Lemat Schura - Schur's lemma
W matematyce , lemat Schur jest to podstawowy, ale bardzo przydatna oświadczenie w teorii reprezentacji z grup i algebr . W przypadku grupy mówi się, że jeśli M i N są dwiema skończenie wymiarowymi nieredukowalnymi reprezentacjami grupy G, a φ jest przekształceniem liniowym z M do N, które komutuje z działaniem grupy, to albo φ jest odwracalne , albo φ = 0. Ważny przypadek szczególny występuje, gdy M = N i φ jest samo-odwzorowaniem; w szczególności każdy element centrum grupy musi działać jako operator skalarny (skalarna wielokrotność tożsamości) na M . Lemat nosi imię Issaia Schura, który wykorzystał go do udowodnienia relacji ortogonalności Schura i rozwinięcia podstaw teorii reprezentacji grup skończonych . Lemat Schura dopuszcza uogólnienia na grupy Liego i algebry Liego , z których najczęstsze wynika z Jacquesa Dixmiera .
Teoria reprezentacji grup
Teoria reprezentacji jest badaniem homomorfizmów z grupy G do ogólnej grupy liniowej GL(V) przestrzeni wektorowej V ; tj. do grupy automorfizmów V . (Ograniczmy się tutaj do przypadku, gdy leżące u podstaw ciało V jest ciałem liczb zespolonych.) Taki homomorfizm nazywamy reprezentacją G na V . Reprezentacja na V jest szczególnym przypadkiem działania grupowego na V , ale zamiast pozwalać na dowolne permutacje podstawowego zbioru V , ograniczamy się do odwracalnych przekształceń liniowych .
Niech ρ będzie reprezentacją G na V . To może się zdarzyć, że V ma podprzestrzeni , W , tak że do każdego elementu g z G , w odwracalny, liniową mapą ρ ( g ) utrzymanie lub poprawek W. , tak że ( ρ ( g )) ( W ) jest W, do każde w w W , a ( ρ ( g ))( v ) nie jest w W dla dowolnego v nie w W . Innymi słowy, każde liniowe odwzorowanie ρ ( g ): V → V jest również automorfizmem W , ρ ( g ): W → W , gdy jego dziedzina jest ograniczona do W . Mówimy, że W jest stabilne pod G lub stabilne pod działaniem G . Oczywiste jest, że jeśli weźmiemy pod uwagę, szer na własną rękę jako przestrzeni wektorowej, to nie jest oczywiste reprezentacja G na zachód -The reprezentacji otrzymujemy poprzez ograniczenie każdej mapie p ( g ) do W . Kiedy biała ma tę właściwość, nazywamy biała z danej reprezentacji subrepresentation od V . Reprezentacja G bez podreprezentacji (poza sobą i zerem) jest reprezentacją nieredukowalną . Reprezentacje nieredukowalne, takie jak liczby pierwsze lub proste grupy w teorii grup, są elementami składowymi teorii reprezentacji. Wiele początkowych pytań i twierdzeń teorii reprezentacji dotyczy własności reprezentacji nieredukowalnych.
Ponieważ interesują nas homomorfizmy między grupami lub ciągłe odwzorowania między przestrzeniami topologicznymi , interesują nas pewne funkcje między reprezentacjami G . Niech V i W są przestrzenie wektorowe, niech i być reprezentacje G na V i W, odpowiednio. Następnie definiujemy G- liniowe odwzorowanie f od V do W jako liniowe odwzorowanie od V do W, które jest ekwiwariantne pod działaniem G ; to znaczy, do każdego g z G , . Innymi słowy, wymagamy, aby f komutowało z działaniem G . Mapy G- liniowe to morfizmy w kategorii reprezentacji G .
Lemat Schura to twierdzenie opisujące, jakie G- liniowe odwzorowania mogą istnieć między dwiema nieredukowalnymi reprezentacjami G .
Oświadczenie i dowód lematu
Twierdzenie (Lemat Schura) : Niech V i W będą przestrzeniami wektorowymi; i pozwolić i być nieprzywiedlne reprezentacje G na V i W, odpowiednio.
- Jeśli i nie są izomorficzne, to nie ma między nimi nietrywialnych G- liniowych odwzorowań.
