Półprosta algebra Lie - Semisimple Lie algebra

Grupy kłamstw
Grupy klasyczne
Proste grupy kłamstw Klasyczny A n B n C n D n Wyjątkowy G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Inne grupy Lie okrąg Lorentz Poincaré Grupa konformalna Dyfeomorfizm Pętla Euklidesa
Lie algebry
Półprosta algebra Lie
Teoria reprezentacji
Grupy kłamstw w fizyce
Naukowcy Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Słownik Tabela grup Lie
v t mi

W matematyce , o Algebra Lie to półprosty czy jest to bezpośredni suma od prostych algebr Liego (non-abelian algebr Liego bez niezerowym odpowiednich ideałów ).

W całym artykule, o ile nie zaznaczono inaczej, algebra Liego jest skończenie wymiarową algebrą Liego nad ciałem o charakterystyce 0. Dla takiej algebry Liego , jeśli jest niezerowe, następujące warunki są równoważne: ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

• ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ jest półprosta;
• postać zabijanie , κ (x, y) = TR (AD ( x ) reklamy ( y )), jest nie-zdegenerowane ;
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ nie ma niezerowych ideałów abelowych;
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ nie ma niezerowych ideałów do rozwiązania ;
• rodnik (maksymalna rozpuszczalny idealnie) z jest równe zero. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Znaczenie

Znaczenie półprostości wywodzi się po pierwsze z rozkładu Leviego , który stwierdza, że ​​każda skończenie wymiarowa algebra Liego jest półpośrednim iloczynem rozwiązywalnego ideału (jego radykalności) i półprostej algebry. W szczególności nie ma niezerowej algebry Liego, która byłaby zarówno rozwiązalna, jak i półprosta.

Półproste algebry Liego mają bardzo elegancką klasyfikację, w jaskrawym przeciwieństwie do rozwiązalnych algebr Liego . Półproste algebry Liego na algebraicznie zamkniętym polu charakterystycznym zera są całkowicie klasyfikowane przez ich system pierwiastkowy , które z kolei są klasyfikowane na diagramach Dynkina . Półproste algebry nad ciałami zamkniętymi niealgebraicznie można rozumieć w kategoriach algebraicznych algebraicznych, chociaż klasyfikacja jest nieco bardziej skomplikowana; zobacz rzeczywistą formę dla przypadku prawdziwych półprostych algebr Liego, które zostały sklasyfikowane przez Élie Cartan .

Co więcej, teoria reprezentacji półprostych algebr Liego jest znacznie czystsza niż teoria ogólnych algebr Liego. Na przykład rozkład Jordana w półprostej algebrze Liego pokrywa się z rozkładem Jordana w jego reprezentacji; nie dotyczy to ogólnie algebr Liego.

Jeśli jest półproste, to . W szczególności, każdy liniowy półprosty Lie algebra jest podalgebrą The special algebra liniowa Lie . Badanie struktury jest ważną częścią teorii reprezentacji dla półprostych algebr Liego. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}}}$

Historia

Półproste algebry Liego nad liczbami zespolonymi zostały po raz pierwszy sklasyfikowane przez Wilhelma Killinga (1888–90), chociaż jego dowód nie był rygorystyczny. Jego dowód został uściślony przez Élie Cartan (1894) w jego Ph.D. praca magisterska, w której sklasyfikowano również półproste prawdziwe algebry Liego. Zostało to później dopracowane, a obecna klasyfikacja za pomocą diagramów Dynkina została podana przez ówczesnego 22-letniego Eugene'a Dynkina w 1947 roku. Dokonano pewnych drobnych modyfikacji (zwłaszcza przez JP Serre), ale dowód pozostaje niezmieniony co do jego zasadniczych treści i może być znaleźć w jakimkolwiek standardowym źródle, takim jak ( Humphreys 1972 ).

