Izomorfizm grupowy - Group isomorphism

W abstrakcyjnej Algebra , A Izomorfizm grupa jest funkcją dwóch grup wprowadzającego zgodnością jeden do jednego między elementami grup w sposób uwzględniający podane operacje grupy. Jeśli istnieje izomorfizm między dwiema grupami, to grupy te nazywane są izomorficznymi . Z punktu widzenia teorii grup grupy izomorficzne mają te same właściwości i nie muszą być rozróżniane.

Definicja i notacja

Biorąc pod uwagę dwie grupy i izomorfizm grupy od celu jest bijective homomorfizmem grupy od do wypisanym, oznacza to, że grupa jest izomorfizmem bijective funkcja taka, że dla wszystkich i na to, że posiada

Dwie grupy i są izomorficzne, jeśli istnieje izomorfizm między jedną a drugą. To jest napisane:

Często można stosować krótsze i prostsze zapisy. Gdy odpowiednie operacje grupowe są jednoznaczne, pomija się je i pisze się:

Czasami można nawet po prostu napisać = To, czy taka notacja jest możliwa bez zamieszania lub dwuznaczności, zależy od kontekstu. Na przykład znak równości nie jest zbyt odpowiedni, gdy obie grupy są podgrupami tej samej grupy. Zobacz także przykłady.

I odwrotnie, mając grupę zbioru i bijekcję , możemy stworzyć grupę , definiując

Jeśli = i wtedy bijekcja jest automorfizmem ( qv ).

Intuicyjnie teoretycy grupy zobaczyć dwie grupy izomorficzne w sposób następujący: Dla każdego elementu grupy istnieje element w taki sposób, że „zachowuje się w taki sam sposób” jako (współpracuje z innymi elementami z grupy, w ten sam sposób, co ). Na przykład, jeśli generuje, to robi to. Oznacza to w szczególności, że i są w bijektywnej korespondencji. Zatem definicja izomorfizmu jest całkiem naturalna.

Izomorfizm grup można równoważnie zdefiniować jako odwracalny morfizm w kategorii grup , gdzie odwracalność oznacza tutaj odwrotność dwustronną.

Przykłady

W tej sekcji wymieniono kilka godnych uwagi przykładów grup izomorficznych.

  • Grupa wszystkich liczb rzeczywistych z dodawaniem jest izomorficzna z grupą dodatnich liczb rzeczywistych z mnożeniem :
    poprzez izomorfizm
    (patrz funkcja wykładnicza ).
  • Grupa z liczb (z dodatkiem) jest podgrupa o a grupa czynnikiem jest izomorficzny grupy o liczbach zespolonych z wartości bezwzględnej 1 (z mnożenia)
  • Klein cztery grupa jest izomorficzna z bezpośrednim produktem dwóch kopiach (patrz modułową arytmetyczne ), a zatem mogą być napisane Kolejny zapis jest , ponieważ jest to dwuścienny grupa .
  • Uogólniając to, na wszystko dziwne jest izomorficzna z bezpośredniego produktu z i
  • Jeśli jest nieskończoną grupą cykliczną , to jest izomorficzny z liczbami całkowitymi (z operacją dodawania). Z algebraicznego punktu widzenia oznacza to, że zbiór wszystkich liczb całkowitych (z operacją dodawania) jest „jedyną” nieskończoną grupą cykliczną.

W oparciu o aksjomat wyboru można udowodnić, że niektóre grupy są izomorficzne, ale dowód nie wskazuje, jak skonstruować konkretny izomorfizm. Przykłady:

  • Grupa jest izomorficzna z grupą wszystkich liczb zespolonych z dodawaniem.
  • Grupa niezerowych liczb zespolonych z mnożeniem jako operacją jest izomorficzna z grupą opisaną powyżej.

Nieruchomości

Ziaren o izomorfizmie z aby zawsze {e G } gdzie E G jest tożsamość grupy

Jeśli i są izomorficzne, to jest abelowe wtedy i tylko wtedy, gdy jest abelowe.

Jeśli jest izomorfizmem z aby następnie za każdy zamówienie z równymi Kolejność

Jeśli i są izomorficzne, to jest lokalnie skończoną grupą wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalnie skończona.

