Porządek (teoria grup) - Order (group theory)
Struktura algebraiczna → Teoria grup Teoria grup |
---|
W teorii grup , gałęzi matematyki , porządkiem grupy jest jej kardynalność , czyli liczba elementów w jej zbiorze. Jeśli grupa jest widoczne multiplikatywnie The kolejność elementów A grupy, nazywane również długość okresu lub okres od jest najmniejsza dodatnia m tak, że m = E , gdzie E oznacza element neutralny grupy i m oznacza iloczyn m kopii . W przypadku braku takiej m istnieje, mówi się mieć nieskończoną zamówienia.
Rząd grupy G jest oznaczony przez ord( G ) lub | G |, a kolejność elementu a jest oznaczona przez ord( a ) lub | |. Rząd elementu a jest równy porządkowi jego cyklicznej podgrupy ⟨ a ⟩ = { a k dla k an integer}, podgrupy generowanej przez a . Zatem | | = | ⟨ ⟩ |.
Twierdzenie Lagrange'a mówi, że dla każdej podgrupy H z G , porządek podgrupy dzieli porządek grupy: | H | jest dzielnikiem |G|. W szczególności kolejność | | dowolnego elementu jest dzielnikiem | G |.
Przykład
Grupa symetryczne S 3 o następującej tabeli mnożenia .
• mi s T ty v w mi mi s T ty v w s s mi v w T ty T T ty mi s w v ty ty T w v mi s v v w s mi ty T w w v ty T s mi
Ta grupa ma sześć elementów, więc ord(S 3 ) = 6 . Z definicji, kolejność tożsamości, e , jest jeden, ponieważ e 1 = e . Każdy z s , t i w kwadratów do e , więc te elementy grupy mają rząd drugi: | s | = | t | = | w | = 2 . Wreszcie u i v mają rząd 3, ponieważ u 3 = vu = e , a v 3 = uv = e .
Porządek i struktura
Kolejność grupy G i rzędy jej elementów dają wiele informacji o strukturze grupy. Z grubsza mówiąc, im bardziej skomplikowana jest faktoryzacja | G |, tym bardziej skomplikowana struktura G .
Dla | G | = 1, grupa jest trywialna . W dowolnej grupie tylko element tożsamości a = e ma ord( a) = 1. Jeśli każdy element nietożsamości w G jest równy swojej odwrotności (tak, że a 2 = e ), wtedy ord( a ) = 2; oznacza to, że G jest abelowe, ponieważ . Odwrotność nie jest prawdą; na przykład (dodatkowa) cykliczna grupa Z 6 liczb całkowitych modulo 6 jest abelowa, ale liczba 2 ma rząd 3:
- .
Związek między tymi dwoma pojęciami porządku jest następujący: jeśli piszemy
dla podgrupy generowanego przez , a następnie
Dla dowolnej liczby całkowitej k mamy
- a k = e wtedy i tylko wtedy, gdy ord( a ) dzieli k .
Ogólnie rzecz biorąc, kolejność dowolnej podgrupy G dzieli kolejność G . Dokładniej: jeśli H jest podgrupą G , to
- ORD ( G ) / ORD ( H ) = [ G : H ], gdzie [ G : H ] nazywa się indeks w H w G , całkowita. To jest twierdzenie Lagrange'a . (Jest to jednak prawdziwe tylko wtedy, gdy G ma skończony porządek. Jeśli ord( G ) = ∞, iloraz ord( G ) / ord( H ) nie ma sensu.)
Jako bezpośrednią konsekwencję powyższego widzimy, że kolejność każdego elementu grupy dzieli kolejność grupy. Na przykład w grupie symetrycznej pokazanej powyżej, gdzie ord(S 3 ) = 6, możliwe porządki elementów to 1, 2, 3 lub 6.
Dla grup skończonych prawdziwa jest następująca odwrotność częściowa : jeśli d dzieli porządek grupy G i d jest liczbą pierwszą , to istnieje element rzędu d w G (jest to czasami nazywane twierdzeniem Cauchy'ego ). Stwierdzenie nie obowiązuje dla zamówień złożonych , np. czterogrupa Kleina nie ma elementu czwartego rzędu). Można to wykazać dowodem indukcyjnym . Konsekwencje twierdzenia są następujące: rząd grupy G jest potęgą liczby pierwszej p wtedy i tylko wtedy, gdy ord( a ) jest pewną potęgą p dla każdego a w G .
