Twierdzenie Frobeniusa (algebry dzielenia rzeczywistego) - Frobenius theorem (real division algebras)

W matematyce , a dokładniej w algebrze abstrakcyjnej , twierdzenie Frobeniusa , udowodnione przez Ferdinanda Georga Frobeniusa w 1877, charakteryzuje skończenie wymiarowe algebry dzielenia asocjacyjnego nad liczbami rzeczywistymi . Zgodnie z twierdzeniem, każda taka algebra jest izomorficzna z jednym z następujących:

• R ( liczby rzeczywiste )
• C ( liczby zespolone )
• H ( kwaterniony ).

Algebry te mają odpowiednio wymiar rzeczywisty 1, 2 i 4 . Z tych trzech algebr, R i C są przemienne , ale H nie jest.

Dowód

Głównymi składnikami poniższego dowodu są twierdzenie Cayleya-Hamiltona i podstawowe twierdzenie algebry .

Przedstawiamy notację

• Niech D będzie rozważaną algebrą dzielenia.
• Niech n będzie wymiarem D .
• Identyfikujemy rzeczywiste wielokrotności 1 z R .
• Kiedy piszemy a ≤ 0 dla elementu a z D , milcząco zakładamy, że a jest zawarte w R .
• Możemy rozważyć D jako skończonej-wymiarowej R - przestrzeni wektorowej . Każdy element d z D określa endomorfizm z D od lewej namnażania się identyfikować D z tym endomorfizm. Dlatego możemy mówić o śladu z d , a jego charakterystyki oraz minimalnych wielomianów .
• Dla dowolnego z w C zdefiniuj następujący rzeczywisty wielomian kwadratowy:

${\ Displaystyle Q (z; x) = x ^ {2} -2 \ nazwa operatora {Re} (z) x + | z | ^ {2} = (xz) (x-{\ nadkreślenie {z}}) \ w \mathbf {R} [x].}$

Należy zauważyć, że jeżeli z ∈ C ∖ R następnie P ( z , x ) jest nierozkładalny przez R .

Oświadczenie

Klucz do argumentu jest następujący

Prawo. Zbiór V wszystkich elementów z D , takich, że w ² ≤ 0 jest podprzestrzeń wektora D o wymiarach n - 1 . Ponadto D = R ⊕ V jako R -przestrzenie wektorowe, co oznacza, że V generuje D jako algebrę.

Dowód twierdzenia: Niech m będzie wymiarem D jako przestrzeni R -wektorowej i wybierz a w D z charakterystycznym wielomianem p ( x ) . Na podstawie podstawowego twierdzenia algebry możemy napisać

${\ Displaystyle p (x) = (x-t_ {1}) \ cdots (x-t_ {r}) (x-z_ {1}) (x-{\ overline {z_ {1}}}) \ cdots (x-z_{s})(x-{\overline {z_{s}}}),\qquad t_{i}\in \mathbf {R} ,\quad z_{j}\in \mathbf {C} \backslash \mathbf {R} .}$

Możemy przepisać p ( x ) w postaci wielomianów Q ( z ; x ) :

${\ Displaystyle p (x) = (x-t_ {1}) \ cdots (x-t_ {r}) Q (z_ {1}; x) \ cdots Q (z_ {s}; x).}$

Ponieważ z _j ∈ C \ R , wszystkie wielomiany Q ( z _j ; x ) są nierozkładalne na R . Z twierdzenia Cayleya-Hamiltona, p ( a ) = 0, a ponieważ D jest algebrą dzielenia, wynika, że ​​albo a − t _i = 0 dla niektórych i, albo Q ( z _j ; a ) = 0 dla niektórych j . Pierwszy przypadek sugeruje, że a jest prawdziwe. W drugim przypadku wynika z tego, że Q ( z _j ; x ) jest minimalnym wielomianem a . Ponieważ p ( x ) ma te same złożone pierwiastki co wielomian minimalny, a ponieważ jest realne, wynika z tego, że

${\ Displaystyle p (x) = Q (z_ {j}; x) ^ {k} = \ lewo (x ^ {2} -2 \ operatorname {Re} (z_ {j}) x + | z_ {j} | ^{2}\right)^{k}}$

Ponieważ p ( x ) jest wielomianem charakterystycznym a, współczynnik x ^{2 k −1} w p ( x ) wynosi tr( a ) aż do znaku. Czytamy zatem z powyższego równania: tr( a ) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy Re( z _j ) = 0 , innymi słowy tr( a ) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy a ² = −| z _j | ² < 0 .

