Kolejność kwaternionów Hurwitza - Hurwitz quaternion order

Hurwitz celu kwaternion jest specyficzny rozkaz w Algebra kwaternionów na odpowiednim polu numeru . Porządek ten ma szczególne znaczenie w teorii powierzchni Riemanna , w powiązaniu z powierzchniami o maksymalnej symetrii , czyli powierzchniami Hurwitza . Porządek kwaternionów Hurwitza badał w 1967 r. Goro Shimura , ale po raz pierwszy wyraźnie opisał go Noam Elkies w 1998 r. Alternatywne użycie terminu można znaleźć w opisie kwaternionów Hurwitz (oba zwyczaje są obecne w literaturze).

Definicja

Niech będzie maksymalnym rzeczywistym podpolem, gdzie jest siódmy prymitywny pierwiastek jedności . Pierścień całkowitymi o to , w którym element może być identyfikowane z dodatnim rzeczywistym . Niech będzie algebrą kwaternionów lub algebrą symboli ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle (\ rho)}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} [\ eta]}$${\ displaystyle \ eta = \ rho + {\ bar {\ rho}}}$${\ Displaystyle 2 \ cos ({\ tfrac {2 \ pi} {7}})}$${\ displaystyle D}$

${\ Displaystyle D: = \, (\ eta, \ eta) _ {K},}$

tak, że i in Również pozwól i . Pozwolić ${\ Displaystyle i ^ {2} = j ^ {2} = \ eta}$${\ displaystyle ij = -ji}$${\ Displaystyle D.}$${\ Displaystyle \ tau = 1 + \ eta + \ eta ^ {2}}$${\ Displaystyle j '= {\ tfrac {1} {2}} (1+ \ eta i + \ tau j)}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {Q}} _ {\ mathrm {Hur}} = \ mathbb {Z} [\ eta] [i, j, j '].}$

Wtedy to maksymalny porządek z opisanych wyraźnie przez Noama Elkies . ${\ displaystyle {\ mathcal {Q}} _ {\ mathrm {Hur}}}$${\ displaystyle D}$

Struktura modułu

Kolejność jest również generowana przez elementy ${\ displaystyle Q _ {\ mathrm {Hur}}}$

${\ displaystyle g_ {2} = {\ tfrac {1} {\ eta}} ij}$

i

${\ Displaystyle g_ {3} = {\ tfrac {1} {2}} (1 + (\ eta ^ {2} -2) j + (3- \ eta ^ {2}) ij).}$

W rzeczywistości zamówienie jest darmowym modułem na podstawie . Tutaj generatory spełniają relacje ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [\ eta]}$${\ displaystyle \, 1, g_ {2}, g_ {3}, g_ {2} g_ {3}}$

${\ Displaystyle g_ {2} ^ {2} = g_ {3} ^ {3} = (g_ {2} g_ {3}) ^ {7} = - 1,}$

które schodzą do odpowiednich relacji w grupie trójkątów (2,3,7) , po zilorowaniu przez środek.

Główne podgrupy kongruencji

Główną podgrupą kongruencji zdefiniowaną przez ideał jest z definicji grupa ${\ Displaystyle I \ podzbiór \ mathbb {Z} [\ eta]}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {Q}} _ {\ mathrm {Hur}} ^ {1} (I) = \ {x \ in {\ mathcal {Q}} _ {\ mathrm {Hur}} ^ {1} : x \ equiv 1 (}$ mod ${\ Displaystyle I {\ mathcal {Q}} _ {\ mathrm {Hur}}) \},}$

a mianowicie, grupa elementów o normie obniżonej 1 w ekwiwalencie 1 modulo ideału . Odpowiednią grupę Fuchsa uzyskuje się jako obraz głównej podgrupy kongruencji pod reprezentacją do P SL (2, R) . ${\ displaystyle {\ mathcal {Q}} _ {\ mathrm {Hur}}}$${\ displaystyle I {\ mathcal {Q}} _ {\ mathrm {Hur}}}$

Podanie

Kolejność została wykorzystana przez Katza, Schapsa i Vishne do skonstruowania rodziny powierzchni Hurwitza spełniających asymptotyczną dolną granicę skurczu: gdzie g to rodzaj, poprawiając wcześniejszy wynik Petera Busera i Petera Sarnaka ; zobacz skurcze powierzchni . ${\ Displaystyle sys> {\ Frac {4} {3}} \ log g}$

Zobacz też

• (2,3,7) grupa trójkątów
• Kwartyczny Kleina
• Powierzchnia Macbeatha
• Pierwsza trójka Hurwitza

Bibliografia