Rachunek wektorowy - Vector calculus

Część serii artykułów o
Rachunek różniczkowy
Twierdzenie podstawowe integralna reguła Leibniza Granice funkcji Ciągłość Twierdzenie o wartości średniej Twierdzenie Rolle'a
Mechanizm różnicowy Definicje Pochodna  ( uogólnienia ) Mechanizm różnicowy nieskończenie mały funkcji całkowity Koncepcje Notacja różniczkowa Druga pochodna Niejawne zróżnicowanie Różnicowanie logarytmiczne Powiązane stawki Twierdzenie Taylora Zasady i tożsamości Suma Produkt Łańcuch Moc Iloraz Zasada L'Hôpital Odwrotność Generał Leibniz Formuła Faà di Bruno
Całka Listy całek Transformacja całkowa Definicje Pochodna pierwotna Całka  ( niewłaściwa ) Całka Riemanna Integracja Lebesgue'a Integracja konturu Całka funkcji odwrotnych Integracja przez Części Dyski Cylindryczne muszle Podstawienie  ( trygonometryczne , Weierstrassa , Eulera ) Wzór Eulera Frakcje częściowe Zmiana kolejności Formuły redukcyjne Różniczkowanie pod znakiem całkowym Algorytm Richa
Seria Geometryczny  ( arytmetyczno-geometryczny ) Harmoniczny Zmienny Moc Dwumianowy Taylor Testy konwergencji Limit sumy (test terminowy) Stosunek Źródło Całka Bezpośrednie porównanie Porównanie limitów Seria naprzemienna Kondensacja Cauchy'ego Dirichleta Abel
Wektor Gradient Rozbieżność Kędzior Laplace'a Kierunkowa pochodna Tożsamości Twierdzenia Gradient Warzywa Stokesa Rozbieżność uogólniony Stokes
Wiele zmiennych Formalizmy Matryca Napinacz Zewnętrzny Geometryczny Definicje Częściowa pochodna Wielokrotna całka Całka liniowa Całka powierzchniowa Całka objętości Jakobian heski
Specjalistyczne Frakcyjny Maliavin Stochastyczny Wariacje
Różnorodny Wstępny rachunek różniczkowy Historia Słowniczek Lista tematów Pszczoła integracyjna Analiza
v T mi

Wektor rachunek , lub analiza wektor , dotyczy zróżnicowania i integracji z pól wektorowych , głównie w 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej Określenie „wektor rachunek” jest czasami używane jako synonim szerszym tematem wielu zmiennych rachunku , który przęsła wektor nazębnego oraz jako częściowe zróżnicowanie i wielokrotne całkowanie . Rachunek wektorowy odgrywa ważną rolę w geometrii różniczkowej oraz w badaniu równań różniczkowych cząstkowych . Jest szeroko stosowane w fizycznych i technicznych , zwłaszcza w opisie pola elektromagnetyczne , pola grawitacyjnego , a przepływ płynu . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}.}$

Rachunek wektorowy został opracowany na podstawie analizy kwaternionów przez J. Willarda Gibbsa i Olivera Heaviside'a pod koniec XIX wieku, a większość notacji i terminologii została opracowana przez Gibbsa i Edwina Bidwella Wilsona w ich książce z 1901 r., Analiza wektorowa . W konwencjonalnej formie wykorzystującej iloczyny krzyżowe , rachunek wektorowy nie uogólnia na wyższe wymiary, podczas gdy alternatywne podejście algebry geometrycznej, które wykorzystuje iloczyny zewnętrzne, robi to (patrz § Uogólnienia poniżej, aby uzyskać więcej).

Obiekty podstawowe

Pola skalarne

Pole skalarne wiąże wartość skalarną z każdym punktem w przestrzeni. Skalar to liczba matematyczna reprezentująca wielkość fizyczną . Przykłady pól skalarnych w zastosowaniach obejmują rozkład temperatury w przestrzeni, rozkład ciśnienia w płynie oraz zerowe pola kwantowe (znane jako bozony skalarne ), takie jak pole Higgsa . Pola te są przedmiotem skalarnej teorii pola .

Pola wektorowe

Pole wektorowe to przypisanie wektora do każdego punktu w przestrzeni . Na przykład pole wektorowe w płaszczyźnie może być wizualizowane jako zbiór strzałek o określonej wielkości i kierunku, z których każda jest przymocowana do punktu na płaszczyźnie. Pola wektorowe są często używane do modelowania, na przykład, prędkości i kierunku poruszającego się płynu w przestrzeni lub siły i kierunku jakiejś siły , takiej jak siła magnetyczna lub grawitacyjna , gdy zmienia się ona z punktu do punktu. Można to wykorzystać na przykład do obliczenia pracy wykonanej na linii.

