Porządek (teoria grup) - Order (group theory)

W teorii grup , gałęzi matematyki , porządkiem grupy jest jej kardynalność , czyli liczba elementów w jej zbiorze. Jeśli grupa jest widoczne multiplikatywnie The kolejność elementów A grupy, nazywane również długość okresu lub okres od jest najmniejsza dodatnia m tak, że m = E , gdzie E oznacza element neutralny grupy i m oznacza iloczyn m kopii . W przypadku braku takiej m istnieje, mówi się mieć nieskończoną zamówienia.

Rząd grupy G jest oznaczony przez ord( G ) lub | G |, a kolejność elementu a jest oznaczona przez ord( a ) lub | |. Rząd elementu a jest równy porządkowi jego cyklicznej podgrupya ⟩ = { a k dla k an integer}, podgrupy generowanej przez a . Zatem | | = | |.

Twierdzenie Lagrange'a mówi, że dla każdej podgrupy H z G , porządek podgrupy dzieli porządek grupy: | H | jest dzielnikiem |G|. W szczególności kolejność | | dowolnego elementu jest dzielnikiem | G |.

Przykład

Grupa symetryczne S 3 o następującej tabeli mnożenia .

mi s T ty v w
mi mi s T ty v w
s s mi v w T ty
T T ty mi s w v
ty ty T w v mi s
v v w s mi ty T
w w v ty T s mi

Ta grupa ma sześć elementów, więc ord(S 3 ) = 6 . Z definicji, kolejność tożsamości, e , jest jeden, ponieważ e 1 = e . Każdy z s , t i w kwadratów do e , więc te elementy grupy mają rząd drugi: | s | = | t | = | w | = 2 . Wreszcie u i v mają rząd 3, ponieważ u 3  = vu  = e , a v 3  = uv  = e .

Porządek i struktura

Kolejność grupy G i rzędy jej elementów dają wiele informacji o strukturze grupy. Z grubsza mówiąc, im bardziej skomplikowana jest faktoryzacja | G |, tym bardziej skomplikowana struktura G .

Dla | G | = 1, grupa jest trywialna . W dowolnej grupie tylko element tożsamości a = e ma ord( a) = 1. Jeśli każdy element nietożsamości w G jest równy swojej odwrotności (tak, że a 2 = e ), wtedy ord( a ) = 2; oznacza to, że G jest abelowe, ponieważ . Odwrotność nie jest prawdą; na przykład (dodatkowa) cykliczna grupa Z 6 liczb całkowitych modulo 6 jest abelowa, ale liczba 2 ma rząd 3:

.

Związek między tymi dwoma pojęciami porządku jest następujący: jeśli piszemy

dla podgrupy generowanego przez , a następnie

Dla dowolnej liczby całkowitej k mamy

a k = e   wtedy i tylko wtedy, gdy ord( a ) dzieli k .

Ogólnie rzecz biorąc, kolejność dowolnej podgrupy G dzieli kolejność G . Dokładniej: jeśli H jest podgrupą G , to

ORD ( G ) / ORD ( H ) = [ G  : H ], gdzie [ G  : H ] nazywa się indeks w H w G , całkowita. To jest twierdzenie Lagrange'a . (Jest to jednak prawdziwe tylko wtedy, gdy G ma skończony porządek. Jeśli ord( G ) = ∞, iloraz ord( G ) / ord( H ) nie ma sensu.)

Jako bezpośrednią konsekwencję powyższego widzimy, że kolejność każdego elementu grupy dzieli kolejność grupy. Na przykład w grupie symetrycznej pokazanej powyżej, gdzie ord(S 3 ) = 6, możliwe porządki elementów to 1, 2, 3 lub 6.

