badane z punktu widzenia teorii spektralnej, opierając się bardziej szczegółowo na strukturze przestrzeni Hilberta. Jeżeli Ω jest odpowiednią dziedziną, to przestrzeń Sobolewa H s (Ω) można zdefiniować jako przestrzeń potencjałów Bessela ; mniej więcej,

Tutaj Δ jest Laplace'em i (1 − Δ) s/2jest rozumiany w kategoriach twierdzenia o odwzorowaniu spektralnym . Oprócz zapewnienia funkcjonalną definicję przestrzeni Sobolewa na niecałkowitą s , definicja ta jest również szczególnie pożądane własności pod transformaty Fouriera , które czynią go idealnym dla badania operatorów pseudodifferential . Stosując te metody na zwartej rozmaitości Riemanna , można uzyskać np. rozkład Hodge'a , który jest podstawą teorii Hodge'a .

Przestrzenie funkcji holomorficznych

Odporne przestrzenie

Przestrzenie Hardy'ego to przestrzenie funkcyjne powstające w analizie zespolonej i analizie harmonicznej , których elementami są pewne funkcje holomorficzne w dziedzinie zespolonej. Niech U oznacza dysk jednostkowy w płaszczyźnie zespolonej. Wtedy przestrzeń Hardy'ego H 2 ( U ) jest zdefiniowana jako przestrzeń funkcji holomorficznych f na U tak, że średnie

pozostają ograniczone dla r < 1 . Norma na tej przestrzeni Hardy'ego jest określona przez

Przestrzenie Hardy na płycie są związane z serią Fouriera. Funkcja f jest w H 2 ( U ) wtedy i tylko wtedy, gdy

gdzie

Zatem H 2 ( U ) składa się z tych funkcji, które są L 2 na kole i których ujemne współczynniki Fouriera częstotliwości znikają.

Przestrzenie Bergmana

Przestrzenie Bergmana to kolejna rodzina przestrzeni Hilberta funkcji holomorficznych. Niech D będzie ograniczonym zbiorem otwartym na płaszczyźnie zespolonej (lub przestrzenią zespoloną wyższego wymiaru) i niech L 2, h ( D ) będzie przestrzenią funkcji holomorficznych f w D , które również są w L 2 ( D ) w sensie że

gdzie całka jest brana w odniesieniu do miary Lebesgue'a w D . Oczywiście L 2, H ( D ) jest podprzestrzeń L 2 ( D ) ; w rzeczywistości jest to podprzestrzeń zamknięta , a więc sama w sobie przestrzeń Hilberta. Jest to konsekwencją oszacowania, ważnego dla zwartych podzbiorów K z D , że

co z kolei wynika z wzoru całkowego Cauchy'ego . Zatem zbieżność sekwencji funkcji holomorficznych w L 2 ( D ) implikuje również zbieżność zwartą , a więc funkcja graniczna jest również holomorficzna. Inną konsekwencją tej nierówności jest to, że funkcjonał liniowy, który oblicza funkcję f w punkcie D, jest faktycznie ciągły na L 2, h ( D ) . Twierdzenie Riesza o reprezentacji implikuje, że funkcjonał ewaluacyjny może być reprezentowany jako element L 2, h ( D ) . Tak więc, dla każdego ZD , jest funkcją η zL 2, H ( D ) tak, że

wszystkie fL 2 h ( D ) . Integrand

jest znany jako Bergman kernel z D . To integralne jądro spełnia właściwość reprodukcji

Przestrzeń Bergmana jest przykładem odtwarzającej się przestrzeni Hilberta jądra , która jest przestrzenią Hilberta funkcji wraz z jądrem K ( ζ , z ), które weryfikuje właściwość odtwarzania analogiczną do tej. Przestrzeń Hardy'ego H 2 ( D ) również dopuszcza jądro odtwarzające, znane jako jądro Szegu . Powielanie jąder jest również powszechne w innych dziedzinach matematyki. Na przykład w analizie harmonicznej Całka Poissona jest jądro odtwarzające do przestrzeni Hilberta kwadratowych zabudowy funkcji harmonicznych w kuli jednostkowej . To, że ta ostatnia jest w ogóle przestrzenią Hilberta, jest konsekwencją twierdzenia o wartości średniej dla funkcji harmonicznych.

Aplikacje

Wiele zastosowań przestrzeni Hilberta wykorzystuje fakt, że przestrzenie Hilberta wspierają uogólnienia prostych pojęć geometrycznych, takich jak rzutowanie i zmiana bazy z ich zwykłego skończonego ustawienia wymiarowego. W szczególności, widmowa teoria z ciągłym samosprzężonego liniowy operatorów na przestrzeni Hilberta uogólnia zwykły spektralnej dekompozycji o matrycy , a to często odgrywa ważną rolę w zastosowaniach teorii innych dziedzinach matematyki i fizyki.

Teoria Sturma-Liouville'a

Te podteksty z drgającej struny. Są to funkcje własne powiązanego problemu Sturma-Liouville'a. Wartości własne 1,1/2, 1/3, ... tworzą (muzyczną) serię harmoniczną .

W teorii równań różniczkowych zwyczajnych metody spektralne na odpowiedniej przestrzeni Hilberta są wykorzystywane do badania zachowania wartości własnych i funkcji własnych równań różniczkowych. Na przykład problem Sturma-Liouville'a pojawia się w badaniu harmonicznych fal w strunie skrzypiec lub bębnie i jest głównym problemem w równaniach różniczkowych zwyczajnych . Problemem jest równanie różniczkowe postaci

dla nieznanej funkcji y na przedziale [ a , b ] spełniającej ogólne jednorodne warunki brzegowe Robina

Funkcje p , q i w są podane z góry, a problem polega na znalezieniu funkcji y i stałych λ, dla których równanie ma rozwiązanie. Problem ma tylko rozwiązania dla pewnych wartości λ , zwanych wartościami własnymi układu, a to jest konsekwencją twierdzenia spektralnego dla operatorów zwartych zastosowanego do operatora całkowego zdefiniowanego przez funkcję Greena dla układu. Co więcej, inną konsekwencją tego ogólnego wyniku jest to, że wartości własne λ systemu mogą być uporządkowane w rosnącej sekwencji dążącej do nieskończoności.

Równania różniczkowe cząstkowe

Przestrzenie Hilberta stanowią podstawowe narzędzie w badaniu równań różniczkowych cząstkowych . W przypadku wielu klas równań różniczkowych cząstkowych, takich jak liniowe równania eliptyczne , możliwe jest rozważenie rozwiązania uogólnionego (znanego jako rozwiązanie słabe ) poprzez powiększenie klasy funkcji. Wiele słabych sformułowań obejmuje klasę funkcji Sobolewa , która jest przestrzenią Hilberta. Odpowiednie słabe sformułowanie sprowadza do problemu geometrycznego analityczny problem znalezienia rozwiązania lub, co ważniejsze, wykazania, że ​​rozwiązanie istnieje i jest unikalne dla danych danych brzegowych. W przypadku liniowych równań eliptycznych jednym z wyników geometrycznych, który zapewnia unikalną rozwiązywalność dużej klasy problemów, jest twierdzenie Laxa-Milgrama . Strategia ta stanowi zaczątek metody Galerkina ( metody elementów skończonych ) do numerycznego rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych.

