Strefowa funkcja sferyczna - Zonal spherical function

W matematyce , A strefowe funkcja kulisty , a często tylko funkcja kulisty jest funkcją na lokalnie zwartej grupie G o zwartym podgrupy K (często ilość zwarty podgrupy ), który powstaje jako współczynnik matrycowego o K -invariant wektora w nieredukowalnego reprezentacji z G . Główne przykłady współczynników macierzy z kulistym głównego cyklu , nieredukowalnych reprezentacje występujące w rozkładzie jednolitą reprezentację z G na L ² ( G / K ). W tym przypadku commutant z G jest generowana przez algebry biinvariant funkcji na G w stosunku do K stanowiąc prawego splotu . Jest przemienne, jeśli dodatkowo G / K jest przestrzenią symetryczną , na przykład, gdy G jest połączoną półprostą grupą Liego o skończonym środku, a K jest podgrupą maksymalnie zwartą. Współczynniki macierzowe sferycznego szeregu głównego dokładnie opisują widmo odpowiedniej algebry C* generowanej przez dwuniezmiennicze funkcje podpory zwartej , często nazywanej algebrą Heckego . Widmo przemiennej Banacha *-algebry dwuniezmienniczych funkcji L ¹ jest większe; gdy G jest półprostą grupą Liego z maksymalnie zwartą podgrupą K , dodatkowe znaki pochodzą ze współczynników macierzy szeregu komplementarnego , otrzymanych przez analityczną kontynuację sferycznego szeregu głównego.

Strefowe funkcje sferyczne zostały wyraźnie określone dla rzeczywistych grup półprostych przez Harisha-Chandrę . W przypadku specjalnych grup liniowych zostały one niezależnie odkryte przez Israela Gelfanda i Marka Naimarka . Dla złożonych grup, teoria upraszcza znacznie, ponieważ G jest complexification z K i wzory są związane przedłużenie analityczne o wzorze postaci Weyl o K . Abstrakcyjna teoria analizy funkcjonalnej strefowych funkcji sferycznych została po raz pierwszy opracowana przez Rogera Godementa . Poza ich teoretycznych interpretacji grupowym strefowe kuliste funkcje dla półprosty grupy Lie G stanowią również zestaw równoczesnych funkcyj do naturalnego działania środka uniwersalnego otaczającej Algebra z G na L ² ( G / K ), a operator różniczkowy na symetrycznej przestrzeni G / K . Dla półprostych p-adycznych grup Liego teoria strefowych funkcji sferycznych i algebr Heckego została po raz pierwszy opracowana przez Satake i Iana G. Macdonalda . Analogi twierdzenia Plancherela i wzoru inwersji Fouriera w tym układzie uogólniają rozwinięcia funkcji własnych Mehlera, Weyla i Focka dla osobliwych równań różniczkowych zwyczajnych : zostały one uzyskane w pełnej ogólności w latach sześćdziesiątych pod względem funkcji c Harisha-Chandry .

Nazwa „strefowa funkcja sferyczna” pochodzi od przypadku, gdy G to SO(3, R ) działające na 2-sferze, a K jest podgrupą ustalającą punkt: w tym przypadku strefowe funkcje sferyczne można uznać za pewne funkcje na sfera niezmienna w obrocie wokół stałej osi.

Definicje

Niech G być lokalnie zwartą unimodular grupa topologiczna i K zwarty podgrupy i pozwolić H ₁ = l ^{: 2} ( G / K ). Zatem H ₁ dopuszcza unitarną reprezentację π G przez lewe tłumaczenie. Jest to podreprezentacja reprezentacji regularnej, ponieważ jeśli H = L ² ( G ) z lewą i prawą reprezentacją regularną λ i ρ G i P jest rzutem ortogonalnym

${\ Displaystyle P = \ int _ {K} \ rho (k) \ dk}$

od H do H ₁ następnie H ₁ może oczywiście być identyfikowane z PH z działaniem G określonym przez ograniczenia Î.

Z drugiej strony, przez twierdzenie von Neumanna o komutacji

${\ Displaystyle \ lambda (G) ^ {\ prime} = \ rho (G) ^ {\ prime \ prime}}$

gdzie S' oznacza komutant zbioru operatorów S , tak że

${\ Displaystyle \ pi (G) ^ {\ prime} = P \ rho (G) ^ {\ prime \ prime} P.}$

Zatem przemienność π jest generowana jako algebra von Neumanna przez operatory

${\ Displaystyle P \ rho (f) P = \ int _ {G} f (g) (P \ rho (g) P) \ dg}$

gdzie f jest funkcją ciągłą podpory zwartej na G .

Jednak P ρ( f ) P jest tylko ograniczeniem ρ( F ) do H ₁ , gdzie

${\ Displaystyle F (g) = \ int _ {K} \ int _ {K} f (kgk ^ {\ prime}) \ dk \ dk ^ {\ prime}}$

jest K- dwuwariantową funkcją ciągłą podpory zwartej otrzymanej przez uśrednienie f przez K po obu stronach.

Zatem komutant π jest generowany przez ograniczenie operatorów ρ( F ) z F w C _c ( K \ G / K ), K - biniezmienniczych funkcji ciągłych zwartego podparcia na G .

