Darmowy moduł - Free module

W matematyce , o darmowy moduł to moduł , który ma podstawy - to jest zespół prądotwórczy składający się z liniowo niezależnych elementów. Każda przestrzeń wektorowa jest modułem swobodnym, ale jeśli pierścień współczynników nie jest pierścieniem dzielenia (nie jest polem w przypadku przemiennym ), to istnieją moduły niewolne.

Mając dowolny zbiór $S$ i pierścień $R$ , istnieje swobodny moduł $R$ z bazą $S$ , który nazywamy modułem swobodnym na $S$ lub modułem formalnych $R$ - liniowych kombinacji elementów $S$ .

Wolna grupa abelowa właśnie wolny moduł nad pierścieniem $Z$ z liczb całkowitych .

Definicja

W przypadku pierścionka i an - modułu , zestaw stanowi podstawę, jeśli: ${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle M}$ $E\subseteq M$ ${\ Displaystyle M}$

${\ Displaystyle E}$ jest zespołem prądotwórczym dla ; to znaczy, każdy element jest skończoną sumą elementów pomnożonych przez współczynniki w ; oraz ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle E}$ ${\ Displaystyle R}$
${\ Displaystyle E}$ jest liniowo niezależny , to znaczy dla każdego podzbioru odrębnych elementów , oznacza to (gdzie jest zerowym elementem i jest zerowym elementem ). $\{e_{1},e_{2},\ldots,e_{n}\}$ ${\ Displaystyle E}$ $r_{1}e_{1}+r_{2}e_{2}+\cdots +r_{n}e_{n}=0_{M}$ ${\ Displaystyle r_ {1} = r_ {2} = \ cdots = r_ {n} = 0_ {R}}$ ${\ Displaystyle 0_ {M}}$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle 0_ {R}}$ ${\ Displaystyle R}$

Darmowy moduł to moduł z podstawą.

Bezpośrednią konsekwencją drugiej połowy definicji jest to, że współczynniki w pierwszej połowie są unikalne dla każdego elementu M .

Jeżeli ma niezmienną bazę numer , to z definicji dowolne dwie bazy mają tę samą moc. Na przykład niezerowe pierścienie przemienne mają niezmienną liczbę bazową. Liczność dowolnej (a zatem każdej) podstawy nazywana jest rangą modułu wolnego . Jeśli ta kardynalność jest skończona, mówi się, że wolny moduł jest wolny od skończonej rangi , lub wolny od rangi $n ,$ jeśli wiadomo, że ranga jest $n$ . ${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle M}$

Przykłady

Niech R będzie pierścieniem.

R jest wolnym modułem o randze jeden nad sobą (jako moduł lewy lub prawy); każdy element jednostkowy jest podstawą.
Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli R jest przemienne, niezerowy ideał I z R jest wolny wtedy i tylko wtedy, gdy jest głównym ideałem generowanym przez niezerowy dzielnik, którego podstawą jest generator.
Jeśli R jest przemienne, pierścień wielomianowy w nieokreślonym X jest swobodnym modułem o możliwej podstawie 1, X , X ² , .... $R[X]$
Pozwolić się wielomian pierścień na przemiennej pierścienia A , F monic wielomianem stopnia d tam i obraz T w B . Wtedy B zawiera A jako podpierścień i jest wolny jako moduł A z bazą . $A[t]$ ${\ Displaystyle B = A [t] / (f)}$ $\xi$ ${\ Displaystyle 1, \ xi , \ kropki , \ xi ^ {d-1}}$
Na dowolna nieujemną liczbę całkowitą N , The iloczyn z n kopie R jak lewy R -module jest wolny. Jeśli R ma niezmienną bazę liczbową , to jego ranga wynosi n . ${\ Displaystyle R ^ {n} = R \ razy \ cdots \ razy R}$
Bezpośrednia suma wolnych modułów jest darmowa, podczas gdy nieskończony iloczyn kartezjański wolnych modułów generalnie nie jest wolny (por. grupa Baera-Speckera ).
Twierdzenie Kaplansky'ego mówi, że moduł rzutowy nad lokalnym pierścieniem jest wolny.

Formalne kombinacje liniowe

Mając zbiór $E$ i pierścień $R$ , istnieje wolny moduł $R,$ który ma $E$ jako podstawę, a mianowicie bezpośrednią sumę kopii R zindeksowanych przez E

{\ Displaystyle R ^ {(E)} = \ bigoplus _ {e \ w E} R}

.