Typowym przykładem jest równanie Poissona −Δ u = g z warunkami brzegowymi Dirichleta w ograniczonej domenie Ω w R 2 . Słabe sformułowanie polega na znalezieniu funkcji u takiej, że dla wszystkich funkcji ciągle różniczkowalnych v w Ω zanikających na granicy:

Można to przekształcić w przestrzeni Hilberta H1
0
(Ω)
składający się z funkcji u takich, że u , wraz z jego słabymi pochodnymi cząstkowymi, są całkowalne do kwadratu na Ω i znikają na brzegu. Pytanie sprowadza się zatem do znalezienia u w tej przestrzeni tak, że dla wszystkich v w tej przestrzeni

gdzie a jest ciągłą formą dwuliniową , a b jest ciągłym funkcjonałem liniowym , odpowiednio przez

Ponieważ równanie Poissona jest eliptyczne , z nierówności Poincarégo wynika, że ​​dwuliniowa forma a jest koercyjna . Twierdzenie Laxa–Milgrama zapewnia zatem istnienie i jednoznaczność rozwiązań tego równania.

Przestrzenie Hilberta pozwalają na sformułowanie wielu eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych w podobny sposób, a twierdzenie Laxa–Milgrama jest wówczas podstawowym narzędziem ich analizy. Z odpowiednimi modyfikacjami podobne techniki można zastosować do parabolicznych równań różniczkowych cząstkowych i niektórych hiperbolicznych równań różniczkowych cząstkowych .

Teoria ergodyczna

Tor piłki bilardowej na stadionie Bunimowicza opisuje ergodyczny układ dynamiczny .

Dziedziną teorii ergodycznej jest badanie długoterminowego zachowania chaotycznych układów dynamicznych . Protypowym przypadkiem pola, do którego odnosi się teoria ergodyczna, jest termodynamika , w której – choć mikroskopijny stan układu jest niezwykle skomplikowany (niemożliwe jest zrozumienie zbioru pojedynczych zderzeń między cząsteczkami materii) – przeciętne zachowanie w wystarczająco długim czasie przedziały czasowe są wykonalne. Te zasady termodynamiki są twierdzenia o takiej przeciętnej zachowania. W szczególności jedno sformułowanie zerowej zasady termodynamiki twierdzi, że w wystarczająco długich skalach czasowych jedynym funkcjonalnie niezależnym pomiarem, jaki można wykonać dla układu termodynamicznego w równowadze, jest jego całkowita energia w postaci temperatury .

Ergodyczny układ dynamiczny to taki, dla którego oprócz energii — mierzonej hamiltonianem — nie ma innych funkcjonalnie niezależnych wielkości zachowanych w przestrzeni fazowej . Mówiąc dokładniej, załóżmy, że energia E jest stała i niech Ω E będzie podzbiorem przestrzeni fazowej składającej się ze wszystkich stanów energii E (powierzchni energii) i niech T t oznacza operator ewolucji w przestrzeni fazowej. Układ dynamiczny jest ergodyczny, jeśli nie ma ciągłych funkcji niestałych na Ω E takich, że

dla wszystkich w na Ω E i przez cały czas t . Twierdzenie Liouville'a implikuje, że istnieje miara μ na powierzchni energii, która jest niezmienna w czasie translacji . W rezultacie translacja w czasie jest jednostkową transformacją przestrzeni Hilberta L 2E , μ ) składającą się z funkcji całkowalnych kwadratowo na powierzchni energii Ω E względem iloczynu skalarnego

Twierdzenie von Neumanna o średniej ergodycznej brzmi następująco:

  • Jeśli U t jest (silnie ciągłą) jednoparametrową półgrupą operatorów unitarnych na przestrzeni Hilberta H , a P jest rzutem ortogonalnym na przestrzeń wspólnych punktów stałych U t , { xH | U t x = x , ∀ t > 0} , wtedy

Dla układu ergodycznego ustalony zbiór ewolucji w czasie składa się tylko z funkcji stałych, więc z twierdzenia ergodycznego wynika, co następuje: dla dowolnej funkcji fL 2E , μ ) ,

Oznacza to, że średnia długookresowa obserwowalnego f jest równa jego wartości oczekiwanej na powierzchni energii.

Analiza Fouriera

Nałożenie funkcji bazowej fali sinusoidalnej (na dole) w celu utworzenia fali piłokształtnej (na górze)
Harmoniczne sferyczne , ortonormalna podstawa przestrzeni Hilberta funkcji całkowalnych do kwadratu na sferze, przedstawiona na wykresie wzdłuż kierunku promieniowego

Jednym z podstawowych celów analizy Fouriera jest rozłożenie funkcji na (być może nieskończoną) kombinację liniową danych funkcji bazowych: powiązany szereg Fouriera . Klasyczny szereg Fouriera związany z funkcją f zdefiniowaną na przedziale [0, 1] jest szeregiem postaci

gdzie

Przykład dodawania pierwszych kilku wyrazów w szeregu Fouriera dla funkcji piłokształtnej pokazano na rysunku. Podstawowymi funkcjami są fale sinusoidalne o długościach falλ/n(dla liczby całkowitej n ) krótszej niż długość fali λ samego zęba piłokształtnego (z wyjątkiem n = 1 , fali podstawowej ). Wszystkie funkcje podstawowe mają węzły w węzłach piłokształtnych, ale wszystkie oprócz podstawowych mają dodatkowe węzły. Oscylacja zsumowanych terminów dotyczących piłokształtnego nazywana jest zjawiskiem Gibbsa .

Istotnym problemem w klasycznych szeregach Fouriera jest pytanie, w jakim sensie szereg Fouriera zbiega się, jeśli w ogóle, do funkcji f . Metody przestrzeni Hilberta dają jedną możliwą odpowiedź na to pytanie. Funkcje e n ( θ ) = e inθ tworzą ortogonalną bazę przestrzeni Hilberta L 2 ([0, 1]) . W konsekwencji każda funkcja całkowalna z kwadratem może być wyrażona jako szereg

a ponadto szereg ten jest zbieżny w sensie przestrzeni Hilberta (czyli w średniej L 2 ).

Problem można również badać z abstrakcyjnego punktu widzenia: każda przestrzeń Hilberta ma bazę ortonormalną , a każdy element przestrzeni Hilberta można zapisać w unikalny sposób jako sumę wielokrotności tych elementów bazy. Współczynniki występujące na tych elementach bazowych są czasami nazywane abstrakcyjnie współczynnikami Fouriera elementu przestrzeni. Abstrakcja jest szczególnie przydatna, gdy bardziej naturalne jest użycie różnych funkcji bazowych dla przestrzeni, takiej jak L 2 ([0, 1]) . W wielu okolicznościach pożądane jest, aby nie rozkładać funkcji na funkcje trygonometryczne, ale na przykład na wielomiany ortogonalne lub falki , aw wyższych wymiarach na harmoniki sferyczne .

Na przykład, jeśli e n są dowolnymi ortonormalnymi funkcjami bazowymi L 2 [0, 1] , to daną funkcję w L 2 [0, 1] można aproksymować jako skończoną kombinację liniową

Współczynniki { a j } są dobierane tak, aby uzyskać wielkość różnicy || ff n || 2 tak małe, jak to możliwe. Geometrycznie najlepszym przybliżeniem jest rzut prostopadły z F na podprzestrzeni obejmującej wszystkie liniowe kombinacje { e j } i można obliczyć

Że ta formuła minimalizuje różnicę || ff n || 2 jest konsekwencją nierówności Bessela i wzoru Parsevala .