Funkcje te tworzą * algebrę pod splotem z inwolucją

${\ Displaystyle F ^ {*} (g) = {\ nadkreślenie {F (g ^ {-1})}}}$

często nazywana algebrą Heckego dla pary ( G , K ).

Niech ( K \ G / K ) oznacza C * Algebra wygenerowane przez operatora p ( F ) o H ₁ .

O parze ( G , K ) mówimy, że jest parą Gelfanda, jeśli jedna, a zatem wszystkie z następujących algebr są przemienne :

• ${\ Displaystyle \ pi (G) ^ {\ prime}}$
• ${\ Displaystyle C_ {c} (K \ ukośnik odwrotny G / K)}$
• ${\ Displaystyle A (K \ ukośnik odwrotny G / K).}$

Od ( K \ G / K ) jest przemienne C * Algebra przez Gelfand-Naimark twierdzenie , że ma postać C ₀ ( X ), gdzie X jest lokalnie zwarta z normą ciągły * homomorfizmów z A ( K \ G / K ) do C .

Konkretną realizację * homomorfizmów w X jako K- biniezmienniczych jednostajnie ograniczonych funkcji na G otrzymuje się w następujący sposób.

Ze względu na szacunek

${\ Displaystyle \ | \ pi (F) \ | \ leq \ int _ {G} | F (g) | \, dg \ równoważne \ | F \ | _ {1},}$

π reprezentacja C _C ( K \ G / K ) w A ( K \ G / K ) biegnie przez ciągłość L ¹ ( K \ G / K ), przy czym * Algebra z K -biinvariant funkcji zabudowy. Obraz tworzy gęstą * podalgebrę A ( K \ G / K ). Ograniczenie * homomorfizmu χ ciągłego dla operatora norma jest również ciągłe dla normy ||·|| ₁ . Ponieważ podwójna przestrzeń Banacha L ¹ to L ^∞ , wynika z tego, że

${\ Displaystyle \ chi (\ pi (F)) = \ int _ {G} F (g) h (g) \ DG,}$

dla jakiejś unikatowej jednostajnie ograniczonej funkcji K- biniezmienniczej h na G . Te funkcje h są dokładnie strefowymi funkcjami sferycznymi dla pary ( G , K ).

Nieruchomości

Strefowa funkcja sferyczna h ma następujące właściwości:

1. h jest jednostajnie ciągła na G
2. ${\ Displaystyle h (x) h (y) = \ int _ {K} h (xky) \ dk \, \ (x, y \ w g).}$
3. h (1) =1 (normalizacja)
4. h jest dodatnio określoną funkcją na G
5. f * h jest proporcjonalne do h dla wszystkich f w C _c ( K \ G / K ).

Są to proste konsekwencje faktu, że ograniczony funkcjonał liniowy określony przez h jest homomorfizmem. Właściwości 2, 3 i 4 lub właściwości 3, 4 i 5 charakteryzują strefowe funkcje sferyczne. Bardziej ogólną klasę strefowych funkcji sferycznych można uzyskać, porzucając dodatnią określoność z warunków, ale dla tych funkcji nie ma już żadnego związku z unitarnymi reprezentacjami . Dla półprostych grup Liego istnieje dalsza charakterystyka jako funkcje własne niezmiennych operatorów różniczkowych na G / K (patrz poniżej).

W rzeczywistości, jako szczególny przypadek konstrukcji Gelfand-Naimark-Segal , istnieje jeden jeden związek między nieredukowalnymi reprezentacjami σ G o wektorze jednostkowym v ustalonym przez K i strefowymi funkcjami sferycznymi h podanymi przez

${\ Displaystyle h (g) = (\ sigma (g) v, v).}$

Takie nieredukowalne reprezentacje są często opisywane jako posiadające pierwszą klasę . Są to dokładnie nieredukowalne reprezentacje wymagane do rozłożenia indukowanej reprezentacji π na H ₁ . Każda reprezentacja σ rozciąga się jednoznacznie przez ciągłość do A ( K \ G / K ), tak że każda funkcja sferyczna strefowa spełnia

${\ Displaystyle \ lewo | \ int _ {G} f (g) h (g) \ dg \ prawo | \ leq \ | \ pi (f) \ |}$

dla f w A ( K \ G / K ). Ponadto, ponieważ przemienna π( G )' jest przemienna, istnieje unikalna miara prawdopodobieństwa μ na przestrzeni * homomorfizmów X taka, że

${\ Displaystyle \ int _ {G} | f (g) | ^ {2} \ dg = \ int _ {X} | \ chi (\ pi (f)) | ^ {2} \ d \ mu ( \chi ).}$

μ nazywa się miarą Plancherela . Ponieważ π( G )' jest centrum algebry von Neumanna generowanej przez G , daje również miarę związaną z bezpośrednim całkowitym rozkładem H ₁ w kategoriach nieredukowalnych reprezentacji σ _χ .

Pary Gelfand

Jeśli G jest połączona grupa Lie , a następnie, dzięki pracy Cartan , Malcev , Iwasawa i Chevalley , G ma maksymalny kompaktowy podgrupę , niepowtarzalny nawet do koniugacji. W tym przypadku K jest połączone i iloraz G / K jest dyfeomorficzny z przestrzenią euklidesową. Gdy G jest dodatkowo półproste , można to zobaczyć bezpośrednio za pomocą rozkładu Cartana związanego z symetryczną przestrzenią G / K , uogólnienia polarnego rozkładu macierzy odwracalnych. Rzeczywiście, jeśli τ jest powiązanym okresem dwóch automorfizmów G z podgrupą punktu stałego K , to

${\ Displaystyle G = P \ cdot K}$

gdzie

${\ Displaystyle P = \ {g \ w G | \ tau (g) ​​= g ^ {-1} \}.}$

Pod mapą wykładniczą , P jest dyfeomorficzne z -1 przestrzenią własną τ w algebrze Liego z G . Ponieważ τ zachowuje K , indukuje automorfizm algebry Heckego C _c ( K \ G / K ). Z drugiej strony, jeśli F leży w C _c ( K \ G / K ), to

F (τ g ) = C ( g ^-1 )

więc τ indukuje anty-automorfizm, ponieważ inwersja tak. Stąd, gdy G jest półproste,

• algebra Heckego jest przemienna
• ( G , K ) to para Gelfanda.

Ogólnie rzecz biorąc, ten sam argument podaje następujące kryterium Gelfanda dla ( G , K ) jako pary Gelfand:

• G jest jednomodułową lokalnie zwartą grupą;
• K jest zwartą podgrupą powstającą jako punkty stałe okresu drugiego automorfizmu τ z G ;
• G = K · P (niekoniecznie produkt bezpośredni), gdzie P jest zdefiniowane jak powyżej.

Dwa najważniejsze przykłady omówione w tym przypadku to:

• G jest zwartą spójną półprostą grupą Liego z τ okresem dwa automorfizm;
• G jest produktem półbezpośrednim , z A lokalnie zwartą grupą abelową bez 2-skręcania i τ( a · k )= k · a ⁻¹ dla a w A i k w K .${\displaystyle A\rrazy K}$

Te trzy przypadki obejmują trzy typy przestrzeni symetrycznych G / K :

1. Typ niezwarty , gdy K jest maksymalnie zwartą podgrupą niezwartej rzeczywistej półprostej grupy Liego G ;
2. Typ zwarty , gdzie K jest podgrupą punktu stałego okresu dwa automorfizm zwartej półprostej grupy Liego G ;
3. Typ euklidesowy , gdy A jest skończenie wymiarową przestrzenią euklidesową z ortogonalnym działaniem K .

Twierdzenie Cartana-Helgasona

Niech G będzie zwartą spójną półprosto spójną i po prostu spójną grupą Liego , a τ okresem dwa automorfizm a G z podgrupą punktu stałego K = G ^τ . W tym przypadku K jest połączoną zwartą grupą Liego. Ponadto pozwalają T być torusa ilość od G niezmiennikami τ tak, że T P jest torusa maksymalne u P i zestaw ${\ Displaystyle \ czapka}$

${\ Displaystyle S = K \ czapka T = T ^ {\ tau}.}$

S jest bezpośrednim iloczynem torusa i elementarnej 2-grupy abelowej .

W 1929 Elie Cartana znaleźć reguła określania rozkładu L ² ( G / K ) do bezpośredniego sumy ograniczonej trójwymiarowy nieredukowalnych reprezentacji z G , na co wskazują jedynie ściśle w 1970 roku przez Sigurdur Helgason . Ponieważ przemienny G na L ² ( G / K ) jest przemienny, każda nieredukowalna reprezentacja pojawia się z wielokrotnością jeden. Dzięki wzajemności Frobeniusa dla grup zwartych, nieredukowalne reprezentacje V, które występują, są dokładnie tymi, które dopuszczają niezerowy wektor ustalony przez K .

Z teorii reprezentacji zwartych grup półprostych , nieredukowalne reprezentacje G są klasyfikowane według ich największej wagi . Jest to określone przez homomorfizm maksymalnego torusa T w T .

Twierdzenie Cartana-Helgasona stwierdza, że

nieredukowalne reprezentacje G dopuszczające niezerowy wektor ustalony przez K są dokładnie tymi o najwyższych wagach odpowiadających trywialnym homomorfizmom na S .

Odpowiadające im reprezentacje nieredukowalne nazywane są reprezentacjami sferycznymi .

Twierdzenie to można udowodnić za pomocą rozkładu Iwasawy :

${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {k}} \ oplus {\ mathfrak {a}} \ oplus {\ mathfrak {n}},}$

w której , , są complexifications tych algebrach Lie z G , K , A = T, P i ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\ Displaystyle \ czapka}$

${\displaystyle {\mathfrak {n}}=\bigoplus {\mathfrak {g}}_{\alfa}}$

sumowane po wszystkich przestrzeniach własnych dla T w odpowiadających pierwiastkom dodatnim α nieustalonym przez τ. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Niech V będzie reprezentacją sferyczną o największym wektorze wagowym v ₀ i K- stałym wektorze v _K . Ponieważ v ₀ jest wektorem własnym rozwiązywalnej algebry Liego , twierdzenie Poincaré-Birkhoffa-Witta implikuje, że moduł K generowany przez v ₀ jest całością V . Jeśli Q jest rzutem ortogonalnym na stałe punkty K w V uzyskanym przez uśrednienie po G względem miary Haara , wynika z tego, że ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle \displaystyle {v_{K}=cQv_{0}}}$

dla pewnej niezerowej stałej c . Ponieważ v _K jest ustalone przez S i v ₀ jest wektorem własnym dla S , podgrupa S musi faktycznie ustalić v ₀ , równoważną formę warunku trywialności na S .

I odwrotnie, jeśli v ₀ jest ustalone przez S , to można wykazać, że współczynnik macierzy

${\displaystyle \displaystyle {f(g)=(gv_{0},v_{0})}}$

jest nieujemna na K . Ponieważ f (1) > 0, wynika z tego, że ( Qv ₀ , v ₀ ) > 0, a zatem Qv ₀ jest niezerowym wektorem ustalonym przez K .

Wzór Harisha-Chandry

Jeśli G jest niezwartą półprostą grupą Liego, jej maksymalna zwarta podgrupa K działa przez koniugację na składnik P w rozkładzie Cartana . Jeśli jest ilość abelową podgrupa G zawarte w P , a następnie jest diffeomorphic jego Lie Algebra pod wykładnicze mapie , a jako dalsze uogólnienie w polarnym rozkładem macierzy każdy element P koniuguje pod K do elementu , tak że

G = KAK .

Istnieje również związany z nim rozkład Iwasawy

G = KAN ,

gdzie N jest zamkniętą nilpotentną podgrupą, dyfeomorficzną z jej algebrą Liego pod mapą wykładniczą i znormalizowaną przez A . Tak więc S = jest zamknięty rozpuszczalny podgrupy z G , w iloczynów produktu o N o A , i G = KS .

Jeśli α w Hom ( A , T ) jest znak z A , następnie α rozciąga się na znaku S , przez określenie to być banalne w N . Istnieje odpowiednia, indukowana unitarna reprezentacja σ G na L ² ( G / S ) = L ² ( K ), tak zwana (sferyczna) reprezentacja szeregu głównego .

Reprezentację tę można wyraźnie opisać w następujący sposób. W przeciwieństwie do G i K , rozwiązywalna grupa Liego S nie jest jednomodułowa. Niech dx oznaczają lewo miara niezmiennicza Haar na S i Δ _S modułowy funkcja od S . Następnie

${\ Displaystyle \ int _ {G} f (g) \, dg = \ int _ {S} \ int _ {K} f (x \ cdot k) \ dx \ dk = \ int _ {S} \ int _{K}f(k\cdot x)\Delta _{S}(x)\,dx\,dk.}$

Reprezentacja szeregów głównych σ jest realizowana na L ² ( K ) as

${\ Displaystyle (\ sigma (g) \ xi ) (k) = \ alfa ^ {\ prime} (g ^ {-1} k) ^ {-1} \ \ xi (U (g ^ {-1}) k))),}$

gdzie

${\ Displaystyle g = U (g) \ cdot X (g)}$

jest rozkładem g Iwasawa z U ( g ) w K i X ( g ) w S i

${\ Displaystyle \ alfa ^ {\ prime} (kx) = \ Delta _ {S} (x) ^ {1/2} \ alfa (x)}$

dla k w K i x w S .

Reprezentacja σ jest nieredukowalna, więc jeśli v oznacza stałą funkcję 1 na K , ustaloną przez K ,

${\ Displaystyle \ varphi _ {\ alfa} (g) = (\ sigma (g) v, v)}$

definiuje strefową funkcję sferyczną G .

Obliczenie iloczynu skalarnego powyżej prowadzi do wzoru Harisha-Chandry na strefową funkcję sferyczną

${\ Displaystyle \ varphi _ {\ alfa} (g) = \ int _ {K} \ alfa ^ {\ prime} (gk) ^ {-1} \ dk}$

jako całka po K .

Harish-Chandra udowodnił, że te strefowe funkcje sferyczne wyczerpują znaki algebry C* generowanej przez C _c ( K \ G / K ) działającą przez prawe sploty na L ² ( G / K ). On również wykazali, że dwa różne postacie α i β takiej samej funkcji strefowe sferyczny tylko wtedy, gdy α = β · a , gdzie a mieści się w grupie Weyl z A

${\ Displaystyle W (A) = N_ {K} (A) / C_ {K} (A)}$

iloraz normaliser z A w K przez jego centralizatorem , a grupy odbicia skończonych .

Można również bezpośrednio zweryfikować, że ten wzór definiuje strefową funkcję sferyczną, bez korzystania z teorii reprezentacji. Dowód dla ogólnych półprostych grup Liego, że każda strefowa formuła sferyczna powstaje w ten sposób, wymaga szczegółowego zbadania G - niezmiennych operatorów różniczkowych na G / K i ich równoczesnych funkcji własnych (patrz poniżej). W przypadku złożonych grup półprostych Harish-Chandra i Felix Berezin niezależnie zdali sobie sprawę, że wzór znacznie się uprościł i można go udowodnić w sposób bardziej bezpośredni.

Pozostałe dodatnio określone funkcje sferyczne strefowe są podane przez wzór Harisha-Chandry z α w Hom( A , C *) zamiast Hom ( A , T ). Dozwolone są tylko pewne a, a odpowiadające im nieredukowalne reprezentacje powstają jako analityczne kontynuacje sferycznego szeregu głównego. Ta tak zwana „ seria komplementarna ” została po raz pierwszy zbadana przez Bargmanna (1947) dla G = SL(2, R ) oraz przez Harish-Chandra (1947) oraz Gelfanda i Naimark (1947) dla G = SL(2, C ). Następnie, w latach sześćdziesiątych, Ray Kunze, Elias Stein i Bertram Kostant systematycznie rozwijali konstrukcję serii komplementarnej przez analityczną kontynuację sferycznej serii głównej dla ogólnych półprostych grup Liego . Ponieważ te nieredukowalne reprezentacje nie są hartowane , zwykle nie są wymagane do analizy harmonicznej na G (lub G / K ).

Funkcje własne

Harish-Chandra udowodnił, że strefowe funkcje sferyczne można scharakteryzować jako te znormalizowane dodatnio określone K- niezmiennicze funkcje na G / K, które są funkcjami własnymi D ( G / K ), algebry niezmienniczych operatorów różniczkowych na G . Ta algebra działa na G / K i łączy się z naturalnym działaniem G przez tłumaczenie lewe. To może być utożsamiany z podalgebrą uniwersalnego otaczającej algebry z G stacjonarnej pod działaniem sprzężonego z K . Jeśli chodzi o przemienną G na L ² ( G / K ) i odpowiednią algebrę Hecke , ta algebra operatorów jest przemienna ; w rzeczywistości jest to podalgebra algebry operatorów mierzalnych związanych z przemienną π( G )', algebrą Abeliana von Neumanna. Jak udowodnił Harish-Chandra, jest ona izomorficzna z algebrą wielomianów W ( A )-niezmienniczych na algebrze Liego A , która sama jest pierścieniem wielomianowym według twierdzenia Chevalleya-Shepharda-Todda o wielomianowych niezmiennikach skończonych grup odbicia . Najprostszym niezmienniczym operatorem różniczkowym na G / K jest operator Laplace'a ; do znaku ten operator jest tylko obrazem pod π operatora Casimira w centrum uniwersalnej algebry obwiedni G .

Zatem znormalizowana dodatnio określona K- dwuwariantna funkcja f na G jest strefową funkcją sferyczną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego D w D ( G / K ) istnieje stała λ _D taka, że

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ pi (D) f = \ lambda _ {D} f}$

tj. f jest jednoczesną funkcją własną operatorów π( D ).

Jeśli ψ jest strefową funkcją sferyczną, to uważana za funkcję na G / K , jest funkcją własną Laplace'a, eliptycznego operatora różniczkowego o rzeczywistych współczynnikach analitycznych . Przez analityczną regularność eliptyczną ψ jest rzeczywistą funkcją analityczną na G / K , a więc G .

Harish-Chandra wykorzystał te fakty dotyczące struktury operatorów niezmienniczych, aby udowodnić, że jego wzór dał wszystkie strefowe funkcje sferyczne dla rzeczywistych półprostych grup Liego. Rzeczywiście, przemienność przemiennego implikuje, że wszystkie jednoczesne przestrzenie własne algebry niezmienniczych operatorów różniczkowych mają wymiar jeden; a wielomianowa struktura tej algebry wymusza, aby równoczesne wartości własne były dokładnie tymi, które są już powiązane ze wzorem Harisha-Chandry.

Przykład: SL(2,C)

Grupa G = SL (2 C ) jest complexification w zwartej grupie Lie K = su (2) i podwójną osłoną z grupy Lorentza . Nieskończenie wymiarowe reprezentacje grupy Lorentza zostały po raz pierwszy zbadane przez Diraca w 1945 roku, który rozważył reprezentacje serii dyskretnych , które nazwał ekspansorami . Niedługo potem systematyczne badanie podjęli Harish-Chandra, Gelfand-Naimark i Bargmann. Nieredukowalne reprezentacje klasy pierwszej, odpowiadające strefowym funkcjom sferycznym, można łatwo wyznaczyć za pomocą promieniowej składowej operatora Laplace'a .

Rzeczywiście, każda jednomodułowa złożona macierz g 2×2 dopuszcza unikalny rozkład biegunowy g = pv z v unitarnym i p dodatnim. Z kolei p = uau * o u jednolity i macierzą diagonalną pozytywne pozycji. Zatem g = uaw z w = u * v , tak że dowolna funkcja K- dwuniezmiennicza na G odpowiada funkcji macierzy diagonalnej

${\ Displaystyle a = {\ zacząć {pmatrix} e ^ {r/2} i 0 \ \ 0 i e ^ {-r/2} \ koniec {pmatrix}}},}$

niezmiennik w ramach grupy Weyl. Identyfikując G / K z hiperboliczną przestrzenią 3, strefowe funkcje hiperboliczne ψ odpowiadają funkcjom radialnym, które są funkcjami własnymi Laplace'a. Ale w odniesieniu do współrzędnej promieniowej r , Laplace'a jest dany przez

${\ Displaystyle L = - \ częściowy _ {r} ^ {2} -2 \ coth r \ częściowy _ {r}.}$

Ustawienie f ( r ) = sinh ( R ) · ψ ( r ), wynika, że K jest funkcją nieparzystą w R i funkcją własną . ${\ Displaystyle \ częściowe _ {r} ^ {2}}$

Stąd

${\ Displaystyle \ varphi (r) = {\ sin (\ ell r) \ ponad \ ell \ sinh r}}$

gdzie jest prawdziwe. ${\displaystyle \ell}$

Podobne elementarne traktowanie uogólnionych grup Lorentza SO( N ,1) znajdujemy w Takahashi (1963) oraz Faraut i Korányi (1994) (przypomnijmy, że SO ⁰ (3,1) = SL(2, C ) / ±I) .

Złożona sprawa

Jeśli G jest złożoną półprostą grupą Liego, jest to kompleksowość jej maksymalnie zwartej podgrupy K . Jeśli i są ich algebrami Liego, to ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {k}} \ oplus ja {\ mathfrak {k}}.}$

Niech T będzie torusem maksymalnym w K z algebrą Liego . Następnie ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

${\displaystyle A=\exp i{\mathfrak {t}},\,\,p=\exp i{\mathfrak {k}}.}$

Pozwolić

${\ Displaystyle W = N_ {K} (T) / T}$

być grupą Weyl z T w K . Znaki odwołania w Hom( T , T ) nazywane są wagami i można je utożsamiać z elementami siatki wagowej Λ w Hom( , R ) = . W wagach występuje naturalne uporządkowanie i każda nieredukowalna reprezentacja skończenie wymiarowa (π, V ) K ma unikalną najwyższą wagę λ. Masy do reprezentacji sprzężonego z K na zwane korzenie ρ jest używany do określania pół sumę dodatnich korzeni a, wzór w postaci Weyl stwierdza, że dla Z = exp X w T${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {t}} ^ {*}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}\ominus {\mathfrak {t}}}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ chi _ {\ lambda} (e ^ {X}) \ równoważnik {\ rm {Tr}} \ \ pi (z) = A_ {\ lambda + \ rho} (e ^ {X} )/A_{\rho }(e^{X}),}$

gdzie dla μ w , A _μ oznacza antysymetryzację ${\ Displaystyle {\ mathfrak {t}} ^ {*}}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle A_ {\ mu} (e ^ {X}) = \ suma _ {s \ w W} \ varepsilon (s) e ^ {i \ mu (sX)}}}$

i ε oznacza znak znak o skończonej grupy refleksji W .

Wzór mianownikowy Weyla wyraża mianownik A _ρ jako iloczyn:

${\ Displaystyle \ Displaystyle A_ {\ rho} (e ^ {X}) = e ^ {i \ rho (X)} \ prod _ {\ alfa > 0} (1-e ^ {-i \ alfa (X) }),}$

gdzie produkt znajduje się nad pozytywnymi korzeniami.

Formuła wymiaru Weyla zapewnia, że

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ chi _ {\ lambda} (1) \ równoważnik {\ rm {słabe}} \ V = {\ prod _ {\ alfa > 0} (\ lambda + \ rho, \ alfa) \ ponad \prod _{\alpha >0}(\rho ,\alpha )}.}$

gdzie produkt wewnętrzny włączony jest związany z formą zabijania na . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {t}} ^ {*}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

Ale już

• każda nieredukowalna reprezentacja K rozciąga się holomorficznie do złożoności G
• każdy nieredukowalny znak χ _λ ( k ) K rozciąga się holomorficznie do złożoności K i .${\ Displaystyle {\ mathfrak {t}} ^ {*}}$
• dla każdego λ w Hom( A , T ) = , istnieje strefowa funkcja sferyczna φ _λ .${\ Displaystyle ja {\ mathfrak {t}} ^ {*}}$

Wzór Berezin-Harish-Chandra stwierdza, że dla X w${\displaystyle ja{\mathfrak {t}}}$

${\ Displaystyle \ varphi _ {\ lambda} (e ^ {X}) = {\ chi _ {\ lambda} (e ^ {X}) \ ponad \ chi _ {\ lambda} (1)}.}$

Innymi słowy:

• strefowe funkcje sferyczne na złożonej półprostej grupie Liego są podane przez analityczną kontynuację wzoru na znaki znormalizowane.

Jednym z najprostszych dowodów tego wzoru polega na składową promieniową na A w Laplace'a na G , dowód formalnie równolegle do przeróbki Helgason dnia Freudenthal jest klasycznym dowód wzorze postaci Weyl stosując składową promieniową na T w Laplace'a na K .

W tym ostatnim przypadku funkcje klasowe na K można utożsamić z funkcjami W- niezmienniczymi na T . Składowa radialna Δ _K na T jest tylko wyrażeniem na ograniczenie Δ _K do W - funkcji niezmiennych na T , gdzie jest wyrażona wzorem

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ Delta _ {K} = h ^ {-1} \ circ \ Delta _ {T} \ circ h + \ | \ rho \ | ^ {2},}$

gdzie

${\ Displaystyle \ Displaystyle h (e ^ {X}) = A_ {\ rho} (e ^ {X})}$

dla X w . Jeśli χ jest znakiem o największej wadze λ, to φ = h ·χ spełnia ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

${\ Displaystyle \ Delta _ {T} \ varphi = (\ | \ lambda + \ rho \ | ^ {2} - \ | \ rho \ | ^ {2}) \ varphi.}$

Zatem dla każdej wagi μ o niezerowym współczynniku Fouriera w φ,

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ | \ lambda + \ rho \ | ^ {2} = \ | \ mu + \ rho \ | ^ {2}.}$

Klasyczny argument Freudenthala pokazuje, że μ + ρ muszą mieć formę s (λ + ρ) dla niektórych s w W , więc wzór znaku wynika z antysymetrii φ.

Podobnie funkcje K- biniezmiennicze na G można utożsamić z funkcjami W ( A )-niezmienniczymi na A . Składowa radialna Δ _G na A jest tylko wyrażeniem na ograniczenie funkcji Δ _G do W ( A )-niezmiennych na A . Daje to wzór

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ Delta _ {G} = H ^ {-1} \ circ \ Delta _ {A} \ circ H- \ | \ rho \ | ^ {2}}$

gdzie

${\ Displaystyle \ Displaystyle H (e ^ {X}) = A_ {\ rho} (e ^ {X})}$

dla X w . ${\displaystyle ja{\mathfrak {t}}}$

Wzór Berezina-Harisha-Chandra dla strefowej funkcji sferycznej φ można ustalić wprowadzając funkcję antysymetryczną

${\displaystyle \displaystyle f=H\cdot \varphi,}$

która jest funkcją własną Laplace'a Δ _A . Ponieważ K jest generowane przez kopie podgrup, które są homomorficznymi obrazami SU(2) odpowiadającymi prostym pierwiastkom , jego złożoność G jest generowana przez odpowiadające homomorficzne obrazy SL(2, C ). Wzór na strefowe funkcje sferyczne SL(2, C ) implikuje, że f jest funkcją okresową na pewnej podsieci . Antysymetria w grupie Weyla i argument Freudenthala ponownie sugerują, że ψ musi mieć określoną postać aż do stałej multiplikatywnej, którą można określić za pomocą wzoru na wymiar Weyla. ${\displaystyle ja{\mathfrak {t}}}$

Przykład: SL(2,R)

Teoria strefowych funkcji sferycznych dla SL(2, R ) powstała w pracy Mehlera w 1881 roku na temat geometrii hiperbolicznej. Odkrył analogię twierdzenia Plancherela, które zostało ponownie odkryte przez Focka w 1943. Odpowiednie rozwinięcie funkcji własnej nazywa się transformacją Mehlera-Focka . Już w 1910 r. postawił ją na solidnej podstawie w ważnej pracy Hermanna Weyla na temat spektralnej teorii równań różniczkowych zwyczajnych . Promieniowa część laplace'a prowadzi w tym przypadku do hipergeometrycznego równania różniczkowego , którego teorię szczegółowo omówił Weyl. Podejście Weyla zostało następnie uogólnione przez Harisha-Chandrę do badania strefowych funkcji sferycznych i odpowiedniego twierdzenia Plancherela dla bardziej ogólnych półprostych grup Liego. Po pracach Diraca nad reprezentacjami serii dyskretnych SL(2, R ), ogólna teoria unitarnych nieredukowalnych reprezentacji SL(2, R ) została opracowana niezależnie przez Bargmanna, Harisha-Chandrę i Gelfanda-Naimarka. Nieredukowalne reprezentacje klasy pierwszej lub równoważnie teoria strefowych funkcji sferycznych stanowią ważny przypadek szczególny tej teorii.

Grupa G = SL (2, R ) jest podwójna osłona na 3-wymiarowym grup Lorentz SO (2,1), przy czym grupa symetrii o hiperbolicznej płaszczyźnie z jego Poincare metryki . Działa poprzez transformacje Möbiusa . Górna półpłaszczyzna może być identyfikowana z dyskiem jednostkowym przez transformatę Cayleya . W ramach tej identyfikacji G utożsamia się z grupą SU(1,1), również działającą przez przekształcenia Möbiusa. Ponieważ akcja jest przechodnia , obie przestrzenie można zidentyfikować za pomocą G / K , gdzie K = SO(2) . Metryka jest niezmienna pod G, a związany z nią Laplacian jest G -niezmienniczy, co pokrywa się z obrazem operatora Casimira . W modelu górnej półpłaszczyzny Laplace'a dana jest wzorem

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ Delta = -4 Y ^ {2} (\ częściowe _ {x} ^ {2} + \ częściowe _ {y} ^ {2}).}$

Jeśli s jest liczbą zespoloną i z = x + iy z y > 0, funkcja

${\ Displaystyle \ Displaystyle f_ {s} (z) = ^ {s} = \ exp ({s} \ cdot \ log y)}$

jest funkcją własną Δ:

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ Delta f_ {s} = 4s (1-s) f_ {s}.}$

Ponieważ Δ komutuje z G , każde lewe tłumaczenie f _s jest również funkcją własną o tej samej wartości własnej. W szczególności, uśredniając K , funkcja

