Operator antyjednostkowy - Antiunitary operator

W matematyce , a antiunitary transformacji , jest bijective przekształcenie antyliniowe

U:H_{1}\do H_{2}\,

między dwiema złożonymi przestrzeniami Hilberta tak, że

{\ Displaystyle \ langle Ux, Uy \ rangle = {\ nadkreślenie {\ langle x, y \ rangle}}}

dla wszystkich oraz w , gdzie poziomy pasek reprezentuje sprzężenie zespolone . Jeżeli dodatkowo jeden został następnie nazywamy operator antiunitary . $x$ $y$ $H_{1}$ $H_{1}=H_{2}$ ${\ Displaystyle U}$

Operatory antyjednostkowe są ważne w teorii kwantowej, ponieważ są używane do reprezentowania pewnych symetrii, takich jak odwrócenie czasu . Ich fundamentalne znaczenie w fizyce kwantowej potwierdza twierdzenie Wignera .

Transformacje niezmiennicze

W mechanice kwantowej transformacje niezmiennicze zespolonej przestrzeni Hilberta pozostawiają bezwzględną wartość niezmiennika iloczynu skalarnego: ${\ Displaystyle H}$

{\ Displaystyle | \ langle Tx, Ty \ rangle | = | \ langle x, y \ rangle |}

dla wszystkich i w . $x$ $y$ ${\ Displaystyle H}$

Ze względu na twierdzenie Wignera przekształcenia te mogą być albo unitarne, albo antyunitarne.

Interpretacja geometryczna

Kongruencje płaszczyzny tworzą dwie odrębne klasy. Pierwsza zachowuje orientację i jest generowana przez translacje i obroty. Drugi nie zachowuje orientacji i jest uzyskiwany z pierwszej klasy poprzez zastosowanie odbicia. Na płaszczyźnie zespolonej te dwie klasy odpowiadają (aż do przekładu) odpowiednio unitarkom i antyunitariom.

Nieruchomości

${\ Displaystyle \ langle Ux, Uy \ rangle = {\ nadkreślenie {\ langle x, y \ rangle}} = \ langle y, x \ rangle}$ obowiązuje dla wszystkich elementów przestrzeni Hilberta i antyjednostkowego . $x,y$ ${\ Displaystyle U}$
Kiedy jest anty- jednostkowe, to jest jednostkowe. Wynika to z ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle U ^ {2}}$
${\ Displaystyle \ lewo \ langle U ^ {2} x, U ^ {2} r \ prawo \ rangle = {\ nadkreślenie {\ langle Ux, Uy \ rangle}} = \ langle x, y \ rangle.}$
Dla operatora jednostkowej operatorowi , którym jest złożony operatora koniugat jest antiunitary. Odwrotna sytuacja jest również prawdziwa, w przypadku antyjedności operator jest unitarny. ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle VK}$ ${\ Displaystyle K}$ ${\ Displaystyle U}$ $Wielka Brytania$
W przypadku antyuniitary definicja operatora sprzężonego zostaje zmieniona, aby skompensować złożoną koniugację, stając się ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle U ^ {*}}$
${\ Displaystyle \ langle Ux, y \ rangle = {\ nadkreślenie {\ lewo \ langle x, U ^ {*} r \ prawo \ rangle}}}$ .
Łącznik z antyjednostką jest również antyjednostkowy i ${\ Displaystyle U}$
${\ Displaystyle UU ^ {*} = U ^ {*} U = 1.}$ (Nie należy tego mylić z definicją operatorów unitarnych , ponieważ operator antyunitarny nie jest złożonym operatorem liniowym.) ${\ Displaystyle U}$

Przykłady

Operator sprzężony zespolony jest operatorem przeciwjednostkowym na płaszczyźnie zespolonej. ${\ Displaystyle K}$ ${\ Displaystyle Kz = {\ overline {z}}}$
Operator
${\ Displaystyle U = ja \ sigma _ {y} K = {\ zacząć {pmatrix} 0 i 1 \ \ -1 i 0 \ koniec {pmatrix}} K}$
gdzie jest druga macierz Pauliego i jest złożonym operatorem sprzężonym, jest antyjednostkowy. Spełnia . $\sigma_{y}$ ${\ Displaystyle K}$ ${\ Displaystyle U ^ {2} = -1}$

Dekompozycja operatora antyunitarnego na sumę bezpośrednią elementarnych antyjednostek Wignera

Operator antyunitarny na przestrzeni skończenie wymiarowej można rozłożyć jako bezpośrednią sumę elementarnych antyjednostek Wignera , . Operator jest po prostu prostą, złożoną koniugacją na $W_{\theta}$ ${\ Displaystyle 0 \ leq \ theta \ leq \ pi}$ ${\ Displaystyle W_ {0}: \ mathbb {C} \ do \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

{\ Displaystyle W_ {0}(z) = {\ overline {z}}}

Dla , operator działa na dwuwymiarowej złożonej przestrzeni Hilberta. Jest zdefiniowany przez $0<\theta \leq \pi$ $W_{\theta}$

{\ Displaystyle W_ {\ theta} \ po lewej (\ po lewej (z_ {1}, z_ {2} \ po prawej) \ po prawej) = \ po lewej (e ^ {{\ Frac {i} {2}} \ teta} { \overline {z_{2}}},\;e^{-{\frac {i}{2}}\theta }{\overline {z_{1}}}\right).}

Zwróć uwagę, że dla $0<\theta \leq \pi$

{\ Displaystyle W_ {\ theta} \ po lewej (W_ {\ theta} \ po lewej (\ po lewej (z_ {1}, z_ {2} \ po prawej) \ po prawej) \ po prawej) = \ po lewej (e ^ {i \ teta }z_{1},e^{-i\theta }z_{2}\right),}

więc takie nie mogą być dalej rozkładane na 's, które odpowiadają mapie tożsamości. $W_{\theta}$ $W_{0}$

Zauważmy, że powyższa dekompozycja operatorów antyunitarnych kontrastuje z dekompozycją widmową operatorów unitarnych. W szczególności operator unitarny na zespolonej przestrzeni Hilberta może być rozłożony na sumę prostą unitarnych działających na jednowymiarowych przestrzeniach zespolonych (przestrzenie własne), ale operator anty- unitarny może być rozłożony tylko na sumę prostą operatorów elementarnych na 1- i Przestrzenie złożone dwuwymiarowe.

Bibliografia

^ Peskin, Michael Edward (2019). Wprowadzenie do kwantowej teorii pola . Daniela V. Schroedera. Boca Raton. Numer ISBN 978-0-201-50397-5. OCLC 1101381398 .

Wigner, E. „Normalna forma operatorów przeciwjednostkowych”, Journal of Mathematical Physics tom 1, nr 5, 1960, s. 409-412
Wigner, E. „Fenomenologiczne rozróżnienie między operatorami symetrii unitarnej i antyunitarnej”, Journal of Mathematical Physics Vol1, nr 5, 1960, pp.414-416

Zobacz też

[1] Peskin, Michael Edward (2019). Wprowadzenie do kwantowej teorii pola . Daniela V. Schroedera. Boca Raton. Numer ISBN 978-0-201-50397-5. OCLC 1101381398 .

Languages

In other projects