Podstawowe właściwości

• Każdy ideał, iloraz i iloczyn półprostych algebr Liego jest znowu półprosty.
• Centrum półprostej algebry Liego jest trywialne (ponieważ środek jest ideałem abelowym). Innymi słowy, reprezentacja sprzężona jest iniekcyjna. Co więcej, obraz okazuje się być o indeks na . Stąd jest izomorfizmem. (Jest to szczególny przypadek lematu Whiteheada ). ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ad}}$${\ displaystyle \ operatorname {Der} ({\ mathfrak {g}})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ operatorname {ad}: {\ mathfrak {g}} {\ overset {\ sim} {\ to}} \ operatorname {Der} ({\ mathfrak {g}})}$
• Ponieważ reprezentacja sprzężona jest iniekcyjna, półprosta algebra Liego jest liniową algebrą Liego pod reprezentacją sprzężoną. Może to prowadzić do pewnej niejednoznaczności, ponieważ każda algebra Liego jest już liniowa względem jakiejś innej przestrzeni wektorowej ( twierdzenie Ado ), chociaż niekoniecznie poprzez reprezentację sprzężoną. Ale w praktyce taka dwuznaczność rzadko się zdarza.
• Jeśli jest półprostą algebrą Liego, to (ponieważ jest półprosta i abelowa). ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} / [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]}$
• Skończenie wymiarowa algebra Liego nad ciałem k charakterystycznego zera jest półprosta wtedy i tylko wtedy, gdy rozszerzenie podstawy jest półproste dla każdego rozszerzenia pola . Tak więc, na przykład, skończenie wymiarowa rzeczywista algebra Liego jest półprosta wtedy i tylko wtedy, gdy jej złożoność jest półprosta. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ otimes _ {k} F}$${\ displaystyle F \ supset k}$

Rozkład Jordana

Każdy endomorfizm x z przestrzeni wektorowej skończonej wymiarów w zakresie charakterystyki zero może być unikalnie rozłożone w półprosty (tj diagonalizable przez algebraiczne zamknięcia) i nilpotent części

${\ Displaystyle x = s + n \}$

takie, że s i n dojeżdżają ze sobą. Ponadto, każdy z s i n jest wielomianem względem x . Jest to Jordan dekompozycja z x .

Powyższe dotyczy reprezentacji sprzężonej półprostej algebry Liego . Element x od mówi się półprosty (odp. Nilpotent), jeżeli jest (nilpotent odpowiednio). Operator półprosty. Jeśli , to abstrakcyjna dekompozycja Jordana stwierdza, że x można jednoznacznie zapisać jako: ${\ displaystyle \ operatorname {ad}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} (x)}$${\ displaystyle x \ in {\ mathfrak {g}}}$

${\ Displaystyle x = s + n}$

gdzie jest półproste, jest nilpotentne i . Co więcej, jeśli dojeżdża z x , to dojeżdża również z oboma . ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle [s, n] = 0}$${\ displaystyle y \ in {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle s, n}$

Abstrakcyjne czynniki rozkładu Jordana poprzez dowolną reprezentację w tym sensie, że dana reprezentacja ρ, ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ Displaystyle \ rho (x) = \ rho (s) + \ rho (n) \,}$

jest rozkład Jordana ρ ( x ) w algebrze endomorfizmu przestrzeni reprezentacji. (Zostało to udowodnione jako konsekwencja twierdzenia Weyla o całkowitej redukowalności ; patrz twierdzenie Weyla o całkowitej redukowalności # Zastosowanie: zachowanie rozkładu Jordana ).

Struktura

Niech będzie (skończenie wymiarową) półprostą algebrą Liego nad algebraicznie zamkniętym ciałem o charakterystycznym zerze. Strukturę można opisać przez skojarzone działanie pewnej wyróżnionej na niej podalgebry, podalgebry Cartana . Z definicji, podalgebrą Cartan (zwany również maksymalny toral podalgebrą ) o to podalgebrą maksymalny takie, że dla każdego , jest diagonalizable . Jak się okazuje, jest abelowy, więc wszystkie operatory są jednocześnie diagonalizowalne . Dla każdego liniowego funkcjonalny z niech ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle h \ in {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} (h)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} ({\ mathfrak {h}})}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$

${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha} = \ {x \ in {\ mathfrak {g}} | [h, x] = \ alfa (h) x \, {\ tekst {dla wszystkich} } h \ in {\ mathfrak {h}} \}}$ .

