Ślad (algebra liniowa) - Trace (linear algebra)

W liniowym Algebra The śladowych o kwadratowej macierzy A , oznaczoną tR ( ) jest definiowana jako suma elementów na głównej przekątnej (od górnej lewej do prawej) z A .

Ślad macierzy jest sumą jej (złożonych) wartości własnych (liczonych z krotnościami) i jest niezmienny względem zmiany bazy . Ta charakterystyka może być użyta do ogólnego zdefiniowania śladu operatora liniowego. Ślad jest zdefiniowany tylko dla macierzy kwadratowej ( n × n ).

Ślad jest powiązany z pochodną wyznacznika (patrz wzór Jacobiego ).

Definicja

Ślad o n x n kwadratowej macierzy A określa się jako

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) = \ suma _ {i = 1} ^ {n} a_ {ii} = a_ {11} + a_ {22} + \ kropki + a_ {nn} }$

gdzie a _ii oznacza wpis w i- tym wierszu i i- tej kolumnie A .

Przykład

Niech A będzie macierzą, z

${\ Displaystyle \ mathbf {A} = {\ zacząć {pmatrix} a_ {11} i a_ {12} i a_ {13} \ \ a_ {21} i a_ {22} i a_ {23} \ \ a_ {31} i a_ {32 }&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&3\\11&5&2\\6&12&-5\end{pmatrix}}}$

Następnie

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} ) = \ suma _ {i = 1} ^ {3}a_ {ii} = a_ {11} + a_ {22} + a_ {33} = 1 + 5+(-5)=1}$

Nieruchomości

Podstawowe właściwości

Ślad jest odwzorowaniem liniowym . To jest,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ nazwa operatora {tr} (\ mathbf {a} + \ mathbf {B}) i = \ operatorname {tr} (\ mathbf {a}) + \ operatorname {tr} (\ mathbf {B} )\\\nazwa operatora {tr} (c\mathbf {A} )&=c\nazwa operatora {tr} (\mathbf {A} )\end{wyrównany}}}$

dla wszystkich macierzy kwadratowych A i B oraz wszystkich skalarów c .

Macierz i jej transpozycja mają ten sam ślad:

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} ) = \ operatorname {tr} \ lewo (\ mathbf {A} ^ {\ mathsf {T}} \ po prawej).}$

Wynika to bezpośrednio z faktu, że transpozycja macierzy kwadratowej nie wpływa na elementy wzdłuż głównej przekątnej.

Ślad produktu

Ślad macierzy kwadratowej, który jest iloczynem dwóch macierzy, można zapisać jako sumę iloczynów wejściowych ich elementów. Dokładniej, jeśli A i B są dwiema macierzami m  ×  n , to:

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} \ lewo (\ mathbf {A} ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {B} \ prawej) = \ operatorname {tr} \ lewo (\ mathbf {A} \ mathbf {B } ^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right)=\operatorname {tr} \left (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right)=\sum _{i,j}a_{ji}b_{ji}.}$

Oznacza to, że ślad iloczynu macierzy o równych rozmiarach działa podobnie do iloczynu skalarnego wektorów (wyobraźmy sobie A i B jako długie wektory z kolumnami ułożonymi jedna na drugiej). Z tego powodu uogólnienia operacji wektorowych na macierze (np. w rachunku macierzowym i statystyce ) często zawierają ślad iloczynów macierzowych.

Dla rzeczywistych macierzy A i B ślad produktu można zapisać również w postaci:

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} \ lewo (\ mathbf {A} ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {B} \ po prawej) = \ suma _ {i, j} (\ mathbf {A} \ circ \ mathbf {B} _{ij}}$	(przy użyciu produktu Hadamarda , znanego również jako produkt entrywise).
${\ Displaystyle \ operatorname {tr} \ lewo (\ mathbf {A} ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {B} \ prawej) = \ operatorname {vec} (\ mathbf {B} ) ^ {\ mathsf { T}}\operatorname {vec} (\mathbf {A} )=\operatorname {vec} (\mathbf {A} )^{\mathsf {T}}\operatorname {vec} (\mathbf {B} )}$	(za pomocą operatora wektoryzacji ).