W różnych zastosowaniach problemów fizycznych, funkcja może być rozłożona do fizycznie znaczących funkcyj o operator różnicowy (typowo laplasjanu ), to stanowi podstawę widmowej badaniu funkcji, w odniesieniu do widma operatora różnicowego. Konkretne zastosowanie fizyczne wiąże się z problemem usłyszenia kształtu bębna : biorąc pod uwagę podstawowe tryby wibracji, jakie może wytworzyć naciąg bębna, czy można wywnioskować o kształcie samego bębna? Matematyczne sformułowanie tego pytania obejmuje wartości własne Dirichleta równania Laplace'a w płaszczyźnie, które reprezentują podstawowe mody drgań w bezpośredniej analogii z liczbami całkowitymi, które reprezentują podstawowe mody drgań struny skrzypiec.

Teoria spektralna leży również u podstaw pewnych aspektów transformaty Fouriera funkcji. Podczas gdy analiza Fouriera rozkłada funkcję zdefiniowaną na zwartym zbiorze na dyskretne widmo Laplace'a (co odpowiada drganiom struny lub bębna skrzypiec), transformata Fouriera funkcji jest rozkładem funkcji określonej na całej przestrzeni euklidesowej na jego składniki w ciągłym widmie Laplace'a. Transformacja Fouriera jest również geometryczna, w pewnym sensie sprecyzowanym przez twierdzenie Plancherela , które twierdzi, że jest izometrią jednej przestrzeni Hilberta ("domena czasu") z inną ("domena częstotliwości"). Ta właściwość izometryczna transformacji Fouriera jest powracającym tematem w abstrakcyjnej analizie harmonicznej (ponieważ odzwierciedla zachowanie energii dla ciągłej transformacji Fouriera), o czym świadczy na przykład twierdzenie Plancherela dla funkcji sferycznych występujących w nieprzemiennej analizie harmonicznej .

Mechanika kwantowa

W matematycznie rygorystycznym sformułowaniu mechaniki kwantowej , opracowanym przez Johna von Neumanna , możliwe stany (a dokładniej stany czyste ) systemu mechaniki kwantowej są reprezentowane przez wektory jednostkowe (zwane wektorami stanu ) znajdujące się w złożonej, separowalnej przestrzeni Hilberta, znanej jako przestrzeń stanów , dobrze zdefiniowana aż do liczby zespolonej normy 1 ( współczynnik fazowy ). Innymi słowy, możliwe stany są punktami w rzutowaniu przestrzeni Hilberta, zwykle nazywanej złożoną przestrzenią rzutową . Dokładna natura tej przestrzeni Hilberta zależy od systemu; na przykład stany położenia i pędu dla pojedynczej nierelatywistycznej spinowej cząstki zerowej są przestrzenią wszystkich funkcji całkowalnych do kwadratu , podczas gdy stany dla spinu pojedynczego protonu są elementami jednostkowymi dwuwymiarowej złożonej przestrzeni Hilberta spinorów . Każda obserwowalna jest reprezentowana przez samosprzężony operator liniowy działający na przestrzeń stanów. Każdy stan własny obserwowalnej odpowiada wektorowi własnemu operatora, a skojarzona wartość własna odpowiada wartości obserwowalnej w tym stanie własnym.

Iloczyn skalarny między dwoma wektorami stanu to liczba zespolona znana jako amplituda prawdopodobieństwa . Podczas idealnego pomiaru systemu mechaniki kwantowej prawdopodobieństwo, że system załamie się z danego stanu początkowego do określonego stanu własnego jest podane przez kwadrat wartości bezwzględnej amplitud prawdopodobieństwa między stanem początkowym i końcowym. Możliwymi wynikami pomiaru są wartości własne operatora — co wyjaśnia wybór operatorów samosprzężonych, ponieważ wszystkie wartości własne muszą być rzeczywiste. Rozkład prawdopodobieństwa obserwowalnej w danym stanie można znaleźć, obliczając rozkład widmowy odpowiedniego operatora.

W ogólnym systemie stany zazwyczaj nie są czyste, lecz są reprezentowane jako statystyczne mieszaniny czystych stanów lub stanów mieszanych, podane przez macierze gęstości : operatory samosprzężone śladu jedynki na przestrzeni Hilberta. Co więcej, w przypadku ogólnych systemów mechaniki kwantowej, efekty pojedynczego pomiaru mogą wpływać na inne części systemu w sposób, który jest opisywany zamiast miary o wartości operatora dodatniego . Tak więc struktura zarówno stanów, jak i obserwabli w ogólnej teorii jest znacznie bardziej skomplikowana niż idealizacja dla czystych stanów.

Percepcja kolorów

Każdy prawdziwy kolor fizyczny może być reprezentowany przez kombinację czystych kolorów widmowych . Ponieważ kolory fizyczne mogą składać się z dowolnej liczby kolorów widmowych, przestrzeń kolorów fizycznych może być trafnie reprezentowana przez przestrzeń Hilberta nad kolorami widmowymi. Ludzie mają trzy typy komórek czopków do postrzegania kolorów, więc postrzegalne kolory mogą być reprezentowane przez trójwymiarową przestrzeń euklidesową. Liniowe odwzorowanie wielu do jednego z przestrzeni Hilberta kolorów fizycznych do przestrzeni euklidesowej postrzeganych przez człowieka kolorów wyjaśnia dlaczego wiele odrębnych kolorów fizycznych może być postrzeganych przez ludzi jako identyczne (np. czyste żółte światło kontrapołączenie czerwonego i zielonego światło, patrz metameryzm ).

Nieruchomości

Tożsamość pitagorejska

Dwa wektory u i v w przestrzeni Hilberta H są ortogonalne, gdy u , v ⟩ = 0 . Notacja dla tego to uv . Bardziej ogólnie, gdy S jest podzbiorem w H , notacja uS oznacza, że u jest ortogonalne do każdego elementu z S .

Kiedy u i v są ortogonalne, trzeba

Przez indukcję na n , rozszerza się to na dowolną rodzinę u 1 , ..., u n z n wektorów ortogonalnych,

Podczas gdy podana tożsamość pitagorejska obowiązuje w każdej wewnętrznej przestrzeni produktu, do rozszerzenia tożsamości pitagorejskiej na serie wymagana jest kompletność. A Series Ď u k o ortogonalnych wektorów zbiega się H , wtedy i tylko wtedy, gdy szereg kwadratów norm zbieżny i

Ponadto suma szeregu wektorów ortogonalnych jest niezależna od kolejności, w jakiej jest brana.

Identyfikacja równoległoboku i polaryzacja

Geometrycznie identyczność równoległoboku zapewnia, że AC 2 + BD 2 = 2(AB 2 + AD 2 ) . Mówiąc słownie, suma kwadratów przekątnych jest dwukrotnością sumy kwadratów dowolnych dwóch sąsiednich boków.

Z definicji każda przestrzeń Hilberta jest również przestrzenią Banacha . Ponadto w każdej przestrzeni Hilberta zachodzi następująca tożsamość równoległoboku :

I odwrotnie, każda przestrzeń Banacha, w której zachodzi tożsamość równoległoboku jest przestrzenią Hilberta, a iloczyn skalarny jest jednoznacznie określony przez normę przez tożsamość polaryzacyjną . Dla prawdziwych przestrzeni Hilberta tożsamość polaryzacji to

Dla złożonych przestrzeni Hilberta jest to

Z prawa równoległoboku wynika, że ​​każda przestrzeń Hilberta jest jednolicie wypukłą przestrzenią Banacha .

Najlepsze przybliżenie

Ten podrozdział wykorzystuje twierdzenie Hilberta o projekcji . Jeśli C jest niepustym zamkniętym podzbiorem wypukłym przestrzeni Hilberta H i x punktem w H , istnieje unikalny punkt yC , który minimalizuje odległość między x a punktami w C ,

Jest to równoważne stwierdzeniu, że w przetłumaczonym zbiorze wypukłym D = Cx istnieje punkt o minimalnej normie . Dowód polega na wykazaniu, że każda sekwencja minimalizująca ( d n ) ⊂ D jest Cauchy'ego (używając identyczności równoległoboku), a zatem zbiega się (używając zupełności) do punktu w D, który ma minimalną normę. Ogólnie rzecz biorąc, obowiązuje to w każdej jednolicie wypukłej przestrzeni Banacha.

Gdy ten wynik zostanie zastosowany do zamkniętej podprzestrzeni F w H , można wykazać, że punkt yF najbliższy x charakteryzuje się wzorem

Ten punkt r jest rzut prostopadły z X na F , a odwzorowania P C  : xY jest liniowa (patrz uzupełnień i występów ortogonalnych ). Wynik ten jest szczególnie istotny w matematyce stosowanej , zwłaszcza w analizie numerycznej , gdzie stanowi podstawę metod najmniejszych kwadratów .

W szczególności, gdy F nie jest równe H , można znaleźć niezerowy wektor v prostopadły do F (wybierz xF i v = xy ). Bardzo przydatne kryterium uzyskuje się, stosując tę ​​obserwację do zamkniętej podprzestrzeni F generowanej przez podzbiór S z H .

Podzbiór S z H obejmuje gęstą podprzestrzeń wektorową, jeśli (i tylko wtedy) wektor 0 jest jedynym wektorem vH ortogonalnym do S .

Dwoistość

Przestrzeń dualna H * jest przestrzenią wszystkich ciągłych funkcji liniowych od przestrzeni H do pola bazowego. Niesie naturalną normę, określoną przez

Norma ta spełnia prawo równoległoboku , a więc przestrzeń dualna jest również przestrzenią produktu wewnętrznego, w której ten produkt wewnętrzny może być zdefiniowany w kategoriach tej normy dualnej przy użyciu tożsamości polaryzacji . Przestrzeń podwójna jest również kompletna, więc sama w sobie jest przestrzenią Hilberta. Jeśli e = ( e i ) iI jest zupełną bazą ortonormalną dla H to iloczyn skalarny na przestrzeni dualnej dowolnych dwóch jest

gdzie wszystkie, ale policzalnie, wiele terminów w tej serii ma wartość zero.

Twierdzenie Riesza o reprezentacji daje wygodny opis przestrzeni dualnej. Do każdego elementu u z H istnieje unikalny element φ u z H * , określony przez

gdzie ponadto

Twierdzenie Riesza o reprezentacji mówi, że odwzorowanie od H do H * zdefiniowane przez uφ u jest surjektywne , co czyni to odwzorowanie izometrycznym antyliniowym izomorfizmem. Tak więc dla każdego elementu φ dualnego H * istnieje jedno i tylko jedno u φ w H takie, że

dla wszystkich xH . Produkt wewnętrzny na podwójnej przestrzeni H * spełnia

Odwrócenie porządku po prawej stronie przywraca liniowość w φ z antyliniowości u φ . W rzeczywistym przypadku antyliniowy izomorfizm od H do jego duala jest w rzeczywistości izomorfizmem, a więc rzeczywiste przestrzenie Hilberta są naturalnie izomorficzne z ich własnymi dualami.

Wektor reprezentujący u φ otrzymujemy w następujący sposób. Gdy φ ≠ 0 , jądro F = Ker( φ ) jest zamkniętą podprzestrzenią wektorową H , nierówną H , stąd istnieje niezerowy wektor v prostopadły do F . Wektor U oznacza odpowiednią skalarne stwardnienie λv z v . Warunek, że φ ( v ) = ⟨ v , u daje

Ta korespondencja φu jest wykorzystywana przez popularną w fizyce notację klamrową . W fizyce powszechnie przyjmuje się, że iloczyn skalarny oznaczany przez x | y , jest liniowa po prawej stronie,

Wynik x | y można traktować jako działanie funkcjonału liniowego x | ( stanik ) na wektorze | y ( ket ).

Twierdzenie Riesza o reprezentacji opiera się zasadniczo nie tylko na obecności iloczynu wewnętrznego, ale także na zupełności przestrzeni. W rzeczywistości twierdzenie to implikuje, że topologiczny dualizm dowolnej wewnętrznej przestrzeni produktu może być utożsamiany z jego dopełnieniem. Bezpośrednią konsekwencją twierdzenia Riesza o reprezentacji jest również to, że przestrzeń Hilberta H jest refleksyjna , co oznacza, że ​​naturalne odwzorowanie z H na jego podwójną przestrzeń podwójną jest izomorfizmem.

Słabo zbieżne ciągi

W przestrzeni Hilberta H ciąg { x n } jest słabo zbieżny do wektora xH gdy

dla każdego vH .

Na przykład dowolny ciąg ortonormalny { f n } jest zbieżny słabo do 0, w konsekwencji nierówności Bessela . Każdy słabo zbieżny ciąg { x n } jest ograniczony przez zasadę jednostajnej ograniczoności .

I odwrotnie, każdy ograniczony ciąg w przestrzeni Hilberta dopuszcza słabo zbieżne podciągi ( twierdzenie Alaoglu ). Fakt ten można wykorzystać do udowodnienia wyników minimalizacji dla ciągłych funkcjonałów wypukłych , w taki sam sposób, w jaki twierdzenie Bolzano-Weierstrassa jest używane dla funkcji ciągłych na R d . Wśród kilku wariantów jedno proste stwierdzenie brzmi następująco:

Jeśli f  : HR jest wypukłą funkcją ciągłą taką, że f ( x ) dąży do +∞ gdy || x || dąży do , wtedy f dopuszcza minimum w pewnym momencie x 0H .

Ten fakt (i jego różne uogólnienia) ma fundamentalne znaczenie dla metod bezpośrednich w rachunku wariacyjnym . Wyniki minimalizacji dla funkcjonałów wypukłych są również bezpośrednią konsekwencją nieco bardziej abstrakcyjnego faktu, że zamknięte, ograniczone podzbiory wypukłe w przestrzeni Hilberta Hsłabo zwarte , ponieważ H jest zwrotny. Istnienie słabo zbieżnych podciągów jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Eberleina–Šmuliana .

Właściwości przestrzeni Banacha

Każda ogólna własność przestrzeni Banacha nadal obowiązuje dla przestrzeni Hilberta. Twierdzenie o otwartym odwzorowaniu mówi, że ciągła suriektywna transformacja liniowa z jednej przestrzeni Banacha do drugiej jest odwzorowaniem otwartym, co oznacza, że ​​wysyła zbiory otwarte do zbiorów otwartych. Następstwem jest ograniczone twierdzenie odwrotne , że ciągła i bijektywna funkcja liniowa z jednej przestrzeni Banacha do drugiej jest izomorfizmem (tj. ciągłą liniową mapą, której odwrotność jest również ciągła). Twierdzenie to jest znacznie prostsze do udowodnienia w przypadku przestrzeni Hilberta niż w ogólnych przestrzeniach Banacha. Twierdzenie o otwartym odwzorowaniu jest równoważne twierdzeniu o grafach zamkniętych , które zakłada, że ​​funkcja liniowa z jednej przestrzeni Banacha do drugiej jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jej graf jest zbiorem domkniętym . W przypadku przestrzeni Hilberta jest to podstawowe w badaniu operatorów nieograniczonych (patrz operator domknięty ).

