Pseudowektor - Pseudovector

Pętla z drutu (czarna), przenosząca prąd I , wytwarza pole magnetyczne B (niebieskie). Jeśli pozycja i prąd przewodu zostaną odbite w płaszczyźnie wskazanej linią przerywaną, generowane przez niego pole magnetyczne nie zostanie odbite: zamiast tego zostanie odbite i odwrócone . Pozycja i prąd w dowolnym punkcie przewodu są „prawdziwymi” wektorami, ale pole magnetyczne B jest pseudowektorem.

W fizycznych i matematycznych , w pseudowektor (lub wektorem osiowym ) jest to ilość, która jest określona jako funkcja pewnych wektorach lub inne kształty geometryczne , które przypomina wektor, i zachowuje się podobnie jak wektor w wielu przypadkach, lecz zmienia się w swojej przeciwległej jeżeli orientacji przestrzeni zmienia się, albo niewłaściwe sztywny przetwarzania takiego jak odbicie jest nakładana na całą postać. Geometrycznie kierunek odbitego pseudowektora jest przeciwny do jego lustrzanego odbicia , ale o jednakowej wielkości. W przeciwieństwie do tego odbicie prawdziwego (lub biegunowego ) wektora jest dokładnie takie samo jak jego lustrzane odbicie.

W trzech wymiarach rotacja biegunowego pola wektorowego w punkcie i iloczyn poprzeczny dwóch wektorów biegunowych są pseudowektorami.

Jednym z przykładów pseudowektora jest normalna do zorientowanej płaszczyzny . Płaszczyzna zorientowana może być zdefiniowana przez dwa nierównoległe wektory, a i b , które obejmują płaszczyznę. Wektor a × b jest normalną do płaszczyzny (są dwie normalne, po jednej z każdej strony – reguła prawej ręki określi którą) i jest pseudowektorem. Ma to konsekwencje w grafice komputerowej, gdzie należy to uwzględnić podczas przekształcania normalnych powierzchni .

Szereg wielkości w fizyce zachowuje się raczej jak pseudowektory niż wektory biegunowe, w tym pole magnetyczne i prędkość kątowa . W matematyce, w trzech wymiarach, pseudowektory są równoważne dwuwektorom , z których można wyprowadzić reguły transformacji pseudowektorów. Bardziej ogólnie w n- wymiarowej algebrze geometrycznej pseudowektorami są elementy algebry o wymiarze n − 1 , zapisane jako ⋀ ^{n −1}  R ⁿ . Etykieta „pseudo” może być dalej uogólniona na pseudoskalary i pseudotensory , z których oba zyskują dodatkowe odwrócenie znaku przy niewłaściwych obrotach w porównaniu z prawdziwym skalarem lub tensorem .

Przykłady fizyczne

Fizyczne przykłady pseudowektorów obejmują moment obrotowy , prędkość kątową , moment pędu , pole magnetyczne i dipolowy moment magnetyczny .

Każde koło samochodu po lewej stronie oddalające się od obserwatora ma pseudowektor momentu pędu skierowany w lewo. To samo dotyczy lustrzanego odbicia samochodu. Fakt, że strzałki wskazują ten sam kierunek, a nie są swoimi lustrzanymi odbiciami, wskazuje, że są to pseudowektory.

Rozważmy pseudowektorowy moment pędu L = r × p . Jadąc samochodem i patrząc w przyszłość, każde z kół ma wektor momentu pędu skierowany w lewo. Jeśli świat odbija się w lustrze, które zamienia lewą i prawą stronę samochodu, to "odbicie" tego "wektora" momentu pędu (postrzeganego jako zwykły wektor) wskazuje na prawą stronę, ale rzeczywisty wektor momentu pędu koło (które wciąż obraca się do przodu w odbiciu) nadal wskazuje w lewo, co odpowiada dodatkowemu przewróceniu znaku w odbiciu pseudowektora.