(Należy pamiętać, że jest centralizator z ). Następnie ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$

(Najtrudniejszym elementem do pokazania jest . Wszystkie standardowe dowody wykorzystują pewne fakty z teorii reprezentacji ; np. Serre wykorzystuje fakt, że -moduł z prymitywnym elementem o ujemnej wadze jest nieskończenie wymiarowy, co jest sprzeczne .) ${\ displaystyle \ dim {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha} = 1}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2}}$${\ displaystyle \ dim {\ mathfrak {g}} <\ infty}$

Niech stosunki komutacyjne ; tj. odpowiadają standardowej podstawie . ${\ displaystyle h _ {\ alpha} \ in {\ mathfrak {h}}, e _ {\ alpha} \ in {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}, f _ {\ alpha} \ in {\ mathfrak {g }} _ {- \ alpha}}$${\ displaystyle [e _ {\ alpha}, f _ {\ alpha}] = h _ {\ alpha}, [h _ {\ alpha}, e _ {\ alpha}] = 2e _ {\ alpha}, [h _ {\ alpha}, f _ {\ alpha}] = - 2f _ {\ alpha}}$${\ displaystyle h _ {\ alpha}, e _ {\ alpha}, f _ {\ alpha}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2}}$

Funkcjonały liniowe w nazywane są pierwiastkami funkcji względem . Rozpiętość pierwiastków (ponieważ if , to jest operatorem zero, tj. Znajduje się w środku, czyli zero). Ponadto z teorii reprezentacji wyprowadza się następującą symetrię i właściwości całkowe : dla każdego , ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$${\ Displaystyle \ alpha (h) = 0, \ alpha \ in \ Phi}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} (h)}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2}}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ Displaystyle \ alfa, \ beta \ w \ Phi}$

Zauważ, że ma właściwości (1) i (2) zbiór stałopunktowy to , co oznacza, że jest to odbicie względem hiperpłaszczyzny odpowiadającej . Powyższe mówi wtedy, że jest to system korzeniowy . ${\ displaystyle s _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle s _ {\ alpha} (\ alpha) = - \ alpha}$${\ Displaystyle \ {\ gamma \ in {\ mathfrak {h}} ^ {*} | \ gamma (h _ {\ alpha}) = 0 \}}$${\ displaystyle s _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ Phi}$

Z ogólnej teorii systemu głównego, który zawiera podstawę w taki sposób, że każda podstawa jest liniową kombinacją współczynnikach całkowitą od samego oznaczenia; korzenie nazywane są prostymi korzeniami . Let , itd. Następnie elementy (zwane generatorami Chevalleya ) generują jako algebrę Liego. Ponadto spełniają relacje (zwane relacjami Serre ): z , ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ kropki, \ alfa _ {l}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ kropki, \ alfa _ {l}}$${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$${\ displaystyle e_ {i} = e _ {\ alpha _ {i}}}$${\ displaystyle 3l}$${\ displaystyle e_ {i}, f_ {i}, h_ {i}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle a_ {ij} = \ alfa _ {j} (h_ {i})}$

${\ displaystyle [h_ {i}, h_ {j}] = 0,}$

${\ displaystyle [e_ {i}, f_ {i}] = h_ {i}, [e_ {i}, f_ {j}] = 0, ja \ neq j,}$

${\ displaystyle [h_ {i}, e_ {j}] = a_ {ij} e_ {j}, [h_ {i}, f_ {j}] = - a_ {ij} f_ {j},}$

${\ displaystyle \ operatorname {ad} (e_ {i}) ^ {- a_ {ij} +1} (e_ {j}) = \ operatorname {ad} (f_ {i}) ^ {- a_ {ij} + 1} (f_ {j}) = 0, i \ neq j}$ .

Odwrotność tego jest również prawdziwa: tj. Algebra Liego generowana przez generatory i relacje takie jak powyżej jest (skończeniowymiarową) półprostą algebrą Liego, która ma rozkład przestrzeni pierwiastków jak powyżej (pod warunkiem, że jest to macierz Cartana ). To jest twierdzenie Serre'a . W szczególności dwie półproste algebry Liego są izomorficzne, jeśli mają ten sam system korzeniowy. ${\ Displaystyle [a_ {ij}] _ {1 \ równoważnik ja, j \ równoważnik l}}$

Implikacja aksjomatycznej natury systemu korzeniowego i twierdzenia Serre'a jest taka, że ​​można wyliczyć wszystkie możliwe systemy korzeniowe; stąd „wszystkie możliwe” półproste algebry Liego (skończone wymiarowe nad algebraicznie zamkniętym ciałem o charakterystycznym zerze).