- Jeśli skończenie wymiarowe nad ciałem algebraicznie domkniętym (np. ); a jeśli , to jedynymi nietrywialnymi G- liniowymi odwzorowaniami są identyczność i skalarne wielokrotności identyczności. (Skalarna wielokrotność tożsamości jest czasami nazywana homotetyką. )
Dowód: Załóżmy, że jest niezerową G- liniową mapą od do . Udowodnimy to i są izomorficzne. Niech będzie jądrem lub przestrzenią null in , podprzestrzenią all in dla dla . (Łatwo sprawdzić, czy jest to podprzestrzeń.) Przy założeniu, że jest G- liniowa, dla każdego in i wyboru in . Ale powiedzenie tego jest tym samym, co powiedzenie, że znajduje się w pustej przestrzeni . Więc jest stabilny pod działaniem G ; jest to podreprezentacja. Skoro z założenia jest nieredukowalny, musi wynosić zero; tak samo jest wstrzykiwanie.
Identyczny argument, który pokażemy, jest również surjekcyjny; ponieważ , możemy wywnioskować, że dla dowolnego wyboru z zakresu , wysyła gdzieś indziej w zakresie ; w szczególności wysyła go do obrazu . Więc zakresie jest podprzestrzeń z stabilny w działaniu , więc jest to subrepresentation i musi być zero lub suriekcją. Z założenia nie jest to zero, więc jest surjektywne, w tym przypadku jest to izomorfizm.
W przypadku, gdy skończenie wymiarowe nad ciałem algebraicznie domkniętym i mają taką samą reprezentację, niech będzie wartością własną . (Wartość własna istnieje dla każdej transformacji liniowej na skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej nad ciałem algebraicznie domkniętym.) Niech . Wtedy if jest wektorem własnym odpowiadającego . Oczywiste jest, że jest to G- liniowe odwzorowanie, ponieważ suma lub różnica G- liniowych map również jest G- liniowa. Następnie wracamy do powyższego argumentu, w którym wykorzystaliśmy fakt, że odwzorowanie było G- liniowe, aby stwierdzić, że jądro jest podreprezentacją, a zatem jest albo zero, albo równe wszystkiemu ; ponieważ nie jest zerem (zawiera ) to musi być całe V i tak jest trywialne, więc .
Sformułowanie w języku modułów
Jeżeli M i N są dwa proste moduły ponad pierścieniem B , a następnie każdy homomorfizm f : M → N o R -modules jest zarówno odwracalne lub zero. W szczególności pierścień endomorfizmu prostego modułu jest pierścieniem podziału .
Warunek, że f jest homomorfizmem modułu oznacza, że
Wersja grupa jest szczególnym przypadkiem wersji modułu, ponieważ każdy przedstawia grupę G można równoważnie traktować jako modułem przez pierścień grupy o G .
Lemat Schura jest często stosowany w następującym konkretnym przypadku. Załóżmy, że R jest algebrą nad ciałem k , a przestrzeń wektorowa M = N jest prostym modułem R . Wtedy lemat Schura mówi, że pierścień endomorfizmu modułu M jest algebrą dzielenia nad ciałem k . Jeśli M jest skończenie wymiarowe, ta algebra dzielenia jest skończenie wymiarowa. Jeśli k jest ciałem liczb zespolonych, jedyną opcją jest to, że ta algebra dzielenia jest liczbami zespolonymi. W ten sposób pierścień endomorfizmu modułu M jest „tak mały, jak to możliwe”. Innymi słowy, jedyne liniowe przekształcenia M, które przechodzą ze wszystkimi przekształceniami pochodzącymi z R, są skalarnymi wielokrotnościami tożsamości.
Odnosi się bardziej ogólnie do dowolnej algebry nad niezliczona algebraicznie zamkniętym dziedzinie i dla każdego prostego modułu , który jest co najwyżej przeliczalnie-wymiarowa: jedyny liniowe przekształcenia tego dojazdy ze wszystkich pochodzących z przekształceń są skalarne wielokrotnością tożsamości.
Gdy pole nie jest algebraicznie domknięte, przypadek, w którym pierścień endomorfizmu jest tak mały, jak to możliwe, jest nadal szczególnie interesujący. Mówi się, że prosty moduł nad -algebrą jest absolutnie prosty, jeśli jego pierścień endomorfizmu jest izomorficzny z . Jest to generalnie silniejsze niż bycie nieredukowalnym po polu i sugeruje, że moduł jest nieredukowalny nawet po domknięciu algebraicznym .
Reprezentacje grup Liego i algebr Liego
Opiszemy teraz lemat Schura tak, jak jest on zwykle stwierdzany w kontekście reprezentacji grup Liego i algebr Liego. Wynik składa się z trzech części.
Po pierwsze, załóżmy, że i są nieredukowalnymi reprezentacjami grupy Liego lub algebry Liego nad dowolnym ciałem i że jest to przeplatająca się mapa . Wtedy jest albo zero, albo izomorfizm.
Po drugie, jeśli jest nieredukowalną reprezentacją grupy Liego lub algebry Liego nad ciałem algebraicznie domkniętym i jest przeplatającym się odwzorowaniem, to jest skalarną wielokrotnością odwzorowania tożsamości.
Po trzecie, załóżmy i są nieredukowalnymi reprezentacjami grupy Liego lub algebry Liego nad ciałem algebraicznie domkniętym i są niezerowymi przeplatającymi się mapami . Potem za jakiś skalar .
Prostym wnioskiem drugiego stwierdzenia jest to, że każda złożona nieredukowalna reprezentacja grupy abelowej jest jednowymiarowa.
Zastosowanie do żywiołu Kazimierza
Załóżmy, że jest algebra Lie i jest uniwersalny kopertowanie algebra z . Niech będzie nieredukowalną reprezentacją ciała nad algebraicznie domkniętym ciałem. Uniwersalna własność uniwersalnej algebry obwieszczenia zapewnia, że rozciąga się ona na reprezentację działania na tej samej przestrzeni wektorowej. Z drugiej części lematu Schura wynika, że jeśli należy do centrum , to musi być wielokrotnością operatora tożsamości. W przypadku złożonej półprostej algebry Liego ważnym przykładem poprzedniej konstrukcji jest ta, w której występuje (kwadratowy) element Casimira . W tym przypadku , gdzie jest stałą, którą można obliczyć jawnie jako najwyższą wagę . Działanie elementu Casimira odgrywa ważną rolę w dowodzie całkowitej redukowalności dla skończenie wymiarowych reprezentacji półprostych algebr Liego.
Zobacz także uzupełnienie Schura .
Uogólnienie na nieproste moduły
Jednomodułowa wersja lematu Schura dopuszcza uogólnienia dotyczące modułów M, które niekoniecznie są proste. Wyrażają zależności pomiędzy właściwościami modułowy teoretycznie z M i właściwości pierścienia endomorfizm z M .
Mówi się, że moduł jest silnie nierozkładalny, jeśli jego pierścień endomorficzny jest pierścieniem lokalnym . Dla ważnej klasy modułów o skończonej długości równoważne są następujące własności ( Lam 2001 , §19):
- Moduł M jest nierozkładalny ;
- M jest silnie nierozkładalny;
- Każdy endomorfizm M jest albo nilpotentny, albo odwracalny.
Ogólnie rzecz biorąc, lematu Schura nie można odwrócić: istnieją moduły, które nie są proste, ale ich algebra endomorfizmu jest pierścieniem podziału . Takie moduły są z konieczności nierozkładalne, a więc nie mogą istnieć nad półprostymi pierścieniami, takimi jak złożony pierścień grupy skończonej grupy. Jednak nawet nad pierścieniem liczb całkowitych moduł liczb wymiernych ma pierścień endomorfizmu, który jest pierścieniem podziału, a konkretnie ciałem liczb wymiernych. Nawet w przypadku pierścieni z grupy, istnieją przykłady, gdy charakterystyczne dzieli polowych kolejności od Grupa: Jacobson rodnik o rzutowej pokrywy w jednowymiarowej reprezentacją grupy przemiennego na pięć punktów na polu z trzech elementów ma pole z trzema pierwiastkami jako pierścieniem endomorficznym.
Zobacz też
Uwagi
Bibliografia
- Dummit, David S.; Foote, Richard M. (1999). Abstrakcyjna Algebra (wyd. 2). Nowy Jork: Wiley. str. 337. Numer ISBN 0-471-36857-1.
- Hall, Brian C. (2015), Grupy Liego, Algebry Liego i reprezentacje: Wprowadzenie elementarne , Teksty podyplomowe z matematyki, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
- Lam, Tsit-Yuen (2001). Pierwszy kurs w nieprzemiennych pierścieniach . Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag . Numer ISBN 978-0-387-95325-0.
- Sengupta, Ambar (2012). Reprezentowanie grup skończonych: wprowadzenie półproste . Nowy Jork. doi : 10.1007/978-1-4614-1231-1_8 . Numer ISBN 9781461412311. OCLC 769756134 .
- Sztern, AI; Łomonosow, VI (2001) [1994], "Lemat Schur" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press