Twierdzenie (geometryczne) Hahna-Banacha twierdzi, że zamknięty zbiór wypukły można oddzielić od dowolnego punktu poza nim za pomocą hiperpłaszczyzny przestrzeni Hilberta. Jest to bezpośrednia konsekwencja najlepszej właściwości aproksymacji : jeśli y jest elementem zamkniętego zbioru wypukłego F najbliższego x , to hiperpłaszczyzna oddzielająca jest płaszczyzną prostopadłą do odcinka xy przechodzącego przez jego punkt środkowy.

Operatory na przestrzeniach Hilberta

Ograniczeni operatorzy

Ciągły operatorów liniowych  : H 1H 2 z przestrzeni Hilberta H 1 do drugiej przestrzeni Hilberta H 2 jest ograniczony w tym sensie, że mapy zbiór ograniczony do zbiór ograniczony. I odwrotnie, jeśli operator jest ograniczony, to jest ciągły. Przestrzeń takich ograniczonych operatorów liniowych ma normę , normę operatora podaną przez

Suma i złożenie dwóch ograniczonych operatorów liniowych jest ponownie ograniczona i liniowa. Dla y w H 2 , mapa wysyłająca xH 1 do Ax , y jest liniowa i ciągła, a zgodnie z twierdzeniem Riesza o reprezentacji może być zatem reprezentowana w postaci

dla pewnego wektora A * y w H 1 . Określa innego ograniczonego operatora liniowy *: H 2H 1 The sprzężona z A . Sprzężenie spełnia A ** = A . Gdy twierdzenie o reprezentacji Riesza jest używane do identyfikacji każdej przestrzeni Hilberta z jej ciągłą przestrzenią dualną, można wykazać , że sprzężenie A jest identyczne z transponowanym t A  : H 2 * → H 1 * z A , który z definicji wysyła do funkcjonalny

Zbiór B( H ) wszystkich ograniczonych operatorów liniowych na H (czyli operatory HH ), wraz z operacjami dodawania i składania, normą i operacją sprzężoną, jest C*-algebrą , która jest rodzajem algebry operatorów .

Element A z B( H ) nazywany jest „samosprzężonym” lub „hermitowskim”, jeśli A * = A . Jeśli A jest hermitowskie i Ax , x ⟩ ≥ 0 dla każdego x , to A nazywamy „nieujemnym”, zapisując A ≥ 0 ; jeśli równość zachodzi tylko wtedy, gdy x = 0 , wtedy A nazywa się „dodatnim”. Zbiór operatorów samosprzężonych dopuszcza porządek częściowy , w którym AB , jeśli AB ≥ 0 . Jeśli A ma formę B * B dla niektórych B , to A jest nieujemne; jeśli B jest odwracalne, to A jest dodatnie. Odwrotność jest również prawdziwa w tym sensie, że dla nieujemnego operatora A istnieje unikalny nieujemny pierwiastek kwadratowy B taki, że

W sensie sprecyzowanym przez twierdzenie spektralne , operatory samosprzężone mogą być użytecznie traktowane jako operatory, które są „rzeczywiste”. Element A z B( H ) jest nazywany normalnym, jeśli A * A = AA * . Normalne operatory rozkładają się na sumę operatorów samosprzężonych i urojoną wielokrotność operatora samosprzężonego

które dojeżdżają ze sobą. Operatory normalne mogą być również pomyślane w kategoriach ich części rzeczywistych i urojonych.

Element U z B( H ) nazywamy unitarnym, jeśli U jest odwracalne, a jego odwrotność jest dana przez U * . Można to również wyrazić przez wymaganie, aby U było na i Ux , Uy ⟩ = ⟨ x , y dla wszystkich x , yH . Operatorzy jednostkowe tworzą grupę w ramach kompozycji, która jest grupą isometry z H .

Element B( H ) jest zwarty, jeśli wysyła ograniczone zbiory do stosunkowo zwartych zbiorów. Równoważnie operator ograniczony T jest zwarty, jeśli dla dowolnej ograniczonej sekwencji { x k } sekwencja { Tx k } ma zbieżny podciąg. Wiele operatorów całkowych jest zwartych i w rzeczywistości definiuje specjalną klasę operatorów znanych jako operatory Hilberta-Schmidta, które są szczególnie ważne w badaniu równań całkowych . Operatory Fredholma różnią się od operatora kompaktowego wielokrotnością tożsamości i są równoważnie scharakteryzowane jako operatory ze skończonym wymiarem jądra i cokernel . Indeks operatora Fredholma T jest określony przez

Indeks jest niezmiennikiem homotopii i odgrywa głęboką rolę w geometrii różniczkowej poprzez twierdzenie o indeksie Atiyaha-Singera .

Operatory nieograniczone

Operatory nieograniczone są również obsługiwane w przestrzeniach Hilberta i mają ważne zastosowania w mechanice kwantowej . Nieograniczona operator T na Hilberta H jest określony jako operator liniowych, których domeny D ( t ) oznacza liniowy podprzestrzeń H . Często domena D ( T ) jest gęstą podprzestrzenią H , w którym to przypadku T jest znany jako gęsto zdefiniowany operator .

Sprzężenie gęsto zdefiniowanego operatora nieograniczonego definiuje się zasadniczo w taki sam sposób, jak w przypadku operatorów ograniczonych. Samosprzężone operatory nieograniczone odgrywają rolę obserwabli w matematycznym ujęciu mechaniki kwantowej. Przykłady samosprzężonych operatorów nieograniczonych na przestrzeni Hilberta L 2 ( R ) to:

  • Odpowiednie rozszerzenie operatora różnicowego
    gdzie i jest jednostką urojoną, a f jest różniczkowalną funkcją zwartej podpory.
  • Operator mnożenia przez x :

Odpowiadają one odpowiednio obserwablim pędu i pozycji . Zauważ, że ani A ani B nie są zdefiniowane na całym H , ponieważ w przypadku A pochodna nie musi istnieć, aw przypadku B funkcja iloczynu nie musi być całkowalna do kwadratu. W obu przypadkach zbiór możliwych argumentów tworzy gęste podprzestrzenie L 2 ( R ) .

Konstrukcje

Kwoty bezpośrednie

Dwie przestrzenie Hilberta H 1 i H 2 można połączyć w inną przestrzeń Hilberta, zwaną (ortogonalną) sumą bezpośrednią i oznaczoną

składający się ze zbioru wszystkich uporządkowanych par ( x 1 , x 2 ) gdzie x iH i , i = 1, 2 oraz iloczyn skalarny określony przez

Bardziej ogólnie, jeśli H i jest rodziną przestrzeni Hilberta indeksowanych przez iI , to suma prosta H i , oznaczona

składa się ze zbioru wszystkich indeksowanych rodzin

w kartezjańskim produktu o H I w taki sposób,

Produkt wewnętrzny jest zdefiniowany przez

Każdy z H i jest wliczone w zamkniętej podprzestrzeni w bezpośrednim suma wszystkich H í . Co więcej, H i są parami ortogonalne. Z drugiej strony, jeśli jest to system z zamkniętym podprzestrzeni, V, I , II , w Hilberta H , które są prostopadłe parami i których związek jest gęsty H , a H jest kanonicznej izomorficzna bezpośredniego suma V ı . W tym przypadku H nazywamy wewnętrzną sumą bezpośrednią V i . Suma bezpośrednia (wewnętrzna lub zewnętrzna) jest również wyposażona w rodzinę rzutów ortogonalnych E i na i- tą sumę prostą H i . Te projekcje są ograniczonymi, samosprzężonymi, idempotentnymi operatorami, które spełniają warunek ortogonalności

Twierdzenie spektralne dla kompaktowych operatorów samosprzężonego na przestrzeni Hilberta H państw, które H dzieli prostopadłym bezpośredniego sumy eigenspaces od operatora, a także daje wyraźny rozkład operatora jako suma prognoz na eigenspaces. Bezpośrednia suma przestrzeni Hilberta pojawia się również w mechanice kwantowej jako przestrzeń Focka układu zawierającego zmienną liczbę cząstek, gdzie każda przestrzeń Hilberta w bezpośredniej sumie odpowiada dodatkowemu stopniowi swobody dla układu mechaniki kwantowej. W teorii reprezentacji The Peter-Weyl twierdzenie gwarantuje, że każdy jednostkowy reprezentacja o zwartej grupy na przestrzeni Hilberta rozłamów jako bezpośredni sumy reprezentacji skończenie wymiarowa.