Rozróżnienie między wektorami biegunowymi i pseudowektorami staje się ważne w zrozumieniu wpływu symetrii na rozwiązanie układów fizycznych . Rozważmy pętlę prądu elektrycznego w płaszczyźnie z = 0 , która wewnątrz pętli generuje pole magnetyczne zorientowane w kierunku z . System ten jest symetryczny (niezmienny) pod lustrzanymi odbiciami przez tę płaszczyznę, z polem magnetycznym niezmienionym przez odbicie. Oczekuje się jednak, że odbicie pola magnetycznego jako wektora przez tę płaszczyznę spowoduje jego odwrócenie; to oczekiwanie jest korygowane przez uświadomienie sobie, że pole magnetyczne jest pseudowektorem, a dodatkowe odwrócenie znaku pozostawia je niezmienione.

W fizyce pseudowektory są zazwyczaj wynikiem iloczynu krzyżowego dwóch wektorów biegunowych lub rotacji biegunowego pola wektorowego. Produkt krzyżowy i zwijanie są definiowane umownie, zgodnie z regułą prawej ręki, ale równie dobrze można je zdefiniować w kategoriach reguły lewej ręki. Cała fizyka zajmująca się (praworęcznymi) pseudowektorami i regułą prawej ręki może zostać zastąpiona przez użycie (leworęcznych) pseudowektorów i reguły lewej ręki bez problemu. Tak zdefiniowane (lewe) pseudowektory byłyby przeciwne do tych określonych przez regułę prawej ręki.

Podczas gdy relacje wektorowe w fizyce mogą być wyrażane bez współrzędnych, do wyrażenia wektorów i pseudowektorów jako wielkości liczbowych wymagany jest układ współrzędnych. Wektory są reprezentowane jako uporządkowane tryplety liczb: np. i pseudowektory również są reprezentowane w tej postaci. Podczas transformacji między lewoskrętnym i prawoskrętnym układem współrzędnych reprezentacje pseudowektorów nie przekształcają się jako wektory, a traktowanie ich jako reprezentacji wektorowych spowoduje nieprawidłową zmianę znaku, dlatego należy zwrócić uwagę na to, które uporządkowane tryplety reprezentują wektory, oraz które reprezentują pseudowektory. Problem ten nie istnieje, jeśli iloczyn krzyżowy dwóch wektorów zostanie zastąpiony przez iloczyn zewnętrzny tych dwóch wektorów, co daje dwuwektor będący tensorem drugiego rzędu i reprezentowany przez macierz 3×3. Ta reprezentacja 2-tensorów przekształca się poprawnie między dowolnymi dwoma układami współrzędnych, niezależnie od ich orientacji. ${\ Displaystyle \ mathbf {a} = (a_ {x}, a_ {y}, a_ {z})}$

Detale

Definicja „wektora” w fizyce (obejmująca zarówno wektory biegunowe, jak i pseudowektory) jest bardziej szczegółowa niż matematyczna definicja „wektora” (czyli dowolnego elementu abstrakcyjnej przestrzeni wektorowej ). Zgodnie z definicją fizyki, „wektor” musi mieć komponenty, które „przekształcają się” w określony sposób pod odpowiednim obrotem : w szczególności, gdyby wszystko we wszechświecie było obrócone, wektor obracałby się dokładnie w ten sam sposób. (Układ współrzędnych jest ustalony w tej dyskusji; innymi słowy jest to perspektywa aktywnych przekształceń .) Matematycznie, jeśli wszystko we wszechświecie podlega rotacji opisanej przez macierz obrotu R , tak że wektor przemieszczenia x jest przekształcany do x ′ = R x , to każdy "wektor" v musi być podobnie przekształcony do v ′ = R v . To ważne wymaganie odróżnia wektor (który może składać się na przykład ze składowych prędkości x , y i z ) od dowolnej innej trójki wielkości fizycznych (na przykład długość, szerokość i wysokość prostokątnego pudełka nie mogą być uważane za trzy składniki wektora, ponieważ obracanie pudełka nie przekształca odpowiednio tych trzech składników.)

(W języku różnicowego geometrii , wymaganie to jest równoważne wyznaczającą wektor się napinacz z kontrawariantny jednej wartości a. Pseudowektor następnie postój jeden kowariantna napinacz zamiast. W szerszym kontekście, wyższe tensory pozycja może mieć dowolną liczbą oraz mieszane rang kowariantny i kontrawariantny w tym samym czasie, oznaczane indeksami podwyższonymi i obniżonymi w konwencji sumowania Einsteina .