Grupa Weyla to grupa przekształceń liniowych generowanych przez s. Grupa Weyl jest ważną symetrią problemu; na przykład wagi dowolnej skończonej wielkości reprezentacji są niezmienne w grupie Weyla. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {*} \ simeq {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle s _ {\ alpha}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Przykładowy rozkład przestrzeni korzeni w sl _n (C)

Dla i podalgebra Cartana macierzy diagonalnych, zdefiniuj przez ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {sl}} _ {n} (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle \ lambda _ {i} \ in {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {i} (d (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})) = a_ {i}}$ ,

gdzie oznacza macierz przekątną z na przekątnej. Następnie rozkład jest podawany przez ${\ Displaystyle d (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})}$${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}}$

${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {h}} \ oplus \ left (\ bigoplus _ {i \ neq j} {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {i} - \ lambda _ {j}} \ right)}$

gdzie

${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {i} - \ lambda _ {j}} = {\ text {Span}} _ {\ mathbb {C}} (e_ {ij})}$

dla wektora w ze standardowymi (macierz) podstawy, co oznacza reprezentuje wektor bazowy w -tym rzędzie i -tej kolumnie. Ten rozkład ma powiązany system korzeniowy: ${\ displaystyle e_ {ij}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n} (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle e_ {ij}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ Displaystyle \ Phi = \ {\ lambda _ {i} - \ lambda _ {j}: ja \ neq j \}}$

sl ₂ (C)

Na przykład w rozkładzie jest ${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2} (\ mathbb {C})}$

${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2} = {\ mathfrak {h}} \ oplus {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}} \ oplus { \ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {2} - \ lambda _ {1}}}$

a powiązany system root to

${\ Displaystyle \ Phi = \ {\ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}, \ lambda _ {2} - \ lambda _ {1} \}}$

sl ₃ (C)

W rozkładzie jest ${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {3} (\ mathbb {C})}$

${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {3} = {\ mathfrak {h}} \ oplus {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}} \ oplus { \ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {1} - \ lambda _ {3}} \ oplus {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {2} - \ lambda _ {3}} \ oplus { \ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {2} - \ lambda _ {1}} \ oplus {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {3} - \ lambda _ {1}} \ oplus { \ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {3} - \ lambda _ {2}}}$

a powiązany system root jest podany przez

${\ Displaystyle \ Phi = \ {\ pm (\ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}), \ pm (\ lambda _ {1} - \ lambda _ {3}), \ pm (\ lambda _ {2} - \ lambda _ {3}) \}}$

Przykłady

Jak zauważono w #Structure , półproste algebry Liego nad (lub bardziej ogólnie algebraicznie zamknięte pole charakterystyczne zero) są klasyfikowane przez system korzeniowy powiązany z ich podalgebrami Cartana, a systemy korzeni z kolei są klasyfikowane na podstawie diagramów Dynkina. Przykładami półprostych algebr Liego, klasycznych algebr Liego , których notacja pochodzi z ich diagramów Dynkina , są: ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

• ${\ Displaystyle A_ {n}:}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n + 1}}$ , specjalna liniowa algebra Liego .
• ${\ displaystyle B_ {n}:}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2n + 1}}$ , nieparzysto-wymiarowa specjalna ortogonalna algebra Liego .
• ${\ displaystyle C_ {n}:}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {2n}}$ , symplektyczna algebra Liego .
• ${\ Displaystyle D_ {n}:}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2n}}$ , parzysto-wymiarowa specjalna ortogonalna algebra Liego ( ). ${\ displaystyle n> 1}$

Ograniczenie w rodzinie jest potrzebne, ponieważ jest jednowymiarowe i przemienne, a zatem nie jest półproste. ${\ displaystyle n> 1}$${\ displaystyle D_ {n}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2}}$

Te algebry Liego są ponumerowane tak, że n jest ranga . Prawie wszystkie te półproste algebry Liego są w rzeczywistości proste, a członkowie tych rodzin są prawie wszyscy różni, z wyjątkiem niektórych kolizji o małej randze. Na przykład i . Te cztery rodziny, wraz z pięcioma wyjątkami ( E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄ i G ₂ ), są w rzeczywistości jedynymi prostymi algebrami Liego na liczbach zespolonych. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {4} \ cong {\ mathfrak {so}} _ {3} \ oplus {\ mathfrak {so}} _ {3}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {2} \ cong {\ mathfrak {so}} _ {5}}$