Produkty Tensor

Jeśli x 1 , Y 1 ε H 1 i x 2 , Y 2 ε H 2 , wówczas jeden wyznacza wewnętrzną produkt o (zwykłe) produktu tensora jak następuje. Na prostych tensorach niech

Wzór ten następnie wysuwa się sesquilinearity do wewnętrznego produktu o H 1H 2 . Hilbertowski iloczyn tensorowy H 1 i H 2 , czasami oznaczany przez H 1 H 2 , jest przestrzenią Hilberta otrzymaną przez uzupełnienie H 1H 2 dla metryki związanej z tym iloczynem wewnętrznym.

Przykładem jest przestrzeń Hilberta L 2 ([0, 1]) . Hilbertowski iloczyn tensorowy dwóch kopii L 2 ([0, 1]) jest izometryczny i liniowo izomorficzny z przestrzenią L 2 ([0, 1] 2 ) funkcji całkowalnych do kwadratu na kwadracie [0, 1] 2 . Ten izomorfizm wysyła prosty tensor f 1f 2 do funkcji

Na placu.

Ten przykład jest typowy w następującym sensie. Z każdym prostym iloczynem tensorowym x 1x 2 związany jest operator rzędu pierwszego z H*
1
do H 2, który odwzorowuje dany x * ∈ H*
1
jak

To odwzorowanie zdefiniowane na prostych tensorach rozciąga się na liniową identyfikację między H 1H 2 a przestrzenią operatorów skończonego rzędu z H*
1
do H 2 . To rozciąga się na liniową izometrię hilbertowskiego iloczynu tensorowego H 1 H 2 z przestrzenią Hilberta HS ( H*
1
, H 2 )
z operatorami Hilberta-Schmidt z H*
1
do H 2 .

Podstawy ortonormalne

Pojęcie bazy ortonormalnej z algebry liniowej uogólnia się na przypadek przestrzeni Hilberta. W przestrzeni Hilberta H bazą ortonormalną jest rodzina { e k } kB elementów H spełniających warunki:

  1. Ortogonalność : Każde dwa różne elementy B są ortogonalne: e k , e j ⟩ = 0 dla wszystkich k , jB z kj .
  2. Normalizacja : Każdy element rodziny ma normę 1: || e k || = 1 dla wszystkich kB .
  3. Kompletności : THE liniowy przęsło z rodziny e k , kB jest gęsta w H .

Układ wektorów spełniający bazę dwóch pierwszych warunków nazywamy układem ortonormalnym lub zbiorem ortonormalnym (lub ciągiem ortonormalnym, jeśli B jest przeliczalne ). Taki system jest zawsze liniowo niezależny . Zupełność ortonormalnego układu wektorów przestrzeni Hilberta można równoważnie przedstawić jako:

jeśli v , e k ⟩ = 0 dla wszystkich kB i niektórych vH wtedy v = 0 .

Wiąże się to z faktem, że jedynym wektorem ortogonalnym do gęstej liniowej podprzestrzeni jest wektor zerowy, bo jeśli S jest dowolnym zbiorem ortonormalnym i v jest ortogonalne do S , to v jest ortogonalne do zamknięcia rozpiętości liniowej S , co to cała przestrzeń.

Przykłady baz ortonormalnych obejmują:

  • zestaw {(1, 0, 0), (0, 1, 0) (0, 0, 1)} tworzy ortonormalną bazę R 3 z iloczyn skalarny ;
  • ciąg { f n  : nZ } z f n ( x ) = exp (2π inx ) tworzy bazę ortonormalną przestrzeni zespolonej L 2 ([0, 1]) ;

W przypadku nieskończenie wymiarowym baza ortonormalna nie będzie bazą w sensie algebry liniowej ; aby odróżnić te dwie, ta druga podstawa nazywana jest również podstawą Hamela . To, że rozpiętość wektorów bazowych jest gęsta, implikuje, że każdy wektor w przestrzeni można zapisać jako sumę szeregu nieskończonego, a ortogonalność implikuje, że ten rozkład jest niepowtarzalny.

Przestrzenie sekwencji

Przestrzeń ciągów liczb zespolonych sumowalnych kwadratowo jest zbiorem ciągów nieskończonych

liczb rzeczywistych lub zespolonych takich, że

Ta przestrzeń ma podstawę ortonormalną:

Ta przestrzeń jest nieskończenie wymiarowym uogólnieniem przestrzeni wektorów skończenie wymiarowych. Jest to zwykle pierwszy przykład używany do pokazania, że ​​w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych zbiór, który jest zamknięty i ograniczony, niekoniecznie jest (sekwencyjnie) zwarty (jak ma to miejsce we wszystkich przestrzeniach skończenie wymiarowych). Rzeczywiście, powyższy zbiór wektorów ortonormalnych pokazuje to: Jest to nieskończony ciąg wektorów w kuli jednostkowej (tj. kuli punktów o normie mniejszej lub równej jeden). Ten zbiór jest wyraźnie ograniczony i zamknięty; jednak żaden podciąg tych wektorów nie jest zbieżny do niczego i w konsekwencji kula jednostkowa w nie jest zwarta. Intuicyjnie dzieje się tak, ponieważ „zawsze istnieje inny kierunek współrzędnych”, w którym mogą się ominąć kolejne elementy sekwencji.

Przestrzeń można generalizować na wiele sposobów. Na przykład, jeśli B jest dowolnym (nieskończonym) zbiorem, to można utworzyć przestrzeń Hilberta ciągów o zbiorze indeksów B , zdefiniowaną przez

Sumowanie po B jest tutaj zdefiniowane przez

Supremum przejęte wszystkich skończonych podzbiorów  B . Wynika z tego, że aby ta suma była skończona, każdy element l 2 ( B ) ma tylko przeliczalnie wiele niezerowych członów. Ta przestrzeń staje się przestrzenią Hilberta z produktem wewnętrznym

dla wszystkich x , yl 2 ( B ) . Tutaj suma ma tylko przeliczalnie wiele niezerowych wyrazów i jest bezwarunkowo zbieżna przez nierówność Cauchy'ego-Schwarza.

Bazę ortonormalną l 2 ( B ) indeksuje zbiór B , dany wzorem

Nierówność Bessela i wzór Parsevala

Niech f 1 , ..., f n będzie skończonym układem ortonormalnym w  H . Dla dowolnego wektora xH , niech

Wtedy x , f k ⟩ = ⟨ y , f k dla każdego k = 1, ..., n . Wynika z tego, że xy jest ortogonalne do każdego f k , stąd xy jest ortogonalne do  y . Z dwukrotnego użycia tożsamości pitagorejskiej wynika, że

Niech { f i }, iI , będzie dowolnym układem ortonormalnym w  H . Stosując poprzednią nierówność do każdego skończonego podzbioru J z I daje nierówność Bessela:

(zgodnie z definicją sumy dowolnej rodziny nieujemnych liczb rzeczywistych).

