Homomorfizm modułu - Module homomorphism

W Algebra , A moduł homomorfizm jest funkcją między modułami , że zachowuje strukturę modułu. Jawnie, jeśli M i N są lewymi modułami nad pierścieniem R , wtedy funkcja nazywana jest homomorfizmem R - modułów lub R - liniowym odwzorowaniem, jeśli dla dowolnych x , y w M i r w R , ${\ Displaystyle f: M \ do N}$

${\ Displaystyle f (x + y) = f (x) + f (y)}$

${\displaystyle f(rx)=rf(x).}$

Innymi słowy, f jest homomorfizmem grupy (dla podstawowych grup addytywnych), który komutuje z mnożeniem przez skalar. Jeśli M , N są poprawnymi modułami R , to drugi warunek jest zastępowany przez

${\ Displaystyle f (xr) = f (x) r.}$

Preimage elementu Zero f nazywa się jądro z F . Zestaw wszystkich homomorfizmów moduł z M do N jest oznaczona . Jest to grupa abelowa (przy dodawaniu punktowym), ale niekoniecznie jest modułem, chyba że R jest przemienne . ${\ Displaystyle \ Operatorname {Dom} _ {R} (M, N)}$

Skład modułu homomorfizmów jest kolejny moduł homomorfizmem, a mapa tożsamość na module jest modułem homomorfizmem. W ten sposób wszystkie (powiedzmy po lewej) moduły wraz ze wszystkimi homomorfizmami modułów między nimi tworzą kategorię modułów .

Terminologia

Homomorfizm modułu jest nazywany izomorfizmem modułu, jeśli dopuszcza homomorfizm odwrotny; w szczególności jest to bijection . I odwrotnie, można wykazać, że homomorfizm modułu bijektywnego jest izomorfizmem; tj. odwrotność jest homomorfizmem modułu. W szczególności homomorfizm modułu jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest izomorfizmem pomiędzy podstawowymi grupami abelowymi.

W twierdzenie o izomorfizmie przytrzymać przez homomorfizmów modułu.

Moduł homomorfizm z modułu M do siebie jest nazywana endomorfizm i Izomorfizm z M na sobie jest automorfizmem . Pisze się dla zbioru wszystkich endomorfizmów pomiędzy modułem M . Jest to nie tylko grupa przemienna ale również pierścienia z rozmnażania kompozycji określonej przez funkcję, zwany pierścieniem endomorfizm z M . Grupa jednostek tego pierścienia jest grupą automorfizmem z M . ${\ Displaystyle \ operatorname {koniec} _ {R} (M) = \ operatorname {Hom} _ {R} (M, M)}$

Lemat Schura mówi, że homomorfizm między prostymi modułami (moduł bez nietrywialnych podmodułów ) musi być albo zerem, albo izomorfizmem. W szczególności pierścień endomorfizmu prostego modułu jest pierścieniem podziału .

W języku teorii kategorii homomorfizm iniekcyjny nazywany jest także monomorfizmem, a homomorfizm surjekcyjny epimorfizmem .

Przykłady

• Zerowy map M → N , który odwzorowuje każdy element do zera.
• Transformacji liniowej między przestrzeni wektorowej .
• ${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ mathbb {Z}} (\ mathbb {Z} / n, \ mathbb {Z} / m) = \ mathbb {Z} / \ operatorname {gcd} (n, m) }$.
• Dla pierścienia przemiennego R i ideałów I , J , istnieje identyfikacja kanoniczna

  ${\ Displaystyle \ Operatorname {Hom} _ {R} (R / I, R / J) = \ {r \ w R | rI \ podzbiór J \} / J}$

podane przez . W szczególności, jest Annihilator z I .${\displaystyle f\mapsto f(1)}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Dom} _ {R} (R / I, R)}$

• Mając pierścień R i element r , oznaczmy lewe mnożenie przez r . Następnie dla dowolnych s , t w R , ${\ Displaystyle l_ {r}: R \ do R}$

  ${\ Displaystyle l_ {r} (st) = rst = l_ {r} (s) t}$.

Oznacza to, że jest w porządku R- liniowy.${\displaystyle l_{r}}$

• Dla każdego pierścienia R ,
  • ${\ Displaystyle \ Operatorname {Koniec} _ {R} (R) = R}$jak pierścienie, gdy R jest postrzegany jako właściwy moduł nad sobą. Jawnie ten izomorfizm jest podany przez lewą reprezentację regularną .${\ Displaystyle R {\ overset {\ sim} {\ do}} \ nazwa operatora {koniec} _ {R} (R), \, r \ mapsto l_ {r}}$
  • Podobnie jak pierścienie, gdy R jest postrzegany jako lewy moduł nad sobą. Podręczniki lub inne źródła zazwyczaj określają, która konwencja jest używana.${\ Displaystyle \ Operatorname {Koniec} _ {R} (R) = R ^ {op}}$
  • ${\ Displaystyle \ Operatorname {Hom} _ {R} (R, M) = M}$przez dla dowolnego lewego modułu M . (Struktura modułów na Hom pochodzi z prawej akcji R na R ; zobacz #Struktury modułów na Hom poniżej.)${\displaystyle f\mapsto f(1)}$
  • ${\ Displaystyle \ Operatorname {Dom} _ {R} (M, R)}$nazywany jest podwójny moduł z M ; jest to moduł lewy (lub prawy), jeśli M jest modułem prawym (lub lewym) nad R ze strukturą modułu pochodzącą z akcji R na R . Jest oznaczony przez .${\ Displaystyle M ^ {*}}$
• Mając homomorfizm pierścienia R → S pierścieni przemiennych i moduł S M , R -liniowe odwzorowanie θ: S → M nazywamy pochodną, jeśli dla dowolnego f , g w S , θ( fg ) = f θ( g ) + θ( f ) g .
• Jeśli S , T są algebrami asocjacyjnymi unitarnymi nad pierścieniem R , to homomorfizm algebry od S do T jest homomorfizmem pierścienia, który jest również homomorfizmem R- modułu.

Struktury modułów na Hom

Krótko mówiąc, Hom dziedziczy akcję pierścieniową, która nie została wykorzystana do utworzenia Hom. Dokładniej, niech M , N pozostaną R -moduły. Załóżmy, że M ma prawo działania pierścienia S, który komutuje z działaniem R ; tj. M jest modułem ( R , S ). Następnie

${\ Displaystyle \ Operatorname {Dom} _ {R} (M, N)}$

ma strukturę lewego modułu S określoną przez: dla s w S i x w M ,

${\ Displaystyle (s \ cdot f) (x) = f (xs).}$

Jest dobrze zdefiniowany (tj. jest R- liniowy), ponieważ ${\displaystyle s\cdot f}$

${\ Displaystyle (s \ cdot f) (rx) = f (rxs) = rf (xs) = r (s \ cdot f) (x)}$

i jest akcją pierścieniową od ${\displaystyle s\cdot f}$

${\ Displaystyle (st \ cdot f) (x) = f (xst) = (t \ cdot f) (xs) = s \ cdot (t \ cdot f) (x)}$.

Uwaga: powyższy weryfikacyjny będzie „nie” stosuje się, gdy jeden z lewej R -action zamiast prawego S -action. W tym sensie często mówi się, że Hom „ zużywa ” działanie R.

Podobnie, jeśli M jest lewym modułem R, a N jest modułem ( R , S ), to jest prawym modułem S firmy . ${\ Displaystyle \ Operatorname {Dom} _ {R} (M, N)}$${\ Displaystyle (f \ cdot s) (x) = f (x) s}$

Reprezentacja macierzowa

Związek między macierzami a przekształceniami liniowymi w algebrze liniowej w naturalny sposób uogólnia homomorfizmy modułów między wolnymi modułami. Dokładnie, przy odpowiednim R -module U , istnieje kanoniczny izomorfizm grup abelowych

${\ Displaystyle \ Operatorname {Hom} _ {R} (U ^ {\ oplus n}, U ^ {\ oplus m}) {\ przesunięty {f \ mapsto [f_ {ij}]}} {\ przesunięty {\ sim} {\to }}}M_{m,n}(\nazwa operatora {Koniec} _{R}(U))}$

uzyskany przez oglądanie składających się z wektorów kolumnowych, a następnie zapisanie f jako macierz m × n . W szczególności, patrząc na R jako właściwy moduł R i używając , trzeba ${\ Displaystyle U ^ {\ oplus n}}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Koniec} _ {R} (R) \ Simeq R}$

${\ Displaystyle \ operatorname {koniec} _ {R} (R ^ {n}) \ simeq M_ {n} (R)}$,

który okazuje się izomorfizmem pierścienia (ponieważ skład odpowiada mnożeniu macierzy ).

Zauważ, że powyższy izomorfizm jest kanoniczny; nie ma wyboru. Z drugiej strony, jeśli dany jest homomorfizm modułu między modułami swobodnymi o skończonych szeregach , to wybór uporządkowanej bazy odpowiada wyborowi izomorfizmu . Powyższa procedura daje następnie reprezentację macierzową w odniesieniu do takich wyborów zasad. W przypadku bardziej ogólnych modułów reprezentacje macierzowe mogą być albo niejednoznaczne, albo nie istnieć. ${\ Displaystyle F \ Simeq R ^ {n}}$

Definiowanie

W praktyce często definiuje się homomorfizm modułu, określając jego wartości na zbiorze generującym . Dokładniej, niech M i N pozostaną modułami R. Załóżmy, że podzbiór S generuje M ; tzn. istnieje surjecja z wolnym modułem F z bazą indeksowaną przez S i jądro K (tj. ma się wolną prezentację ). Następnie dać modułowi homomorfizm to dać modułowi homomorfizm, który zabija K (tj. odwzorowuje K na zero). ${\ Displaystyle F \ do M}$${\ Displaystyle M \ do N}$${\ Displaystyle F \ do N}$

Operacje

Jeśli i są homomorfizmami modułów, to ich sumą bezpośrednią jest ${\ Displaystyle f: M \ do N}$${\displaystyle g:M'\do N'}$

${\ Displaystyle f \ oplus g: M \ oplus M '\ do N \ oplus N ', \ (x, y) \ mapsto (f (x), g (y))}$

a ich iloczyn tensorowy to

${\ Displaystyle f \ czasy g: M \ czasy M '\ do N \ czasy N ', \, x \ czasy y \ mapsto f (x) \ czasy g (y).}$

Niech będzie homomorfizmem modułów między lewymi modułami. Wykres Γ _f o f jest modułem z M ⊕ N podaje ${\ Displaystyle f: M \ do N}$

${\ Displaystyle \ Gamma _ {f} = \ {(x, f (x)) | x \ w M \}}$,

który jest obrazem modułu homomorfizm M → M ⊕ N , x → ( x , f ( x ) ), zwany morfizmem grafu .

Transpozycji z F jest

${\ Displaystyle f ^ {*}: N ^ {*} \ do M ^ {*} \, f ^ {*} (\ alfa) = \ alfa \ circ f.}$

Jeśli f jest Izomorfizm, wówczas transpozycji odwrotności f nazywa się contragredient o f .

Dokładne sekwencje

Rozważ sekwencję homomorfizmów modułów

${\displaystyle \cdots {\overset {f_{3}}{\longrightarrow}}M_{2}{\overset {f_{2}}{\longrightarrow}}M_{1}{\overset {f_{1}} {\longrightarrow }}M_{0}{\overset {f_{0}}{\longrightarrow }}M_{-1}{\overset {f_{-1}}{\longrightarrow }}\cdots .}$

Taka sekwencja nazywana jest kompleksem łańcuchowym (lub często po prostu złożonym), jeśli każda kompozycja wynosi zero; tj. lub równoważnie obraz jest zawarty w jądrze . (Jeżeli liczby rosną zamiast maleć, to nazywa się to kompleksem współłańcuchowym; np . kompleks de Rama .) Kompleks łańcuchowy nazywamy sekwencją dokładną, jeśli . Szczególnym przypadkiem dokładnej sekwencji jest krótka dokładna sekwencja: ${\ Displaystyle f_ {i} \ circ f_ {i + 1} = 0}$${\displaystyle f_{i+1}}$${\displaystyle f_{i}}$${\ Displaystyle \ operatorname {im} (f_ {i + 1}) = \ operatorname {ker} (f_ {i})}$