Klasyfikacja

Każdy półprosty Lie Algebra nad algebraicznie zamkniętym obszarze charakterystyki 0 oznacza to bezpośrednie sumę z prostych algebrach Lie (według definicji), a także proste algebrami Lie skończonych wymiarowe mieszczą się w cztery rodziny - bloki A _n , B _n C _N i D _n - z pięcioma wyjątkami E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄ i G ₂ . Proste algebry Liego są klasyfikowane za pomocą połączonych diagramów Dynkina , pokazanych po prawej stronie, podczas gdy półproste algebry Liego odpowiadają niekoniecznie połączonym diagramom Dynkina, gdzie każdy składnik diagramu odpowiada sumie rozkładu półprostej algebry Liego na proste algebry Liego .

Klasyfikacja przebiega przez rozważenie podalgebry Cartana (patrz poniżej) i sprzężonego działania algebry Liego na tę podalgebrę. System korzeni akcji określa zatem pierwotną algebrę Liego i musi mieć bardzo ograniczoną postać, którą można sklasyfikować za pomocą diagramów Dynkina. Zobacz sekcję poniżej opisującą podalgebry Cartana i systemy korzeniowe, aby uzyskać więcej informacji.

Klasyfikacja jest powszechnie uważana za jeden z najbardziej eleganckich wyników w matematyce - krótka lista aksjomatów daje, poprzez stosunkowo krótki dowód, kompletną, ale nietrywialną klasyfikację o zaskakującej strukturze. Należy to porównać do klasyfikacji skończonych grup prostych , która jest znacznie bardziej skomplikowana.

Wyliczenie czterech rodzin jest niepotrzebne i składa się tylko z prostych algebr, jeśli dla A _n , dla B _n , dla C _n i dla D _n . Jeśli zaczniemy numerować niżej, wyliczenie jest zbędne i mamy wyjątkowe izomorfizmy między prostymi algebrami Liego, które znajdują odzwierciedlenie w izomorfizmach diagramów Dynkina ; E _n można również przedłużyć w dół, ale poniżej E ₆ są izomorficzne do innych nie-wyjątkowych algebr. ${\ displaystyle n \ geq 1}$${\ Displaystyle n \ geq 2}$${\ Displaystyle n \ geq 3}$${\ Displaystyle n \ geq 4}$

W przypadku niealgebraicznie zamkniętego pola klasyfikacja jest bardziej skomplikowana - proste algebry Liego klasyfikuje się po domknięciu algebraicznym, a następnie dla każdego z nich klasyfikuje się proste algebry Liego nad ciałem pierwotnym, które ma tę postać (nad domknięciem). Na przykład, aby sklasyfikować proste prawdziwe algebry Liego, należy klasyfikować prawdziwe algebry Liego o zadanej złożoności, które są znane jako rzeczywiste formy złożonej algebry Liego; można to zrobić za pomocą diagramów Satake , które są diagramami Dynkina z dodatkowymi danymi („dekoracje”).

Teoria reprezentacji półprostych algebr Liego

Niech będzie (skończenie wymiarową) półprostą algebrą Liego nad algebraicznie zamkniętym ciałem o charakterystycznym zerze. Następnie, jak w #Structure , gdzie jest system korzeniowy. Wybierz proste korzenie w ; pierwiastek z jest wtedy nazywany dodatnim i jest oznaczany przez, jeśli jest liniową kombinacją prostych pierwiastków z nieujemnymi współczynnikami całkowitymi. Pozwolić , który jest maksymalny rozwiązywalne podalgebrą The podalgebrą Borel . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ textstyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {h}} \ oplus \ bigoplus _ {\ alpha \ in \ Phi} {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ alpha> 0}$${\ textstyle {\ mathfrak {b}} = {\ mathfrak {h}} \ oplus \ bigoplus _ {\ alpha> 0} {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Niech V będzie (możliwie nieskończenie-wymiarowym) prostym modułem. Jeśli V dzieje się przyznać -Waga wektor , to unikalna do skalowania i nazywana jest najwyższym ciężarze wektor z V . Jest również -weight wektorem i -weight stanowi liniowy funkcjonalną , nazywa się najwyższą wagę o V . Podstawowe, ale nietrywialne fakty są zatem następujące: (1) dla każdego funkcjonału liniowego istnieje prosty moduł o największej wadze i (2) równoważne są dwa proste moduły o tej samej najwyższej wadze. Krótko mówiąc, istnieje sprzeczność między klasami równoważności prostych modułów, które przyjmują wektor wagi borela, a zbiorem tych klas . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}$${\ displaystyle v_ {0}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle v_ {0}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle \ mu \ in {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle V ^ {\ mu}}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

W zastosowaniach często interesuje skończony-wymiarowy prosty -moduł (nieredukowalna reprezentacja o skończonych wymiarach). Dzieje się tak zwłaszcza w przypadku algebry Liego grupy Liego (lub jej złożoności), ponieważ poprzez korespondencję Liego reprezentację algebry Liego można zintegrować z reprezentacją grupy Liego, gdy przeszkody zostaną pokonane. Następne kryterium jest odpowiedzią na tę potrzebę: przez dodatnią komorę Weyla mamy na myśli wypukły stożek, w którym jest taki unikalny wektor . Kryterium brzmi następnie: ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ Displaystyle C \ podzbiór {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$${\ displaystyle C = \ {\ mu \ in {\ mathfrak {h}} ^ {*} | \ mu (h _ {\ alpha}) \ geq 0, \ alpha \ in \ Phi> 0 \}}$${\ displaystyle h _ {\ alpha} \ in [{\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}, {\ mathfrak {g}} _ {- \ alpha}]}$${\ displaystyle \ alpha (h _ {\ alpha}) = 2}$

• ${\ displaystyle \ dim V ^ {\ mu} <\ infty}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego dodatniego pierwiastka (1) jest liczbą całkowitą, a (2) leży w . ${\ displaystyle \ alpha> 0}$${\ displaystyle \ mu (h _ {\ alpha})}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle C}$

Funkcjonał liniowy spełniający powyższy warunek równoważny nazywany jest dominującą wagą całkową. Stąd, podsumowując, istnieje sprzeczność między dominującymi wagami całkowitymi a klasami równoważności skończonych wymiarów prostych -modułów, wynik znany jako twierdzenie o najwyższej wadze . Charakter prostego modułu o skończonych wymiarach jest z kolei obliczany za pomocą wzoru znaku Weyla . ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Twierdzenie powodu Weyl mówi, że nad polem charakterystycznym zero, każda skończenie wymiarowy moduł z półprosty Lie algebra jest całkowicie sprowadzić ; tj. jest to bezpośrednia suma prostych -modułów. Stąd powyższe wyniki odnoszą się następnie do skończonych wymiarowych reprezentacji półprostej algebry Liego. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Prawdziwa, półprosta algebra Liego

Dla półprostej algebry Liego nad ciałem, które ma charakterystyczne zero, ale nie jest algebraicznie zamknięte, nie ma ogólnej teorii struktury, takiej jak ta dla algebraicznie zamkniętego pola charakterystycznego zera. Ale poza polem liczb rzeczywistych nadal istnieją wyniki struktury.

Niech będzie skończenie wymiarową realną półprostą algebrą Liego i jej złożonością (która jest znowu półprostą). Prawdziwy Lie algebra nazywany jest prawdziwą postać o . Forma rzeczywista nazywana jest formą zwartą, jeśli znajdująca się na niej forma zabijania jest określona negatywnie; jest to koniecznie algebra Liego zwartej grupy Liego (stąd nazwa). ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ mathbb {C}} = {\ mathfrak {g}} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ mathbb {C}}}$

Kompaktowa obudowa

Załóżmy, że jest to zwarta forma i maksymalna podprzestrzeń abelowa. Można pokazać (na przykład z faktu, że jest to algebra Liego zwartej grupy Liego), która składa się z macierzy skośno-hermitowskich, które można diagonalizować za pomocą wyimaginowanych wartości własnych. Stąd jest Cartana podalgebrą od i nie powoduje rozkładu przestrzeni główny (por #Structure ) ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} \ podzbiór {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} ({\ mathfrak {h}})}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ mathbb {C}}}$

${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ mathbb {C}} = {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathbb {C}} \ oplus \ bigoplus _ {\ alpha \ in \ Phi} {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}}$

gdzie każdy jest wyceniany w rzeczywistości ; w ten sposób można go utożsamić z rzeczywistym funkcjonałem liniowym w rzeczywistej przestrzeni wektorowej . ${\ displaystyle \ alpha \ in \ Phi}$${\ displaystyle i {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle i {\ mathfrak {h}}}$

Na przykład, niech i wziąć podprzestrzeni wszystkich przekątnych macierzy. Uwaga . Niech będzie funkcjonałem liniowym na danym przez for . Następnie dla każdego , ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {su}} (n)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} \ podzbiór {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ mathbb {C}} = {\ mathfrak {sl}} _ {n} \ mathbb {C}}$${\ displaystyle e_ {i}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathbb {C}}}$${\ Displaystyle e_ {i} (H) = h_ {i}}$${\ displaystyle H = \ operatorname {diag} (h_ {1}, \ kropki, h_ {n})}$${\ displaystyle H \ in {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathbb {C}}}$

${\ Displaystyle [H, E_ {ij}] = (e_ {i} (H) -e_ {j} (H)) E_ {ij}}$

gdzie jest macierz, która ma 1 na -tym miejscu i zero w innym miejscu. Stąd każdy pierwiastek ma postać, a rozkład przestrzeni pierwiastków jest rozkładem macierzy: ${\ displaystyle E_ {ij}}$${\ displaystyle (i, j)}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ alpha = e_ {i} -e_ {j}, ja \ neq j}$

${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ mathbb {C}} = {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathbb {C}} \ oplus \ bigoplus _ {i \ neq j} \ mathbb {C} E_ {ij}.}$

Niezwarta obudowa

Załóżmy, że niekoniecznie jest to forma zwarta (tj. Nie wszystkie podpisy formularza zabijania są przeczące). Załóżmy ponadto, że ma on inwolucję Cartana i niech będzie rozkładem przestrzeni własnej , gdzie są przestrzenie własne odpowiednio dla 1 i -1. Na przykład, jeśli i przeczenia transponują, to . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {k}} \ oplus {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle {\ mathfrak {k}}, {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {sl}} _ {n} \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {k}} = {\ mathfrak {tak}} (n)}$

Niech będzie maksymalną abelową podprzestrzenią. Teraz składa się z macierzy symetrycznych (w odniesieniu do odpowiedniego iloczynu wewnętrznego), a zatem operatory w są jednocześnie diagonalizowalne, z rzeczywistymi wartościami własnymi. Powtarzając argumenty dla algebraicznie zamkniętego pola podstawowego, uzyskuje się rozkład (zwany dekompozycją ograniczonej przestrzeni pierwiastkowej ): ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} \ podzbiór {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} ({\ mathfrak {p}})}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} ({\ mathfrak {a}})}$

${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {g}} _ {0} \ oplus \ bigoplus _ {\ alpha \ in \ Phi} {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}}$

gdzie

• elementy w są nazywane ograniczonymi korzeniami , ${\ displaystyle \ Phi}$
• ${\ Displaystyle \ theta ({\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}) = {\ mathfrak {g}} _ {- \ alpha}}$ dla dowolnego funkcjonału liniowego ; w szczególności , ${\ displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle - \ Phi \ subset \ Phi}$
• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0} = {\ mathfrak {a}} \ oplus Z _ {\ mathfrak {k}} ({\ mathfrak {a}})}$ .

Co więcej, jest to system korzeniowy, ale niekoniecznie zredukowany (tj. Może się zdarzyć, że oba są korzeniami). ${\ displaystyle \ Phi}$${\ Displaystyle \ alfa, 2 \ alfa}$

Sprawa ${\ Displaystyle \ mathrm {sl} (n, \ mathbb {C})}$

Jeśli , to może być traktowane jako podalgebra diagonalna składająca się z macierzy diagonalnych, których przekątne wpisy sumują się do zera. Ponieważ ma wymiar , widzimy, że ma rangę . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ mathrm {sl} (n, \ mathbb {C})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle n-1}$${\ Displaystyle \ mathrm {sl} (n; \ mathbb {C})}$${\ displaystyle n-1}$

