SO (8) - SO(8)

D ₄ , diagram Dynkina SO (8)

Struktura algebraiczna → Teoria grup Teoria grup
Podstawowe pojęcia Podgrupa Normalna podgrupa Grupa ilorazów Produkt (pół) bezpośredni Homomorfizmy grupowe jądro wizerunek suma bezpośrednia produkt wieniec prosty skończone nieskończony ciągły mnożny przyłączeniowy cykliczny abelowy dwuścienny nilpotent rozpuszczalny Słowniczek teorii grup Lista tematów teorii grup
Grupy skończone Klasyfikacja skończonych grup prostych cykliczny zmienny Typ kłamstwa sporadyczny Twierdzenie Cauchy'ego Twierdzenie Lagrange'a Twierdzenia Sylowa Twierdzenie Halla grupa p Elementarna grupa abelowa Grupa Frobenius Mnożnik Schura Grupa symetryczna S n Klein cztery grupy V Grupa dwuścienna D n Grupa kwaternionów Q Grupa dicykliczna Dic n
Dyskretne grupy Kraty Liczby całkowite ( Z ) Bezpłatna grupa Grupy modułowe PSL (2, Z ) SL (2, Z ) Grupa arytmetyczna Krata Grupa hiperboliczna
Grupy topologiczne i Lie Elektrozawór okrąg Ogólny liniowy GL ( n ) Specjalny liniowy SL ( n ) Ortogonalne O ( n ) Euklidesa E ( n ) Specjalne ortogonalne SO ( n ) Jednostkowe U ( n ) Specjalne jednostkowe SU ( n ) Symplectic Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Konformalne Dyfeomorfizm Pętla Nieskończona wymiarowa grupa Lie O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupy algebraiczne Liniowa grupa algebraiczna Grupa redukcyjna Odmiana abelowa Krzywa eliptyczna
v t mi

W matematyce , SO (8) jest szczególną grupą prostopadłe działając na ośmiowymiarowej przestrzeni euklidesowej . Może to być rzeczywista lub złożona prosta grupa Liego o randze 4 i wymiarze 28.

Wirowanie (8)

Podobnie jak wszystkie specjalne grupy ortogonalne , SO (8) nie jest po prostu połączona , mając podstawową grupę izomorficzną do Z ₂ . Uniwersalne pokrycie SO (8) oznacza grupę wirowania wirówki (8) . ${\ displaystyle n> 2}$

Środek

Centrum SO (8) Z ₂ , diagonalne macierzy {± I} (jak w przypadku wszystkich SO (2 n ) W 2 n ≥ 4), podczas gdy środek Spin (8), Z ₂ x Z ₂ (jak dla wszystkich Spin (4 n ), 4 n ≥ 4).

Triality

SO (8) jest wyjątkowy wśród prostych grup Liego, ponieważ jego diagram Dynkina ,( D ₄ według klasyfikacji Dynkina), posiada potrójną symetrię . To powoduje osobliwą cechę Spin (8) znaną jako próbność . Wiąże się z tym fakt, że dwie reprezentacje spinorów , jak również podstawowa reprezentacja wektorowa Spin (8) są wszystkie ośmiowymiarowe (dla wszystkich innych grup spinów reprezentacja spinora jest mniejsza lub większa niż reprezentacja wektorowa). Automorfizm trialityzmu Spin (8) żyje w zewnętrznej grupie automorfizmu Spin (8), która jest izomorficzna z symetryczną grupą S _3, która permutuje te trzy reprezentacje. Grupa automorfizmów oddziałuje na centrum Z ₂ x Z ₂ (która również ma grupę automorfizmu izomorficzną do S _3, którą można również uznać za ogólną grupę liniową na polu skończonym z dwoma elementami, S ₃ ≅GL (2,2)) . Kiedy jeden iloraz Spin (8) przez jeden centralny Z ₂ , łamiąc tę ​​symetrię i uzyskując SO (8), pozostała zewnętrzna grupa automorfizmu to tylko Z ₂ . Symetria trialności działa ponownie na dalszy iloraz SO (8) / Z ₂ .

Czasami Spin (8) pojawia się naturalnie w "powiększonej" formie, jako grupa automorfizmu Spin (8), która rozpada się jako półpośredni produkt : Aut (Spin (8)) ≅ PSO (8) ⋊ S ₃ .

Jednostkowe oktony

Elementy SO (8) może być opisany w jednostkowych octonions analogicznie, jak elementy SO (2) mogą być opisane z jednostki zespolonej oraz elementy SO (4) można określić z quaternions jednostkowych . Jednak związek jest bardziej skomplikowany, częściowo z powodu braku asocjatywności oktonionów. Ogólny element w SO (8) można opisać jako iloczyn 7 mnożenia po lewej stronie, 7 mnożenia po prawej, a także 7 bimplikacji przez oktoniony jednostkowe (dwukrotne pomnożenie jest złożeniem mnożenia w lewo i mnożenia w prawo przez to samo oktonion i jest jednoznacznie zdefiniowany przez oktoniony zgodne z tożsamościami Moufang ).