Podstawowym i raczej konkretnym przykładem są wektory wierszowe i kolumnowe pod zwykłym operatorem mnożenia macierzowego: w jednej kolejności dają one iloczyn skalarny, który jest po prostu skalarem i jako taki tensor rzędu zerowego, podczas gdy w drugiej dają dwójkowy product , który jest macierzą reprezentującą tensor mieszany drugiego rzędu, z jednym indeksem kontrawariantnym i jednym indeksem kowariantnym. W związku z tym nieprzemienność standardowej algebry macierzy może być wykorzystana do śledzenia różnic między wektorami kowariantnymi i kontrawariantnymi. Tak właśnie prowadzono księgi rachunkowe, zanim pojawiła się bardziej formalna i uogólniona notacja tensorowa. Przejawia się to nadal w sposobie, w jaki wektory bazowe ogólnych przestrzeni tensorowych są eksponowane w celu praktycznej manipulacji.)

Dotychczasowa dyskusja dotyczyła jedynie obrotów właściwych, czyli wokół osi. Można jednak wziąć pod uwagę również niewłaściwe rotacje , czyli odbicie lustrzane, po którym może nastąpić rotacja poprawna. (Jednym z przykładów niewłaściwej rotacji jest inwersja przez punkt w przestrzeni trójwymiarowej.) Załóżmy, że wszystko we wszechświecie podlega niewłaściwej rotacji opisanej przez niewłaściwą macierz rotacji R , tak że wektor pozycji x jest przekształcany do x ′ = R x . Jeśli wektor v jest wektorem biegunowym, zostanie przekształcony w v ′ = R v . Jeśli jest to pseudowektor, zostanie przekształcony do v ′ = − R v .

Reguły transformacji dla wektorów biegunowych i pseudowektorów można zwięźle określić jako

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ mathbf {v} '& = R \ mathbf {v} i & {\ tekst {(wektor biegunowy)}} \ \ \ mathbf {v} '& = (\ det R) ( R\mathbf {v} )&&{\text{(pseudowektor)}}\end{wyrównany}}}$

gdzie symbole są takie, jak opisano powyżej, a macierz rotacji R może być właściwa lub niewłaściwa. Symbol det oznacza wyznacznik ; ta formuła działa, ponieważ wyznacznikiem prawidłowej i niewłaściwej macierzy rotacji są odpowiednio +1 i -1.

Zachowanie przy dodawaniu, odejmowaniu, mnożeniu przez skalar

Załóżmy, że v ₁ i v ₂ są znanymi pseudowektorami, a v ₃ jest ich sumą, v ₃ = v ₁ + v ₂ . Jeśli wszechświat jest transformowany przez macierz rotacji R , to v ₃ jest transformowane do

${\displaystyle {\zacznij {wyrównany}\mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '+\mathbf {v_{2}} '&=(\det R)(R\mathbf { v_{1}} )+(\det R)(R\mathbf {v_{2}} )\\&=(\det R)(R(\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2 }} ))=(\det R)(R\mathbf {v_{3}} ).\end{wyrównany}}}$

Więc v ₃ jest również pseudowektorem. Podobnie można pokazać, że różnica między dwoma pseudowektorami jest pseudowektorem, że suma lub różnica dwóch wektorów biegunowych jest wektorem biegunowym, że pomnożenie wektora biegunowego przez dowolną liczbę rzeczywistą daje inny wektor biegunowy, oraz że pomnożenie pseudowektora przez dowolną liczbę rzeczywistą liczba daje kolejny pseudowektor.

Z drugiej strony, załóżmy, że v ₁ jest wektorem biegunowym, v ₂ jest pseudowektorem, a v ₃ jest ich sumą, v ₃ = v ₁ + v ₂ . Jeśli wszechświat jest transformowany przez niewłaściwą macierz rotacji R , to v ₃ jest transformowane do

${\displaystyle \mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '+\mathbf {v_{2}} '=(R\mathbf {v_{1}})+(\det R) (R\mathbf {v_{2}} )=R(\mathbf {v_{1}} +(\det R)\mathbf {v_{2}} ).}$

Dlatego v ₃ nie jest ani wektorem biegunowym, ani pseudowektorem (chociaż nadal jest wektorem, zgodnie z definicją fizyki). W przypadku niewłaściwej rotacji v ₃ na ogół nie zachowuje nawet tej samej wielkości:

${\ Displaystyle | \ mathbf {v_ {3}} | = | \ mathbf {v_ {1}} + \ mathbf {v_ {2}} | {\ tekst {ale}} \ lewo | \ mathbf {v_ {3 }} '\right|=\left|\mathbf {v_{1}} '-\mathbf {v_{2}} '\right|}$.

Jeśli wielkość v ₃ miałaby opisywać mierzalną wielkość fizyczną, oznaczałoby to, że prawa fizyki nie byłyby takie same, gdyby wszechświat był oglądany w lustrze. W rzeczywistości dokładnie to dzieje się w oddziaływaniu słabym : niektóre rozpady promieniotwórcze traktują „lewo” i „prawo” inaczej, zjawisko, które można prześledzić do sumowania wektora biegunowego z pseudowektorem w podstawowej teorii. (Zobacz naruszenie parzystości .)

Zachowanie pod różnymi produktami

Przy inwersji dwa wektory zmieniają znak, ale ich iloczyn krzyżowy jest niezmienny [czarny to dwa oryginalne wektory, szary to odwrócone wektory, a czerwony to ich wzajemny iloczyn krzyżowy].

Dla macierzy rotacji R , właściwej lub niewłaściwej, zawsze prawdziwe jest następujące równanie matematyczne:

${\ Displaystyle (R \ mathbf {v_ {1}} ) \ razy (R \ mathbf {v_ {2}} ) = (\ DET R) (R (\ mathbf {v_ {1}} \ razy \ mathbf {v_) {2}} ))}$,

gdzie v ₁ i v ₂ są dowolnymi trójwymiarowymi wektorami. (To równanie można udowodnić za pomocą argumentu geometrycznego lub obliczeń algebraicznych.)

Załóżmy, że v ₁ i v ₂ są znanymi wektorami biegunowymi, a v ₃ jest zdefiniowany jako ich iloczyn krzyżowy, v ₃ = v ₁ × v ₂ . Jeśli wszechświat jest transformowany przez macierz rotacji R , to v ₃ jest transformowane do

${\displaystyle \mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '\times \mathbf {v_{2}} '=(R\mathbf {v_{1}})\razy (R\ mathbf {v_{2}} )=(\det R)(R(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} ))=(\det R)(R\mathbf {v_{ 3}} ).}$

Więc v ₃ jest pseudowektorem. Podobnie można pokazać:

• wektor biegunowy × wektor biegunowy = pseudowektor
• pseudowektor × pseudowektor = pseudowektor
• wektor biegunowy × pseudowektor = wektor biegunowy
• pseudowektor × wektor biegunowy = wektor biegunowy

Jest to izomorficzne z dodawaniem modulo 2, gdzie „polarny” odpowiada 1, a „pseudo” 0.

Przykłady

Z definicji jasno wynika, że ​​wektor przemieszczenia jest wektorem biegunowym. Wektor prędkości jest wektorem przemieszczenia (wektor biegunowy) podzielony przez czas (skalar), podobnie jak wektor biegunowy. Podobnie wektor pędu jest wektorem prędkości (wektor biegunowy) razy masa (skalar), tak samo jest wektorem biegunowym. Moment pędu jest iloczynem poprzecznym przemieszczenia (wektor biegunowy) i pędu (wektor biegunowy), a zatem jest pseudowektorem. Kontynuując w ten sposób, łatwo jest sklasyfikować dowolny z powszechnych wektorów w fizyce jako wektor pseudowektorowy lub wektor biegunowy. (W teorii słabych oddziaływań istnieją wektory naruszające parzystość, które nie są ani wektorami biegunowymi, ani pseudowektorami. Jednak w fizyce występują one bardzo rzadko.)

Zasada prawej ręki

Powyżej omówiono pseudowektory przy użyciu aktywnych przekształceń . Alternatywnym podejściem, bardziej podobnym do transformacji pasywnych , jest utrzymywanie wszechświata w stanie stałym, ale zamienianie „ reguły prawej ręki ” na „ regułę lewej ręki” wszędzie w matematyce i fizyce, włączając w to definicję iloczynu krzyżowego . Dowolny wektor biegunowy (np. wektor translacji) byłby niezmieniony, ale pseudowektory (np. wektor pola magnetycznego w punkcie) zmieniłyby znaki. Niemniej jednak nie byłoby żadnych fizycznych konsekwencji, z wyjątkiem zjawisk naruszających parzystość , takich jak pewne rozpady radioaktywne .

