Punktowo - Pointwise

W matematyce kwalifikator punktowy jest używany do wskazania, że ​​określona właściwość jest definiowana przez uwzględnienie każdej wartości jakiejś funkcji . Ważną klasą pojęć punktowych są operacje punktowe , czyli operacje zdefiniowane na funkcjach poprzez zastosowanie operacji do wartości funkcji oddzielnie dla każdy punkt w dziedzinie definicji. Ważne relacje można również definiować punktowo.

Operacje punktowe

Suma punktowa (wykres górny, fiolet) i iloczyn (kolor zielony) funkcji sin (wykres dolny, kolor niebieski) i ln ( wykres czerwony). Podświetlony pionowy wycinek przedstawia obliczenia w punkcie x = 2π.

Definicja formalna

Operację binarną o : Y × YY na zbiorze Y można przenieść punktowo do operacji O : ( XY ) × ( XY ) → ( XY ) na zbiorze XY wszystkich funkcji z X do Y, w następujący sposób: Biorąc pod uwagę dwie funkcje f 1 : XY i M 2 : XT , określa się z funkcji o ( f 1 , f 2 ): XY przez

( O ( f 1 , K 2 )) ( x ) = O ( f 1 ( x ), f 2 ( x )) dla wszystkich xX .

Zwykle o i O są oznaczone tym samym symbolem. Podobnie określenie jest stosowane do operacji jednoargumentowy O , i innych operacji liczbę operandów .

Przykłady

gdzie .

Zobacz także iloczyn punktowy i skalar .

Przykładem operacji na funkcjach, która nie jest punktowa, jest splot .

Nieruchomości

Operacje punktowe dziedziczą takie właściwości, jak asocjatywność , przemienność i rozdzielność z odpowiednich operacji na kodomenie . Jeśli jest jakiś algebraiczna struktura , zbiór wszystkich funkcji do zestawu nośnego z może być przekształcony w strukturze algebraicznej tego samego typu w analogiczny sposób.

Operacje komponentowe

Operacje składowe są zwykle definiowane na wektorach, gdzie wektory są elementami zbioru dla jakiejś liczby naturalnej i jakiegoś pola . Jeśli oznaczymy -ty składnik dowolnego wektora jako , to dodawanie składowe jest .

Na macierzach można definiować operacje składowe. Dodawanie macierzy, gdzie jest operacją składową, a mnożenie macierzy nie.

Krotka mogą być uważane za funkcję, a wektorem jest krotką. W związku z tym, dowolny wektor odpowiada funkcji , tak że i w każdej operacji componentwise wektorów jest operacją punktowo od funkcji odpowiednich do tych wektorów.

Relacje punktowe

W teorii porządków często definiuje się punktowy porządek częściowy funkcji. Z zestawami A , B zbiór funkcji AB można uporządkować według fg wtedy i tylko wtedy, gdy (∀ x ∈ A) f ( x ) ≤ g ( x ). Porządki punktowe również dziedziczą niektóre właściwości bazowych posetów. Na przykład, jeśli A i B są ciągłymi sieciami , to taki jest zbiór funkcji AB w porządku punktowym. Używając punktowego porządku funkcji, można zwięźle zdefiniować inne ważne pojęcia, na przykład:

Przykładem nieskończonej relacji punktowej jest punktowa zbieżność funkcji - sekwencja funkcji

z

zbiega punktowo do funkcji, jeśli dla każdego in

Uwagi

Bibliografia

Przykłady teorii zamówień:

  • TS Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures , Springer, 2005, ISBN  1-85233-905-5 .
  • G. Gierz, KH Hofmann, K. Keimel, JD Lawson, M. Mislove, DS Scott : Continuous Lattices and Domains , Cambridge University Press, 2003.

Ten artykuł zawiera materiał z Pointwise on PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution / Share-Alike License .