Więc V jest podzbiorem wszystkich a z tr( a ) = 0 . W szczególności jest to podprzestrzeń wektorowa. Z twierdzenia rang-nullity wynika zatem, że V ma wymiar n-1, ponieważ jest jądrem . Ponieważ R i V są rozłączne (tj. spełniają ), a ich wymiary sumują się do n , mamy, że D = R ⊕ V . ${\displaystyle \operatorname {tr}:D\to \mathbf {R}}$${\ Displaystyle \ mathbf {R} \ czapka V = \ {0 \}}$

Koniec

Dla a , b w V definiuj B ( a , b ) = (− ab − ba )/2 . Ze względu na identyczność ( a + b ) ² − a ² − b ² = ab + ba , wynika, że B ( a , b ) jest rzeczywiste. Ponadto, ponieważ a ² ≤ 0 , mamy: B ( a , a ) > 0 dla a ≠ 0 . Zatem B jest dodatnio określoną symetryczną formą dwuliniową , innymi słowy iloczynem skalarnym na V .

Niech W będzie podprzestrzenią V, która generuje D jako algebrę i która jest minimalna w odniesieniu do tej własności. Niech E ₁ , ..., e _n Be ortonormalną bazę o W odniesieniu do B . Wtedy ortonormalność implikuje, że:

${\ Displaystyle e_ {i} ^ {2} = -1, \ quad e_ {i} e_ {j} = - e_ {j} e_ {i}}.$

Jeśli n = 0 , to D jest izomorficzne z R .

Jeśli n = 1 , to D jest generowane przez 1 i e ₁ zgodnie z zależnością e²
₁= -1 . Stąd jest izomorficzny z C .

Jeżeli n = 2 , to powyżej pokazano, że D jest generowane przez 1, e ₁ , e ₂ zależnie od relacji

${\displaystyle e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1,\quad e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1}\quad (e_{ 1}e_{2})(e_{1}e_{2})=-1.}$

To są właśnie relacje dla H .

Jeśli n > 2 , to D nie może być algebrą dzielenia. Załóżmy, że n > 2 . Niech u = e ₁ e ₂ e _n . Łatwo zauważyć, że u ² = 1 (działa to tylko wtedy, gdy n > 2 ). Gdyby D było algebrą dzielenia, 0 = u ² − 1 = ( u − 1)( u + 1) implikuje u = ±1 , co z kolei oznacza: e _n = ∓ e ₁ e ₂ i tak e ₁ , .. ., e _{n- 1} generuje D . To przeczy minimalności W .

Uwagi i związane z nimi wyniki

• Fakt, że D jest wytwarzany przez E ₁ , ..., e _n z zastrzeżeniem, że to przede stosunków D pada Algebra Clifford z R ⁿ . Ostatni krok pokazuje, że jedynymi rzeczywistymi algebrami Clifforda, które są algebrami dzielenia, są Cℓ ⁰ , Cℓ ¹ i Cℓ ² .
• W konsekwencji jedynymi algebrami dzielenia przemiennego są R i C . Zauważ też, że H nie jest algebrą C. Gdyby tak było, to w centrum H musi znajdować się C , ale w centrum H jest R . Dlatego jedyną algebrą podziału skończenie wymiarowego nad C jest samo C.
• Twierdzenie to jest blisko spokrewnione z twierdzeniem Hurwitza , które mówi, że jedynymi rzeczywistymi algebrami dzielenia unormowanego są R , C , H oraz (nieskojarzeniowa) algebra O .
• Wariant Pontriagina. Jeśli D jest połączony , lokalnie zwarta podziału pierścienia , a D = R , C , lub H .

Bibliografia

• Ray E. Artz (2009) Algebry i kwaterniony skalarne , Twierdzenie 7.1 „Klasyfikacja Frobeniusa”, strona 26.
• Ferdinand Georg Frobenius (1878) „ Uber lineare Substitutionen und bilineare Formen ”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 84:1-63 ( Crelle's Journal ). Przedrukowany w Gesammelte Abhandlungen Band I, s. 343-405.
• Yuri Bahturin (1993) Podstawowe struktury współczesnej algebry , Kluwer Acad. Pub. s. 30-2 ISBN  0-7923-2459-5 .
• Leonard Dickson (1914) Algebry liniowe , Cambridge University Press . Zobacz §11 „Algebra realnych kwaternionów; jej wyjątkowe miejsce wśród algebr”, strony 10 do 12.
• RS Palais (1968) „Klasyfikacja algebr dzielenia rzeczywistego” American Mathematical Monthly 75: 366-8.
• Lew Semenowicz Pontryagin , Grupy topologiczne , s. 159, 1966.