Formalizowanie

Jeden sposób formalny pseudovectors jest następujący: Jeżeli V jest N - wymiarowej przestrzeni wektora, a następnie pseudowektor z V jest elementem ( n  - 1) -tym zewnętrznej siły do V : ⋀ ^{n -1} ( V ). Pseudowektory V tworzą przestrzeń wektorową o tym samym wymiarze co V .

Ta definicja nie jest równoważna z tą, która wymaga odwrócenia znaku przy niewłaściwych obrotach, ale jest ogólna dla wszystkich przestrzeni wektorowych. W szczególności, gdy n jest nawet taka pseudowektor nie doświadczyć klapki migowego, a gdy charakterystyka bazowego pola z V wynosi 2, flip znak ma żadnego efektu. Poza tym definicje są równoważne, choć należy pamiętać, że bez dodatkowej struktury (konkretnie formy objętości lub orientacji ) nie ma naturalnej identyfikacji ⋀ ^{n −1} ( V ) z V .

Algebra geometryczna

W algebrze geometrycznej podstawowymi elementami są wektory, które służą do budowania hierarchii elementów przy użyciu definicji iloczynów w tej algebrze. W szczególności algebra buduje pseudowektory z wektorów.

Podstawowym mnożeniem w algebrze geometrycznej jest iloczyn geometryczny , oznaczany przez proste zestawienie dwóch wektorów, jak w ab . Ten produkt jest wyrażony jako:

${\ Displaystyle \ mathbf {ab} = \ mathbf {a \ cdot b} + \ mathbf {a \ klin b} \ ,}$

gdzie wyraz wiodący jest zwyczajowym iloczynem skalarnym wektora, a drugi wyraz nazywa się iloczynem klina . Korzystając z postulatów algebry, można ocenić wszystkie kombinacje iloczynów kropkowych i klinowych. Dostępna jest terminologia opisująca różne kombinacje. Na przykład multiwektor jest sumą k- krotnych iloczynów klina o różnych k- wartościach. K krotnie produkt klin jest również określana jako k -blade .

W obecnym kontekście pseudowektor jest jedną z tych kombinacji. Termin ten jest dołączony do innego wielowektora w zależności od wymiarów przestrzeni (czyli liczby liniowo niezależnych wektorów w przestrzeni). W trzech wymiarach najbardziej ogólny dwułopatowy lub dwuwektorowy może być wyrażony jako iloczyn klinowy dwóch wektorów i jest pseudowektorem. Jednak w czterech wymiarach pseudowektory są trójwektorami . Ogólnie jest to ( n − 1) -łopatka, gdzie n jest wymiarem przestrzeni i algebry. Przestrzeń n- wymiarowa ma n bazowych wektorów, a także n bazowych pseudowektorów. Każda podstawa pseudowektor jest utworzony z zewnętrznej (klina) produktu wszystkich oprócz jednej z n wektorów bazowych. Na przykład w czterech wymiarach, w których za wektory bazowe przyjmuje się { e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₄ }, pseudowektory można zapisać jako: { e ₂₃₄ , e ₁₃₄ , e ₁₂₄ , e ₁₂₃ }.

Transformacje w trzech wymiarach

Właściwości transformacji pseudowektora w trzech wymiarach zostały porównane przez Baylisa z właściwościami wektorowego produktu krzyżowego . Mówi: „Terminy wektor osiowy i pseudowektor są często traktowane jako synonimy, ale odróżnienie dwuwektora od jego podwójnego jest całkiem przydatne”. Parafrazując Baylisa: Biorąc pod uwagę dwa wektory polarne (czyli rzeczywiste wektory) i b w trzech wymiarach, to produkt składa się z poprzecznego i b jest wektor normalny do płaszczyzny określonej przez ich c = o × b . Mając zbiór prawoskrętnych wektorów ortonormalnych { e _ℓ } , iloczyn krzyżowy wyraża się w postaci jego składowych jako:

${\ Displaystyle \ mathbf {a} \ razy \ mathbf {b} = \ po lewej (a ^ {2} b ^ {3}-a ^ {3} b ^ {2} \ po prawej) \ mathbf {e} _ { 1}+\lewo(a^{3}b^{1}-a^{1}b^{3}\right)\mathbf {e} _{2}+\lewo(a^{1}b^ {2}-a^{2}b^{1}\right)\mathbf {e} _{3},}$

gdzie indeksy górne oznaczają komponenty wektora. Z drugiej strony, płaszczyzną wektorami jest reprezentowany przez zewnętrznego produktu produktu lub klina, oznaczoną w ∧ b . W tym kontekście algebry geometrycznej ten dwuwektor nazywa się pseudowektorem i jest podwójną liczbą Hodge'a iloczynu krzyżowego. Podwójnego z e ₁ wprowadza się jako e ₂₃ ≡ e ₂ e ₃ = e ₂ ∧ e ₃ i tak dalej. Oznacza to, że podprzestrzeń e ₁ jest podprzestrzeń prostopadła do e ₁ , a mianowicie podprzestrzeń rozpięta przez e ₂ i e ₃ . Z tym zrozumieniem

${\ Displaystyle \ mathbf {a} \ klin \ mathbf {b} = \ po lewej (a ^ {2} b ^ {3}-a ^ {3} b ^ {2} \ po prawej) \ mathbf {e} _ { 23}+\left(a^{3}b^{1}-a^{1}b^{3}\right)\mathbf {e} _{31}+\left(a^{1}b^ {2}-a^{2}b^{1}\right)\mathbf {e} _{12}\ .}$

Aby uzyskać szczegółowe informacje, zobacz Operator gwiazdy Hodge'a § Trzy wymiary . Iloczyn krzyżowy i iloczyn klina są powiązane przez:

${\ Displaystyle \ mathbf {a} \ \ klin \ \ mathbf {b} = {\ mathit {i}} \ \ mathbf {a} \ \ razy \ \ mathbf {b} \}$

gdzie i = e ₁ ∧ e ₂ ∧ e ₃ nazywamy jednostką pseudoskalarną . Posiada właściwość:

${\displaystyle {\mathit {i}}^{2}=-1\.}$

Korzystając z powyższych relacji, widać, że jeśli wektory a i b są odwrócone przez zmianę znaków ich składowych przy pozostawieniu stałych wektorów bazowych, to zarówno pseudowektor, jak i iloczyn poprzeczny są niezmienne. Z drugiej strony, jeśli składowe są stałe, a wektory bazowe e _ℓ są odwrócone, to pseudowektor jest niezmienny, ale iloczyn krzyżowy zmienia znak. To zachowanie produktów krzyżowych jest zgodne z ich definicją jako elementy podobne do wektorów, które zmieniają znak podczas transformacji z prawoskrętnego na lewoskrętny układ współrzędnych, w przeciwieństwie do wektorów biegunowych.

Uwaga dotycząca użytkowania

Na marginesie można zauważyć, że nie wszyscy autorzy zajmujący się algebrą geometryczną używają terminu pseudowektor, a niektórzy autorzy stosują terminologię, która nie rozróżnia pseudowektora i iloczynu krzyżowego. Jednakże, ponieważ iloczyn krzyżowy nie uogólnia się na inne niż trzy wymiary, pojęcie pseudowektora oparte na iloczynie krzyżowym również nie może być rozszerzone na przestrzeń o dowolnej innej liczbie wymiarów. Pseudowektor jako ( n – 1) -łopatka w przestrzeni n -wymiarowej nie jest w ten sposób ograniczony.

Inną ważną uwagą jest to, że pseudowektory, pomimo swojej nazwy, są „wektorami” w sensie bycia elementami przestrzeni wektorowej . Pomysł, że „pseudowektor różni się od wektora” jest prawdziwy tylko w przypadku innej i bardziej szczegółowej definicji terminu „wektor”, jak omówiono powyżej.

Zobacz też

• Algebra Grassmanna
• Algebra Clifforda
• Antywektor , uogólnienie pseudowektora w algebrze Clifforda
• Orientacja (matematyka) — Opis przestrzeni zorientowanych, niezbędnych dla pseudowektorów.
• Orientowalność — dyskusja o przestrzeniach niezorientowanych.
• Gęstość tensora

Uwagi

Bibliografia