Można wykazać, że element SO (8) można skonstruować z bimplikacjami, pokazując najpierw, że pary odbić przez początek w przestrzeni 8-wymiarowej odpowiadają parom bimultiplikacji przez jednostkowe oktoniony. Triality automorfizmem Spin (8) opisanych poniżej zapewnia podobne struktury z lewej i prawej mnożenia mnożenia.

Oktoniony i triality

Jeśli i , można wykazać, że jest to równoważne , czyli bez dwuznaczności. Trzy mapy, które zachowują tę tożsamość, nazywamy to izotopem . Jeśli trzy mapy izotopii są w , izotop nazywany jest izotopem ortogonalnym. Jeśli , to następujące powyższe można opisać jako iloczyn, powiedzmy, dwukrotności oktonii jednostkowych . Pozwolić być odpowiednie produkty lewych i prawych mnożenia przez koniugatów (tj multiplikatywne odwrotności) tego samego octonions jednostkowych, więc , . Proste obliczenia pokazują, że jest to izotop. W wyniku braku asocjatywności oktonionów, jedyną inną izotopią ortogonalną dla jest . Ponieważ zbiór ortogonalnych izotopów tworzy pokrycie 2 do 1 , w rzeczywistości muszą być . ${\ Displaystyle x, y, z \ in \ mathbb {O}}$${\ displaystyle (xy) z = 1}$${\ Displaystyle x (yz) = 1}$${\ displaystyle xyz = 1}$${\ Displaystyle (\ alfa, \ beta, \ gamma)}$${\ Displaystyle x ^ {\ alpha} y ^ {\ beta} z ^ {\ gamma} = 1}$${\ displaystyle \ operatorname {SO (8)}}$${\ Displaystyle \ gamma \ in \ nazwa operatora {SO (8)}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma = B_ {u_ {1}} ... B_ {u_ {n}}}$${\ Displaystyle \ alfa, \ beta \ in \ nazwa operatora {SO (8)}}$${\ displaystyle \ alpha = L _ {\ overline {u_ {1}}} ... L _ {\ overline {u_ {n}}}}$${\ displaystyle \ beta = R _ {\ overline {u_ {1}}} ... R _ {\ overline {u_ {n}}}}$${\ Displaystyle (\ alfa, \ beta, \ gamma)}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle (- \ alfa, - \ beta, \ gamma)}$${\ displaystyle \ operatorname {SO} (8)}$${\ displaystyle \ operatorname {spin} (8)}$

Multiplikatywne odwrotności oktonionów są dwustronne, co oznacza, że jest równoważne . Oznacza to, że dana izotopia może być permutowana cyklicznie, dając dwie dalsze izotopie i . Daje to zewnętrzny automorfizm rzędu 3 o wartości . Ten automorfizm „triality” jest wyjątkowy wśród grup spinowych . Nie ma automorfizmu próbnego , ponieważ dla danej mapy odpowiednie mapy są tylko jednoznacznie określone do podpisania. ${\ displaystyle xyz = 1}$${\ displaystyle yzx = 1}$${\ Displaystyle (\ alfa, \ beta, \ gamma)}$${\ Displaystyle (\ beta, \ gamma, \ alfa)}$${\ Displaystyle (\ gamma, \ alfa, \ beta)}$${\ displaystyle \ operatorname {spin} (8)}$${\ displaystyle \ operatorname {SO} (8)}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle \ alfa, \ beta}$

System korzeniowy

${\ Displaystyle (\ pm 1, \ pm 1,0,0)}$

${\ Displaystyle (\ pm 1,0; \ pm 1,0)}$

${\ Displaystyle (\ pm 1,0,0; \ pm 1)}$

${\ Displaystyle (0, \ pm 1, \ pm 1,0)}$

${\ displaystyle (0, \ pm 1,0, \ pm 1)}$

${\ Displaystyle (0,0, \ pm 1, \ pm 1)}$

Grupa Weyl

Jego grupa Weyl / Coxeter ma 4! × 8 = 192 elementy.

Macierz Cartana

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} 2 i -1 i -1 i -1 \\ - 1 i 2 i 0 i 0 \\ - 1 i 0 i 2 i 0 \\ - 1 i 0 i 0 i 2 \ koniec {pmatrix}}}$

Zobacz też

• Octonions
• Algebra Clifforda
• G ₂

Bibliografia

• Adams, JF (1996), Wykłady o wyjątkowych grupach Lie , Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press , ISBN 0-226-00526-7
• Chevalley, Claude (1997), algebraiczna teoria spinorów i algebr Clifforda , prace zebrane, 2 , Springer-Verlag, ISBN 3-540-57063-2(pierwotnie opublikowany w 1954 przez Columbia University Press )
• Porteous, Ian R. (1995), Clifford algebras and the classical groups , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 50 , Cambridge University Press , ISBN 0-521-55177-3