Macierze w śladzie produktu można przełączać bez zmiany wyniku: Jeśli A jest macierzą m × n , a B jest macierzą n × m , to

Dodatkowo dla rzeczywistych macierzy kolumnowych i , ślad iloczynu zewnętrznego jest równoważny iloczynowi wewnętrznemu: ${\ Displaystyle \ mathbf {a} \ w \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbf {b} \ w \ mathbb {R} ^ {n}}$

Nieruchomość cykliczna

Bardziej ogólnie, ślad jest niezmienny w permutacjach cyklicznych , to znaczy

Jest to znane jako właściwość cykliczna .

Dowolne permutacje są niedozwolone: ​​ogólnie,

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B} \ mathbf {C}) \ neq \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {C} \ mathbf {B}). }$

Jednakże, jeśli brane są pod uwagę iloczyny trzech symetrycznych macierzy, dozwolona jest dowolna permutacja, ponieważ:

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B} \ mathbf {C}) = \ operatorname {tr} \ lewo (\ lewo (\ mathbf {A} \ mathbf {B} \ mathbf { C} \right)^{\mathsf {T}}\right)=\nazwa operatora {tr} (\mathbf {C} \mathbf {B} \mathbf {A} )=\nazwa operatora {tr} (\mathbf {A } \mathbf {C} \mathbf {B} ),}$

gdzie pierwsza równość jest taka, że ​​ślady macierzy i jej transpozycji są równe. Zauważ, że generalnie nie dotyczy to więcej niż trzech czynników.

Ślad produktu macierzy

W przeciwieństwie do wyznacznika ślad produktu nie jest iloczynem śladów, czyli istnieją macierze A i B takie, że

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) \ neq \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) \ operatorname {tr} (\ mathbf {B})}$

Na przykład, jeśli

${\ Displaystyle \ mathbf {A} = {\ zacząć {pmatrix} 0 i 1 \ \ 0 i 0 \ koniec {pmatrix}} \ \ \ mathbf {B} = {\ zacząć {pmatrix} 0 i 0 \ \ 1 i 0 \ koniec {pmatrix}} ,}$

wtedy produkt jest

${\ Displaystyle \ mathbf {AB} = {\ zacząć {pmatrix} 1 i 0 \ \ 0 i 0 \ koniec {pmatrix}}}$

a ślady są ${\ Displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) = 1 \ neq 0 \ cdot 0 = \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) \ operatorname {tr} (\ mathbf { B} ).}$

Ślad produktu Kroneckera

Ślad iloczynu Kroneckera dwóch macierzy jest iloczynem ich śladów:

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {B}) = \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) \ operatorname {tr} (\ mathbf {B}).}$

Pełna charakterystyka śladu

Następujące trzy właściwości:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ nazwa operatora {tr} (\ mathbf {a} + \ mathbf {B}) i = \ operatorname {tr} (\ mathbf {a}) + \ operatorname {tr} (\ mathbf {B} ),\\\nazwa operatora {tr} (c\mathbf {A} )&=c\nazwa operatora {tr} (\mathbf {A} ),\\\nazwa operatora {tr} (\mathbf {A} \ mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ),\end{wyrównany}}}$

całkowicie scharakteryzować ślad w następującym znaczeniu. Niech f będzie funkcjonałem liniowym na przestrzeni macierzy kwadratowych spełniających f  ( xy ) = f  ( yx ) . Wtedy f i tr są proporcjonalne.

Niezmienność podobieństwa

Ślad jest niezmiennikiem podobieństwa , co oznacza, że ​​dla dowolnej macierzy kwadratowej A i dowolnej macierzy odwracalnej P o tych samych wymiarach macierze A i P ⁻¹ AP mają ten sam ślad. To dlatego, że

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} \ lewo (\ mathbf {P} ^ {-1} \ mathbf {A} \ mathbf {P} \ po prawej) = \ operatorname {tr} \ lewo (\ mathbf {P} ^ { -1}(\mathbf {A} \mathbf {P} )\right)=\operatorname {tr} \left((\mathbf {A} \mathbf {P} )\mathbf {P} ^{-1}\ right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \left(\mathbf {P} \mathbf {P} ^{-1}\right)\right)=\operatorname {tr} (\mathbf { A} ).}$

Ślad iloczynu macierzy symetrycznej i skośnie symetrycznej

Jeśli A jest symetryczne, a B jest skośnie symetryczne , to

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) = 0}$.