Wektory i pseudowektory

W bardziej zaawansowanych zabiegów, jeden dodatkowy rozróżnia pseudowektor pola i pseudoskalar pola, które są identyczne do pól wektorowych i pól skalarnych, chyba że zmiana znaku na podstawie orientacji odwracania mapie: na przykład, curl pola wektorowego jest polem pseudowektor, a jeśli odbija się pole wektorowe, rotacja wskazuje w przeciwnym kierunku. To rozróżnienie jest wyjaśnione i rozwinięte w algebrze geometrycznej , jak opisano poniżej.

Algebra wektorów

Operacje algebraiczne (nieróżniczkowe) w rachunku wektorowym są określane jako algebra wektorów , definiowane dla przestrzeni wektorowej, a następnie stosowane globalnie do pola wektorowego. Podstawowe operacje algebraiczne składają się z:

Notacje w rachunku wektorowym

Operacja	Notacja	Opis
Dodawanie wektorów	${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1} + \ mathbf {v} _ {2}}$	Dodanie dwóch wektorów, dające wektor.
Mnożenie przez skalar	${\displaystyle a\mathbf {v}}$	Mnożenie liczby skalarnej i wektora, dające wektor.
Produkt kropkowy	${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1} \ cdot \ mathbf {v} _ {2}}$	Mnożenie dwóch wektorów, dające skalar.
Produkt krzyżowy	${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1} \ razy \ mathbf {v} _ {2}}$	Mnożenie dwóch wektorów w , dające (pseudo)wektor. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Powszechnie stosowane są również dwa potrójne produkty :

Potrójne produkty rachunku wektorowego

Operacja	Notacja	Opis
Potrójny produkt skalarny	${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1} \ cdot \ po lewej (\ mathbf {v} _ {2} \ razy \ mathbf {v} _ {3} \ po prawej)}$	Iloczyn skalarny iloczynu krzyżowego dwóch wektorów.
Potrójny produkt wektorowy	${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1} \ razy \ po lewej (\ mathbf {v} _ {2} \ razy \ mathbf {v} _ {3} \ po prawej)}$	Iloczyn krzyżowy iloczynu krzyżowego dwóch wektorów.

Operatory i twierdzenia

Operatory różniczkowe

Rachunek wektorowy bada różne operatory różniczkowe zdefiniowane na polach skalarnych lub wektorowych, które są zwykle wyrażane za pomocą operatora del ( ), znanego również jako „nabla”. Trzy podstawowe operatory wektorów to: ${\displaystyle \nabla}$

Operatory różniczkowe w rachunku wektorowym

Operacja	Notacja	Opis	analogia notacyjna	Zakres domen
Gradient	${\ Displaystyle \ operatorname {grad} (f) = \ nabla f}$	Mierzy szybkość i kierunek zmian w polu skalarnym.	Mnożenie przez skalar	Mapuje pola skalarne na pola wektorowe.
Rozbieżność	${\ Displaystyle \ Operatorname {div} (\ mathbf {F}) = \ nabla \ cdot \ mathbf {F}}$	Mierzy skalar źródła lub ujścia w danym punkcie pola wektorowego.	Produkt kropkowy	Mapuje pola wektorowe na pola skalarne.
Kędzior	${\ Displaystyle \ Operatorname {curl} (\ mathbf {F}) = \ nabla \ razy \ mathbf {F}}$	Mierzy tendencję do obracania się wokół punktu w polu wektorowym w . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$	Produkt krzyżowy	Mapuje pola wektorowe na (pseudo)pola wektorowe.
f oznacza pole skalarne, a F oznacza pole wektorowe

Powszechnie używane są również dwa operatory Laplace'a:

Operatory Laplace'a w rachunku wektorowym

Operacja	Notacja	Opis	Zakres domen
Laplace'a	${\ Displaystyle \ Delta f = \ nabla ^ {2} f = \ nabla \ cdot \ nabla f}$	Mierzy różnicę między wartością pola skalarnego a jego średnią na nieskończenie małych kulach.	Mapy między polami skalarnymi.
Wektor Laplace'a	${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {f} = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {f}) - \ nabla \ razy (\ nabla \ razy \ mathbf {f})}$	Mierzy różnicę między wartością pola wektorowego a jego średnią na nieskończenie małych kulach.	Mapy między polami wektorowymi.
f oznacza pole skalarne, a F oznacza pole wektorowe

Wielkość zwana macierzą Jakobianu jest przydatna do badania funkcji, gdy zarówno dziedzina, jak i zakres funkcji są wielozmienne, na przykład zmiana zmiennych podczas całkowania.

