Geometria różnicowa - Differential geometry

Trójkąt zanurzony w płaszczyźnie w kształcie siodła ( paraboloida hiperboliczna ), a także dwie rozbieżne ultrarównoległe linie .

Geometria różniczkowa to dyscyplina matematyczna, która bada geometrię gładkich kształtów i gładkich przestrzeni, inaczej zwanych gładkimi rozmaitościami , przy użyciu technik rachunku różniczkowego , rachunku całkowego , algebry liniowej i algebry wieloliniowej . Pole ma swoje początki w badaniu geometrii sferycznej już w starożytności , ponieważ odnosi się do astronomii i geodezji na Ziemi , a później w badaniu geometrii hiperbolicznej przez Lobachevsky . Najprostszymi przykładami gładkich przestrzeni są płaskie i przestrzenne krzywe i powierzchnie w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej , a badanie tych kształtów stało się podstawą rozwoju współczesnej geometrii różniczkowej w XVIII i XIX wieku.

Od końca XIX wieku geometria różniczkowa stała się dziedziną zajmującą się bardziej ogólnie strukturami geometrycznymi na rozmaitościach różniczkowych . Struktura geometryczna to taka, która definiuje pewne pojęcie rozmiaru, odległości, kształtu, objętości lub innej struktury usztywniającej. Na przykład, w geometrii riemannowskiej określa się odległości i kąty, w geometrii symplektycznej można obliczyć objętości, w geometrii konforemnej podaje się tylko kąty, aw teorii cechowania pewne pola są nadawane w przestrzeni. Geometria różniczkowa jest ściśle związana z topologią różniczkową , która zajmuje się właściwościami rozmaitości różniczkowalnych, które nie opierają się na żadnej dodatkowej strukturze geometrycznej (więcej informacji na temat rozróżnienia między tymi dwoma przedmiotami można znaleźć w tym artykule). Geometria różniczkowa jest również powiązana z geometrycznymi aspektami teorii równań różniczkowych , zwanej inaczej analizą geometryczną .

Geometria różniczkowa znajduje zastosowanie w matematyce i naukach przyrodniczych . Język geometrii różniczkowej był przede wszystkim używany przez Alberta Einsteina w jego ogólnej teorii względności , a następnie przez fizyków w rozwoju kwantowej teorii pola i modelu standardowego fizyki cząstek elementarnych . Poza fizyką geometria różniczkowa znajduje zastosowanie w chemii , ekonomii , inżynierii , teorii sterowania , grafice komputerowej i wizji komputerowej , a ostatnio w uczeniu maszynowym .

Historia i rozwój

Historia i rozwój geometrii różniczkowej jako podmiotu zaczyna się co najmniej w starożytności klasycznej i jest ściśle związany z rozwojem geometrii bardziej ogólnie, pojęcia przestrzeni i kształtu oraz topologii . Więcej szczegółów na temat historii pojęcia rozmaitości można znaleźć w tym artykule oraz historii rozmaitości i rozmaitości . W tej części skupiamy się przede wszystkim na historii zastosowania metod nieskończenie małych do geometrii, a później na ideach przestrzeni stycznych , a ostatecznie na rozwoju nowoczesnego formalizmu podmiotu w zakresie tensorów i pól tensorowych .

Klasyczna starożytność aż do renesansu (300 pne - 1600 ne)

Badanie geometrii różniczkowej, a przynajmniej badanie geometrii gładkich kształtów, sięga co najmniej klasycznej starożytności . W szczególności dużo wiedziano o geometrii Ziemi , geometrii sferycznej , w czasach starożytnych matematyków greckich . Słynny Eratostenes obliczył obwód Ziemi około 200 rpne, a około roku 150 ne Ptolemeusz w swojej Geografii wprowadził projekcję stereograficzną w celu odwzorowania kształtu Ziemi. Domyślnie przez cały ten czas w geodezji stosowano zasady stanowiące podstawę geometrii różniczkowej i rachunku różniczkowego , choć w znacznie uproszczonej formie. Mianowicie, jak daleko wstecz jak Euclid „s Elements było zrozumiałe, że linia prosta może być określona przez jej własności zapewnienie najkrótszej odległości pomiędzy dwoma punktami, a stosując tę samą zasadę do powierzchni Ziemi prowadzi do wniosku, że wielkich kołach , które tylko lokalnie są podobne do linii prostych w płaskiej płaszczyźnie, zapewniają najkrótszą drogę między dwoma punktami na powierzchni Ziemi. Rzeczywiście, pomiary odległości wzdłuż takich geodezyjnych ścieżek przez Eratostenesa i innych można uznać za elementarną miarę długości łuku krzywych, pojęcie, które nie miało rygorystycznej definicji w kategoriach rachunku różniczkowego aż do XVII wieku.

Mniej więcej w tym czasie istniały tylko minimalne jawne zastosowania teorii nieskończenie małych do badania geometrii, prekursora współczesnego badania tego przedmiotu opartego na rachunku różniczkowym. W Euclid jest Elementy pojęcie styczności linii do okręgu omówiono i Archimedesa stosuje się metodę wyczerpania do obliczenia obszary gładkie kształty, takie jak koło , i wielkości z gładkiej trójwymiarowych stałych, takich jak sfery , stożki i cylindry.

Między starożytnością a początkiem renesansu teoria geometrii różniczkowej niewiele się rozwinęła . Przed rozwojem rachunku przez Newtona i Leibniza , najbardziej znaczący rozwój w zrozumieniu geometrii różniczkowej pochodzi Gerard Merkator rozwoju jest w projekcji Mercatora jako sposób odwzorowywania Ziemię. Mercator rozumiał zalety i pułapki swojego projektu mapy, a w szczególności zdawał sobie sprawę z konforemnej natury swojej projekcji, a także z różnicy między praga , liniami najkrótszej odległości na Ziemi, a directio , prostą ścieżki linii na jego mapie. Mercator zauważył, że pragi miały w tym rzucie skośną krzywiznę . Fakt ten odzwierciedla brak na mapie metrycznym-konserwowanie powierzchni Ziemi na płaskiej powierzchni, w konsekwencji późniejszym Theorema egregium z Gaussa .

Po rachunku (1600 - 1800)

Okrąg oscylacyjny

Pierwsze systematyczne lub rygorystyczne traktowanie geometrii przy użyciu teorii nieskończenie małych i pojęć z rachunku różniczkowego rozpoczęło się około XVII wieku, kiedy rachunek został po raz pierwszy opracowany przez Gottfrieda Leibniza i Isaaca Newtona . W tym czasie niedawna praca René Descartes'a wprowadzająca współrzędne analityczne do geometrii umożliwiła rygorystyczne opisywanie geometrycznych kształtów o coraz większej złożoności. W szczególności w tym czasie Pierre de Fermat , Newton i Leibniz rozpoczęli badanie krzywych płaskich i badanie pojęć, takich jak punkty przegięcia i koła styczności , które pomagają w pomiarach krzywizny . Rzeczywiście, już w swoim pierwszym artykule o podstawach rachunku różniczkowego Leibniz zauważa, że warunek nieskończenie mały wskazuje na istnienie punktu przegięcia. Niedługo po tym czasie bracia Bernoulli , Jacob i Johann wnieśli ważny wkład w wykorzystanie nieskończenie małych do badania geometrii. W ówczesnych wykładach Johanna Bernoulliego, później zestawionych przez L'Hopitala w pierwszym podręczniku rachunku różniczkowego , styczne do krzywych różnych typów są obliczane przy użyciu warunku , podobnie obliczane są punkty przegięcia. W tym samym czasie realizowana jest ortogonalność pomiędzy drgającymi okręgami krzywej płaskiej a kierunkami stycznymi i spisywany jest pierwszy analityczny wzór na promień koła drgającego, w zasadzie pierwszy analityczny wzór na pojęcie krzywizny . ${\ Displaystyle d ^ {2} y = 0}$ ${\ Displaystyle dy = 0}$

W ślad za rozwojem geometrii analitycznej i krzywych płaskich, Alexis Clairaut rozpoczął badanie krzywych przestrzennych już w wieku 16 lat. W swojej książce Clairaut wprowadził pojęcie kierunków stycznych i substycznych do krzywych przestrzennych w odniesieniu do kierunków, które leżą wzdłuż powierzchni, na której leży krzywa przestrzenna. W ten sposób Clairaut zademonstrował ukryte zrozumienie przestrzeni stycznej powierzchni i po raz pierwszy zbadał tę ideę za pomocą rachunku różniczkowego. Co ważne, Clairaut wprowadził terminologię krzywizny i podwójnej krzywizny , zasadniczo pojęcie głównych krzywizn zbadanych później przez Gaussa i innych.

Mniej więcej w tym samym czasie Leonhard Euler , pierwotnie uczeń Johanna Bernoulliego, wniósł wiele znaczących wkładów nie tylko w rozwój geometrii, ale także w szerzej pojmowaną matematykę. W odniesieniu do geometrii różniczkowej Euler studiował pojęcie geodezji na powierzchni, wyprowadzając pierwsze analityczne równanie geodezyjne , a później wprowadził pierwszy zestaw wewnętrznych układów współrzędnych na powierzchni, rozpoczynając teorię geometrii wewnętrznej, na której opierają się współczesne idee geometryczne . Mniej więcej w tym czasie badania Eulera nad mechaniką w Mechanice doprowadziły do uświadomienia sobie, że masa przemieszczająca się po powierzchni nie pod wpływem żadnej siły przebyłaby ścieżkę geodezyjną, co było wczesnym prekursorem ważnych fundamentalnych idei ogólnej teorii względności Einsteina , a także z równania Eulera-Lagrange'a oraz pierwszy teoria rachunku odmian , co stanowi podstawę współczesnej geometrii różnica wielu technik symplektyczna geometrii i analizy geometrycznej . Teoria ta została wykorzystana przez Lagrange'a , współtwórcę rachunku wariacyjnego, do wyprowadzenia pierwszego równania różniczkowego opisującego minimalną powierzchnię w kategoriach równania Eulera-Lagrange'a. W 1760 Euler udowodnił twierdzenie wyrażające krzywiznę krzywej przestrzennej na powierzchni w kategoriach krzywizn głównych, znane jako twierdzenie Eulera .

Później w XVIII wieku nowa francuska szkoła prowadzona przez Gasparda Monge zaczęła wnosić wkład w geometrię różniczkową. Monge wniósł ważny wkład w teorię płaskich krzywych, powierzchni i zbadał powierzchnie obrotowe oraz obwiednie krzywych płaskich i krzywych przestrzennych. Kilku uczniów Monge'a wniosło wkład do tej samej teorii i na przykład Charles Dupin przedstawił nową interpretację twierdzenia Eulera w kategoriach krzywizn głównych, które są współczesną postacią równania.

Geometria wewnętrzna i geometria nieeuklidesowa (1800 - 1900)

Dziedzina geometrii różniczkowej stała się obszarem badań rozważanym na własną rękę, odrębnym od szerszej idei geometrii analitycznej, w XIX wieku, głównie dzięki fundamentalnym pracom Carla Friedricha Gaussa i Bernharda Riemanna , a także ważnym wkładem Nikołaja Łobaczewskiego o geometrii hiperbolicznej i nieeuklidesowej oraz o rozwoju geometrii rzutowej w tym samym okresie .

Nazwany najważniejszą pracą w historii geometrii różniczkowej, w 1827 r. Gauss stworzył Disquisitiones generales circa superficies curvas, szczegółowo opisując ogólną teorię zakrzywionych powierzchni. W tej pracy i późniejszych pracach oraz niepublikowanych notatkach na temat teorii powierzchni Gauss został nazwany wynalazcą geometrii nieeuklidesowej i wynalazcą wewnętrznej geometrii różniczkowej. W swojej fundamentalnej pracy Gauss wprowadził mapę Gaussa , krzywizny Gaussa , pierwsze i drugie podstawowe formy , udowodnił Theorema egregium przedstawiający wewnętrzną naturę krzywizny Gaussa, studiował geodezyjnych, obliczanie powierzchni w geodezyjnej trójkąta w różnych nieeuklidesowych geometrii na powierzchnie.

W tym czasie Gauss był już zdania, że należy odrzucić standardowy paradygmat geometrii euklidesowej i był w posiadaniu prywatnych rękopisów o geometrii nieeuklidesowej, które stanowiły podstawę jego badań nad trójkątami geodezyjnymi. Mniej więcej w tym samym czasie János Bolyai i Lobachevsky niezależnie odkryli geometrię hiperboliczną iw ten sposób wykazali istnienie spójnych geometrii poza paradygmatem Euklidesa. Konkretne modele geometrii hiperbolicznej zostały stworzone przez Eugenio Beltramiego później w latach 60. XIX wieku, a Felix Klein ukuł termin geometria nieeuklidesowa w 1871 roku, a poprzez program Erlangen zrównał geometrie euklidesowe i nieeuklidesowe. W domyśle geometria sferyczna Ziemi, którą badano od starożytności, była geometrią nieeuklidesową, geometrią eliptyczną .

Rozwój samoistnej geometrii różniczkowej w języku Gaussa był inspirowany przez jego ucznia Bernharda Riemanna w Habilitationsschrift , O hipotezach leżących u podstaw geometrii . W tej pracy Riemann po raz pierwszy wprowadził pojęcie metryki riemannowskiej i tensora krzywizny riemannowskiej i rozpoczął systematyczne badanie geometrii różniczkowej w wyższych wymiarach. Ten wewnętrzny punkt widzenia w kategoriach metryki riemannowskiej, oznaczany przez Riemanna, był rozwinięciem idei Gaussa o liniowym elemencie powierzchni. W tym czasie Riemann zaczął wprowadzać do tematu systematyczne stosowanie algebry liniowej i algebry wieloliniowej , wykorzystując teorię form kwadratowych w swoich badaniach metryk i krzywizny. W tym czasie Riemann nie rozwinął jeszcze nowoczesnego pojęcia rozmaitości, ponieważ nie napotkano nawet pojęcia przestrzeni topologicznej , ale zaproponował, że możliwe byłoby zbadanie lub zmierzenie właściwości metryki czasoprzestrzeni poprzez analiza mas w czasoprzestrzeni, łącząca się z wcześniejszą obserwacją Eulera, że masy pod wpływem żadnych sił nie przemieszczałyby się wzdłuż geodezji na powierzchniach i przewidując fundamentalną obserwację Einsteina dotyczącą zasady równoważności na całe 60 lat przed jej pojawieniem się w literaturze naukowej. ${\ Displaystyle ds ^ {2}}$ $ds$

W następstwie nowego opisu Riemanna punkt ciężkości technik stosowanych do badania geometrii różniczkowej przesunął się z doraźnych i zewnętrznych metod badania krzywych i powierzchni na bardziej systematyczne podejście w zakresie rachunku tensorowego i programu Erlangena Kleina, a postęp wzrósł na polu. Pojęcie grup przekształceń zostało rozwinięte przez Sophusa Liego i Jeana Gastona Darboux , co doprowadziło do ważnych wyników w teorii grup Liego i geometrii symplektycznej . Pojęcie rachunku różniczkowego na zakrzywionych przestrzeniach było badane przez Elwina Christoffela , który wprowadził symbole Christoffela opisujące pochodną kowariantną w 1868 roku, oraz przez innych, w tym Eugenio Beltramiego, który badał wiele pytań analitycznych dotyczących rozmaitości. W 1899 roku Luigi Bianchi wydał swoje Wykłady z geometrii różniczkowej, w których badano geometrię różniczkową z perspektywy Riemanna, a rok później Tullio Levi-Civita i Gregorio Ricci-Curbastro stworzyli swój podręcznik, systematycznie rozwijając teorię rachunku różniczkowego absolutnego i rachunku tensorowego . To w tym języku geometria różniczkowa została wykorzystana przez Einsteina w rozwoju ogólnej teorii względności i geometrii pseudo-riemannowskiej .

Nowoczesna geometria różniczkowa (1900 - 2000)

Przedmiotem nowoczesnej geometrii różniczkowej wyłonił się na początku 1900 w odpowiedzi na fundamentalne składek wielu matematyków, w tym najważniejsze dzieła z Henri Poincaré na fundamentach topologii . Na początku XX wieku w matematyce nastąpił duży ruch mający na celu sformalizowanie podstawowych aspektów przedmiotu, aby uniknąć kryzysów dyscypliny i dokładności, znany jako program Hilberta . W ramach tego szerszego ruchu pojęcie przestrzeni topologicznej zostało wydestylowane przez Felixa Hausdorffa w 1914 r., a do 1942 r. istniało wiele różnych pojęć rozmaitości o charakterze kombinatorycznym i różniczkowo-geometrycznym.

Zainteresowanie tematem wzbudziło również pojawienie się ogólnej teorii względności Einsteina oraz znaczenie równań pola Einsteina. Teoria Einsteina spopularyzowała rachunek tensorowy Ricciego i Levi-Civita i wprowadziła notację dla metryki Riemanna oraz dla symboli Christoffela, obydwa pochodzące z G w Grawitacji . Élie Cartan pomógł przeformułować podstawy geometrii różniczkowej gładkich rozmaitości w kategoriach rachunku zewnętrznego i teorii ruchomych ram , prowadząc w świecie fizyki do teorii Einsteina-Cartana . $g$ ${\ Displaystyle \ Gamma}$

Idąc za tym wczesnym rozwojem, wielu matematyków przyczyniło się do rozwoju współczesnej teorii, w tym Jean-Louis Koszul, który wprowadził połączenia na wiązkach wektorowych , Shiing-Shen Chern, który wprowadził charakterystyczne klasy do przedmiotu i rozpoczął badania nad rozmaitościami zespolonymi , William Hodge i Georges de Rham, który poszerzył rozumienie form różniczkowych , Charles Ehresmann, który wprowadził teorię wiązek włókien i połączeń Ehresmanna i innych. Szczególnie ważny był Hermann Weyl, który wniósł istotny wkład w podstawy ogólnej teorii względności, wprowadził tensor Weyla zapewniający wgląd w konformalną geometrię i jako pierwszy zdefiniował pojęcie cechowania, co doprowadziło do rozwoju teorii cechowania w fizyce i matematyce .

W połowie i pod koniec XX wieku geometria różniczkowa jako przedmiot rozszerzyła się i rozwinęła powiązania z innymi dziedzinami matematyki i fizyki. Rozwój teorii cechowania i teorii Yanga-Millsa w fizyce skupił uwagę na wiązkach i połączeniach, prowadząc do rozwoju teorii cechowania . Zbadano wiele wyników analitycznych, w tym dowód twierdzenia o indeksie Atiyaha-Singera . Rozwój geometrii złożonej był stymulowany równoległymi wynikami geometrii algebraicznej , a wyniki geometrii i globalnej analizy złożonych rozmaitości zostały udowodnione przez Shing-Tung Yau i innych. W drugiej połowie XX wieku opracowano nowe techniki analityczne w odniesieniu do przepływów krzywiznowych, takie jak przepływ Ricciego , którego kulminacją był dowód hipotezy Poincarégo autorstwa Grigori Perelmana . W tym samym okresie, głównie pod wpływem Michaela Atiyaha , powstały nowe powiązania między fizyką teoretyczną a geometrią różniczkową. Techniki z badania równań Yanga-Millsa i teorii cechowania zostały wykorzystane przez matematyków do opracowania nowych niezmienników gładkich rozmaitości. Fizycy, takich jak Edward Witten , jedyny fizyk być przyznany na medal Fieldsa , wykonane nowe skutki w matematyce za pomocą topologiczną teorii pola kwantowego i teoria strun , aby prognoz i zapewnienie ram dla nowych rygorystycznych matematyki, co spowodowało na przykład w hipotetycznej lustrem symetria i niezmienniki Seiberga-Wittena .

Gałęzie

Geometria Riemanna

Riemannowskiej badania geometrii Riemanna kolektory , gładkie kolektory z riemannowski metryczny . Jest to pojęcie odległości wyrażone za pomocą gładkiej dodatnio określonej symetrycznej formy dwuliniowej określonej na przestrzeni stycznej w każdym punkcie. Geometria riemannowska uogólnia geometrię euklidesową na przestrzenie, które niekoniecznie są płaskie, chociaż nadal przypominają przestrzeń euklidesową w każdym punkcie nieskończenie małe, tj. w pierwszym porządku przybliżenia . Różne koncepcje oparte na długości, takie jak długość łuku krzywych, powierzchnia obszarów płaskich i objętość brył, wszystkie mają naturalne odpowiedniki w geometrii riemannowskiej. Pojęcie kierunkowego pochodnej z funkcji z wielowymiarowego rachunku rozciąga się pojęciem covariant pochodnej o tensora . Wiele pojęć analizy i równań różniczkowych uogólniono na układ rozmaitości riemannowskich.

Dyfeomorfizm zachowujący odległość między rozmaitościami riemannowskimi nazywa się izometrią . Pojęcie to można również zdefiniować lokalnie , tj. dla małych sąsiedztw punktów. Dowolne dwie regularne krzywe są lokalnie izometryczne. Jednak Theorema Egregium Carla Friedricha Gaussa pokazało, że w przypadku powierzchni istnienie lokalnej izometrii narzuca, że krzywizny Gaussa w odpowiednich punktach muszą być takie same. W wyższych wymiarach tensor krzywizny Riemanna jest ważnym niezmiennikiem punktowym związanym z rozmaitością Riemanna, która mierzy, jak blisko jest do płaskości. Ważną klasą rozmaitości riemannowskich są symetryczne przestrzenie riemannowskie , których krzywizna niekoniecznie jest stała. Są to najbliższe analogie do „zwykłej” płaszczyzny i przestrzeni rozpatrywanej w geometrii euklidesowej i nieeuklidesowej .

Geometria pseudo-Riemanna

Geometria pseudo-riemannowska uogólnia geometrię riemannowska do przypadku, w którym tensor metryczny nie musi być dodatnio określony . Szczególnym przypadkiem jest rozmaitość Lorentza , która jest matematyczną podstawą ogólnej teorii względności Einsteina .

Geometria Finslera

Geometria Finslera ma jako główny przedmiot badań rozmaitości Finslera . Jest to rozmaitość różniczkowa z metryką Finslera , czyli normą Banacha zdefiniowaną na każdej przestrzeni stycznej. Rozmaitości riemannowskie są szczególnymi przypadkami bardziej ogólnych rozmaitości Finslera. Struktura Finslera na rozmaitości $M$ jest funkcją $F : T M \to [0, \infty)$ taką, że:

$F (x, my) = m F (x, y)$ dla wszystkich $(x, y)$ w $T M$ i wszystkich $m \geq 0$ ,
$F$ jest nieskończenie różniczkowalna w $T M ∖ {0}$ ,
Pionowy Hesjan $F 2$ jest dodatnio określony.

Geometria symplektyczna

Geometria symplektyczna to nauka o rozmaitościach symplektycznych . Prawie symplektycznych kolektor jest różniczkowalną kolektora wyposażone płynnie zmieniającym niezdegenerowanych skośnej symetryczny forma dwuliniowa na każdej powierzchni stycznej, to znaczy, na niezdegenerowanych 2- postaci Ohm , nazywana formą symplektycznych . Rozmaitość symplektyczna jest rozmaitością prawie symplektyczną, dla której forma symplektyczna ω jest zamknięta: d ω = 0 .

Dyfeomorfizm między dwiema rozmaitościami symplektycznymi, który zachowuje formę symplektyczną, nazywa się symplektomorfizmem . Niezdegenerowane skośno-symetryczne formy dwuliniowe mogą istnieć tylko na parzystowymiarowych przestrzeniach wektorowych, więc rozmaitości symplektyczne z konieczności mają parzysty wymiar. W wymiarze 2 rozmaitość symplektyczna to tylko powierzchnia obdarzona formą powierzchniową, a symplektomorfizm to dyfeomorfizm zachowujący powierzchnię. Przestrzeń fazowa układu mechanicznego jest symplektycznych kolektor i zrobili niejawny występ już w pracach Joseph Louis Lagrange na mechanice analitycznych , a później w Carl Gustav Jacobiego „s i William Rowan Hamilton ” s preparatów mechaniki klasycznej .

W przeciwieństwie do geometrii riemannowskiej, gdzie krzywizna zapewnia lokalny niezmiennik rozmaitości riemannowskich, twierdzenie Darboux stwierdza, że wszystkie rozmaitości symplektyczne są lokalnie izomorficzne. Jedyne niezmienniki rozmaitości symplektycznej mają charakter globalny, a aspekty topologiczne odgrywają znaczącą rolę w geometrii symplektycznej. Pierwszym wynikiem w topologii symplektycznej jest prawdopodobnie twierdzenie Poincaré-Birkhoffa , przypuszczone przez Henri Poincaré, a następnie udowodnione przez GD Birkhoffa w 1912 roku. Twierdzi ono, że jeśli obszar zachowujący mapę pierścienia skręca każdy komponent graniczny w przeciwnych kierunkach, to mapa ma co najmniej dwa stałe punkty.

Geometria kontaktu

Geometria styku zajmuje się pewnymi rozmaitościami o nieparzystym wymiarze. Jest ona bliska geometrii symplektycznej i podobnie jak ta ostatnia wywodzi się z zagadnień mechaniki klasycznej. Struktura kontakt w (2 n + 1) wymiarowej kolektora M jest przez gładką hiperpłaszczyzna pola H w wiązce stycznej , która jest tak daleko jak to możliwe, z czym wiąże się z zestawów poziomie różniczkowej funkcji w M (przy czym określenie techniczne jest „całkowicie niecałkowalny rozkład hiperpłaszczyznowy stycznej”). W pobliżu każdego punktu p rozkład hiperpłaszczyznowy jest określony przez formę 1 do znikania nigdzie , która jest unikalna aż do pomnożenia przez funkcję znikania nigdzie: ${\ Displaystyle \ alfa}$

{\ Displaystyle H_ {p} = \ ker \ alfa _ {p} \ podzbiór T_ {p} M.}

Lokalna forma 1 na M jest formą kontaktową, jeśli ograniczenie jej zewnętrznej pochodnej do H jest niezdegenerowaną formą dwupostaciową, a zatem indukuje strukturę symplektyczną na H _p w każdym punkcie. Jeżeli rozkład H może być określony przez globalną jednopostaciową, to ta forma jest kontaktowa wtedy i tylko wtedy, gdy forma górnowymiarowa ${\ Displaystyle \ alfa}$

{\ Displaystyle \ alfa \ klin (d \ alfa) ^ {n}}

jest formą objętości na M , tj. nigdzie nie znika. Analogiczny kontakt z twierdzeniem Darboux utrzymuje: wszystkie struktury kontaktowe na nieparzystowymiarowej rozmaitości są lokalnie izomorficzne i mogą być sprowadzone do pewnej lokalnej postaci normalnej przez odpowiedni dobór układu współrzędnych.

Geometria złożona i Kähler

Złożona geometria różniczkowa to nauka o złożonych rozmaitościach . Prawie kompleks kolektor jest prawdziwe kolektora , obdarzone tensora typu (1, 1), to znaczy wektor wiązka endomorfizm (nazywany niemal strukturą złożoną ) ${\ Displaystyle M}$

J:TM\rightarrow TM

, taki, że

{\ Displaystyle J ^ {2} = -1. \,}

Z tej definicji wynika, że prawie złożona rozmaitość jest parzystowymiarowa.

Niemal złożoną rozmaitość nazywamy złożoną if , gdzie jest tensorem typu (2, 1) spokrewnionym z , zwanym tensorem Nijenhuisa (lub czasami skręcaniem ). Niemal złożona rozmaitość jest złożona wtedy i tylko wtedy, gdy dopuszcza holomorficzny atlas współrzędnych . Prawie hermitowskie struktura jest podana w prawie złożoną strukturę J wraz z Riemanna metryki g , spełniającą warunek zgodności ${\ Displaystyle N_ {J} = 0}$ ${\ Displaystyle N_ {J}}$ ${\ Displaystyle J}$

{\ Displaystyle g (JX, JY) = g (X, Y) \,}

.

Prawie hermitowska struktura definiuje w naturalny sposób różniczkową dwuformę

{\ Displaystyle \ omega _ {J, g} (X, Y): = g (JX, Y) \,}

.

Następujące dwa warunki są równoważne:

${\ Displaystyle N_ {J} = 0 {\ mbox {i}} d \ omega = 0 \,}$
${\ Displaystyle \ nabla J = 0 \,}$

gdzie jest połączenie Levi-Civita z . W tym przypadku nazywana jest strukturą Kählera , a rozmaitość Kähler jest rozmaitością obdarzoną strukturą Kählera. W szczególności rozmaitość Kählera jest zarówno rozmaitością złożoną, jak i rozmaitością symplektyczną . Duża klasa rozmaitości Kählera (klasa rozmaitości Hodge'a ) jest podana przez wszystkie gładkie złożone rozmaitości rzutowe . $\nabla$ $g$ ${\ Displaystyle (J, g)}$

Geometria CR

Geometria CR to nauka o geometrii wewnętrznej granic domen w rozmaitościach zespolonych .

Geometria konforemna

Geometria konformalna to nauka o zbiorze przekształceń z zachowaniem kąta (konforemnych) w przestrzeni.

Topologia różnicowa

Topologia różnicowa to badanie globalnych niezmienników geometrycznych bez postaci metrycznej lub symplektycznej.

Topologia różnica zaczyna się od naturalnych takich operacji jak Lie pochodnej naturalnych wiązek wektora i de Rham różnicowego z formy . Oprócz algebroidów Liego , ważniejszą rolę zaczynają odgrywać również algebroidy Couranta .

Grupy kłamstw

Grupa Liego to grupa w kategorii gładkich rozmaitości. Oprócz własności algebraicznych korzysta z tego również różniczkowe własności geometryczne. Najbardziej oczywistą konstrukcją jest konstrukcja algebry Liego, która jest przestrzenią styczną w jednostce wyposażonej w nawias Lie między polami wektorowymi lewostronnymi . Obok teorii struktury istnieje również szerokie pole teorii reprezentacji .

Analiza geometryczna

Analiza geometryczna to dyscyplina matematyczna, w której narzędzia z równań różniczkowych, zwłaszcza eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych, są wykorzystywane do ustalania nowych wyników w geometrii różniczkowej i topologii różniczkowej.

Teoria mierników

Teoria cechowania zajmuje się badaniem połączeń na wiązkach wektorowych i wiązkach głównych i wywodzi się z problemów fizyki matematycznej i fizycznych teorii cechowania, które stanowią podstawę standardowego modelu fizyki cząstek elementarnych . Teoria cechowania zajmuje się badaniem równań różniczkowych dla połączeń na wiązkach i wynikających z nich przestrzeni geometrycznych modułów rozwiązań tych równań, jak również niezmienników, które można z nich wyprowadzić. Równania te często powstają jako równania Eulera-Lagrange'a opisujące równania ruchu niektórych układów fizycznych w kwantowej teorii pola , a więc ich badanie ma duże znaczenie w fizyce.

Wiązki i połączenia

Urządzenie wiązek wektorowych , głównych wiązek i połączeń na wiązkach odgrywa niezwykle ważną rolę w nowoczesnej geometrii różniczkowej. Gładka rozmaitość zawsze niesie naturalną wiązkę wektorową, wiązkę styczną . Mówiąc w dużym uproszczeniu, ta struktura sama w sobie jest wystarczająca tylko do rozwijania analizy na rozmaitości, podczas gdy wykonywanie geometrii wymaga dodatkowo pewnego sposobu powiązania przestrzeni stycznych w różnych punktach, czyli pojęcia transportu równoległego . Ważnym przykładem są połączenia afiniczne . Na powierzchni w R ³ , płaszczyzny styczne w różnych punktach mogą być identyfikowane z wykorzystaniem naturalnej ścieżki mądry równoległości indukowany otoczenia euklidesowej przestrzeni, która ma znaną standardową definicję metrycznych i równoległości. W geometrii Riemanna , połączenie Levi-Civita służy podobnemu celowi. Mówiąc bardziej ogólnie, geometrie różniczkowe uwzględniają przestrzenie z wiązką wektorów i dowolnym połączeniem afinicznym, które nie jest zdefiniowane w kategoriach metryki. W fizyce rozmaitością może być czasoprzestrzeń, a wiązki i połączenia są związane z różnymi polami fizycznymi.

Wewnętrzne kontra zewnętrzne

Od początku i do połowy XIX wieku geometria różniczkowa była badana z zewnętrznego punktu widzenia: krzywe i powierzchnie uważano za leżące w przestrzeni euklidesowej wyższego wymiaru (na przykład powierzchnia w przestrzeni otoczenia o trzech wymiarach). . Najprostsze wyniki to te w geometrii różniczkowej krzywych i geometrii różniczkowej powierzchni. Począwszy od prac Riemanna The wewnętrzny punkt widzenia został opracowany, w którym nie można mówić o ruchu „na zewnątrz” obiekt geometryczny, ponieważ uważa się, należy podać w wolnostojącej sposób. Podstawowym rezultatem jest tutaj teorema egregium Gaussa , w wyniku którego krzywizna Gaussa jest wewnętrznym niezmiennikiem.

Wewnętrzny punkt widzenia jest bardziej elastyczny. Na przykład przydaje się w teorii względności, gdzie czasoprzestrzeń nie może być naturalnie traktowana jako zewnętrzna. Jednak złożoność techniczna ma swoją cenę: wewnętrzne definicje krzywizny i połączeń stają się znacznie mniej intuicyjne wizualnie.

Te dwa punkty widzenia można pogodzić, tzn. geometrię zewnętrzną można uznać za strukturę dodatkową do wewnętrznej. (Patrz twierdzenie Nasha o osadzeniu .) W formalizmie rachunku geometrycznego zarówno zewnętrzna, jak i wewnętrzna geometria rozmaitości może być scharakteryzowana za pomocą pojedynczej dwuwektorowej jednej formy zwanej operatorem kształtu .

Aplikacje

Poniżej kilka przykładów zastosowania geometrii różniczkowej w innych dziedzinach nauki i matematyki.

W fizyce geometria różniczkowa ma wiele zastosowań, w tym:
- Geometria różnica język, w którym Albert Einstein jest ogólna teoria względności jest wyrażona. Zgodnie z teorią wszechświat jest gładką rozmaitością wyposażoną w metrykę pseudo-Riemanna, opisującą krzywiznę czasoprzestrzeni . Zrozumienie tej krzywizny jest niezbędne do pozycjonowania satelitów na orbicie okołoziemskiej. Geometria różniczkowa jest również niezbędna w badaniu soczewkowania grawitacyjnego i czarnych dziur .
- Formy różniczkowe są wykorzystywane w badaniach elektromagnetyzmu .
- Geometria różniczkowa ma zastosowanie zarówno w mechanice Lagrange'a, jak iw mechanice Hamiltona . W szczególności rozmaitości symplektyczne można wykorzystać do badania układów hamiltonowskich .
- Geometria riemannowska i geometria kontaktowa zostały wykorzystane do skonstruowania formalizmu geotermotermodynamiki, która znalazła zastosowanie w klasycznej termodynamice równowagowej .
W chemii i biofizyce przy modelowaniu struktury błony komórkowej pod zmiennym ciśnieniem.
W ekonomii geometria różniczkowa ma zastosowanie w dziedzinie ekonometrii .
Modelowanie geometryczne (w tym grafika komputerowa ) i komputerowe wspomaganie projektowania geometrycznego czerpią z idei geometrii różniczkowej.
W inżynierii geometria różnicowa może być stosowana do rozwiązywania problemów związanych z przetwarzaniem sygnałów cyfrowych .
W teorii sterowania geometrię różniczkową można wykorzystać do analizy sterowników nieliniowych, w szczególności sterowania geometrycznego
W prawdopodobieństwie , statystyce i teorii informacji można interpretować różne struktury jako rozmaitości riemannowskie , co daje pole geometrii informacji , zwłaszcza poprzez metrykę informacyjną Fishera .
W geologii strukturalnej geometria różniczkowa służy do analizy i opisu struktur geologicznych.
W wizji komputerowej do analizy kształtów wykorzystuje się geometrię różniczkową.
W przetwarzaniu obrazu geometria różnicowa służy do przetwarzania i analizy danych na niepłaskich powierzchniach.
Dowód Grigori Perelmana na temat hipotezy Poincarégo przy użyciu technik przepływów Ricciego wykazał siłę podejścia geometrii różniczkowej do pytań w topologii i podkreślił ważną rolę, jaką odgrywają jego metody analityczne.
W komunikacji bezprzewodowej , kolektory Grassmannian służą do formującej wiązki techniki w wielu anten systemów.

Zobacz też

Bibliografia

Dalsza lektura

Ethan D. Bloch (27 czerwca 2011). Pierwszy kurs z topologii geometrycznej i geometrii różniczkowej . Boston: Springer Science & Business Media. Numer ISBN 978-0-8176-8122-7. OCLC 811474509 .
Burke, William L. (1997). Zastosowana geometria różniczkowa . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. Numer ISBN 0-521-26929-6. OCLC 53249854 .
do Carmo, Manfredo Perdigão (1976). Geometria różniczkowa krzywych i powierzchni . Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. Numer ISBN 978-0-13-212589-5. OCLC 1529515 .
Frankel, Teodor (2004). Geometria fizyki: wprowadzenie (wyd. 2). Nowy Jork: Cambridge University Press. Numer ISBN 978-0-521-53927-2. OCLC 51855212 .
Elsa Abbena; Szymon Salamon; Alfred Gray (2017). Współczesna geometria różniczkowa krzywych i powierzchni za pomocą Mathematica (3rd ed.). Boca Raton: Chapman i Hall/CRC. Numer ISBN 978-1-351-99220-6. OCLC 1048919510 .
Kreyszig, Erwin (1991). Geometria różniczkowa . Nowy Jork: Dover Publikacje. Numer ISBN 978-0-486-66721-8. OCLC 23384584 .
Kühnel, Wolfgang (2002). Geometria różniczkowa: krzywe – powierzchnie – rozdzielacze (wyd. 2). Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. Numer ISBN 978-0-8218-3988-1. OCLC 61500086 .
McCleary, John (1994). Geometria z zróżnicowanego punktu widzenia . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. Numer ISBN 0-521-13311-4. OCLC 915912917 .
Spivak, Michael (1999). Kompleksowe wprowadzenie do geometrii różniczkowej (5 tomów) (3rd ed.). Opublikuj lub zgiń. Numer ISBN 0-914098-72-1. OCLC 179192286 .
ter Haar Romeny, Bart M. (2003). Wizja front-end i wieloskalowa analiza obrazu: teoria i zastosowania wieloskalowej wizji komputerowej, napisane w Mathematica . Dordrecht: Akademicki Kluwer. Numer ISBN 978-1-4020-1507-6. OCLC 52806205 .

Languages

In other projects