Związek z wartościami własnymi

Ślad macierzy tożsamości

Śladem macierzy jednostkowej n × n jest wymiar przestrzeni, czyli n .

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} \ lewo (\ mathbf {ja} _ {n} \ po prawej) = n}$

Prowadzi to do uogólnień wymiaru za pomocą śladu .

Ślad macierzy idempotentnej

Ślad na matrycy idempotent A (matryca dla których ² = ) jest równy stopień z A .

Ślad nilpotentnej macierzy

Ślad nilpotentnej macierzy wynosi zero.

Gdy charakterystyka pola bazowego wynosi zero, zachodzi również odwrotność: jeśli tr( A ^k ) = 0 dla wszystkich k , to A jest nilpotentne.

Gdy cecha n > 0 jest dodatnia, tożsamość w n wymiarach jest kontrprzykładem, jak , ale tożsamość nie jest nilpotentna. ${\ Displaystyle \ operatorname {tr} \ lewo (\ mathbf {ja} _ {n} ^ {k} \ prawej) = \ operatorname {tr} \ lewo (\ mathbf {ja} _ {n} \ prawej) = n \ekwiwalent 0}$

Ślad równa się sumie wartości własnych

Bardziej ogólnie, jeśli

${\ Displaystyle f (x) = \ prod _ {i = 1} ^ {k} \ lewo (x \ lambda _ {i} \ prawo) ^ {d_ {i}}}$

jest wielomianem charakterystycznym macierzy A , wtedy

czyli ślad macierzy kwadratowej jest równy sumie wartości własnych zliczonych przez krotności.

Ślad komutatora

Gdy oba i B są n x n , matryca śladu (pierścień teoretyczna) komutatora z A i B znika: tR ([ , B ]) = 0 , ponieważ tR ( AB ) = tR ( BA ) i TR jest liniowy. Można to stwierdzić jako "ślad jest odwzorowaniem algebr Liego gl _n → k od operatorów do skalarów", ponieważ komutator skalarów jest trywialny (jest to algebra Liego Abela). W szczególności, używając niezmienności podobieństwa, wynika, że ​​macierz jednostkowa nigdy nie jest podobna do komutatora jakiejkolwiek pary macierzy.

I odwrotnie, każda macierz kwadratowa ze śladem zerowym jest kombinacją liniową komutatorów par macierzy. Co więcej, każda macierz kwadratowa ze śladem zerowym jest jednostkowo równoważna macierzy kwadratowej z przekątną składającą się ze wszystkich zer.

Ślad macierzy hermitowskiej

Ślad macierzy hermitowskiej jest rzeczywisty, ponieważ elementy na przekątnej są rzeczywiste.

Ślad macierzy permutacji

Ślad na matrycy permutacji jest liczbą stałych punktów , ponieważ ukośne termin _II jest jedno czy i tego punktu jest ustalone i 0 w pozostałych przypadkach.

Ślad macierzy projekcji

Ślad macierzy projekcji jest wymiarem przestrzeni docelowej.

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ mathbf {P} _ {\ mathbf {X}} i = \ mathbf {X} \ lewo (\ mathbf {X} ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\\[3pt]\Longrightarrow \operatorname {tr} \left(\mathbf {P} _{\mathbf {X} }\ po prawej)&=\operatorname {ranga} (\mathbf {X} ).\end{aligned}}}$

Macierz P _X jest idempotentna, a bardziej ogólnie, ślad dowolnej macierzy idempotentnej równa się jej własnej randze.

