Homeomorfizm - Homeomorphism

Ciągła deformacja między kubkiem kawy a pączkiem ( torusem ) ilustrująca, że ​​są one homeomorficzne. Ale nie musi istnieć ciągła deformacja, aby dwie przestrzenie były homeomorficzne — tylko ciągłe odwzorowanie z ciągłą funkcją odwrotną.

W matematycznej dziedzinie topologii , w homeomorfizmu , topologicznej izomorfizmie lub funkcji biciągła jest funkcją ciągłą między przestrzenie topologiczne , które ma ciągłą funkcję odwrotną . Homeomorfizmy to izomorfizmy w kategorii przestrzeni topologicznych — czyli odwzorowania, które zachowują wszystkie właściwości topologiczne danej przestrzeni. Dwie przestrzenie z homeomorfizmem pomiędzy nimi nazywane są homeomorficznymi i z topologicznego punktu widzenia są takie same. Słowo homeomorfizm pochodzi od greckich słów ὅμοιος ( homoios ) = podobny lub taki sam oraz μορφή ( morphē ) = kształt, forma, wprowadzonych do matematyki przez Henri Poincarégo w 1895 roku.

Mówiąc z grubsza, przestrzeń topologiczna to obiekt geometryczny , a homeomorfizm to ciągłe rozciąganie i zginanie obiektu do nowego kształtu. Tak więc kwadrat i koło są homeomorficzne względem siebie, ale kula i torus nie. Jednak ten opis może być mylący. Niektóre deformacje ciągłe nie są homeomorfizmami, jak na przykład deformacja prostej w punkt. Niektóre homeomorfizmy nie są deformacjami ciągłymi, tak jak homeomorfizm między węzłem koniczyny a kołem.

Często powtarzanym matematycznym żartem jest to, że topolodzy nie potrafią odróżnić filiżanki od kawy od pączka, ponieważ wystarczająco giętki pączek można przekształcić w filiżankę kawy, tworząc wgłębienie i stopniowo go powiększając, zachowując jednocześnie otwór w pączku w uchwycie kubka.

Definicja

Funkcji dwóch przestrzeni topologicznych jest homeomorfizm jeśli ma następujące właściwości: ${\displaystyle f:X\do Y}$

• ${\displaystyle f}$jest bijekcją ( jeden do jednego i na ),
• ${\displaystyle f}$jest ciągły ,
• odwrotną funkcję w sposób ciągły ( to przekształcenie otwarte ).${\ Displaystyle f ^ {-1}}$${\displaystyle f}$

Homeomorfizm jest czasami nazywany funkcją dwuciągłą . Jeśli taka funkcja istnieje i są homeomorficzne . Self-homeomorfizm jest homeomorfizm z przestrzeni topologicznej na siebie. „Bycie homeomorficznym” to relacja równoważności na przestrzeniach topologicznych. Jego klasy równoważności nazywane są klasami homeomorfizmu . ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$

Przykłady

Koniczyny węzeł jest homeomorficzny do stałych torusa, a nie izotopowego w R ³ . Ciągłe odwzorowania nie zawsze są możliwe do zrealizowania jako deformacje.

