Matryce Pauliego - Pauli matrices

Wolfgang Pauli (1900–1958), ca. 1924. Pauli otrzymał Nagrodę Nobla w dziedzinie fizyki w 1945, nominowany przez Alberta Einsteina za zasadę wykluczania Pauliego .

W fizyce matematycznej i matematycznych , że Pauli matryce są zestawem trzech 2 x 2 złożonych macierzy , które są hermitowskiego i jednolity . Zazwyczaj oznaczane grecką literą sigma ( σ ), czasami oznaczane są przez tau ( τ ), gdy są używane w połączeniu z symetriami izospinowymi .

Te macierze zostały nazwane na cześć fizyka Wolfganga Pauliego . W mechanice kwantowej występują one w równaniu Pauliego, które uwzględnia oddziaływanie spinu cząstki z zewnętrznym polem elektromagnetycznym . Reprezentują również stany interakcji dwóch filtrów polaryzacyjnych dla polaryzacji poziomej/pionowej, polaryzacji 45 stopni (prawo/lewo) i polaryzacji kołowej (prawo/lewo).

Każda z matryc Pauli jest hermitowskie i razem z macierzy jednostkowej I (czasem traktowane jako wartości zerowe Pauli matrycy σ 0 ), przy czym Pauli matryce tworzą podstawę dla rzeczywistej przestrzeni wektorowej z 2 x 2 hermitowskich matryce. Oznacza to, że dowolna macierz hermitowska 2 × 2 może być zapisana w unikalny sposób jako liniowa kombinacja macierzy Pauliego, przy czym wszystkie współczynniki są liczbami rzeczywistymi.

Operatorzy hermitowskie stanowią obserwable mechaniki kwantowej, tak Pauli matryce obejmują przestrzeń wykrywalności w złożonym 2 -wymiarowej przestrzeni Hilberta . W kontekście pracy Pauliego, σ k reprezentuje obserwowalny odpowiadający spinowi wzdłuż k- tej osi współrzędnych w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej

Macierze Pauliego (po pomnożeniu przez i w celu uczynienia ich antyhermitowskimi ) również generują przekształcenia w sensie algebr Liego : macierze 1 , 2 , 3 tworzą podstawę dla rzeczywistej algebry Liego , która potęguje się do specjalnej unitarnej grupa SU(2) . Algebra wygenerowane przez trzy macierze Ď 1 , σ 2 , σ 3 jest izomorficzny w Algebra Clifford o i (unital asocjacyjny) Algebra generowane przez 1 , 2 , 3 jest praktycznie identyczna (izomorficzne) do wartości quaternions ( ).

Własności algebraiczne

Wszystkie trzy macierze Pauliego można skondensować w jedno wyrażenie:

gdzie i = -1   to „ jednostka urojona ”, a δ jk to delta Kroneckera , która wynosi +1, jeśli j = k, a 0 w przeciwnym razie. Wyrażenie to jest przydatne do „wybierania” dowolnej z macierzy numerycznie przez podstawienie wartości j = 1, 2, 3 , co z kolei jest przydatne, gdy którakolwiek z macierzy (ale żadna konkretna) ma być używana w manipulacjach algebraicznych.

Matryce są mimowolne :

gdzie I jest macierzą tożsamości .

Te uwarunkowania i ślady tych Pauli macierzy jest:

Z czego możemy wywnioskować, że każda macierz   σ jk   ma wartości własne   +1 i −1 .

Z włączeniem macierzy tożsamości, I (czasami oznaczany σ 0 ), przy czym Pauli matryce tworzą ortogonalną podstawę (w sensie Hilberta-Schmidt ) z przestrzeni Hilberta z rzeczywistych 2 x 2 hermitowskich matryc , a przestrzeń Hilberta wszystkie złożone macierze 2 × 2 , .

Wektory własne i wartości własne

Każda z macierzy ( hermitowskich ) Pauliego ma dwie wartości własne , +1 i -1 . Odpowiednie znormalizowane wektory własne to:

Pauli wektor

Wektor Pauliego jest zdefiniowany przez

gdzie są równoważne notacje dla bardziej znanych notacji z indeksami dolnymi są bardziej zwarte niż w starej formie.

Wektor Pauliego zapewnia mechanizm mapowania z bazy wektorowej na bazę macierzy Pauliego w następujący sposób:


używając konwencji sumowania Einsteina . Dalej,

jego wartości własne są , a ponadto (patrz § relacja zupełności , poniżej)

Jej znormalizowane wektory własne to


Relacje dojazdowe

Macierze Pauliego zachowują następujące relacje komutacyjne :

i relacje antykomutacyjne :

gdzie stała struktury ε abc jest symbolem Levi-Civita , stosuje się notację sumacyjną Einsteina, δ jk to delta Kroneckera , a I to macierz jednostkowa 2 × 2 .

Na przykład,

komutatory antykomutatory
         

Związek z kropką i iloczynem krzyżowym

Wektory Pauliego elegancko odwzorowują te relacje komutacji i antykomutacji na odpowiadające im produkty wektorowe. Dodanie komutatora do antykomutatora daje

aby,

Zamawiające każdej stronie równania z elementów dwóch 3 -vectors p i b q (co na drodze do pracy z Pauli macierzy, tzn P σ q = σ q P ) dla każdej matrycy Ď q i wektora składnika p (i podobnie z b q ) daje

Na koniec przetłumaczenie notacji indeksu dla iloczynu skalarnego i iloczynu krzyżowego daje w wyniku

 

 

 

 

( 1 )

Jeśli i jest utożsamiany z pseudoskalarem σ x σ y σ z, to prawa strona staje się definicją iloczynu dwóch wektorów w algebrze geometrycznej.

Niektóre relacje śladowe

Za pomocą relacji komutacyjnych i antykomutacyjnych można wyprowadzić następujące ślady.

Jeśli rozważymy również macierz σ 0 = I , zależności te stają się

gdzie greckie indeksy α , β , γ i μ przyjmują wartości od {0, x , y , z } i notacja jest używana do oznaczenia sumy nad cykliczną permutacją uwzględnionych indeksów.

Wykładnicza wektora Pauliego

Do

ma, dla parzystych potęg, 2 p , p = 0, 1, 2, 3, ...

co można wykazać najpierw dla przypadku p = 1 za pomocą relacji antykomutacyjnych. Dla wygody przyjmuje się, że przypadek p = 0 jest I umownie.

Dla potęg nieparzystych 2 q + 1, q = 0, 1, 2, 3, ...

potęgowanie macierzy , i używanie szeregu Taylora dla sinusa i cosinusa ,

.

W ostatnim wierszu pierwsza suma to cosinus, a druga suma to sinus; więc w końcu

 

 

 

 

( 2 )

co jest analogiczne do wzoru Eulera , rozszerzonego do kwaternionów .

Zauważ, że

,

podczas gdy determinantą samego wykładnika jest tylko 1 , co czyni go ogólnym elementem grupy SU(2) .

Bardziej abstrakcyjną wersję wzoru (2) dla ogólnej macierzy 2 × 2 można znaleźć w artykule o wykładnikach macierzy . Ogólna wersja (2) dla funkcji analitycznej (przy a i − a ) jest dostarczana przez zastosowanie wzoru Sylwestra ,

Prawo składu grupowego SU(2)

Proste zastosowanie wzoru (2) zapewnia parametryzację prawa składu grupy SU(2) . Można bezpośrednio rozwiązać c in

który określa rodzajowe mnożenie grup, gdzie oczywiście

prawo kulisty z cosinusów . Biorąc pod uwagę c , wtedy

W konsekwencji złożone parametry rotacji w tym elemencie grupy ( w tym przypadku zamknięta forma odpowiedniego rozwinięcia BCH ) wynoszą po prostu

(Oczywiście, kiedy jest równoległy do , więc jest , a c = a + b .)

akcja łączona

Łatwo jest również obliczyć działanie sprzężone na wektorze Pauliego, a mianowicie efektywnie obracać o dwukrotność kąta a ,

Relacja kompletności

Alternatywnym oznaczenie, które jest powszechnie wykorzystywane do Pauli matryc zapisu indeks wektora k w indeksie górnym, a indeksy jako indeksami macierzy tak, że element w rzędzie alfa i kolumnę P z k -tego Pauli matryca jest σ k αβ  .

W tym zapisie można zapisać relację zupełności dla macierzy Pauliego

Dowód : Fakt, że macierze Pauliego, wraz z macierzą jednostkową I , tworzą ortogonalną bazę dla przestrzeni Hilberta wszystkich macierzy zespolonych 2 × 2 oznacza, że ​​możemy wyrazić dowolną macierz M jako
gdzie c jest liczbą zespoloną, a a jest 3-składnikowym wektorem zespolonym. Za pomocą wyżej wymienionych właściwości łatwo jest wykazać, że
gdzie " tr " oznacza ślad , stąd
które można przepisać w postaci indeksów macierzowych jako
gdzie sumowanie powtarzających się wskaźników zakłada γ i δ . Ponieważ jest to prawdą dla dowolnego wyboru macierzy M , zależność zupełności jest taka, jak podano powyżej.

Jak zauważono powyżej, macierz jednostek 2 × 2 powszechnie oznacza się przez σ 0 , więc σ 0 αβ = δ αβ  . Relację kompletności można alternatywnie wyrazić jako

Fakt, że dowolne macierze hermitowskie zespolone 2 × 2 mogą być wyrażone w kategoriach macierzy jednostkowej i macierzy Pauliego prowadzi również do reprezentacji sfery Blocha o macierzy gęstości stanów mieszanych 2 × 2 ( dodatnie półokreślone macierze 2 × 2 ze śladem jednostkowym Można to zobaczyć najpierw wyrażając dowolną macierz hermitowską jako rzeczywistą kombinację liniową   σ 0 , σ 1 , σ 2 , σ 3  }   jak powyżej, a następnie nakładając warunki dodatnio półokreślone i śladowe 1 .

Dla stanu czystego, we współrzędnych biegunowych,

, idempotentna macierz gęstości

działa na wektor własny stanu o wartości własnej +1, stąd działa jak operator projekcji .

Związek z operatorem permutacji

Niech P jk będzie transpozycją (zwaną też permutacją) między dwoma spinami σ j i σ k żyjącymi w przestrzeni produktu tensorowego ,

Ten operator można również zapisać bardziej jawnie jako operator wymiany spinów Diraca ,

Jego wartości własne to zatem 1 lub -1. Można go zatem wykorzystać jako termin interakcji w hamiltonianie, dzieląc wartości własne energii jego symetrycznych i antysymetrycznych stanów własnych.

SU(2)

Grupa SU(2) jest grupą Liego o unitarnych macierzach 2 × 2 z wyznacznikiem jednostkowym; jej algebra Liego jest zbiorem wszystkich 2 × 2 antyhermitowskich macierzy ze śladem 0. Bezpośrednie obliczenia, jak wyżej, pokazują, że algebra Liego jest trójwymiarową algebrą rzeczywistą rozpiętą przez zbiór { k } . W zwartej notacji,

W rezultacie każde i σ j może być postrzegane jako nieskończenie mały generator SU(2). Elementy SU(2) są wykładnikami liniowych kombinacji tych trzech generatorów i mnożą się, jak wskazano powyżej, omawiając wektor Pauliego. Chociaż wystarczy to do wygenerowania SU(2), nie jest to właściwa reprezentacja su(2) , ponieważ wartości własne Pauliego są skalowane niekonwencjonalnie. Konwencjonalna normalizacja to λ = 1/2, więc

Ponieważ SU(2) jest grupą zwartą, jej rozkład w kartanie jest trywialny.

SO(3)

LIE Algebra Ni (2) jest izomorficzny w Algebra Lie tak, (3) , który odnosi się do grupy Lie SO (3) , w grupie z obrotami w przestrzeni trójwymiarowej. Innymi słowy, można powiedzieć, że i σ j są realizacją (a właściwie realizacją najniższego wymiaru) nieskończenie małych obrotów w przestrzeni trójwymiarowej. Jednak, mimo że su (2) i tak (3) są izomorficzne jak algebry Liego, SU(2) i SO(3) nie są izomorficzne jak grupy Liego. Su (2) jest rzeczywiście podwójnym opakowaniu o SO (3) , co oznacza, że nie jest dwa do jednego homomorfizm grupy z su (2) do SO (3) znajduje się zależność między SO (3), a Su (2) .

Kwateryny

Rzeczywista liniowa rozpiętość I ,   I Ď 1 , i Ď 2 ,   i Ď 3  } jest izomorficzny rzeczywistej algebrze quaternions reprezentowanym przez przestrzeni wektorów bazowych izomorfizmu z do tego zestawu jest wyrażona następującym mapy ( zwróć uwagę na odwrócone znaki dla matryc Pauli):

Alternatywnie izomorfizm można uzyskać za pomocą mapy przy użyciu macierzy Pauliego w odwrotnej kolejności,

Ponieważ zbiór wersorów U tworzy grupę izomorficzną z SU(2) , U daje jeszcze inny sposób opisu SU(2) . Homomorfizm dwa do jednego od SU(2) do SO(3) może być podany w odniesieniu do macierzy Pauliego w tym sformułowaniu.

Fizyka

Mechanika klasyczna

W mechanice klasycznej macierze Pauliego są przydatne w kontekście parametrów Cayleya-Kleina. Macierz P odpowiadająca położeniu punktu w przestrzeni jest zdefiniowana w kategoriach powyższej macierzy wektorowej Pauliego,

W konsekwencji macierz transformacji Q θ dla obrotów wokół osi x o kąt θ można zapisać w postaci macierzy Pauliego, a macierz jednostkową jako

Podobne wyrażenia dotyczą ogólnych rotacji wektora Pauliego, jak opisano powyżej.

Mechanika kwantowa

W mechanice kwantowej , każda Pauli matryca wiąże się z kątowego operatora pędu , który odpowiada zaobserwować opisującej wirowania o wirowania 1 / 2 cząstki w każdym z trzech kierunków przestrzennych. Bezpośrednią konsekwencją wspomnianego powyżej rozkładu kartanowego jest , że j są generatorami reprezentacji rzutowej ( reprezentacji spinowej ) grupy rotacyjnej SO(3) działającej na nierelatywistyczne cząstki o spinie 12 . Do stanów tych cząstek są reprezentowane dwuskładnikowych spinors . W ten sam sposób macierze Pauliego są powiązane z operatorem izospinowym .

Interesującą właściwością cząstek o spinie 12 jest to, że muszą one zostać obrócone o kąt 4 π , aby powrócić do swojej pierwotnej konfiguracji. Wynika to ze wspomnianej powyżej zależności dwa do jednego między SU(2) i SO(3), a także z faktu, że chociaż wizualizuje się obrót w górę/w dół jako biegun północny/południowy na 2-sferze S 2 , w rzeczywistości są one reprezentowane przez wektory ortogonalne w dwuwymiarowej złożonej przestrzeni Hilberta .

Dla cząstki o spinie 12 operator wirowania jest dany przez J =h/2σ Thepodstawowym przedstawieniezsu (2). Wielokrotniebiorąc ze sobąiloczyny Kroneckeratej reprezentacji, można skonstruować wszystkie wyższe nieredukowalne reprezentacje. Oznacza to, że wynikoweoperatory spinudla wyższych systemów spinu w trzech wymiarach przestrzennych, dla dowolnie dużegoj, można obliczyć przy użyciu tegooperatora spinuioperatorów drabinkowych. Można je znaleźć wgrupie rotacji SO(3)#A notatka na temat algebry Liego. Wzór analogowy do powyższego uogólnienia wzoru Eulera na macierze Pauliego, element grupowy w zakresie macierzy spinowych, jest wykonalny, ale mniej prosty.

Również użyteczna w mechanice kwantowej układów wielocząstkowych, ogólna grupa Pauliego G n jest zdefiniowana jako składająca się ze wszystkich n- krotnych iloczynów tensorowych macierzy Pauliego.

Relatywistyczna mechanika kwantowa

W relatywistycznej mechanice kwantowej spinory w czterech wymiarach są macierzami 4 × 1 (lub 1 × 4). Stąd macierze Pauliego lub macierze Sigmy operujące na tych spinorach muszą być macierzami 4×4. Są one definiowane jako macierze 2 × 2 Pauliego jako

Jak wynika z tej definicji, że matryce mają te same właściwości algebraiczne jako σ k macierzy.

Jednak relatywistyczny moment pędu nie jest trzy-wektor, ale drugiego rzędu cztery tensor . Dlatego musi zostać zastąpiony przez Σ μν , generator transformacji Lorentza na spinorach . Przez antysymetrii momentu pędu, gdy Ď μν są również antysymetryczny. Stąd istnieje tylko sześć niezależnych macierzy.

Trzy pierwsze są Pozostałe trzy, gdzie w DirAC a k macierzy określa się jako

Relatywistyczne macierze spinowe Σ μν są zapisane w postaci zwartej jako komutator macierzy gamma jako

Informacje kwantowe

W informacji kwantowej , jedno- qubitu kwantową bramek są 2 x 2 macierze jednostkowe. Macierze Pauliego to jedne z najważniejszych operacji na pojedynczych kubitach. W tym kontekście podana powyżej dekompozycja Cartana nazywana jest „rozkładem Z–Y bramki jednokubitowej”. Wybranie innej pary kartanowej daje podobny „ rozkład X–Y bramki jednokubitowej”.

Zobacz też

Uwagi

Uwagi

Bibliografia