Wykładniczy ślad

Wyrażenia takie jak tr(exp( A )) , gdzie A jest macierzą kwadratową, występują tak często w niektórych dziedzinach (np. wielowymiarowej teorii statystycznej), że notacja skrócona stała się powszechna:

${\displaystyle \operatorname {tre} (A):=\operatorname {tr} (\exp(A)).}$

tre jest czasami określane jako wykładnicza funkcja śledzenia ; jest używany w nierówności Golden-Thompsona .

Ślad operatora liniowego

W ogóle, biorąc pod uwagę pewne liniowy mapa f  : V → V (gdzie V jest finite- wymiarową przestrzenią wektorową ), możemy określić ślad tej mapie rozważając ślad reprezentacji macierzy z F , to znaczy wybierając podstawę dla V i opisując f jako macierz w odniesieniu do tej bazy, i pobierając ślad tej macierzy kwadratowej. Wynik nie będzie zależał od wybranej bazy, ponieważ różne bazy dadzą podobne macierze , co pozwala na możliwość niezależnej od bazy definicji śladu odwzorowania liniowego.

Taka definicja może być podawana przy pomocy kanoniczny izomorfizm między przestrzenią End ( V ) map liniowych na V i V ⊗ V * , gdzie V * jest podwójny odstęp od V . Niech v będzie w V i niech f będzie w V * . Wtedy ślad elementu nierozkładalnego v ⊗ f jest zdefiniowany jako f  ( v ) ; ślad elementu ogólnego jest określony przez liniowość. Używając wyraźnej bazy dla V i odpowiadającej jej podwójnej bazy dla V * , można wykazać, że daje to taką samą definicję śladu, jak podana powyżej.

Relacje wartości własnej

Jeśli jest operatorem liniowy przedstawiony macierzy kwadratowej z rzeczywistych lub złożonych pozycji jeśli λ ₁ , ..., λ _n są wartości własne z A (wg ich algebraicznym krotności ), a następnie

Wynika to z faktu, że A jest zawsze podobna do swojej postaci Jordana , górnej trójkątnej macierzy mającej λ ₁ , …, λ _n na głównej przekątnej. W przeciwieństwie do tego, wyznacznik z A jest produktem jego wartości własnych; to jest,

${\ Displaystyle \ det (\ mathbf {A}) = \ prod _ {i} \ lambda _ {i}.}$

Bardziej ogólnie,

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} \ lewo (\ mathbf {A} ^ {k} \ prawej) = \ suma _ {i} \ lambda _ {i} ^ {k}.}$

Pochodne

Ślad odpowiada pochodnej wyznacznika: jest to odpowiednik algebry Liego odwzorowania ( grupy Liego ) wyznacznika. Jest to precyzyjna wzorze Jacobiego dla pochodnej z determinantą .

W szczególnym przypadku, przy identyczności , pochodna wyznacznika faktycznie sprowadza się do śladu: tr = det′ _I . Z tego (lub z połączenia między śladem a wartościami własnymi) można wyprowadzić związek między funkcją śladu, odwzorowaniem wykładniczym między algebrą Liego i jej grupą Liego (lub konkretnie macierzową funkcją wykładniczą ) oraz wyznacznikiem :

${\displaystyle \det(\exp(\mathbf {A}))=\exp(\operator {tr} (\mathbf {A})).}$

Rozważmy na przykład jednoparametrową rodzinę przekształceń liniowych daną przez obrót o kąt θ ,

${\ Displaystyle \ mathbf {R} _ {\ theta} = {\ zacząć {pmatrix} \ cos \ theta &- \ sin \ theta \ \ \ sin \ theta & \ cos \ theta \ koniec {pmatrix}}.}$

Wszystkie te przekształcenia mają wyznacznik 1, więc zachowują obszar. Pochodną tej rodziny przy θ = 0 , rotacji identyczności, jest macierz antysymetryczna

${\ Displaystyle A = {\ zacząć {pmatrix} 0 i 1 \ \ 1 i 0 \ koniec {pmatrix}}}$

który wyraźnie ma ślad zero, co wskazuje, że ta macierz reprezentuje nieskończenie małe przekształcenie, które zachowuje obszar.

Pokrewna charakterystyka śladu dotyczy liniowych pól wektorowych . Mając macierz A , zdefiniuj pole wektorowe F na R ⁿ przez F ( x ) = Ax . Składowe tego pola wektorowego są funkcjami liniowymi (podanymi przez wiersze A ). Jego dywergencja div F jest funkcją stałą, której wartość jest równa tr( A ) .

Przez twierdzenie o dywergencji można to zinterpretować w kategoriach przepływów: jeśli F ( x ) reprezentuje prędkość płynu w lokalizacji x, a U jest obszarem w R ⁿ , przepływ netto płynu z U jest określony przez tr ( ) · t ( U ) , w których t ( U ) jest objętość od U .

Ślad jest operatorem liniowym, stąd komutuje z pochodną:

${\ Displaystyle \ operatorname {d} \ operatorname {tr} (\ mathbf {X}) = \ operatorname {tr} (\ operatorname {d} \ mathbf {X}).}$

Aplikacje

Ślad złożonej macierzy 2 × 2 służy do klasyfikacji transformacji Möbiusa . Po pierwsze, macierz jest znormalizowana, aby jej wyznacznik był równy jeden. Następnie, jeśli kwadrat śladu wynosi 4, odpowiednia transformacja jest paraboliczna . Jeśli kwadrat znajduje się w przedziale [0,4) , jest eliptyczny . Wreszcie, jeśli kwadrat jest większy niż 4, transformacja jest loksodromiczna . Zobacz klasyfikacja transformacji Möbiusa .

Ślad jest używany do definiowania znaków o reprezentacji grup . Dwie reprezentacje A , B  : G → GL ( V ) grupy G są równoważne (do zmiany bazy na V ) jeśli tr( A ( g )) = tr( B ( g )) dla wszystkich g ∈ G .

Ślad odgrywa również kluczową rolę w rozmieszczeniu form kwadratowych .

Algebra kłamstwa

Ślad jest odwzorowaniem algebr Liego z algebry Liego operatorów liniowych na przestrzeni n- wymiarowej ( n × n macierzy z wpisami w ) do algebry Liego K skalarów; ponieważ K jest abelianem (znika nawias Liego), to fakt, że jest to mapa algebr Liego, jest dokładnie stwierdzeniem, że ślad nawiasu znika: ${\ Displaystyle \ operatorname {tr} : {\ mathfrak {gl}} _ {n} \ do K}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$${\ Displaystyle K}$

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} ([\ mathbf {A}, \ mathbf {B}]) = 0 {\ tekst {dla każdego}} \ mathbf {A}, \ mathbf {B} \ w {\ mathfrak { gl}}_{n}.}$

Często mówi się, że jądro tej mapy, macierz, której ślad wynosi zero , jest bezśladowy lubśladowe wolne i matryce te tworząprostą Lie algebraiczne , który jestAlgebra Lieospecjalnej grupy liniowejmacierzy z wyznacznik 1. Szczególna grupa liniowego składa się z matryc, które nie zmieniają objętość, natomiastspecjalne liniowy Lie Algebrajest macierze, które nie zmieniają objętościzbiorównieskończeniemałych. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n}}$

W rzeczywistości istnieje wewnętrzny bezpośredni rozkład operatorów/macierzy na operatory/macierze bezśladowe i operatory/macierze skalarne. Mapa rzutowania na operatory skalarne może być wyrażona w postaci śladu, konkretnie jako: ${\ Displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} = {\ mathfrak {sl}} _ {n} \ oplus K}$

${\ Displaystyle \ mathbf {A} \ mapsto {\ Frac {1} {n}} \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) \ mathbf {ja}.}$

Formalnie można skomponować ślad ( mapę counit ) z jednostkową mapą „włączenia skalarów ”, aby otrzymać mapę mapującą się na skalary i pomnożoną przez n . Dzielenie przez n sprawia, że ​​jest to projekcja, dając powyższy wzór. ${\ Displaystyle K \ do {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {gl}}_ {n} \ do {\ mathfrak {gl}}_ {n}}$

Jeśli chodzi o krótkie, dokładne ciągi , trzeba

${\ Displaystyle 0 \ do {\ mathfrak {sl}} _ {n} \ do {\ mathfrak {gl}} _ {n} {\ przesłonięty {\ operator {tr}} {\ do}} K \ do 0}$

co jest analogiczne do

${\ Displaystyle 1 \ do \ operatorname {SL} _ {n} \ do \ operatorname {GL} _ {n} {\ overset {\ det} {\ do}} K ^ {*} \ do 1}$

(gdzie ) dla grup Liego. Jednak ślad dzieli się naturalnie (poprzez skalary razy) , ale podział wyznacznika byłby taki sam, jak n- ty pierwiastek razy skalary, a to na ogół nie definiuje funkcji, więc wyznacznik nie dzieli się i ogólna grupa liniowa nie rozkłada się: ${\ Displaystyle K ^ {*} = K \ setminus \ {0 \}}$${\displaystyle 1/n}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} = {\ mathfrak {sl}} _ {n} \ oplus K}$

${\ Displaystyle \ operatorname {GL} _ {n} \ neq \ operatorname {SL} _ {n} \ razy K ^ {*}.}$

Formy dwuliniowe

Forma dwuliniowa (gdzie X , Y to macierze kwadratowe)

${\ Displaystyle B (\ mathbf {X} , \ mathbf {Y} ) = \ operatorname {tr} (\ operatorname {reklama} (\ mathbf {X} ) \ operatorname {reklama} (\ mathbf {Y} ))\ quad {\text{gdzie }}\operatorname {ad} (\mathbf {X} )\mathbf {Y} =[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\mathbf {X} \mathbf {Y} -\mathbf {Y} \mathbf {X} }$

nazywana jest formą Killing , która jest używana do klasyfikacji algebr Liego.

Ślad definiuje formę dwuliniową:

${\ Displaystyle (\ mathbf {X} \ mathbf {Y}) \ mapsto \ operatorname {tr} (\ mathbf {X} \ mathbf {Y}}).}$

Forma jest symetryczna, niezdegenerowana i asocjacyjna w tym sensie, że:

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {X} [\ mathbf {Y}, \ mathbf {Z}]) = \ operatorname {tr} ([\ mathbf {X}, \ mathbf {Y}}] \ mathbf {Z}).}$

W przypadku złożonej prostej algebry Liego (takiej jak _n ) każda taka dwuliniowa forma jest do siebie proporcjonalna; w szczególności do formularza Zabijania. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$

Mówi się, że dwie macierze X i Y są śladem ortogonalnym, jeśli

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {X} \ mathbf {Y}) = 0}$.

Produkt wewnętrzny

Dla macierzy m × n A ze złożonymi (lub rzeczywistymi) wpisami i ^H będącym sprzężoną transpozycją mamy

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} \ lewo (\ mathbf {A} ^ {\ mathsf {H}} \ mathbf {A} \ po prawej) \ geq 0}$

z równością wtedy i tylko wtedy, gdy A = 0 .

Przydzial

${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {A} \ mathbf {B} \ rangle = \ operatorname {tr} \ lewo (\ mathbf {A} ^ {\ mathsf {H}} \ mathbf {B} \ prawej)}$

daje iloczyn skalarny na przestrzeni wszystkich zespolonych (lub rzeczywistych) macierzy m × n .

Normą pochodzi z powyższego produktu wewnętrznym nazywane jest norma Frobenius'a , który spełnia właściwości jak submultiplicative normą matrycy. Rzeczywiście, jest to po prostu norma euklidesowa, jeśli macierz jest uważana za wektor o długości m ⋅ n .

Wynika z tego, że jeśli A i B są rzeczywistymi dodatnimi półokreślonymi macierzami o tej samej wielkości, to

${\ Displaystyle 0 \ leq \ lewo [\ operator {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) \ prawo] ^ {2} \ leq \ operator {tr} \ lewo (\ mathbf {A} ^ { 2}\right)\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{2}\right)\leq \left[\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\right]^{2}\ left[\nazwa operatora {tr} (\mathbf {B} )\right]^{2}.}$

Uogólnienia

Koncepcja śladu macierzy jest uogólniony do klasy śladowej o kompaktowych operatorów na przestrzeni Hilberta , a analogiem normą Frobenius nazywa się Hilberta-Schmidta normę.