${\ Displaystyle 0 \ do A {\ przesłonięty {f} {\ do}} B {\ przesłonięty {g} {\ do}} C \ do 0}$

gdzie jest injective, jądro jest obrazem i jest surjektywne. ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

Dowolny homomorfizm modułu definiuje dokładną sekwencję ${\ Displaystyle f: M \ do N}$

${\ Displaystyle 0 \ do K \ do M {\ przesłonięty {f} {\ do}} N \ do C \ do 0,}$

gdzie jest jądrem , i jest cokernel, czyli ilorazem przez obraz . ${\ Displaystyle K}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C}$${\ Displaystyle N}$${\displaystyle f}$

W przypadku modułów w pierścieniu przemiennym , sekwencja jest dokładna wtedy i tylko wtedy, gdy jest dokładna dla wszystkich maksymalnych ideałów ; czyli wszystkie sekwencje

${\ Displaystyle 0 \ do A_ {\ mathfrak {m}} {\ przesłonięty {f} {\ do}} B_ {\ mathfrak {m}} {\ przesłonięty {g} {\ do}} C_ {\ mathfrak {m }}\do 0}$

są dokładne, gdzie indeks oznacza lokalizację w maksymalnym ideale . ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

Jeśli są homomorfizmami modułów, to mówi się, że tworzą kwadrat włókna (lub kwadrat wycofywania ), oznaczony przez M × _B N , jeśli pasuje do ${\ Displaystyle f: M \ do B, g: N \ do B}$

${\ Displaystyle 0 \ do M \ razy _ {B} N \ do M \ razy N {\ przesunięty {\ phi} {\ do}} B \ do 0}$

gdzie . ${\ Displaystyle \ phi (x, y) = f (x)-g (x)}$

Przykład: Niech będą pierścieniami przemiennymi, a ja będę anihilatorem ilorazu B -moduł A / B (który jest ideałem A ). Następnie mapy kanoniczne tworzą kwadrat włókna z${\displaystyle B\podzbiór A}$${\displaystyle A\do A/I,B/I\do A/I}$${\ Displaystyle B = A \ razy _ {A / I} B / I.}$

Endomorfizmy skończenie generowanych modułów

Niech będzie endomorfizmem pomiędzy skończenie generowanymi modułami R dla przemiennego pierścienia R . Następnie ${\ Displaystyle \ phi : M \ do M}$

• ${\displaystyle \phi}$jest zabity przez swój charakterystyczny wielomian w stosunku do generatorów M ; zobacz lemat Nakayamy#Dowód .
• Jeśli jest surjektywna, to jest iniektywna.${\displaystyle \phi}$

Zobacz też: Iloraz Herbranda (który można zdefiniować dla dowolnego endomorfizmu z pewnymi warunkami skończoności).

Wariant: relacje addytywne

Dodatek stosunek z modułu M do modułu N jest modułem z Innymi słowy, jest to „ wielu wartościach ” homomorfizm zdefiniowane w pewnym modułem z M . Odwrotna od f jest modułem . Dowolna addytywna relacja f określa homomorfizm z podmodułu M do ilorazu N${\ Displaystyle M \ do N}$${\ Displaystyle M \ oplus N.}$${\ Displaystyle f ^ {-1}}$${\ Displaystyle \ {(y, x) | (x, y) \ w f \}}$

${\ Displaystyle D (f) \ do N / \ {y | (0, r) \ w f \}}$

w którym składa się ze wszystkich elementów x w M tak, że ( x , y ) należący do f pewnego y w N . ${\ Displaystyle D (f)}$

Przekroczenie wynikający z widmowej sekwencja jest przykładem dodatku związku.

Zobacz też

• Stożek mapowania (algebra homologiczna)
• Smith postać normalna
• Kompleks łańcuchowy
• Łączenie w pary

Uwagi

Bibliografia

• Bourbaki, Algebra . Rozdział II.
• S. MacLane, Homologia
• H. Matsumura, Przemienna teoria pierścieni. Przetłumaczone z japońskiego przez M. Reida. Druga edycja. Studia Cambridge z matematyki zaawansowanej, 8.