Wektory źródłowe w tym przypadku mogą być traktowane jako macierze z , gdzie jest macierzą z 1 w miejscu i zerami w innym miejscu. Jeśli jest to macierz ukośna z przekątnymi wpisami , to mamy ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle E_ {i, j}}$${\ displaystyle i \ neq j}$${\ displaystyle E_ {i, j}}$${\ displaystyle (i, j)}$${\ displaystyle H}$${\ Displaystyle \ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {n}}$

${\ Displaystyle [H, E_ {i, j}] = (\ lambda _ {i} - \ lambda _ {j}) E_ {i, j}}$ .

Zatem pierwiastki for to funkcjonały liniowe podane przez ${\ Displaystyle \ mathrm {sl} (n, \ mathbb {C})}$${\ displaystyle \ alpha _ {i, j}}$

${\ Displaystyle \ alpha _ {i, j} (H) = \ lambda _ {i} - \ lambda _ {j}}$ .

Po utożsamieniu się z dualnością, pierwiastki stają się wektorami w przestrzeni -krotek, których suma wynosi zero. Jest to system korzeniowy znany z tradycyjnego etykietowania. ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle \ alpha _ {i, j}: = e_ {i} -e_ {j}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A_ {n-1}}$

Odbicie związane z rdzeniem działa poprzez transpozycję i ukośne wpisy. Grupa Weyla jest wtedy po prostu grupą permutacji na elementach, działającą poprzez permutację ukośnych wpisów macierzy w . ${\ displaystyle \ alpha _ {i, j}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$

Uogólnienia

Półproste algebry Lie dopuszczają pewne uogólnienia. Po pierwsze, wiele stwierdzeń, które są prawdziwe dla półprostych algebr Liego, jest bardziej ogólnie prawdziwych dla redukcyjnych algebr Liego . Mówiąc abstrakcyjnie, redukcyjna algebra Liego to taka, której reprezentacja sprzężona jest całkowicie redukowalna , podczas gdy konkretnie, redukcyjna algebra Liego jest bezpośrednią sumą półprostej algebry Liego i abelowej algebry Liego ; na przykład jest półprosta i jest redukcyjna. Wiele właściwości półprostych algebr Liego zależy tylko od redukowalności. ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$

Wiele właściwości złożonych półprostych / redukcyjnych algebr Liego jest prawdziwych nie tylko dla półprostych / redukcyjnych algebr Liego na algebraicznie zamkniętych ciałach, ale bardziej ogólnie dla podzielonych półprostych / redukcyjnych algebr Liego na innych polach: półproste / redukcyjne algebry Lie na algebraicznie zamkniętych polach są zawsze podzielone , ale w przypadku innych dziedzin nie zawsze tak jest. Algebry Split Lie mają zasadniczo tę samą teorię reprezentacji, co półproste algebry Lie nad algebraicznie zamkniętymi ciałami, na przykład rozdzielająca podalgebra Cartana odgrywa taką samą rolę, jaką odgrywa podalgebra Cartana nad algebraicznie zamkniętymi ciałami. Jest to na przykład podejście stosowane w ( Bourbaki 2005 ), które klasyfikuje reprezentacje podzielonych półprostych / redukcyjnych algebr Liego.

Grupy półproste i redukcyjne

Połączona grupa Liego nazywana jest półprostą, jeśli jej algebra Liego jest półprostą algebrą Liego, tj. Bezpośrednią sumą prostych algebr Liego. Nazywa się ją redukcyjną, jeśli jej algebra Liego jest bezpośrednią sumą prostych i trywialnych (jednowymiarowych) algebr Liego. Grupy redukcyjne występują naturalnie jako symetrie wielu obiektów matematycznych w algebrze, geometrii i fizyce. Na przykład grupa symetrii n- wymiarowej rzeczywistej przestrzeni wektorowej (równoważnie grupa macierzy odwracalnych) jest redukcyjna. ${\ Displaystyle GL_ {n} (\ mathbb {R})}$

Zobacz też

• Lie algebra
• System korzeniowy
• Reprezentacja algebry Lie
• Kompaktowa grupa
• Grupa Simple Lie
• Borel subalgebra
• Twierdzenie Jacobsona – Morozowa

Bibliografia