Mówiąc wprost, jest to submoduł iloczynu kartezjańskiego ( R jest postrzegany jako, powiedzmy, moduł lewy), który składa się z elementów, które mają tylko skończenie wiele niezerowych składowych. Można osadzić E w $R$ $($ $E$ $)$ jako podzbiór, identyfikując element e z elementem $R$ $($ $E$ $),$ którego e- ty składnik wynosi 1 (jedność R ), a wszystkie pozostałe składniki wynoszą zero. Wtedy każdy element $R$ $($ $E$ $)$ można zapisać jednoznacznie jako ${\textstyle \prod _{E}R}$

{\ Displaystyle \ suma _ {e \ w E} c_ {e} e}

gdzie tylko skończenie wiele jest niezerowych. Nazywa się to formalną kombinacją liniową elementów $E$ . $c_{e}$

Podobny argument pokazuje, że każdy wolny lewy (odpowiednio prawy) moduł R jest izomorficzny z sumą kopii modułu R jako lewego (odpowiednio prawego) modułu.

Kolejna konstrukcja

Swobodny moduł $R (E)$ można również skonstruować w następujący równoważny sposób.

Mając pierścień R i zbiór E , najpierw jako zbiór pozwalamy

{\ Displaystyle R ^ {(E)} = \ {f: E \ do R \ mid f (x) = 0 {\ tekst {dla wszystkich, ale skończenie wielu}} x \ w e \}.}

Wyposażamy go w strukturę lewego modułu tak, że dodawanie jest określone przez: dla x w E ,

{\ Displaystyle (f + g) (x) = f (x) + g (x)}

oraz mnożenie przez skalar przez: dla r w R i x w E ,

{\ Displaystyle (rf) (x) = r (f (x))}

Obecnie, jako R -valued funkcji na E , każdy F na można zapisać jako wyjątkowo ${\ Displaystyle R ^ {(E)}}$

{\ Displaystyle f = \ suma _ {e \ w e} c_ {e} \ delta _ {e}}

gdzie są w R i tylko skończenie wiele z nich jest niezerowych i jest podane jako $c_{e}$ ${\ Displaystyle \ delta _ {e}}$

{\ Displaystyle \ delta _ {e} (x) = {\ zacząć {przypadki} 1_ {R} \ quad {\ mbox {jeśli}} x = e \ \ 0_ {R} \ quad {\ mbox {jeśli}} x\neq e\end{przypadki}}}

(jest to wariant delta Kroneckera ). Powyższe oznacza, że podzbiór od jest podstawą . Mapowanie jest bijekcją między $E$ a tą podstawą. Dzięki tej bijekcji jest wolny moduł o podstawie E . ${\ Displaystyle \ {\ delta _ {e} \ średni e \ w e \}}$ ${\ Displaystyle R ^ {(E)}}$ ${\ Displaystyle R ^ {(E)}}$ ${\ Displaystyle e \ mapsto \ delta _ {e}}$ ${\ Displaystyle R ^ {(E)}}$

Własność uniwersalna

Zdefiniowane powyżej mapowanie włączenia jest uniwersalne w następującym sensie. Biorąc pod uwagę dowolną funkcję ze zbioru $E$ do lewego modułu $R$ $N$ , istnieje unikalny homomorfizm modułu taki, że ; mianowicie jest określony wzorem: ${\ Displaystyle \ iota: E \ do R ^ {(E)}}$ ${\ Displaystyle f: E\ do N}$ ${\ Displaystyle {\ overline {f}}: R ^ {(E)} \ do N}$ ${\ Displaystyle f = {\ overline {f}} \ circ \ iota}$ ${\overline {f}}$

{\ Displaystyle {\ overline {f}} \ lewo (\ suma _ {e \ w e} r_ {e} e \ po prawej) = \ suma _ {e \ w e} r_ {e} f (e)}

i mówi się, że jest uzyskiwany przez rozciąganie przez liniowość. Unikalność oznacza, że każda R- liniowa mapa jest jednoznacznie określona przez jej ograniczenie do E . ${\overline {f}}$ $f$ ${\ Displaystyle R ^ {(E)} \ do N}$