Dla grup skończonych prawdziwa jest następująca odwrotność częściowa : jeśli d dzieli porządek grupy G i d jest liczbą pierwszą , to istnieje element rzędu d w G (jest to czasami nazywane twierdzeniem Cauchy'ego ). Stwierdzenie nie obowiązuje dla zamówień złożonych , np. czterogrupa Kleina nie ma elementu czwartego rzędu). Można to wykazać dowodem indukcyjnym . Konsekwencje twierdzenia są następujące: rząd grupy G jest potęgą liczby pierwszej p wtedy i tylko wtedy, gdy ord( a ) jest pewną potęgą p dla każdego a w G .

Jeśli a ma nieskończony porządek, to wszystkie niezerowe potęgi a również mają nieskończony porządek. Jeśli a ma skończony porządek, to mamy następujący wzór na rząd potęg a :

ord( a k ) = ord( a ) / gcd (ord( a ), k )

dla każdej liczby całkowitej k . W szczególności a i jego odwrotność a -1 mają tę samą kolejność.

W dowolnej grupie

Nie ma wzór ogólny odnoszące rzędu produktów AB rozkazom i b . W rzeczywistości możliwe jest, że zarówno i b mają skończoną porządku przy AB ma nieskończoną kolejności, albo, że obie i b ma nieskończoną porządku przy AB ma skończoną zamówienia. Przykładem pierwszego jest a ( x ) = 2- x , b ( x ) = 1- x z ab ( x ) = x -1 w grupie . Przykładem tego ostatniego jest a ( x ) = x +1, b ( x ) = x -1 z ab ( x ) = x . Jeśli ab = ba , możemy przynajmniej powiedzieć, że ord( ab ) dzieli lcm (ord( a ), ord( b )). W konsekwencji można udowodnić, że w skończonej grupie abelowej, jeśli m oznacza maksimum wszystkich rzędów elementów grupy, to rząd każdego elementu dzieli m .

Liczenie według kolejności elementów

Załóżmy, że G jest skończoną grupą rzędu n , a d jest dzielnikiem n . Liczba elementów rzędu d w G jest wielokrotnością φ( d ) (ewentualnie zero), gdzie φ jest funkcją totient Eulera , dającą liczbę dodatnich liczb całkowitych nie większą niż d i względnie pierwszą . Na przykład, w przypadku S 3 , φ(3) = 2, a mamy dokładnie dwa elementy rzędu 3. Twierdzenie nie dostarcza użytecznych informacji o elementach rzędu 2, ponieważ φ(2) = 1 i jest tylko o ograniczonej użyteczności dla złożonego d, takiego jak d =6, ponieważ φ(6)=2 i nie ma elementów rzędu 6 w S 3 .

W odniesieniu do homomorfizmów

Homomorfizmy grupowe mają tendencję do zmniejszania rzędów elementów: jeśli fG  →  H jest homomorfizmem, a a jest elementem G o skończonym porządku, to ord( f ( a )) dzieli ord( a ). Jeśli f jest injective , to ord( f ( a )) = ord ( a ). Można to często wykorzystać do udowodnienia, że ​​nie ma (injektywnych) homomorfizmów między dwiema konkretnie określonymi grupami. (Na przykład nie może być nietrywialnego homomorfizmu h : S 3  →  Z 5 , ponieważ każda liczba poza zerem w Z 5 ma rząd 5, który nie dzieli rzędów 1, 2 i 3 elementów w S 3 .) A dalszą konsekwencją jest to, że elementy sprzężone mają ten sam porządek.

Równanie klasowe

Ważnym wynikiem dotyczącym zamówień jest równanie klasy ; wiąże rząd skończonej grupy G z porządkiem jej środka Z( G ) i rozmiarami jej nietrywialnych klas sprzężeń :

gdzie d i są rozmiarami nietrywialnych klas sprzężeń; to są właściwe dzielniki | G | większe niż jeden, a także są równe wskaźnikom centralizatorów w G przedstawicieli nietrywialnych klas sprzężonych. Na przykład środek S 3 jest po prostu trywialną grupą z pojedynczym elementem e , a równanie brzmi |S 3 | = 1+2+3.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia