Algebra kwaternionów - Quaternion algebra

W matematyce , A Algebra kwaternion na pole F jest centralny prosty Algebra przez F , który posiada wymiar w ciągu 4 F . Każda algebra kwaternionów staje się algebrą macierzową przez rozciąganie skalarów (równoważnie, tensorowanie z rozszerzeniem ciała ), tzn. dla odpowiedniego rozszerzenia ciała K z F , jest izomorficzna z algebrą macierzy 2×2 nad K . ${\ Displaystyle A \ czasami _ {F} K}$

Pojęcie algebry kwaternionów może być postrzegane jako uogólnienie kwaternionów Hamiltona na dowolne ciało bazowe . Kwaterniony Hamiltona są algebrą kwaternionów (w powyższym sensie) nad ( ciałem liczb rzeczywistych ) i faktycznie jedynym nad poza algebrą macierzy rzeczywistych 2×2 aż do izomorfizmu . Kiedy , to biquaternions tworzą algebrę kwaternionów nad F . ${\ Displaystyle F = \ mathbb {R} }$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle F = \ mathbb {C} }$

Struktura

Algebra kwaternionów oznacza tu coś bardziej ogólnego niż algebra kwaternionów Hamiltona . Gdy pole współczynnik F nie posiada charakterystyczny 2, każdy quaternion algebra nad F może być opisany jako 4-wymiarowej F - przestrzeń liniowa z podstawy , z następującymi zasadami mnożenia: ${\displaystyle \{1,i,j,k\}}$

${\ Displaystyle i ^ {2} = a}$

${\ Displaystyle j ^ {2} = b}$

${\displaystyle ij=k}$

${\displaystyle ji=-k}$

gdzie a i b są dowolnymi niezerowymi elementami F . Z tych zasad otrzymujemy:

${\displaystyle k^{2}=ijij=-iijj=-ab}$

Klasyczne przypadki, w których są kwaterniony Hamiltona ( a = b = -1) i podzielone kwaterniony ( a = -1, b = +1). W split-quaternions i , różniące się od równań Hamiltona. ${\ Displaystyle F = \ mathbb {R} }$${\ Displaystyle k ^ {2} = +1}$${\displaystyle jk=-i}$

Tak zdefiniowaną algebra oznaczamy ( a , b ) _F lub po prostu ( a , b ). Gdy F ma cechę 2, możliwy jest również inny wyraźny opis w kategoriach bazy 4 elementów, ale w każdym razie definicja algebry kwaternionów nad F jako 4-wymiarowej prostej algebry centralnej nad F ma zastosowanie jednolicie we wszystkich cechach.

Algebra kwaternionów ( a , b ) _F jest albo algebrą dzielenia albo izomorficzną z algebrą macierzy 2×2 macierzy nad F ; ten ostatni przypadek jest określany jako split . Forma normy

${\ Displaystyle N (t + xi + yj + zk) = t ^ {2} -ax ^ {2} - przez ^ {2} + abz ^ {2} \ }$

definiuje strukturę algebry dzielenia wtedy i tylko wtedy, gdy normą jest anizotropowa forma kwadratowa , czyli zero tylko na elemencie zerowym. Stożkowa C ( , b ) określa

${\ Displaystyle topór ^ {2} + przez ^ {2} = z ^ {2} \ }$

ma punkt ( x , y , z ) o współrzędnych w F w przypadku podziału.

Podanie

Algebry kwaternionów są stosowane w teorii liczb , szczególnie w formach kwadratowych . Są to konstrukcje betonowe, które generują dwa elementy, aby w grupie Brauer z F . W przypadku niektórych pól, w tym pól liczb algebraicznych, każdy element rzędu 2 w jego grupie Brauera jest reprezentowany przez algebrę kwaternionów. Twierdzenie Aleksandra Merkurjewa implikuje, że każdy element rzędu 2 w grupie Brauera dowolnego ciała jest reprezentowany przez iloczyn tensorowy algebr kwaternionów. W szczególności, na str pola -adic budowa algebr quaternion może być postrzegana jako kwadratowego Hilberta symbolu z lokalnym teorii pola klasy .

Klasyfikacja

Jest to twierdzenie Frobeniusa, że istnieją tylko dwie rzeczywiste algebry kwaternionów: macierze 2×2 nad liczbami rzeczywistymi i kwaterniony rzeczywiste Hamiltona.

W podobny sposób, nad dowolnym ciałem lokalnym F istnieją dokładnie dwie algebry kwaternionów: macierze 2×2 nad ciałem F i algebra dzielenia. Ale algebra dzielenia kwaternionów nad ciałem lokalnym zwykle nie jest kwaternionami Hamiltona nad ciałem. Na przykład, nad liczbami p- adycznymi kwaterniony Hamiltona są algebrą dzielenia tylko wtedy, gdy p wynosi 2. Dla nieparzystej liczby pierwszej p , p- adyczne kwaterniony Hamiltona są izomorficzne z macierzami 2×2 nad p- adycznemi. Aby zobaczyć, że p- adyczne kwaterniony Hamiltona nie są algebrą dzielenia dla nieparzystej liczby pierwszej p , zaobserwuj, że kongruencja x ² + y ² = −1 mod p jest rozwiązywalna, a zatem na podstawie lematu Hensela — tutaj jest potrzebne, gdy p jest nieparzyste — równanie

x ² + y ² = −1

jest rozwiązywalny w liczbach p -adycznych. Dlatego kwaternion

xi + yj + k

ma normę 0 i dlatego nie ma odwrotności multiplikatywnej .

Jednym ze sposobów klasyfikacji klas izomorfizmu F -algebr wszystkich algebr kwaternionów dla danego ciała, F jest użycie zależności jeden do jednego między klasami izomorfizmu algebr kwaternionów nad F i klasami izomorfizmu ich form norm .

Z każdą algebrą kwaternionów A można powiązać kwadratową formę N (zwaną formą normy ) na A taką, że

${\ Displaystyle N (xy) = N (x) N (y)}$

dla wszystkich x i y w A . Okazuje się, że możliwe formy norm dla algebr F kwaternionów są dokładnie formami 2 Pfistera .

Algebry kwaternionów nad liczbami wymiernymi

Algebry kwaternionów nad liczbami wymiernymi mają teorię arytmetyczną podobną, ale bardziej skomplikowaną niż kwadratowe rozszerzenia . ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$

Pozwolić być algebra quaternion nad i pozwól być miejsce wśród wraz z wypełnieniem (tak to jest albo p -adic numery dla niektórych prime p lub liczby rzeczywiste ). Zdefiniuj , która jest algebrą kwaternionów . Są więc dwie możliwości : macierze 2 na 2 lub algebry dzielenia . ${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\displaystyle \nu}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} _ {\ nu}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\displaystyle B_{\nu}:=\mathbb {Q} _{\nu}\otimes _{\mathbb {Q}}B}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} _ {\ nu}}$${\displaystyle B_{\nu}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} _ {\ nu}}$

Mówimy, że jest podzielona (lub nierozgałęziona ) at if jest izomorficzna z macierzami 2×2 over . Mówimy, że B nie jest dzielone (lub rozgałęzione ) w if jest algebrą dzielenia kwaternionów ponad . Na przykład, wymierne kwaterniony Hamiltona są nierozdzielone na 2 oraz na i dzielone na wszystkich nieparzystych liczbach pierwszych. Macierze wymierne 2 na 2 są dzielone we wszystkich miejscach. ${\ Displaystyle B}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle B_{\nu}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} _ {\ nu}}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle B_{\nu}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} _ {\ nu}}$${\displaystyle \infty}$

Algebra kwaternionów nad wymiernymi, która dzieli się na, jest analogiczna do rzeczywistego pola kwadratowego, a ta, która nie jest podzielona na, jest analogiczna do urojonego pola kwadratowego. Analogia pochodzi z pola kwadratowego, które ma rzeczywiste zanurzenia, gdy minimalny wielomian generatora rozdziela się na liczby rzeczywiste, a w przeciwnym razie ma zanurzenia nierzeczywiste. Jedna ilustracja siły tej analogii dotyczy grup jednostek w porządku wymiernej algebry kwaternionów: jest nieskończona, jeśli algebra kwaternionów dzieli się w i jest skończona w przeciwnym razie, tak jak grupa jednostek rzędu w pierścieniu kwadratowym jest nieskończona w prawdziwy przypadek kwadratowy i skończony inaczej. ${\displaystyle \infty}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle \infty}$

Liczba miejsc, w których rozgałęzia się algebra kwaternionów nad wymiernymi, jest zawsze parzysta, co odpowiada kwadratowemu prawu wzajemności nad wymiernymi. Ponadto, miejsca, gdzie B rozgałęzia określa B do izomorfizmu jako algebry. (Innymi słowy, nie izomorficzne algebry quaternion ciągu rationals nie podzielają ten sam zestaw rozgałęzionych miejscach.) Iloczyn liczb pierwszych, w którym B rozgałęzia nazywany jest wyróżnik z pensjonatów .

Zobacz też

• Algebra kompozycji
• Algebra cykliczna
• Algebra oktononu
• Kolejność kwaternionów Hurwitza
• Kwaternion Hurwitza

Uwagi

Bibliografia

• Gille, Filip; Szamuely, Tamás (2006). Centralne algebry proste i kohomologia Galois . Studia Cambridge z matematyki zaawansowanej. 101 . Cambridge: Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . doi : 10.1017/CBO9780511607219 . Numer ISBN 0-521-86103-9. Zbl  1137.12001 .
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Wprowadzenie do form kwadratowych nad polami . Studia magisterskie z matematyki . 67 . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . Numer ISBN 0-8218-1095-2. MR  2104929 . Zbl  1068.11023 .

Dalsza lektura

• Knus, Max-Albert; Merkurjew, Aleksander ; Rost, Markus ; Tignol, Jean-Pierre (1998). Księga inwolucji . Publikacje Kolokwium. 44 . Z przedmową J. Titsa. Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . Numer ISBN 0-8218-0904-0. MR  1632779 . Zbl  0955.16001 .
• Maclachlana, Colina; Ried, Alan W. (2003). Arytmetyka trójrozmaitości hiperbolicznych . Nowy Jork: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4757-6720-9 . Numer ISBN 0-387-98386-4. MR  1937957 . Patrz rozdział 2 (Algebry Quaternion I) i rozdział 7 (Algebry Quaternion II).
• Chisholm, Hugh, wyd. (1911). "Algebra"  . Encyclopaedia Britannica (wyd. 11). Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge.( Patrz rozdział o kwaterniony. )
• Algebra kwaternionów w Encyklopedii Matematyki .