Rozpiętość liniowa - Linear span
W matematyce The rozpiętość liniowego (zwany również kadłuba liniowy lub po prostu okres ) o zadanej S z wektora (z przestrzeni wektorowej ), oznaczoną rozpiętości ( S ) jest najmniejszym liniowej podprzestrzeni , która zawiera zestaw. To może być scharakteryzowany zarówno jako przecięcia wszystkich podzbiorów liniowych zawierających S , lub jako zestaw liniowych kombinacji z elementami S . Liniowa rozpiętość zbioru wektorów jest zatem przestrzenią wektorową. Rozpiętości można uogólnić na matroidy i moduły .
Aby wyrazić, że przestrzeń wektorowa V jest rozpiętością zbioru S , powszechnie używa się następujących wyrażeń: S rozpina V ; S generuje V ; V jest rozpięty przez S ; V jest generowane przez S ; S jest obejmujących zestaw z V ; S jest zespół prądotwórczy z V .
Definicja
Ze względu na przestrzeń wektorową V na polu K , rozpiętość w zestawie S wektorów (niekoniecznie nieskończoność) określa się jako punkt przecięcia W wszystkich podzbiorów o V zawierających S . W jest dalej podprzestrzeń łączone przez S , lub przez wektory w S . Odwrotnie, S nazywa się rozciągający zestaw z W , a to znaczy, że S przęsła biała .
Alternatywnie, rozpiętość S można zdefiniować jako zbiór wszystkich skończonych liniowych kombinacji elementów (wektorów) S , co wynika z powyższej definicji.
W przypadku nieskończonego S nieskończone kombinacje liniowe (tj. Gdy kombinacja może obejmować nieskończoną sumę, przy założeniu, że takie sumy są zdefiniowane jak, powiedzmy, w przestrzeni Banacha ) są wykluczone z definicji; uogólnienie , które pozwala ci nie odpowiada.
Przykłady
Rzeczywisty wektor przestrzeń R 3 ma {(1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1)} jako zespół rozciągający. Ten konkretny zestaw rozpinający jest również podstawą . Jeśli (1, 0, 0), zostały zastąpione przez (1, 0, 0), to również stanowić kanoniczną podstawę z R 3 .
Inny zestaw obejmujące w tej samej przestrzeni jest przez {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (1, 1 / 2 , 3), (1, 1, 1)}, ale zbiór nie jest podstawą, ponieważ jest liniowo zależny .
Zbiór {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)} nie jest zbiorem rozpinającym R 3 , ponieważ jego rozpiętość jest przestrzenią wszystkich wektorów w R 3, których ostatni składnik ma wartość zero. Ta przestrzeń jest również rozpięta przez zbiór {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}, ponieważ (1, 1, 0) jest liniową kombinacją (1, 0, 0) i (0, 1, 0). Rozciąga się jednak na R 2 (gdy jest interpretowany jako podzbiór R 3 ).
Zbiór pusty jest zbiorem obejmującym {(0, 0, 0)}, ponieważ zbiór pusty jest podzbiorem wszystkich możliwych przestrzeni wektorowych w R 3 , a {(0, 0, 0)} jest przecięciem wszystkich te przestrzenie wektorowe.
Zbiór funkcji x n, gdzie n jest nieujemną liczbą całkowitą, obejmuje przestrzeń wielomianów.
Twierdzenia
Twierdzenie 1: Podprzestrzeń łączone przez niepusty podzbiór S w przestrzeni wektor V jest zbiorem wszystkich kombinacji liniowych wektorów w S .
To twierdzenie jest tak dobrze znane, że czasami nazywa się je definicją rozpiętości zbioru.
Twierdzenie 2. Każdy zestaw obejmujące S wektora przestrzeni V musi zawierać co najmniej wielu elementów, jak każdy liniowy niezależny zestaw wektorów z V .
Twierdzenie 3: Niech V będzie skończoną przestrzenią wektorową. Dowolny zbiór wektorów, który rozpina V, można zredukować do podstawy dla V , odrzucając wektory, jeśli to konieczne (tj. Jeśli w zbiorze są liniowo zależne wektory). Jeśli aksjomat wyboru jest spełniony, jest to prawdą bez założenia, że V ma skończony wymiar.
Wskazuje to również, że podstawą jest minimalny zbiór rozpinający, gdy V ma skończenie wymiarowe.
Uogólnienia
Uogólniając definicję rozpiętości punktów w przestrzeni, podzbiór X zbioru podstawowego matroidu nazywany jest zbiorem rozpinającym , jeśli rząd X jest równy rządowi całego zbioru podstawowego.
Definicję przestrzeni wektorowej można również uogólnić na moduły. Biorąc pod uwagę R -module A oraz zbiór elementów 1 , ..., n z A The modułem z A trwała przez z 1 , ..., n jest sumą modułów cyklicznych
składający się ze wszystkich R -liniowych kombinacji elementów a i . Podobnie jak w przypadku przestrzeni wektorowych, podmoduł A rozpięty przez dowolny podzbiór A jest przecięciem wszystkich podmodułów zawierających ten podzbiór.
Zamknięta rozpiętość liniowa (analiza funkcjonalna)
W analizy funkcjonalnej , zamkniętą liniowy rozpiętość zestawu z wektorami jest minimalna zamknięty zestaw zawierający liniowy zakres tego zestawu.
Załóżmy, że X jest przestrzeń unormowana i daj e być dowolny niepusty podzbiór X . Zamknięty liniowy okres od E , oznaczoną lub jest przecięcia wszystkich zamkniętych podprzestrzeni liniowych X zawierających E .
Jednym z matematycznych sformułowań jest to
Zamknięta rozpiętość liniowa zbioru funkcji x n na przedziale [0, 1], gdzie n jest nieujemną liczbą całkowitą, zależy od zastosowanej normy. Jeśli L 2 normą jest używana, wówczas zamknięty rozpiętość liniowy jest przestrzeń Hilberta w funkcji kwadratu zabudowy w przedziale. Ale jeśli zastosowana zostanie norma maksymalna , zamknięta rozpiętość liniowa będzie przestrzenią funkcji ciągłych w przedziale. W obu przypadkach zamknięty zakres liniowy zawiera funkcje, które nie są wielomianami, a więc nie znajdują się w samym zakresie liniowym. Jednak liczność zbioru funkcji w zamkniętym przęśle liniowym jest licznością kontinuum , która jest tą samą licznością, jak dla zbioru wielomianów.
Uwagi
Liniowa rozpiętość zestawu jest gęsta w zamkniętej liniowej rozpiętości. Ponadto, jak stwierdzono w lemacie poniżej, zamknięta rozpiętość liniowa jest rzeczywiście zamknięciem rozpiętości liniowej.
Zamknięte przęsła liniowe są ważne, gdy mamy do czynienia z zamkniętymi podprzestrzeniami liniowymi (które same w sobie są bardzo ważne, patrz lemat Riesza ).
Przydatny lemat
Niech X będzie unormowanej przestrzeni i niech e być dowolny niepusty podzbiór X . Następnie
- jest zamkniętą liniową podprzestrzenią X, która zawiera E ,
- , a mianowicie. jest zamknięciem ,
(Tak więc zwykłym sposobem znajdowania zamkniętej rozpiętości liniowej jest najpierw znalezienie rozpiętości liniowej, a następnie zamknięcie tej rozpiętości liniowej).
Zobacz też
Cytaty
- ^ Encyklopedia matematyki (2020) . Liniowy kadłub.
- ^ Axler (2015) s. 29-30, §§ 2.5, 2.8
- ^ Math Vault (2021) Operatory związane z przestrzenią wektorową.
- ^ Axler (2015) str. 29, § 2.7
- ^ Hefferon (2020) str. 100, rozdz. 2, Definicja 2.13
- ^ Axler (2015) s. 29-30, §§ 2.5, 2.8
- ^ Roman (2005) str. 41-42
- ^ MathWorld (2021) Rozpiętość przestrzeni wektorowej.
- ^ Roman (2005) str. 96, rozdz. 4
- ^ Lane i Birkhoff (1999) str. 193, rozdz. 6
Źródła
Podręcznik
- Axler, Sheldon Jay (2015). Algebra liniowa Done Right (3rd ed.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0 .
- Hefferon, Jim (2020). Algebra liniowa (4th ed.). Publikowanie ortogonalne. ISBN 978-1-944325-11-4 .
- Lane, Saunders Mac ; Birkhoff, Garrett (1999) [1988]. Algebra (3rd ed.). Wydawnictwo AMS Chelsea . ISBN 978-0821816462 .
- Roman, Steven (2005). Zaawansowana algebra liniowa (2nd ed.). Springer . ISBN 0-387-24766-1 .
- Rynne, Brian P .; Youngson, Martin A. (2008). Liniowa analiza funkcjonalna . Skoczek. ISBN 978-1848000049 .
Sieć
- Lankham, Izajasz; Nachtergaele Bruno ; Schilling, Anne (13 lutego 2010). „Algebra liniowa - jako wprowadzenie do matematyki abstrakcyjnej” (PDF) . Uniwersytet Kalifornijski w Davis . Źródło 27 września 2011 r .
- „Obszerna lista symboli algebry” . Math Vault . Źródło 16 lutego 2021 r .
- Weisstein, Eric Wolfgang . „Rozpiętość przestrzeni wektorowej” . MathWorld . Źródło 16 lutego 2021 r .
- „Liniowy kadłub” . Encyklopedia matematyki . 5 kwietnia 2020 . Źródło 16 lutego 2021 r .
Linki zewnętrzne
- Kombinacje liniowe i rozpiętość: Zrozumienie kombinacji liniowych i rozpiętości wektorów , khanacademy.org.
- Sanderson, Grant (6 sierpnia 2016). „Kombinacje liniowe, rozpiętość i wektory bazowe” . Esencja algebry liniowej - przez YouTube .