Liczba odrębnych grup (aż do izomorfizmu) rzędu jest podana przez sekwencję A000001 w OEIS . Pierwsze kilka liczb to 0, 1, 1, 1 i 2, co oznacza, że ​​4 to najniższy rząd z więcej niż jedną grupą.

Grupy cykliczne

Wszystkie grupy cykliczne danego rzędu są izomorficzne do gdzie oznacza addycję modulo

Niech będzie grupą cykliczną i będzie kolejnością to grupa generowana przez Pokażemy, że

Definiować

tak więc wyraźnie jest bijektywna. Następnie
co dowodzi, że

Konsekwencje

Z definicji wynika, że ​​każdy izomorfizm odwzoruje element tożsamości z na element tożsamości

że będzie mapować odwrotności na odwrotności,
oraz, bardziej ogólnie, TH Uprawnienia do th uprawnień,
i że odwrócona mapa jest również izomorfizmem grupowym.

Relacja „bycie izomorficznym” spełnia wszystkie aksjomaty relacji równoważności . Jeśli jest izomorfizmem pomiędzy dwiema grupami i wtedy wszystko, co jest prawdą, o które jest związane wyłącznie do struktury grupy mogą być tłumaczone za pośrednictwem do prawdziwego rachunku jw temat i vice versa.

Automorfizmy

Izomorfizm z grupy do samej siebie nazywany jest

automorfizmem tej grupy. Jest to więc bijekcja taka, że

Automorfizm zawsze mapuje tożsamość do siebie. Obraz pod automorfizmem klasy sprzężonej jest zawsze klasą sprzężoną (taką samą lub inną). Obraz elementu ma taką samą kolejność jak ten element.

Skład obu automorfizmy ponownie automorfizmem i przy tej operacji zbiór wszystkich automorfizmy z grupą oznaczoną formy sama grupy,

grupy automorfizmem z

Dla wszystkich grup abelowych istnieje przynajmniej automorfizm, który zastępuje elementy grupy ich odwrotnościami. Jednak w grupach, w których wszystkie elementy są równe ich odwrotności, jest to automorfizm trywialny, np. w grupie czterech Kleina . Dla tej grupy wszystkie permutacje trzech elementów nie-tożsamości są automorfizmami, więc grupa automorfizmu jest izomorficzna z i

W przypadku liczby pierwszej jeden element nietożsamości można zastąpić dowolnym innym, z odpowiednimi zmianami w innych elementach. Grupa automorfizmu jest izomorficzna z Na przykład, dla pomnożenia wszystkich elementów przez 3, modulo 7, jest automorfizmem rzędu 6 w grupie automorfizmów, ponieważ podczas gdy niższe potęgi nie dają 1. Tak więc ten automorfizm generuje Jest jeszcze jeden automorfizm z ta właściwość: mnożenie wszystkich elementów przez 5, modulo 7. Dlatego te dwa odpowiadają elementom 1 i 5 w tej kolejności lub odwrotnie.

Grupa automorfizmu jest izomorficzna do, ponieważ tylko każdy z dwóch elementów 1 i 5 generuje, więc oprócz tożsamości możemy je tylko wymieniać.

Grupa automorfizmu ma rząd 168, co można znaleźć w następujący sposób. Wszystkie 7 elementów nie-tożsamości odgrywa tę samą rolę, więc możemy wybrać, który odgrywa rolę Dowolny z pozostałych 6 może zostać wybrany do odgrywania roli (0,1,0). To decyduje o tym, co odpowiada Bo możemy wybrać z 4, co określa resztę. Mamy więc automorfizmy. Odpowiadają one tym z

płaszczyzny Fano , z których 7 punktów odpowiada 7 elementom nie-tożsamości. Linie łączące trzy punkty odpowiadają operacji grupowej: na jednej linii oznaczają i Zobacz także ogólną grupę liniową nad polami skończonymi .

Dla grup abelowych wszystkie automorfizmy oprócz trywialnego nazywane są automorfizmami zewnętrznymi .

Grupy nieabelowe mają nietrywialną grupę automorfizmu wewnętrznego , a być może także automorfizmy zewnętrzne.

Zobacz też

  • Bijection  – funkcja, która jest jeden do jednego i na (matematyka)

Bibliografia

  • Herstein, IN, Tematy z algebry , Wiley; Wydanie 2 (20 czerwca 1975), ISBN  0-471-01090-1 .