Jak zwykle właściwości uniwersalnych Określa $R (E)$ do kanoniczne Izomorfizm . Również formacja dla każdego zbioru E wyznacza funktor ${\ Displaystyle \ iota: E \ do R ^ {(E)}}$

{\ Displaystyle R ^ {(-)}: {\ textbf {zestaw}} \ do R- {\ mathsf {Mod}} \, E \ mapsto R ^ {(E)}}

,

z kategorii zestawów do kategorii lewych modułów $R.$ Nazywa się to funktorem swobodnym i spełnia naturalną zależność: dla każdego zbioru E i lewego modułu N ,

{\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ textbf {zestaw}} (E, U (N)) \ simeq \ operatorname {Hom} _ {R} (R ^ {(E)}, N), \, f \mapsto {\overline {f}}}

gdzie jest funktor zapominający , znaczenie jest lewym sprzężeniem funktora zapominającego. ${\ Displaystyle U: R-{\ mathsf {Mod}} \ do {\ textbf {ustaw}}}$ ${\ Displaystyle R ^ {(-)}}$

Uogólnienia

Wiele stwierdzeń dotyczących wolnych modułów, które są błędne w przypadku ogólnych modułów w pierścieniach, nadal jest prawdziwych w przypadku niektórych uogólnień wolnych modułów. Moduły projekcyjne to bezpośrednie sumy darmowych modułów, więc można wybrać wtrysk do wolnego modułu i na podstawie tego udowodnić coś dla modułu projekcyjnego. Jeszcze słabszymi uogólnieniami są moduły płaskie , które wciąż mają tę właściwość, że tensorowanie nimi zachowuje dokładne sekwencje, oraz moduły torsyjne . Jeśli pierścień ma specjalne właściwości, hierarchia ta może się załamać, np. dla każdego idealnego lokalnego pierścienia Dedekinda każdy moduł nieskręcający jest również płaski, rzutowy i swobodny. Skończenie wygenerowany, wolny od skręcania moduł przemiennego PID jest bezpłatny. Skończenie wygenerowany moduł Z jest darmowy wtedy i tylko wtedy, gdy jest płaski.

Zobacz lokalny ring , doskonały ring i Dedekind ring .

Zobacz też

Uwagi

^ Keown (1975). Wprowadzenie do teorii reprezentacji grup . P. 24.
^ Hazewinkel (1989). Encyklopedia Matematyki, tom 4 . P. 110.
^ Dowód: Załóżmy, żejest wolny z podstawą. Dla,musi mieć unikalną kombinację liniową pod względemi, co nie jest prawdą. Tak więc, ponieważistnieje tylko jeden element bazowy, który musi być niezerowym dzielnikiem. Odwrotność jest jasna. ${\ Displaystyle I}$ ${\ Displaystyle \ {x_ {j} | j \}}$ $j\neq k$ $x_{j}x_{k}$ $x_{j}$ $x_{k}$ ${\ Displaystyle I \ neq 0}$ $\kwadrat$

Bibliografia

Ten artykuł zawiera materiał z wolnej przestrzeni wektorowej na zestawie PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

Adamson, Iain T. (1972). Pierścienie i moduły elementarne . Uniwersyteckie teksty matematyczne. Olivera i Boyda. s. 65-66. Numer ISBN 0-05-002192-3. MR 0345993 .
Keown, R. (1975). Wprowadzenie do teorii reprezentacji grup . Matematyka w nauce i technice. 116 . Prasa akademicka. Numer ISBN 978-0-12-404250-6. MR 0387387 .
Govorov, VE (2001) [1994], "Free module" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press.

[1] Keown (1975). Wprowadzenie do teorii reprezentacji grup . P. 24.

[2] Hazewinkel (1989). Encyklopedia Matematyki, tom 4 . P. 110.

[3] Dowód: Załóżmy, żejest wolny z podstawą. Dla,musi mieć unikalną kombinację liniową pod względemi, co nie jest prawdą. Tak więc, ponieważistnieje tylko jeden element bazowy, który musi być niezerowym dzielnikiem. Odwrotność jest jasna. ${\ Displaystyle I}$ ${\ Displaystyle \ {x_ {j} | j \}}$ $j\neq k$ $x_{j}x_{k}$ $x_{j}$ $x_{k}$ ${\ Displaystyle I \ neq 0}$ $\kwadrat$

Languages

In other projects