Twierdzenia całkowe

Trzy podstawowe operatory wektorów mają odpowiadające twierdzenia, które uogólniają podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego na wyższe wymiary:

Twierdzenia całkowe rachunku wektorowego

Twierdzenie	Oświadczenie	Opis
Twierdzenie gradientowe	${\ Displaystyle \ int _ {L \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {n}} \! \! \! \ nabla \ varphi \ cdot d \ mathbf {r} \ = \ \ varphi \ lewo (\ mathbf {q } \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)\ \ {\text{ dla }}\ \ L=L[p\to q]}$	Integralną linii gradientu skalarnej pola nad krzywą L równa się zmianie pola skalarnego między punktami końcowymi p i q krzywej.
Twierdzenie o dywergencji	${\ Displaystyle \ Underbrace {\ int \! \ cdots \! \ int _ {V \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {n}}} _ {n} (\ nabla \ cdot \ mathbf {F}) \ dV \ =\ \underbrace {\oint \!\cdots \!\oint _{\partial V}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} }$	Całka dywergencji pola wektorowego na n- wymiarowej bryle V jest równa strumieniowi pola wektorowego przez ( n −1) -wymiarową zamkniętą powierzchnię brzegową bryły.
Twierdzenie Curla (Kelvina-Stokesa)	${\ Displaystyle \ iint _ {\ Sigma \, \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {3}} (\ nabla \ razy \ mathbf {f}) \ cdot d \ mathbf {\ Sigma} \ = \ \ oint _ { \!\!\!\częściowy \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }$	Całka krzywizny pola wektorowego po powierzchni Σ in jest równa cyrkulacji pola wektorowego wokół krzywej zamkniętej ograniczającej powierzchnię. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$
${\displaystyle \varphi}$oznacza pole skalarne, a F oznacza pole wektorowe

W dwóch wymiarach twierdzenia o dywergencji i rotacji redukują się do twierdzenia Greena:

Twierdzenie Greena o rachunku wektorowym

Twierdzenie	Oświadczenie	Opis
Twierdzenie Greena	${\ Displaystyle \ iint _ {A \ \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {2}} \ lewo ({\ Frac {\ częściowy M} {\ częściowy x}} - {\ Frac {\ częściowy L} {\ częściowe y}}\right)dA\ =\ \oint _{\częściowe A}\left(L\,dx+M\,dy\right)}$	Całka rozbieżności (lub curl) pola wektorowego na pewnym obszaru A w równa się strumień (lub przepływ) w polu wektorowym w zamkniętej krzywej ograniczającej obszar. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$
Dla dywergencji F = ( M , − L ) . Dla zwinięcia F = ( L , M , 0) . L i M są funkcjami ( x , y ) .

Aplikacje

Przybliżenia liniowe

Przybliżenia liniowe służą do zastępowania skomplikowanych funkcji funkcjami liniowymi, które są prawie takie same. Mając funkcję różniczkowalną f ( x , y ) o wartościach rzeczywistych, można przybliżyć f ( x , y ) dla ( x , y ) bliskich ( a , b ) wzorem

${\ Displaystyle f (x, y) \ \ około \ f (a, b) + {\ tfrac {\ częściowy f} {\ częściowy x}} (a, b) \ (xa) + {\ tfrac {\ częściowe f}{\częściowe y}}(a,b)\,(yb).}$

Po prawej stronie znajduje się równanie płaszczyzny stycznej do wykresu z = f ( x , y ) w ( a , b ) .

Optymalizacja

Dla ciągle różniczkowalnej funkcji kilku zmiennych rzeczywistych punkt P (tj. zbiór wartości dla zmiennych wejściowych, który jest postrzegany jako punkt w R ⁿ ) jest krytyczny, jeśli wszystkie pochodne cząstkowe funkcji wynoszą zero w P lub równoważnie, jeśli jego gradient wynosi zero. Wartości krytyczne to wartości funkcji w punktach krytycznych.