Jeśli K jest klasą śladu, to dla dowolnej bazy ortonormalnej ślad jest określony wzorem ${\ Displaystyle (\ varphi _ {n}) _ {n}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} (K) = \ suma _ {n} \ lewo \ langle \ varphi _ {n}, K \ varphi _ {n} \ po prawej \ rangle,}$

i jest skończony i niezależny od bazy ortonormalnej.

Częściowo śladu inny uogólnienie ślad to operatora cenione. Ślad operatora liniowego Z żyjącego na przestrzeni produktu A ⊗ B jest równy śladom cząstkowym nad A i B :

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {tr} (Z) = \ nazwa operatora {tr} _ {A} \ lewo (\ nazwa operatora {tr} _ {B} (Z) \ po prawej) = \ nazwa operatora {tr} _ {B} \ left(\operatorname {tr} _{A}(Z)\right).}$

Aby uzyskać więcej właściwości i uogólnienie śladu częściowego, zobacz prześledzone kategorie monoidalne .

Jeśli A jest ogólną algebrą asocjacyjną nad ciałem k , to ślad po A jest często definiowany jako dowolne odwzorowanie tr : A ↦ k , które znika na komutatorach: tr([ a , b ]) dla wszystkich a , b ∈ A . Taki ślad nie jest jednoznacznie określony; zawsze może być przynajmniej modyfikowana przez mnożenie przez niezerowy skalar.

Supertrace jest uogólnieniem śladu do ustawienia superalgebras .

Operacja skrócenia tensora uogólnia ślad na dowolne tensory.

Definicja bez współrzędnych

Do śladu można również podejść w sposób bezwspółrzędny, tj. bez odwoływania się do wyboru bazy, w następujący sposób: przestrzeń operatorów liniowych na skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej V (określonej nad ciałem F ) jest izomorficzna z przestrzeń V ⊗ V ^∗ poprzez odwzorowanie liniowe

${\ Displaystyle V \ otimes V ^ {*} \ do \ operatorname {Hom} (V, V), v \ otimes h \ mapsto (w \ mapsto h (w) v).}$

Istnieje również kanoniczna funkcja dwuliniowa t  : V × V ^∗ → F polegająca na zastosowaniu elementu w ^∗ z V ^∗ do elementu v z V w celu uzyskania elementu F :

${\ Displaystyle t \ lewo (v, w ^ {*} \ prawo): = w ^ {*} (v) \ w F}$

Indukuje to funkcję liniową na iloczyn tensorowy (przez jego uniwersalną własność ) t  : V ⊗ V ^∗ → F , która, jak się okazuje, patrząc na ten iloczyn tensorowy jako przestrzeń operatorów, jest równa śladowi.

W szczególności, mając operator pierwszego rzędu A (odpowiednik prosty tensor ), kwadrat jest taki, że na jego jednowymiarowym obrazie A jest po prostu mnożeniem przez skalar. W kategoriach wyrażenia tensorowego i jest to ślad (i tylko niezerowa wartość własna) A ; daje to interpretację wejścia po przekątnej bez współrzędnych. Każdy operator na przestrzeni n -wymiarowej może być wyrażony jako suma n operatorów rzędu pierwszego; daje to wolną od współrzędnych wersję sumy wpisów po przekątnej. ${\ Displaystyle v \ czasami w ^ {*}}$${\ Displaystyle A ^ {2} = \ lambda A}$${\ Displaystyle \ lambda = w ^ {*} (v)}$

Wyjaśnia to również, dlaczego tr( AB ) = tr( BA ) i dlaczego tr( AB ) ≠ tr( A )tr( B ) , ponieważ złożenie operatorów (mnożenie macierzy) i ślad może być interpretowane jako to samo parowanie. Przeglądanie

${\ Displaystyle \ Operatorname {Koniec} (V) \ cong V \ otimes V ^ {*}}$

można zinterpretować mapę kompozycji

${\ Displaystyle \ operatorname {koniec} (V) \ razy \ operatorname {koniec} (V) \ do \ operatorname {koniec} (V)}$

jak

${\ Displaystyle (V \ otimes V ^ {*}) \ razy (V \ otimes V ^ {*}) \ do (V \ otimes V ^ {*})}$

pochodzące z parowania V ^∗ × V → F na środkowych warunkach. Pobranie śladu produktu pochodzi wtedy z parowania na warunkach zewnętrznych, natomiast pobranie produktu w odwrotnej kolejności, a następnie pobranie śladu, tylko przełącza, które parowanie jest stosowane jako pierwsze. Z drugiej strony, wzięcie śladu A i śladu B odpowiada zastosowaniu parowania na wyrazach lewych i właściwych (a nie na wewnętrznych i zewnętrznych), a zatem jest inne.

We współrzędnych odpowiada to indeksom: mnożenie jest podane przez

${\ Displaystyle (\ mathbf {A} \ mathbf {B} ) _ {ik} = \ suma _ {j} a_ {ij} b_ {jk}}$

więc

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B} ) = \ suma _ {ij} a_ {ij} b_ {ji} \ quad {\ tekst {i}} \ quad \ operatorname {tr } (\mathbf {B} \mathbf {A} )=\sum _{ij}b_{ij}a_{ji}}$

co jest takie samo, podczas gdy

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) \ cdot \ operatorname {tr} (\ mathbf {B}) = \ suma _ {i} a_ {ii} \ cdot \ suma _ {j} b_ { jj},}$

co jest inne.

Dla skończenie wymiarowego V , z bazą { e _i } i podwójną bazą { e ⁱ } , wtedy e _i ⊗ e ^j jest ij - wpisem macierzy operatora względem tej bazy. Dowolny operator A jest więc sumą postaci

${\ Displaystyle \ mathbf {A} = a_ {ij} e_ {i} \ czasami e ^ {j}.}$

Z t zdefiniowanym jak powyżej,

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) = a_ {ij} \ operatorname {tr} \ lewo (e_ {i} \ czasami e ^ {j} \ po prawej).}$

Ta ostatnia jest jednak po prostu deltą Kroneckera , która wynosi 1, jeśli i = j, a 0 w przeciwnym razie. To pokazuje, że tr ( A ) jest po prostu sumą współczynników wzdłuż przekątnej. Ta metoda sprawia jednak, że niezmienność współrzędnych jest bezpośrednią konsekwencją definicji.

Podwójny

Dalej można tę mapę dualizować, otrzymując mapę

${\ Displaystyle F ^ {*} = F \ do V \ otimes V ^ {*} \ cong \ operatorname {koniec} (V).}$

Ta mapa jest dokładnie włączeniem skalarów , wysyłając 1 ∈ F do macierzy jednostkowej: „ślad jest podwójny do skalarów”. W języku biagebr , skalary są jednostką , a ślad jest jednostką .

Można wtedy komponować te,

${\ Displaystyle F ~ {\ overset {I} {\ do}} ~ \ operatorname {koniec} (V) ~ {\ overset {\ operatorname {tr}} {\ do}} ~ F}$

co daje mnożenie przez n , gdyż ślad tożsamości jest wymiarem przestrzeni wektorowej.

Uogólnienia

Wykorzystując pojęcie obiektów dualizowalnych i śladów kategorycznych , to podejście do śladów można owocnie zaaksjomatyzować i zastosować w innych dziedzinach matematyki.

Zobacz też

• Ślad tensora względem tensora metrycznego
• Funkcja charakterystyczna
• Ślad terenowy
• Nierówność Golden-Thompsona
• Pojedynczy ślad
• Twierdzenie Specta
• Klasa śledzenia
• Śledź tożsamość
• Śledź nierówności
• ślad nierówności von Neumanna

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• „Ślad macierzy kwadratowej” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]