• Przedział otwarty jest homeomorficzny z liczbami rzeczywistymi dla dowolnego . (W tym przypadku dwuciągłe mapowanie do przodu jest podawane przez, podczas gdy inne takie mapowania są podawane przez przeskalowane i przetłumaczone wersje funkcji tan lub arg tanh ).${\textstyle (a,b)}$ ${\textstyle \mathbf {R} }$${\textstyle a<b}$${\textstyle f(x)={\frac {1}{ax}}+{\frac {1}{bx}}}$
• Jednostka 2- dysk i kwadrat jednostki w R ² są homeomorficzne; ponieważ dysk jednostki może zostać zdeformowany w kwadrat jednostki. Przykładem dwuciągłego odwzorowania z kwadratu na dysk jest we współrzędnych biegunowych , .${\textstyle D^{2}}$${\ Displaystyle ( \ rho , \ theta ) \ mapsto \ lewo ({\ Frac {\ rho} {\ max (| \ cos \ theta |, | \ sin \ theta |)}}, \ theta \ po prawej)}$
• Wykres z różniczkowej funkcją jest homeomorficzny do kategorii funkcji.
• Różniczkowalną komunikującym się z krzywej jest homeomorfizm pomiędzy domeną parametryzacji i krzywej.
• Wykres z kolektora jest homeomorfizm pomiędzy otwartym podzbioru kolektora i otwartym podzbiór przestrzeni euklidesowej .
• Stereograficzny występ jest homeomorfizm pomiędzy sferą jednostkowy R ³ z jednego punktu usunięto i zbiór wszystkich punktów, w R ^2, (2-wymiarowe płaszczyźnie ).
• Jeśli jest grupą topologiczną , jej mapa inwersji jest homeomorfizmem. Również dla każdego , lewe tłumaczenie , prawe tłumaczenie i wewnętrzny automorfizm są homeomorfizmami.${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle x \ mapsto x ^ {-1}}$${\displaystyle x\w g}$${\displaystyle y\mapsto xy}$${\displaystyle y\mapsto yx}$${\ Displaystyle y \ mapsto xyx ^ {-1}}$

Nieprzykłady

• R ^m i R ⁿ nie są homeomorficzne dla m ≠ n .
• Rzeczywista prosta euklidesowa nie jest homeomorficzna z jednostkowym okręgiem jako podprzestrzeń R ² , ponieważ jednostkowe okrąg jest zwarte jako podprzestrzeń euklidesowa R ^{2 ,} ale rzeczywista prosta nie jest zwarta.
• Interwały jednowymiarowe i nie są homeomorficzne, ponieważ nie można było dokonać ciągłej bijekcji.${\displaystyle [0,1]}$${\ Displaystyle (0,1)}$

Uwagi

Trzeci wymóg, który jest ciągły, jest niezbędny. Rozważmy na przykład funkcję ( okrąg jednostkowy w ) zdefiniowaną przez . Ta funkcja jest bijektywna i ciągła, ale nie jest homeomorfizmem ( jest zwarta, ale nie jest). Funkcja nie jest ciągła w punkcie , ponieważ chociaż mapuje do , każde sąsiedztwo tego punktu zawiera również punkty, do których funkcja mapuje blisko, ale punkty, które mapuje na liczby pomiędzy, leżą poza sąsiedztwem. ${\textstyle f^{-1}}$${\textstyle f:[0,2\pi )\to S^{1}}$${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$${\textstyle f(\phi )=(\cos \phi ,\sin \phi )}$${\textstyle S^{1}}$${\textstyle [0,2\pi )}$${\textstyle f^{-1}}$${\textstyle (1,0)}$${\textstyle f^{-1}}$${\textstyle (1,0)}$${\textstyle 0}$${\textstyle 2\pi ,}$

Homeomorfizmy to izomorfizmy w kategorii przestrzeni topologicznych . Jako taka, kompozycja dwóch homeomorfizmów jest ponownie homeomorfizm i zestaw do samoobsługi homeomorfizmów tworzy grupę o nazwie, grupa homeomorfizm z X , często oznaczone . Grupie tej można nadać topologię, np. topologię zwarto-otwartą , co przy pewnych założeniach czyni ją grupą topologiczną . ${\textstyle X\do X}$${\textstyle {\text{Homeo}}(X)}$

Dla niektórych celów grupa homeomorfizmu jest zbyt duża, ale za pomocą relacji izotopowej można zredukować tę grupę do grupy klas odwzorowania .

Podobnie, jak zwykle w teorii kategorii, przy danych dwóch przestrzeniach, które są homeomorficzne, przestrzeń homeomorfizmów między nimi jest torsorem dla grup homeomorficznych i , a przy danym homeomorfizmie między i , wszystkie trzy zbiory są identyfikowane. ${\textstyle {\text{Homeo}}(X,Y),}$${\textstyle {\text{Homeo}}(X)}$${\textstyle {\text{Homeo}}(Y)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$

Nieruchomości

• Dwie przestrzenie homeomorficzne mają te same własności topologiczne . Na przykład, jeśli jeden z nich jest kompaktowy , to drugi również jest; jeśli jeden z nich jest połączony , to drugi również; jeśli jeden z nich to Hausdorff , to drugi również; ich grupy homotopii i homologii będą się pokrywać. Zauważ jednak, że nie obejmuje to właściwości zdefiniowanych za pomocą metryki ; istnieją przestrzenie metryczne, które są homeomorficzne, mimo że jedna z nich jest kompletna, a druga nie.
• Homeomorfizm jest jednocześnie odwzorowaniem otwartym i odwzorowaniem zamkniętym ; to znaczy odwzorowuje zbiory otwarte na zbiory otwarte i zbiory zamknięte na zbiory zamknięte.
• Każdy autohomeomorfizm w może być rozszerzony na autohomeomorfizm całego dysku ( sztuczka Aleksandra ).${\ Displaystyle S ^ {1}}$${\ Displaystyle D ^ {2}}$

Nieformalna dyskusja

Intuicyjne kryterium rozciągania, gięcia, cięcia i ponownego sklejania wymaga pewnej dozy praktyki, aby zastosować je poprawnie — z powyższego opisu może nie wynikać, że na przykład deformacja odcinka linii do punktu jest niedopuszczalna. Dlatego ważne jest, aby zdać sobie sprawę, że liczy się formalna definicja podana powyżej. W tym przypadku np. odcinek posiada nieskończenie wiele punktów i dlatego nie może być wprowadzony w bijekcję ze zbiorem zawierającym tylko skończoną liczbę punktów, w tym jeden punkt.

Ta charakterystyka homeomorfizmu często prowadzi do pomylenia z pojęciem homotopii , które w rzeczywistości definiuje się jako ciągłą deformację, ale z jednej funkcji do drugiej, a nie z jednej przestrzeni do drugiej. W przypadku homeomorfizmu wyobrażenie sobie ciągłej deformacji jest mentalnym narzędziem do śledzenia, które punkty w przestrzeni X odpowiadają którym punktom na Y — podąża się za nimi, gdy X się deformuje. W przypadku homotopii ciągła deformacja z jednej mapy do drugiej jest istotna, a także mniej restrykcyjna, ponieważ żadna z map nie musi być jeden do jednego ani na. Homotopia prowadzi do relacji na przestrzeniach: równoważność homotopii .

Istnieje nazwa dla rodzaju deformacji zaangażowanej w wizualizację homeomorfizmu. Jest to (z wyjątkiem sytuacji, gdy wymagane jest cięcie i ponowne sklejanie) izotopą między mapą tożsamości na X a homeomorfizmem od X do Y .

Zobacz też

• Lokalny homeomorfizm  – Ciągła otwarta mapa, która wokół każdego punktu w swojej domenie ma sąsiedztwo, na którym ogranicza się do homomorfizmu
• dyfeomorfizm  – izomorfizm rozmaitości gładkich; gładka bijection z gładką odwrotnością
• Izomorfizm  jednostajny – jednostajnie ciągły homeomorfizm to izomorfizm między jednorodnymi przestrzeniami
• Izomorfizm izometryczny to izomorfizm między przestrzeniami metrycznymi
• Grupa homeomorfizmu
• Skręt Dehna
• Homeomorfizm (teoria grafów)  – Pojęcie w teorii grafów (ściśle związane z podziałem grafów)
• Homotopy#Isotopy  – Ciągła deformacja pomiędzy dwiema funkcjami ciągłymi
• Grupa klas mapowania  – Grupa klas izotopów grupy automorfizmu topologicznego
• Hipoteza Poincarégo  – twierdzenie o topologii geometrycznej wysnute przez Henri Poincarégo i udowodnione przez Grigori Perelmana
• Uniwersalny homeomorfizm

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• „Homeomorfizm” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]