Pseudoskalarny - Pseudoscalar

W algebry liniowej , o pseudoskalar to ilość, która zachowuje się jak skalara , chyba że zmienia znak pod inwersji parzystości natomiast prawdziwy skalarne nie.

Każdy iloczyn skalarny między pseudowektorem a zwykłym wektorem jest pseudoskalarem. Prototypowym przykładem pseudoskalara jest potrójny iloczyn skalarny , który można zapisać jako iloczyn skalarny między jednym z wektorów w iloczynu potrójnym a iloczynem krzyżowym między dwoma innymi wektorami, przy czym ten ostatni jest pseudowektorem. Pseudoskalar pomnożony przez zwykły wektor staje się pseudowektorem (wektorem osiowym) ; podobna konstrukcja tworzy pseudotensor .

Matematycznie pseudoskalar jest elementem górnym zewnętrznego zasilania z przestrzeni wektorowej lub górnej mocą algebry Clifforda ; zobacz pseudoskalar (algebra Clifforda) . Mówiąc bardziej ogólnie, jest to element kanonicznej wiązki z rozmaitości różniczkowej .

W fizyce

W fizyce pseudoskalar oznacza wielkość fizyczną analogiczną do skalara . Obie są wielkościami fizycznymi, które przyjmują jedną wartość, która jest niezmienna przy odpowiednich obrotach . Jednak w przypadku transformacji parzystości pseudoskalary odwracają swoje znaki, podczas gdy skalary nie. Ponieważ odbicia w płaszczyźnie są połączeniem obrotu z transformacją parzystości, pseudoskalary również zmieniają znaki pod wpływem odbić.

Jednym z najpotężniejszych pomysłów w fizyce jest to, że prawa fizyczne nie zmieniają się, gdy zmienia się układ współrzędnych używany do opisu tych praw. To, że pseudoskalar odwraca swój znak, gdy osie współrzędnych są odwrócone, sugeruje, że opisanie wielkości fizycznej nie jest najlepszym przedmiotem. W przestrzeni trójwymiarowej wielkości opisane przez pseudowektor są antysymetrycznymi tensorami rzędu 2, które są niezmienne pod wpływem inwersji. Pseudowektor może być prostszą reprezentacją tej wielkości, ale cierpi z powodu zmiany znaku pod wpływem inwersji. Podobnie, w przestrzeni 3, podwójna Hodge'a skalara jest równa stałej pomnożonej przez 3-wymiarowy pseudotensor Levi-Civita (lub pseudotensor „permutacji”); podczas gdy Hodge dualny pseudoskalara jest antysymetrycznym (czystym) tensorem trzeciego rzędu. Pseudotensor Levi-Civita jest całkowicie antysymetrycznym pseudotensorem rzędu 3. Ponieważ podwójny pseudoskalar jest iloczynem dwóch „pseudo-ilości”, powstały tensor jest prawdziwym tensorem i nie zmienia znaku po odwróceniu osie. Sytuacja jest podobna do sytuacji z pseudowektorami i antysymetrycznymi tensorami rzędu 2. Dwoistość pseudowektora jest tensorem antysymetrycznym rzędu 2 (i odwrotnie). Tensor jest niezmienną wielkością fizyczną podlegającą inwersji współrzędnych, podczas gdy pseudowektor nie jest niezmienny.

Sytuację można rozszerzyć na dowolny wymiar. Ogólnie w przestrzeni n- wymiarowej dualność Hodge'a tensora rzędu r będzie antysymetrycznym pseudotensorem rzędu ( n - r ) i odwrotnie. W szczególności w czterowymiarowej czasoprzestrzeni szczególnej teorii względności pseudoskalar jest dualnością tensora czwartego rzędu i jest proporcjonalny do czterowymiarowego pseudotensora Levi-Civity .

Przykłady

• Funkcja strumienia dla dwuwymiarowego, nieściśliwego przepływu płynu . ${\ Displaystyle \ psi (x, y)}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ lewo (x, y \ prawej) = \ lewo \ langle \ częściowe _ {y} \ psi, - \ częściowe _ {x} \ psi \ prawo \ rangle}$
• Ładunek magnetyczny jest pseudoskalarem, ponieważ jest zdefiniowany matematycznie, niezależnie od tego, czy istnieje fizycznie.
• Strumień magnetyczny jest wynikiem iloczynu skalarnego między wektorem ( normalna powierzchni ) a pseudowektorem ( polem magnetycznym ).
• Heliczność to rzut (iloczyn skalarny ) spinowego pseudowektora na kierunek pędu (prawdziwy wektor).
• Cząstki pseudoskalarne, tj. Cząstki o spinie 0 i nieparzystej parzystości, czyli cząstka bez własnego spinu z funkcją falową, która zmienia znak pod wpływem inwersji parzystości . Przykładami są mezony pseudoskalarne .

W algebrze geometrycznej

Pseudoskalar w algebrze geometrycznej jest elementem algebry najwyższej klasy . Na przykład w dwóch wymiarach istnieją dwa ortogonalne wektory bazowe , a skojarzony z nimi element bazowy najwyższej klasy to ${\ displaystyle e_ {1}}$${\ displaystyle e_ {2}}$

${\ Displaystyle e_ {1} e_ {2} = e_ {12}.}$

Więc pseudoskalar jest wielokrotnością e ₁₂ . Element e ₁₂ kwadratów do −1 i komutuje ze wszystkimi elementami parzystymi - zachowując się zatem jak urojony skalar i w liczbach zespolonych . To właśnie te właściwości skalarne dają początek jego nazwie.

W tym ustawieniu pseudoskalar zmienia znak pod inwersją parzystości, ponieważ if

( e ₁ , e ₂ ) → ( u ₁ , u ₂ )

jest więc zmianą bazy reprezentującą transformację ortogonalną

e ₁ e ₂ → u ₁ u ₂ = ± e ₁ e ₂ ,

gdzie znak zależy od wyznacznika transformacji. Pseudoskalary w algebrze geometrycznej odpowiadają zatem pseudoskalarom w fizyce.

Bibliografia