Punktowo - Pointwise
W matematyce kwalifikator punktowy jest używany do wskazania, że określona właściwość jest definiowana przez uwzględnienie każdej wartości jakiejś funkcji . Ważną klasą pojęć punktowych są operacje punktowe , czyli operacje zdefiniowane na funkcjach poprzez zastosowanie operacji do wartości funkcji oddzielnie dla każdy punkt w dziedzinie definicji. Ważne relacje można również definiować punktowo.
Operacje punktowe
Definicja formalna
Operację binarną o : Y × Y → Y na zbiorze Y można przenieść punktowo do operacji O : ( X → Y ) × ( X → Y ) → ( X → Y ) na zbiorze X → Y wszystkich funkcji z X do Y, w następujący sposób: Biorąc pod uwagę dwie funkcje f 1 : X → Y i M 2 : X → T , określa się z funkcji o ( f 1 , f 2 ): X → Y przez
- ( O ( f 1 , K 2 )) ( x ) = O ( f 1 ( x ), f 2 ( x )) dla wszystkich x ∈ X .
Zwykle o i O są oznaczone tym samym symbolem. Podobnie określenie jest stosowane do operacji jednoargumentowy O , i innych operacji liczbę operandów .
Przykłady
gdzie .
Zobacz także iloczyn punktowy i skalar .
Przykładem operacji na funkcjach, która nie jest punktowa, jest splot .
Nieruchomości
Operacje punktowe dziedziczą takie właściwości, jak asocjatywność , przemienność i rozdzielność z odpowiednich operacji na kodomenie . Jeśli jest jakiś algebraiczna struktura , zbiór wszystkich funkcji do zestawu nośnego z może być przekształcony w strukturze algebraicznej tego samego typu w analogiczny sposób.
Operacje komponentowe
Operacje składowe są zwykle definiowane na wektorach, gdzie wektory są elementami zbioru dla jakiejś liczby naturalnej i jakiegoś pola . Jeśli oznaczymy -ty składnik dowolnego wektora jako , to dodawanie składowe jest .
Na macierzach można definiować operacje składowe. Dodawanie macierzy, gdzie jest operacją składową, a mnożenie macierzy nie.
Krotka mogą być uważane za funkcję, a wektorem jest krotką. W związku z tym, dowolny wektor odpowiada funkcji , tak że i w każdej operacji componentwise wektorów jest operacją punktowo od funkcji odpowiednich do tych wektorów.
Relacje punktowe
W teorii porządków często definiuje się punktowy porządek częściowy funkcji. Z zestawami A , B zbiór funkcji A → B można uporządkować według f ≤ g wtedy i tylko wtedy, gdy (∀ x ∈ A) f ( x ) ≤ g ( x ). Porządki punktowe również dziedziczą niektóre właściwości bazowych posetów. Na przykład, jeśli A i B są ciągłymi sieciami , to taki jest zbiór funkcji A → B w porządku punktowym. Używając punktowego porządku funkcji, można zwięźle zdefiniować inne ważne pojęcia, na przykład:
- Operator konsekwencji C na poset P jest monotoniczne i idempotent siebie Na P (tj operatora występ ), z dodatkową właściwość, że identyfikator ≤ C , gdzie ID jest funkcja tożsamości .
- Podobnie, operator występ k nazywa się operator jądra , wtedy i tylko wtedy, gdy k ≤ ID .
Przykładem nieskończonej relacji punktowej jest punktowa zbieżność funkcji - sekwencja funkcji
z
zbiega punktowo do funkcji, jeśli dla każdego in
Uwagi
Bibliografia
Przykłady teorii zamówień:
- TS Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures , Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5 .
- G. Gierz, KH Hofmann, K. Keimel, JD Lawson, M. Mislove, DS Scott : Continuous Lattices and Domains , Cambridge University Press, 2003.
Ten artykuł zawiera materiał z Pointwise on PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution / Share-Alike License .