Jeśli a ma nieskończony porządek, to wszystkie niezerowe potęgi a również mają nieskończony porządek. Jeśli a ma skończony porządek, to mamy następujący wzór na rząd potęg a :
- ord( a k ) = ord( a ) / gcd (ord( a ), k )
dla każdej liczby całkowitej k . W szczególności a i jego odwrotność a -1 mają tę samą kolejność.
W dowolnej grupie
Nie ma wzór ogólny odnoszące rzędu produktów AB rozkazom i b . W rzeczywistości możliwe jest, że zarówno i b mają skończoną porządku przy AB ma nieskończoną kolejności, albo, że obie i b ma nieskończoną porządku przy AB ma skończoną zamówienia. Przykładem pierwszego jest a ( x ) = 2- x , b ( x ) = 1- x z ab ( x ) = x -1 w grupie . Przykładem tego ostatniego jest a ( x ) = x +1, b ( x ) = x -1 z ab ( x ) = x . Jeśli ab = ba , możemy przynajmniej powiedzieć, że ord( ab ) dzieli lcm (ord( a ), ord( b )). W konsekwencji można udowodnić, że w skończonej grupie abelowej, jeśli m oznacza maksimum wszystkich rzędów elementów grupy, to rząd każdego elementu dzieli m .
Liczenie według kolejności elementów
Załóżmy, że G jest skończoną grupą rzędu n , a d jest dzielnikiem n . Liczba elementów rzędu d w G jest wielokrotnością φ( d ) (ewentualnie zero), gdzie φ jest funkcją totient Eulera , dającą liczbę dodatnich liczb całkowitych nie większą niż d i względnie pierwszą . Na przykład, w przypadku S 3 , φ(3) = 2, a mamy dokładnie dwa elementy rzędu 3. Twierdzenie nie dostarcza użytecznych informacji o elementach rzędu 2, ponieważ φ(2) = 1 i jest tylko o ograniczonej użyteczności dla złożonego d, takiego jak d =6, ponieważ φ(6)=2 i nie ma elementów rzędu 6 w S 3 .
W odniesieniu do homomorfizmów
Homomorfizmy grupowe mają tendencję do zmniejszania rzędów elementów: jeśli f : G → H jest homomorfizmem, a a jest elementem G o skończonym porządku, to ord( f ( a )) dzieli ord( a ). Jeśli f jest injective , to ord( f ( a )) = ord ( a ). Można to często wykorzystać do udowodnienia, że nie ma (injektywnych) homomorfizmów między dwiema konkretnie określonymi grupami. (Na przykład nie może być nietrywialnego homomorfizmu h : S 3 → Z 5 , ponieważ każda liczba poza zerem w Z 5 ma rząd 5, który nie dzieli rzędów 1, 2 i 3 elementów w S 3 .) A dalszą konsekwencją jest to, że elementy sprzężone mają ten sam porządek.
Równanie klasowe
Ważnym wynikiem dotyczącym zamówień jest równanie klasy ; wiąże rząd skończonej grupy G z porządkiem jej środka Z( G ) i rozmiarami jej nietrywialnych klas sprzężeń :
gdzie d i są rozmiarami nietrywialnych klas sprzężeń; to są właściwe dzielniki | G | większe niż jeden, a także są równe wskaźnikom centralizatorów w G przedstawicieli nietrywialnych klas sprzężonych. Na przykład środek S 3 jest po prostu trywialną grupą z pojedynczym elementem e , a równanie brzmi |S 3 | = 1+2+3.
Zobacz też
Uwagi
Bibliografia
- Głupek, David; Foote, Richard. Abstrakcyjna Algebra, ISBN 978-0471433347 , s. 20, 54-59, 90
- Artin, Michael. Algebra, ISBN 0-13-004763-5 , s. 46-47