Podgrupa borela - Borel subgroup

Grupy kłamstw
Grupy klasyczne
Proste grupy kłamstw Klasyczny A n B n C n D n Wyjątkowy G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Inne grupy Lie okrąg Lorentz Poincaré Grupa konformalna Dyfeomorfizm Pętla Euklidesa
Lie algebry
Półprosta algebra Lie
Teoria reprezentacji
Grupy kłamstw w fizyce
Naukowcy Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Słownik Tabela grup Lie
v t mi

W teorii grup algebraicznych , A Borel podgrupa o algebraicznej grupie G jest ilość Zariski zamknięty i połączony rozpuszczalny algebraiczna podgrupy . Na przykład w ogólnej liniowej grupie GL _n ( odwracalne macierze nxn ) podgrupą odwracalnych górnych macierzy trójkątnych jest podgrupa borela .

Dla grup realizowanych na algebraicznie zamkniętych ciałach istnieje jedna klasa koniugacji podgrup borelowskich.

Podgrupy borelowskie są jednym z dwóch kluczowych składników w zrozumieniu struktury prostych (bardziej ogólnie redukcyjnych ) grup algebraicznych w teorii grup z parą (B, N) Jacquesa Titsa . W tym przypadku grupy B jest podgrupą Borel i N jest normalizator a torusa maksymalnego zawarte w B .

Pojęcie to wprowadził Armand Borel , który odegrał wiodącą rolę w rozwoju teorii grup algebraicznych.

Podgrupy paraboliczne

Podgrupy pomiędzy podgrupą Borela B i grupą otoczenia G nazywane są podgrupami parabolicznymi . Podgrupy paraboliczne P są również scharakteryzowane, wśród podgrup algebraicznych, przez warunek, że G / P jest całkowitą różnorodnością . Pracując nad algebraicznie zamkniętymi ciałami, podgrupy borelowskie okazują się w tym sensie minimalnymi podgrupami parabolicznymi . Zatem B jest podgrupą borelowską, gdy jednorodna przestrzeń G / B jest kompletną odmianą, która jest „tak duża, jak to tylko możliwe”.

W przypadku prostej grupy algebraicznej G zbiór klas koniugacji podgrup parabolicznych jest zgodny ze zbiorem wszystkich podzbiorów węzłów odpowiedniego diagramu Dynkina ; podgrupa Borel odpowiada pustemu zbiorowi, a samo G odpowiada zbiorowi wszystkich węzłów. (Ogólnie każdy węzeł diagramu Dynkina wyznacza prosty ujemny pierwiastek, a zatem jednowymiarową „grupę rdzeniową” G - podzbiór węzłów daje w ten sposób podgrupę paraboliczną, wygenerowaną przez B i odpowiadające im ujemne grupy pierwiastków. Co więcej, każda podgrupa paraboliczna jest sprzężona z taką podgrupą paraboliczną.)

Przykład

Niech . Borel podgrupa o to zestaw górnych trójkątnych macierzy ${\ Displaystyle G = GL_ {4} (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle G}$

${\ Displaystyle \ left \ {A = {\ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} & a_ {14} \\ 0 & a_ {22} & a_ {23} & a_ {24} \\ 0 & 0 & a_ {33 } & a_ {34} \\ 0 & 0 & 0 & a_ {44} \ end {bmatrix}}: \ det (A) \ neq 0 \ right \}}$

a maksymalna odpowiednie paraboliczne podgrupy zawierającej są ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle B}$

${\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} & a_ {14} \\ 0 & a_ {22} & a_ {23} & a_ {24} \\ 0 & a_ {32} & a_ {33} & a_ {34} \\ 0 & a_ {42} & a_ {43} & a_ {44} \ end {bmatrix}} \ right \}, {\ text {}} \ left \ {{\ begin {bmatrix} a_ { 11} & a_ {12} & a_ {13} & a_ {14} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} & a_ {24} \\ 0 & 0 & a_ {33} & a_ {34} \\ 0 & 0 & a_ {43} & a_ { 44} \ end {bmatrix}} \ right \}, {\ text {}} \ left \ {{\ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} & a_ {14} \\ a_ {21 } & a_ {22} & a_ {23} & a_ {24} \\ a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} & a_ {34} \\ 0 & 0 & 0 & a_ {44} \ end {bmatrix}} \ right \}}$

Ponadto maksymalny torus w to ${\ displaystyle B}$

${\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {bmatrix} a_ {11} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_ {22} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_ {33} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_ {44} \ end {bmatrix}}: a_ {11} \ cdot a_ {22} \ cdot a_ {33} \ cdot a_ {44} \ neq 0 \ right \}}$

Jest to izomorficzne z algebraicznym torusem . ${\ Displaystyle (\ mathbb {C} ^ {*}) ^ {4} = {\ tekst {Spec}} (\ mathbb {C} [x ^ {\ pm 1}, y ^ {\ pm 1}, z ^ {\ pm 1}, w ^ {\ pm 1}])}$

Lie algebra

Na specjalnym przypadku algebry Lie z podalgebrą Cartan , podać kolejność od The podalgebrą Borel jest bezpośrednim suma i obowiązuje waga od z dodatnim wagi. Podalgebra Lie zawierająca podalgebrę Borela nazywana jest paraboliczną algebrą Lie . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Zobacz też

• Grupa hiperboliczna
• Podgrupa Cartana

Bibliografia

• Gary Seitz (1991). „Grupy algebraiczne”. W B. Hartley; et al. (red.). Grupy skończone i lokalnie skończone . s. 45–70.
• J. Humphreys (1972). Liniowe grupy algebraiczne . Nowy Jork: Springer. ISBN   0-387-90108-6 .
• A. Borel (2001). Eseje z historii grup kłamstw i grup algebraicznych . Providence RI: AMS. ISBN   0-8218-0288-7 .

Konkretny

Linki zewnętrzne

• Popov, VL (2001) [1994], „Parabolic subgroup” , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Platonov, VP (2001) [1994], „Borel subgroup” , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press