Jeżeli funkcja jest płynna lub, co najmniej dwukrotnie różniczkowalna w sposób ciągły, punktem krytycznym może być albo lokalne maksimum , lokalne minimum albo punkt siodłowy . Poszczególne przypadki mogą być odróżnione uwzględnieniem wartości własnych o Heskiego matrycy z drugiej pochodnej.

Według twierdzenia Fermata wszystkie lokalne maksima i minima funkcji różniczkowalnej występują w punktach krytycznych. Dlatego, aby znaleźć lokalne maksima i minima, teoretycznie wystarczy obliczyć zera gradientu i wartości własne macierzy Hessów w tych zerach.

Fizyka i inżynieria

Rachunek wektorowy jest szczególnie przydatny w nauce:

• Środek masy
• Teoria pola
• Kinematyka
• równania Maxwella

Uogólnienia

Różne 3-rozdzielacze

Wektor rachunek jest wstępnie zdefiniowane dla euklidesowej przestrzeni 3-wymiarowej , która ma dodatkową strukturę poza zwykłe bycie 3-wymiarowa przestrzeń rzeczywista wektora, a mianowicie: a norma (dając pojęcie długości) określono za pomocą produktu wewnętrznego (The produktu kropka ), który w turn daje pojęcie kąta, a orientacja , co daje pojęcie leworęcznych i praworęcznych. Struktury te dają początek postaci objętościowej , a także iloczynu krzyżowego , który jest powszechnie używany w rachunku wektorowym. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Gradient i rozbieżność wymagają tylko iloczynu wewnętrznego, podczas gdy rotacja i iloczyn krzyżowy wymagają również uwzględnienia ręczności układu współrzędnych ( więcej szczegółów w iloczynie krzyżowym i ręczności ).

Rachunek wektorowy można zdefiniować na innych trójwymiarowych przestrzeniach wektorów rzeczywistych, jeśli mają one iloczyn skalarny (lub ogólniej symetryczną postać niezdegenerowaną ) i orientację; zauważ, że jest to mniej danych niż izomorfizm do przestrzeni euklidesowej, ponieważ nie wymaga zestawu współrzędnych (układu odniesienia), co odzwierciedla fakt, że rachunek wektorowy jest niezmienny w obrotach ( specjalna grupa ortogonalna SO(3)) .

Bardziej ogólnie, rachunek wektorowy można zdefiniować na dowolnej zorientowanej trójwymiarowo rozmaitości riemannowskiej lub bardziej ogólnie rozmaitości pseudo-riemannowskiej . Ta struktura oznacza po prostu, że przestrzeń styczna w każdym punkcie ma iloczyn wewnętrzny (ogólniej, symetryczną niezdegenerowaną formę) i orientację, lub bardziej globalnie, że istnieje symetryczny niezdegenerowany tensor metryczny i orientacja i działa, ponieważ zdefiniowany jest rachunek wektorowy pod względem wektorów stycznych w każdym punkcie.

Inne wymiary

Większość wyników analitycznych można łatwo zrozumieć, w bardziej ogólnej formie, przy użyciu maszynerii geometrii różniczkowej , której podzbiór stanowi rachunek wektorowy. Grad i div uogólniają natychmiast do innych wymiarów, podobnie jak twierdzenie gradientowe, twierdzenie o dywergencji i Laplacian ( analiza harmonicznej wydajności ), podczas gdy curl i produkt krzyżowy nie uogólniają tak bezpośrednio.

Z ogólnego punktu widzenia, różne pola w (3-wymiarowym) rachunku wektorowym są jednolicie postrzegane jako pola k -wektorowe: pola skalarne są polami 0-wektorowymi, pola wektorowe są polami 1-wektorowymi, pola pseudowektorowe są 2-wektorowe pola, a pola pseudoskalarne są polami 3-wektorowymi. W wyższych wymiarach istnieją dodatkowe typy pól (skalarne/wektorowe/pseudowektorowe/pseudoskalarne odpowiadające wymiarom 0/1/ n −1/ n , które są wyczerpujące w wymiarze 3), więc nie można pracować tylko z (pseudo)skalarami i ( pseudo)wektory.

W dowolnym wymiarze, przy założeniu postaci niezdegenerowanej, grad funkcji skalarnej jest polem wektorowym, a div pola wektorowego jest funkcją skalarną, ale tylko w wymiarze 3 lub 7 (i trywialnie w wymiarze 0 lub 1) jest rotacja pola wektorowego pole wektorowe i tylko w 3 lub 7 wymiarach można zdefiniować iloczyn krzyżowy (uogólnienia w innych wymiarach albo wymagają, aby wektory dały 1 wektor, albo są alternatywnymi algebrami Liego , które są bardziej ogólnymi antysymetrycznymi iloczynami dwuliniowymi). Uogólnienie funkcji grad i div oraz sposób uogólnienia curl opisano w Curl: Generalizations ; w skrócie, rotacja pola wektorowego jest polem dwuwektorowym , co można interpretować jako specjalną ortogonalną algebra Liego o nieskończenie małych obrotach; nie można tego jednak utożsamiać z polem wektorowym, ponieważ wymiary różnią się – są 3 wymiary obrotów w 3 wymiarach, ale 6 wymiarów obrotów w 4 wymiarach (a ogólniej wymiary obrotów w n wymiarach). ${\displaystyle n-1}$${\ Displaystyle \ textstyle {{\ Binom {n} {2}} = {\ Frac {1} {2}} n (n-1)}}$

Istnieją dwa ważne alternatywne uogólnienia rachunku wektorowego. Pierwsza, algebra geometryczna , wykorzystuje k -wektorowe pola zamiast pól wektorowych (w 3 lub mniejszej liczbie wymiarów, każde k -wektorowe pole można zidentyfikować za pomocą funkcji skalarnej lub pola wektorowego, ale nie jest to prawdą w wyższych wymiarach). Zastępuje to iloczyn krzyżowy, który jest specyficzny dla 3 wymiarów, przyjmując dwa pola wektorowe i dając jako wynik pole wektorowe, iloczynem zewnętrznym , który istnieje we wszystkich wymiarach i przyjmuje dwa pola wektorowe, dając jako wynik dwuwektor (2 -wektor) pole. Ten produkt daje algebry Clifforda jako struktury algebraiczne na przestrzeniach wektorowych (o orientacji i postaci niezdegenerowanej). Algebra geometryczna jest najczęściej używana w uogólnieniach fizyki i innych dziedzin stosowanych do wyższych wymiarów.

Drugie uogólnienie wykorzystuje formy różniczkowe ( k -pola kowektorowe) zamiast pól wektorowych lub k- wektorowych i jest szeroko stosowane w matematyce, szczególnie w geometrii różniczkowej , topologii geometrycznej i analizie harmonicznej , w szczególności dając teorię Hodge'a dotyczącą zorientowanych pseudo- Rozmaitości riemannowskie. Z tego punktu widzenia grad, curl i div odpowiadają zewnętrznej pochodnej odpowiednio form 0, form 1 i 2, a wszystkie kluczowe twierdzenia rachunku wektorowego są szczególnymi przypadkami ogólnej formy Stokesa. twierdzenie .

Z punktu widzenia obu tych uogólnień, rachunek wektorowy domyślnie identyfikuje matematycznie odrębne obiekty, co upraszcza prezentację, ale podstawową strukturę matematyczną i uogólnienia są mniej jasne. Z punktu widzenia algebry geometrycznej rachunek wektorowy domyślnie identyfikuje k -wektorowe pola z polami wektorowymi lub funkcjami skalarnymi: 0-wektory i 3-wektory ze skalarami, 1-wektory i 2-wektory z wektorami. Z punktu widzenia form różniczkowych, rachunek wektorowy domyślnie identyfikuje k -formy z polami skalarnymi lub polami wektorowymi: 0-formy i 3-formy z polami skalarnymi, 1-formy i 2-formy z polami wektorowymi. Zatem na przykład rotacja w naturalny sposób przyjmuje jako dane wejściowe pole wektorowe lub postać 1-wektorową, ale naturalnie ma jako dane wyjściowe pole 2-wektorowe lub 2-formę (stąd pole pseudowektorowe), które jest następnie interpretowane jako pole wektorowe, a nie bezpośrednio pole wektorowe na pole wektorowe; znajduje to odzwierciedlenie w zwijaniu się pola wektorowego w wyższych wymiarach, które nie ma na wyjściu pola wektorowego.

Zobacz też

Bibliografia

Cytaty

Źródła

Zewnętrzne linki

• „Analiza wektorowa” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• "Algebra wektorów" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Badanie niewłaściwego użycia ∇ w analizie wektorowej (1994) Tai, Chen-To
• Analiza wektorowa: Podręcznik do użytku studentów matematyki i fizyki (na podstawie wykładów Willarda Gibbsa ) Edwina Bidwella Wilsona , opublikowany w 1902 r.
• Najwcześniejsze znane zastosowania niektórych słów matematyki: analiza wektorowa