${\ Displaystyle \ varphi _ {s} (z) = \ int _ {K} f_ {s} (k \ cdot z) \ dk}$

jest K -niezmienną funkcją własną Δ na G / K . Kiedy

${\ Displaystyle \ Displaystyle s = {1 \ ponad 2} + ja \ tau,}$

z τ rzeczywistym, te funkcje dają wszystkie strefowe funkcje sferyczne na G . Podobnie jak w przypadku bardziej ogólnym Harish-Chandra za półprosty grup Lie φ _s znaczy strefowego kulisty funkcję, ponieważ współczynnik matrycy odpowiadające wyznaczonym przez wektor K w głównym cyklu . Dostępne są różne argumenty, aby udowodnić, że nie ma innych. Jednym z najprostszych klasycznych argumentów algebraicznych Liego jest zauważenie, że ponieważ Δ jest operatorem eliptycznym ze współczynnikami analitycznymi, dzięki analitycznej regularności eliptycznej każda funkcja własna jest z konieczności realną analityczną. Stąd, jeśli strefowa funkcja sferyczna odpowiada współczynnikowi macierzy dla wektora v i reprezentacji σ, wektor v jest wektorem analitycznym dla G i

${\ Displaystyle \ Displaystyle (\ sigma (e ^ {X}) v, v) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} (\ sigma (X) ^ {n} v, v) / n! }$

dla X w . Nieskończenie mała postać nieredukowalnych reprezentacji unitarnych z wektorem ustalonym przez K została opracowana klasycznie przez Bargmanna. Odpowiadają one dokładnie głównemu szeregowi SL(2, R ). Wynika z tego, że strefowa funkcja sferyczna odpowiada głównej reprezentacji szeregu. ${\displaystyle ja{\mathfrak {t}}}$

Inny klasyczny argument opiera się na wykazaniu, że na funkcjach radialnych Laplace'a ma postać

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ Delta = - \ częściowy _ {r} ^ {2} - \ coth (r) \ cdot \ częściowy _ {r}}$

tak, że w funkcji r funkcja sferyczna ( r ) musi spełniać równanie różniczkowe zwyczajne

${\displaystyle \displaystyle \varphi ^{\prim \prime}+\coth r\,\varphi ^{\prime}=\alfa \,\varphi}$

dla pewnej stałej α. Zmiana zmiennych t = sinh r przekształca to równanie w hipergeometryczne równanie różniczkowe . Ogólne rozwiązanie w zakresie funkcji Legendre'a o indeksie zespolonym jest podane przez

${\ Displaystyle \ varphi (r) = P_ {\ rho} (\ cosh r) = {1 \ ponad 2 \ pi} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} (\ cosh r + \ sinh r \, \ cos \theta )^{\rho }\,d\theta ,}$

gdzie α = ρ(ρ+1). Dalsze ograniczenia na ρ są nakładane przez ograniczoność i dodatnio-określoność strefowej funkcji sferycznej na G .

Istnieje jeszcze inne podejście, autorstwa Mogensa Flensted-Jensena, które wyprowadza własności strefowych funkcji sferycznych na SL(2, R ), w tym wzór Plancherela, z odpowiednich wyników dla SL(2, C ), które są proste konsekwencje wzoru Plancherela i wzoru inwersji Fouriera dla R . Ta „metoda zejścia” działa bardziej ogólnie, pozwalając na wyprowadzenie przez zejście rzeczywistej półprostej grupy Liego z odpowiednich wyników jej złożoności.

Dalsze wskazówki

• Teoria funkcji strefowych, które niekoniecznie są dodatnio określone. Są one podane za pomocą tych samych wzorów, co powyżej, ale bez ograniczeń dotyczących złożonego parametru s lub ρ. Odpowiadają one reprezentacjom niejednostkowym.
• Rozszerzanie i odwracanie funkcji własnych Harisha-Chandry dla funkcji sferycznych . Jest to ważny szczególny przypadek jego twierdzenia Plancherela dla rzeczywistych półprostych grup Liego.
• Struktura algebry Heckego . Harish-Chandra i Godement udowodnili, że jako algebry splotów istnieją naturalne izomorfizmy między C _c ^∞ ( K \ G / K ) a C _c ^∞ ( A ) ^W , niezmiennikiem podalgebry w grupie Weyla. Jest to proste do ustalenia dla SL(2, R ).
• Funkcje sferyczne dla grup ruchu euklidesowego i zwartych grup Liego .
• Funkcje sferyczne dla p-adycznych grup Liego . Zostały one dogłębnie zbadane przez Satake i Macdonalda . Ich badania, a także związane z nimi algebry Heckego, były jednym z pierwszych kroków w rozległej teorii reprezentacji półprostych p-adycznych grup Liego, kluczowego elementu programu Langlandsa .

Zobacz też

• Twierdzenie Plancherela dla funkcji sferycznych
• Algebra Heckego grupy lokalnie zwartej
• Reprezentacje grup Liego
• Nieprzemienna analiza harmoniczna
• Reprezentacja hartowana
• Dodatnia określona funkcja na grupie
• Przestrzeń symetryczna
• Para Gelfand

Uwagi

Cytaty

Źródła

Zewnętrzne linki

• Casselman, William, Uwagi dotyczące funkcji sferycznych (PDF)