Geometrycznie nierówność Bessela oznacza, że rzut prostopadły z X na podprzestrzeni liniowej łączone przez F i ma normą że nie przekracza wielkości X . W dwóch wymiarach jest to twierdzenie, że długość ramienia trójkąta prostokątnego nie może przekraczać długości przeciwprostokątnej.

Nierówność Bessela jest odskocznią do silniejszego wyniku zwanego tożsamością Parsevala , który reguluje przypadek, gdy nierówność Bessela jest w rzeczywistości równością. Z definicji, jeśli { e k } kB jest ortonormalną podstawę H , a każdy element x stanowi H mogą być zapisane jako

Nawet jeśli B jest niepoliczalne, nierówność Bessela gwarantuje, że wyrażenie jest dobrze zdefiniowane i składa się tylko z przeliczalnie wielu niezerowych członów. Suma ta nazywana jest rozwinięciem Fouriera x , a poszczególne współczynniki x , e k są współczynnikami Fouriera x . Tożsamość Parsevala następnie zapewnia, że:

Odwrotnie, jeśli { e k } jest zbiorem ortonormalnym takim, że identyczność Parsevala zachodzi dla każdego x , wtedy { e k } jest bazą ortonormalną.

Wymiar Hilberta

W konsekwencji lematu Zorna , każda przestrzeń Hilberta dopuszcza bazę ortonormalną; ponadto dowolne dwie bazy ortonormalne tej samej przestrzeni mają tę samą kardynalność , zwaną wymiarem Hilberta przestrzeni. Na przykład, ponieważ l 2 ( B ) ma ortonormalną bazę indeksowaną przez B , jego wymiar Hilberta jest mocą B (która może być skończoną liczbą całkowitą lub przeliczalną lub niepoliczalną liczbą kardynalną ).

W konsekwencji identyczności Parsevala, jeśli { e k } kB jest ortonormalną bazą H , to odwzorowanie Φ : Hl 2 ( B ) zdefiniowane przez Φ( x ) = ⟨x, e kkB jest izometrycznym izomorfizmem przestrzeni Hilberta: jest to bijektywne odwzorowanie liniowe takie, że

dla wszystkich x , yH . Liczba Cardinal z B jest wymiarem Hilberta H . Zatem każda przestrzeń Hilberta jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią sekwencji l 2 ( B ) dla pewnego zbioru B .

Oddzielne przestrzenie

Z definicji przestrzeń Hilberta jest rozdzielna pod warunkiem, że zawiera gęsty podzbiór policzalny. Wraz z lematem Zorna oznacza to, że przestrzeń Hilberta jest rozdzielna wtedy i tylko wtedy, gdy dopuszcza policzalną bazę ortonormalną. Wszystkie nieskończenie wymiarowe separowalne przestrzenie Hilberta są zatem izometrycznie izomorficzne z l 2 .

W przeszłości przestrzenie Hilberta często musiały być rozdzielone jako część definicji. Większość pomieszczenia używane w fizyce są rozłączne, a ponieważ te są izomorficzne do siebie, jeden często odnosi się do każdej nieskończonej-wymiarowej przestrzeni Hilberta rozłącznej jako „ w przestrzeni Hilberta” lub po prostu „przestrzeni Hilberta”. Nawet w kwantowej teorii pola większość przestrzeni Hilberta jest w rzeczywistości rozdzielna, jak przewidują aksjomaty Wightmana . Jednak czasami twierdzi się, że nierozdzielne przestrzenie Hilberta są również ważne w kwantowej teorii pola, z grubsza dlatego, że systemy w teorii posiadają nieskończoną liczbę stopni swobody i dowolny nieskończony iloczyn tensorowy Hilberta (przestrzeni o wymiarze większym niż jeden) jest nierozłączny. Na przykład, pole bozonowe może być naturalnie traktowane jako element produktu tensorowego, którego czynniki reprezentują oscylatory harmoniczne w każdym punkcie przestrzeni. Z tej perspektywy naturalna przestrzeń stanów bozonu może wydawać się przestrzenią nierozdzielną. Jednak tylko niewielka, separowalna podprzestrzeń pełnego iloczynu tensorowego może zawierać fizycznie znaczące pola (na których można zdefiniować obserwable). Inna nierozłączna przestrzeń Hilberta modeluje stan nieskończonego zbioru cząstek w nieograniczonym obszarze przestrzeni. Ortonormalna baza przestrzeni jest indeksowana przez gęstość cząstek, parametr ciągły, a ponieważ zbiór możliwych gęstości jest niepoliczalny, baza jest niepoliczalna.

Dopełnienia i rzuty ortogonalne

Jeśli S jest podzbiorem przestrzeni Hilberta H , zbiór wektorów ortogonalnych do S jest określony przez

Zbiór S jest zamkniętą podprzestrzenią H (można to łatwo udowodnić za pomocą liniowości i ciągłości iloczynu skalarnego) iw ten sposób tworzy przestrzeń Hilberta. Jeśli V jest podprzestrzenią domkniętą H , a następnie V nazywa się ortogonalne dopełnienie z V . W rzeczywistości każdy xH może być wtedy jednoznacznie zapisany jako x = v + w , gdzie vV i wV . Dlatego H jest wewnętrzną sumą bezpośrednią Hilberta V i V .

Operator liniowy P V  : HH , który odwzorowuje x na v nazywamy rzutem ortogonalnym na V . Między zbiorem wszystkich zamkniętych podprzestrzeni H a zbiorem wszystkich ograniczonych operatorów samosprzężonych P istnieje naturalna zależność jeden do jednego, taka, że P 2 = P . Konkretnie,

Twierdzenie  —  Rzut ortogonalny P V jest samosprzężonym operatorem liniowym na H normy ≤ 1 o własności P2
V
= P V
. Ponadto każda samosprzężone liniowy operator E , tak że E 2 = E ma postać P V , w którym V jest zakres E . Dla każdego x w H , P V ( x ) jest unikalnym elementem V o V , który minimalizuje odległość || xv || .

Zapewnia to interpretację geometryczną P V ( x ) : jest najlepszym przybliżeniem do X przez elementy V .

Projekcje P U i P V są nazywane wzajemnie ortogonalnymi, jeśli P U P V = 0 . Odpowiada to temu, że U i V są ortogonalne jako podprzestrzenie H . Suma dwóch rzutów P U i P V jest rzutem tylko wtedy, gdy U i V są względem siebie ortogonalne, a w takim przypadku P U + P V = P U + V . Złożony P U P V na ogół nie jest rzutem; w rzeczywistości złożenie jest rzutem wtedy i tylko wtedy, gdy oba rzuty przecinają się, a w tym przypadku P U P V = P UV .

Ograniczając codomain do Hilberta V , prostopadły rzut P V prowadzi do mapowania występ Õ  : HV ; jest to sprzężenie mapowania włączenia

co oznacza, że

dla wszystkich xV i yH .

Norma operatora rzutowania ortogonalnego P V na niezerową zamkniętą podprzestrzeń V jest równa 1:

Każda zamknięta podprzestrzeń V przestrzeni Hilberta jest zatem obrazem operatora P o normie 1, takiego, że P 2 = P . Własność posiadania odpowiednich operatorów rzutowania charakteryzuje przestrzenie Hilberta:

  • Przestrzeń Banacha o wymiarze większym niż 2 jest (izometrycznie) przestrzenią Hilberta wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej zamkniętej podprzestrzeni V istnieje operator P V normy jeden, którego obraz jest V taki, że P2
    V
    = P V
    .

Podczas gdy ten wynik charakteryzuje strukturę metryczną przestrzeni Hilberta, strukturę przestrzeni Hilberta jako topologicznej przestrzeni wektorowej można scharakteryzować pod względem obecności komplementarnych podprzestrzeni:

  • Przestrzeń Banacha X jest topologicznie i liniowo izomorficzna z przestrzenią Hilberta wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej zamkniętej podprzestrzeni V istnieje zamknięta podprzestrzeń W taka, że X jest równe wewnętrznej sumie prostej VW .

Dopełnienie ortogonalne spełnia niektóre bardziej elementarne wyniki. Jest to funkcja monotoniczna w tym sensie, że jeśli UV , a następnie V U równości gospodarstwa tylko wtedy, gdy V jest zawarty w zamknięciu z U . Wynik ten jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Hahna-Banacha . Domknięcie podprzestrzeni można całkowicie scharakteryzować za pomocą dopełnienia ortogonalnego: jeśli V jest podprzestrzenią H , to domknięcie V jest równe V ⊥⊥ . Dopełnienie ortogonalne jest więc połączeniem Galois na częściowym porządku podprzestrzeni przestrzeni Hilberta. Ogólnie dopełnienie ortogonalne sumy podprzestrzeni jest przecięciem dopełnień ortogonalnych:

Jeśli V i są dodatkowo zamknięte, wtedy

Teoria spektralna

Istnieje dobrze rozwinięta teoria spektralna dla operatorów samosprzężonych w przestrzeni Hilberta, która jest z grubsza analogiczna do badania macierzy symetrycznych na liczbach rzeczywistych lub macierzy samosprzężonych na liczbach zespolonych. W tym samym sensie można uzyskać „diagonalizację” operatora samosprzężonego jako odpowiednią sumę (a właściwie całkę) operatorów rzutowania ortogonalnego.

Widma operatora T , oznaczonej σ ( T ) jest zbiorem liczb zespolonych X tak że T - λ brakuje stałego odwrócony. Jeśli T jest ograniczone, to widmo jest zawsze zbiorem zwartym na płaszczyźnie zespolonej i leży wewnątrz dysku | z | ≤ || T || . Jeśli T jest samosprzężony, to widmo jest rzeczywiste. W rzeczywistości zawiera się w przedziale [ m , M ] gdzie

Co więcej, m i M są w rzeczywistości zawarte w widmie.

Przestrzenie własne operatora T są podane przez

W przeciwieństwie do macierzy skończonych, nie każdy element widma T musi być wartością własną: operator liniowy Tλ może nie mieć odwrotności tylko dlatego, że nie jest surjektywny. Elementy widma operatora w sensie ogólnym nazywane są wartościami spektralnymi . Ponieważ wartości widmowe nie muszą być wartościami własnymi, rozkład widmowy jest często bardziej subtelny niż w skończonych wymiarach.

Jednak twierdzenie spektralne operatora samosprzężonego T przybiera szczególnie prostą postać, jeśli dodatkowo założymy , że T jest operatorem zwartym . Twierdzenie spektralne dla kompaktowych samosprzężonego operatorów stanów:

  • Zwarty operator samosprzężony T ma tylko policzalnie (lub skończenie) wiele wartości widmowych. Widmo T nie ma punktu granicznego na płaszczyźnie zespolonej, z wyjątkiem prawdopodobnie zera. Przestrzenie własne T rozkładają H na prostopadłą sumę prostą:
    Co więcej, jeśli E λ oznacza rzut ortogonalny na przestrzeń własną H λ , to
    gdzie suma zbiega się w stosunku do normy na B( H ) .

Twierdzenie to odgrywa fundamentalną rolę w teorii równań całkowych , ponieważ wiele operatorów całkowych jest zwartych, w szczególności te, które wynikają z operatorów Hilberta-Schmidta .

Ogólne twierdzenie spektralne dla operatorów samosprzężonych obejmuje rodzaj całki Riemanna-Stieltjesa o wartościach operatorowych , a nie nieskończone sumowanie. Rodzina widmowa skojarzona z T wiąże z każdą liczbą rzeczywistą λ operator E λ , który jest rzutem na przestrzeń zerową operatora ( Tλ ) + , gdzie dodatnia część operatora samosprzężonego jest zdefiniowana przez

Operatory E λ są monotonnie rosnące względem rzędu częściowego zdefiniowanego na operatorach samosprzężonych; wartości własne odpowiadają dokładnie nieciągłościom skoku. Jeden ma twierdzenie spektralne, które stwierdza

Całka jest rozumiana jako całka Riemanna-Stieltjesa, zbieżna względem normy na B( H ) . W szczególności, mamy do czynienia ze zwykłą reprezentacją całkową o wartościach skalarnych

Nieco podobny rozkład widmowy dotyczy normalnych operatorów, chociaż ponieważ widmo może teraz zawierać nierzeczywiste liczby zespolone, miara Stieltjesa o wartościach operatorowych d E λ musi być zamiast tego zastąpiona rozdzielczością identyczności .

Głównym zastosowaniem metod spektralnych jest twierdzenie o odwzorowaniu spektralnym , które pozwala zastosować do operatora samosprzężonego T dowolną ciągłą funkcję zespoloną f zdefiniowaną na widmie T przez utworzenie całki

Wynikowy ciągły rachunek czynnościowy ma zastosowanie w szczególności do operatorów pseudoróżnicowych .

Teoria spektralna nieograniczonych operatorów samosprzężonych jest tylko nieznacznie trudniejsza niż dla operatorów ograniczonych. Widmo operatora nieograniczonego definiuje się dokładnie tak samo, jak dla operatorów ograniczonych: λ jest wartością widmową, jeśli operator rezolwentowy

nie jest dobrze zdefiniowanym operatorem ciągłym. Samoprzyleganie T nadal gwarantuje, że widmo jest rzeczywiste. Zatem zasadniczą ideą pracy z operatorami nieograniczonymi jest przyjrzenie się rezolwentce R λ, gdzie λ jest nierzeczywiste. Jest to ograniczony operator normalny, który dopuszcza reprezentację widmową, którą można następnie przenieść na reprezentację widmową samego T. Podobną strategię stosuje się na przykład do badania spektrum operatora Laplace'a: zamiast zwracać się bezpośrednio do operatora, zamiast tego patrzy się na skojarzoną rezolwentę, taką jak potencjał Riesza lub potencjał Bessela .

Dokładna wersja twierdzenia spektralnego w tym przypadku to:

Mając gęsto zdefiniowany operator samosprzężony T na przestrzeni Hilberta H , odpowiada unikalne rozwiązanie tożsamości E na zbiorach borelowskich R , takie, że
dla wszystkich xD ( t ) i yH . Miara widmowa E jest skoncentrowana na widmie T .

Istnieje również wersja twierdzenia o widmie, która dotyczy nieograniczonych operatorów normalnych.

W kulturze popularnej

Thomas Pynchon przedstawił fikcyjną postać Sammy'ego Hilberta-Spaessa w swojej powieści z 1973 roku, Gravity's Rainbow . Hilbert-Spaess jest po raz pierwszy opisywany jako „wszechobecny podwójny agent”, a później jako „przynajmniej podwójny agent”. Powieść wcześniej odwoływała się do pracy kolegi niemieckiego matematyka Kurta Gödla , Twierdzenia o niezupełności , które pokazały, że Program Hilberta, sformalizowany plan Hilberta zjednoczenia matematyki w pojedynczy zestaw aksjomatów, nie był możliwy.

Zobacz też

Uwagi

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki