Wektor euklidesowy - Euclidean vector

Wektor wskazujący od A do B

W matematyce , fizycznych i technicznych , a wektor lub po prostu wektorem (czasami nazywany geometryczny wektora lub wektorów przestrzenny ) jest geometryczny, który ma wielkość (lub długość ) i kierunek . Wektory można dodawać do innych wektorów zgodnie z algebrą wektorów . Wektor euklidesowy jest często reprezentowany przez promień ( skierowany odcinek linii ) lub graficznie jako strzałka łącząca punkt początkowy A z punktem końcowym B , i jest oznaczony przez .

Wektor jest tym, co jest potrzebne do „przeniesienia” punktu A do punktu B ; łacińskie słowo wektor oznacza „przewoźnik”. Po raz pierwszy został użyty przez XVIII-wiecznych astronomów badających rewolucję planetarną wokół Słońca. Wielkość wektora to odległość między dwoma punktami, a kierunek odnosi się do kierunku przemieszczenia z A do B . Wiele operacji algebraicznych na liczbach rzeczywistych, takich jak dodawanie , odejmowanie , mnożenie i negacja, ma bliskie odpowiedniki dla wektorów, operacje zgodne ze znanymi prawami algebraicznymi przemienności , asocjatywności i rozdzielności . Te operacje i związane z nimi prawa kwalifikują wektory euklidesowe jako przykład bardziej uogólnionej koncepcji wektorów definiowanych po prostu jako elementy przestrzeni wektorowej .

Wektory odgrywają ważną rolę w fizyce : prędkość i przyspieszenie poruszającego się obiektu oraz działające na niego siły można opisać za pomocą wektorów. Wiele innych wielkości fizycznych można pożytecznie traktować jako wektory. Chociaż większość z nich nie reprezentuje odległości (z wyjątkiem na przykład położenia lub przemieszczenia ), ich wielkość i kierunek nadal można przedstawić za pomocą długości i kierunku strzałki. Matematyczna reprezentacja wektora fizycznego zależy od układu współrzędnych użytego do jego opisu. Inne wektoropodobne obiekty, które opisują wielkości fizyczne i przekształcają się w podobny sposób pod wpływem zmian układu współrzędnych, to pseudowektory i tensory .

Historia

Pojęcie wektora, jakie znamy dzisiaj, ewoluowało stopniowo na przestrzeni ponad 200 lat. Kilkanaście osób wniosło znaczący wkład w jego rozwój.

W 1835 Giusto Bellavitis wyabstrahował podstawową ideę, ustanawiając koncepcję ekwiolencji . Pracując w płaszczyźnie euklidesowej, wykonał ekwiolent każdej pary odcinków linii o tej samej długości i orientacji. Zasadniczo zrealizował relację równoważności na parach punktów (dwupunktów) na płaszczyźnie iw ten sposób wzniósł pierwszą przestrzeń wektorów na płaszczyźnie.

Termin wektor został wprowadzony przez Williama Rowana Hamiltona jako część kwaternionu , który jest sumą q = s + v liczby rzeczywistej s (zwanej również skalarną ) i trójwymiarowego wektora . Podobnie jak Bellavitis, Hamilton postrzegał wektory jako reprezentatywne dla klas ekwiwalentnie ukierunkowanych segmentów. Ponieważ liczby zespolone używają jednostki urojonej do uzupełnienia prostej rzeczywistej , Hamilton uznał wektor v za część urojoną kwaternionu:

Część algebraicznie urojona, geometrycznie skonstruowana przez linię prostą lub wektor promienia, która ma ogólnie dla każdego wyznaczonego kwaternionu określoną długość i określony kierunek w przestrzeni, może być nazwana częścią wektorową lub po prostu wektorem kwaternion.

Kilku innych matematyków opracowało systemy wektorowe w połowie XIX wieku, w tym Augustin Cauchy , Hermann Grassmann , August Möbius , hrabia de Saint-Venant i Matthew O'Brien . Praca Grassmanna z 1840 r. Theorie der Ebbe und Flut (Teoria odpływu i przepływu) była pierwszym systemem analizy przestrzennej, który jest podobny do dzisiejszego systemu i zawierał idee odpowiadające iloczynowi krzyżowemu, iloczynowi skalarnemu i różnicowaniu wektorów. Praca Grassmanna była w dużej mierze zaniedbana do lat 70. XIX wieku.

Peter Guthrie Tait niósł standard kwaternionów po Hamiltonie. Jego elementarny traktat kwaternionów z 1867 r. obejmował obszerne traktowanie operatora nabla lub del ∇.

W 1878 roku, Elements of Dynamic został opublikowany przez Williama Kingdona Clifforda . Clifford uprościł badanie kwaternionów, izolując iloczyn skalarny i iloczyn krzyżowy dwóch wektorów z pełnego iloczynu kwaternionów. Dzięki temu podejściu inżynierowie mieli dostęp do obliczeń wektorowych — a także innych pracujących w trzech wymiarach i sceptycznie nastawionych do czwartego.

Josiah Willard Gibbs , który został wystawiony na kwaterniony przez James Clerk Maxwell „s Traktacie o elektryczności i magnetyzmu , oddzielono ich część wektora do samodzielnego leczenia. Pierwsza połowa Gibbsa Elements of Vector Analysis (Elementy analizy wektorowej) , opublikowanej w 1881 roku, przedstawia zasadniczo nowoczesny system analizy wektorowej. W 1901 r. Edwin Bidwell Wilson opublikował analizę wektorową , zaadaptowaną z wykładów Gibba, która wykluczyła wszelkie wzmianki o kwaternionach w rozwoju rachunku wektorów.

Przegląd

W fizyce i inżynierii wektor jest zwykle traktowany jako jednostka geometryczna charakteryzująca się wielkością i kierunkiem. Formalnie definiuje się ją jako skierowany odcinek linii lub strzałkę w przestrzeni euklidesowej . W czystej matematyce wektor definiuje się bardziej ogólnie jako dowolny element przestrzeni wektorowej . W tym kontekście wektory są abstrakcyjnymi bytami, które mogą, ale nie muszą, charakteryzować się wielkością i kierunkiem. Ta uogólniona definicja implikuje, że wyżej wymienione byty geometryczne są szczególnym rodzajem wektorów, ponieważ są elementami specjalnego rodzaju przestrzeni wektorowej zwanej przestrzenią euklidesową .

Ten artykuł dotyczy wektorów ściśle określonych jako strzałki w przestrzeni euklidesowej. Kiedy konieczne staje się odróżnienie tych specjalnych wektorów od wektorów zdefiniowanych w czystej matematyce, są one czasami określane jako wektory geometryczne , przestrzenne lub euklidesowe .

Będąc strzałką, wektor euklidesowy posiada określony punkt początkowy i końcowy . Wektor ze stałym punktem początkowym i końcowym nazywany jest wektorem związanym . Gdy liczy się tylko wielkość i kierunek wektora, to konkretny punkt początkowy nie ma znaczenia, a wektor nazywamy wektorem swobodnym . Zatem dwie strzałki i w przestrzeni reprezentują ten sam wektor swobodny, jeśli mają tę samą wielkość i kierunek: to znaczy, są równowartościowe, jeśli czworokąt ABB′A′ jest równoległobokiem . Jeżeli przestrzeń euklidesowa jest wyposażona w wybór początku , to wektor swobodny jest równoważny wektorowi związanemu o tej samej wartości i kierunku, którego początkowym punktem jest początek.

Termin wektor ma również uogólnienia dotyczące wyższych wymiarów i bardziej formalnych podejść o znacznie szerszych zastosowaniach.

Przykłady w jednym wymiarze

Ponieważ koncepcja siły fizyka ma kierunek i wielkość, może być postrzegana jako wektor. Jako przykład rozważmy siłę F działającą w prawo o wartości 15 niutonów . Jeśli dodatnia jest również skierowana w prawo, to F jest reprezentowane przez wektor 15 N, a jeśli dodatnie punkty w lewo, to wektor dla F wynosi -15 N. W każdym przypadku wielkość wektora wynosi 15 N. Podobnie, wektorowa reprezentacja przemieszczenia Δ s 4 metrów wynosiłaby 4 m lub -4 m, w zależności od jego kierunku, a jego wielkość byłaby 4 m niezależnie.

W fizyce i inżynierii

Wektory mają fundamentalne znaczenie w naukach fizycznych. Mogą być używane do reprezentowania dowolnej wielkości, która ma wielkość, kierunek i jest zgodna z zasadami dodawania wektorów. Przykładem jest prędkość , której wielkością jest prędkość . Na przykład prędkość 5 metrów na sekundę w górę może być reprezentowana przez wektor (0, 5) (w 2 wymiarach z dodatnią osią y jako „w górę”). Inną wielkością reprezentowaną przez wektor jest siła , ponieważ ma ona wielkość i kierunek oraz jest zgodna z zasadami dodawania wektorów. Wektory opisują również wiele innych wielkości fizycznych, takich jak przemieszczenie liniowe, przemieszczenie , przyspieszenie liniowe, przyspieszenie kątowe , liniowy moment pędu i moment pędu . Inne wektory fizyczne, takie jak pole elektryczne i magnetyczne , są reprezentowane jako układ wektorów w każdym punkcie przestrzeni fizycznej; czyli pole wektorowe . Przykładami wielkości, które mają wielkość i kierunek, ale nie przestrzegają zasad dodawania wektorów, są przemieszczenie kątowe i prąd elektryczny. W konsekwencji nie są to wektory.

W przestrzeni kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych wektor związany może być reprezentowany przez określenie współrzędnych jego punktu początkowego i końcowego. Na przykład punkty A = (1, 0, 0) i B = (0, 1, 0) w przestrzeni wyznaczają wektor ograniczony, wskazujący od punktu x = 1 na osi x do punktu y = 1 na osi xy .

We współrzędnych kartezjańskich wektor swobodny można traktować jako odpowiadający mu wektor związany, w tym sensie, którego punkt początkowy ma współrzędne początku O = (0, 0, 0) . Jest on następnie określany przez współrzędne punktu końcowego tego związanego wektora. Zatem wektor swobodny reprezentowany przez (1, 0, 0) jest wektorem o jednostkowej długości — skierowanym w kierunku dodatniej osi x .

Ta reprezentacja współrzędnych wektorów swobodnych pozwala na wyrażenie ich cech algebraicznych w wygodny sposób liczbowy. Na przykład suma dwóch (wolnych) wektorów (1, 2, 3) i (−2, 0, 4) jest (wolnym) wektorem

(1, 2, 3) + (−2, 0, 4) = (1 − 2, 2 + 0, 3 + 4) = (−1, 2, 7).

Wektory euklidesowe i afiniczne

W warunkach geometrycznych i fizycznych czasami możliwe jest powiązanie w naturalny sposób długości lub wielkości oraz kierunku z wektorami. Ponadto pojęcie kierunku jest ściśle związane z pojęciem kąta między dwoma wektorami. Jeżeli punkt produkt dwóch wektorów definiuje-a iloczyn skalarny wartościami dwóch wektorów, to jest również możliwe, aby określić długość; iloczyn skalarny daje wygodną charakterystykę algebraiczną zarówno kąta (funkcja iloczynu skalarnego pomiędzy dowolnymi dwoma niezerowymi wektorami), jak i długości (pierwiastek kwadratowy z iloczynu skalarnego samego wektora). W trzech wymiarach możliwe jest ponadto zdefiniowanie iloczynu poprzecznego , który dostarcza algebraiczną charakterystykę obszaru i orientacji w przestrzeni równoległoboku zdefiniowanego przez dwa wektory (używane jako boki równoległoboku). W dowolnym wymiarze (a zwłaszcza wyższym) można zdefiniować iloczyn zewnętrzny , który (między innymi) dostarcza algebraiczną charakterystykę pola i orientacji w przestrzeni równoległoboku n- wymiarowego zdefiniowanego przez n wektorów.

Jednak nie zawsze jest możliwe lub pożądane zdefiniowanie długości wektora w naturalny sposób. Ten bardziej ogólny typ wektora przestrzennego jest przedmiotem przestrzeni wektorowych (dla wektorów swobodnych) i przestrzeni afinicznych (dla wektorów związanych, ponieważ każdy jest reprezentowany przez uporządkowaną parę „punktów”). Ważnym przykładem jest przestrzeń Minkowskiego (ważna dla naszego zrozumienia szczególnej teorii względności ), gdzie istnieje uogólnienie długości, które pozwala niezerowym wektorom mieć zerową długość. Inne fizyczne przykłady pochodzą z termodynamiki , gdzie wiele interesujących wielkości można uznać za wektory w przestrzeni bez pojęcia długości lub kąta.

Uogólnienia

W fizyce, podobnie jak w matematyce, wektor jest często utożsamiany z krotką składową lub listą liczb, które działają jako współczynniki skalarne dla zbioru wektorów bazowych . Kiedy podstawa jest przekształcana, na przykład przez obrót lub rozciąganie, składowe dowolnego wektora pod względem tej podstawy również przekształcają się w odwrotnym sensie. Sam wektor się nie zmienił, ale podstawa się zmieniła, więc składniki wektora muszą się zmienić, aby skompensować. Wektor nazywany jest kowariantnym lub kontrawariantnym , w zależności od tego, jak transformacja składników wektora jest powiązana z transformacją podstawy. Ogólnie rzecz biorąc, wektory kontrawariantne są „wektorami regularnymi” z jednostkami odległości (takimi jak przemieszczenie) lub odległość pomnożona przez inną jednostkę (taką jak prędkość lub przyspieszenie); Z drugiej strony wektory kowariantne mają jednostki o jeden nad odległością, takie jak gradient . Jeśli zmienisz jednostki (szczególny przypadek zmiany podstawy) z metrów na milimetry, przy współczynniku skali 1/1000, przemieszczenie o 1 m staje się 1000 mm — kontrawariantna zmiana wartości liczbowej. W przeciwieństwie do tego, gradient 1  K /m staje się 0,001 K/mm — kowariantna zmiana wartości (więcej informacji zawiera kowariancja i kontrawariancja wektorów ). Tensory to inny rodzaj wielkości, które zachowują się w ten sposób; wektor to jeden rodzaj tensora .

W czystej matematyce wektor jest dowolnym elementem przestrzeni wektorowej nad jakimś polem i jest często przedstawiany jako wektor współrzędnych . Wektory opisane w tym artykule są bardzo szczególnym przypadkiem tej ogólnej definicji, ponieważ są kontrawariantne względem otaczającej przestrzeni. Kontrawariancja oddaje fizyczną intuicję stojącą za ideą, że wektor ma „wielkość i kierunek”.

Reprezentacje

Strzałka wektorowa wskazująca od A do B

Wektory są zazwyczaj oznaczane w małymi pogrubioną czcionką, jak w , i lub małymi czcionką pogrubioną kursywą, a w . ( Wielkie litery są zwykle używane do reprezentowania macierzy .) Inne konwencje obejmują lub a , zwłaszcza w przypadku pisma ręcznego. Ewentualnie niektórzy używają tyldy (~) lub falistego podkreślenia narysowanego pod symbolem, np. , co jest konwencją oznaczania czcionki pogrubionej. Jeśli wektor reprezentuje skierowaną odległość lub przemieszczenie od punktu A do punktu B (patrz rysunek), może być również oznaczony jako lub AB . W literaturze niemieckiej szczególnie często przedstawiano wektory małymi literami fraktur, takimi jak .

Wektory są zwykle przedstawiane na wykresach lub innych diagramach jako strzałki (skierowane odcinki linii ), jak pokazano na rysunku. W tym przypadku punkt A nazywany jest punktem początkowym , ogonem , podstawą lub punktem początkowym , a punkt B nazywany jest główką , końcówką , punktem końcowym , punktem końcowym lub punktem końcowym . Długość strzałki jest proporcjonalna do wielkości wektora , natomiast kierunek, w którym wskazuje strzałka, wskazuje kierunek wektora.

Notacja dla wektorów wchodzących lub wychodzących z samolotu.svg

Na diagramie dwuwymiarowym czasami pożądany jest wektor prostopadły do płaszczyzny diagramu. Wektory te są zwykle przedstawiane jako małe kółka. Okrąg z kropką w środku (Unicode U + 2299 ⊙) wskazuje wektor skierowany z przodu diagramu w kierunku widza. Okrąg z wpisanym krzyżem (Unicode U + 2297 ⊗) wskazuje wektor wskazujący na i za diagramem. Można je traktować jako oglądanie czubka grotu strzały i oglądanie lotów strzały od tyłu.

Wektor na płaszczyźnie kartezjańskiej, pokazujący położenie punktu A o współrzędnych (2, 3).
Wektor 3D.svg

W celu obliczenia za pomocą wektorów reprezentacja graficzna może być zbyt nieporęczna. Wektory w n- wymiarowej przestrzeni euklidesowej mogą być reprezentowane jako wektory współrzędnych w kartezjańskim układzie współrzędnych . Punkt końcowy wektora można zidentyfikować za pomocą uporządkowanej listy n liczb rzeczywistych ( n - krotki ). Liczby te są współrzędnymi punktu końcowego wektora w odniesieniu do danego kartezjańskiego układu współrzędnych i są zwykle nazywane składowymi skalarnymi (lub odwzorowaniami skalarnymi ) wektora na osiach układu współrzędnych.

Jako przykład w dwóch wymiarach (patrz rysunek), wektor od początku O = (0, 0) do punktu A = (2, 3) jest po prostu zapisany jako

Założenie, że ogon wektora pokrywa się z początkiem, jest dorozumiane i łatwe do zrozumienia. Tak więc bardziej wyraźna notacja jest zwykle uważana za niepotrzebną (i rzeczywiście jest rzadko używana).

W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej (lub R 3 ) wektory są identyfikowane z trójkami składowych skalarnych:

również napisane

Można to uogólnić na n-wymiarową przestrzeń euklidesową (lub R n ).

Liczby te są często ułożone w wektor kolumnowy lub wektor wierszowy , szczególnie w przypadku macierzy , w następujący sposób:

Innym sposobem przedstawienia wektora w n- wymiarach jest wprowadzenie standardowych wektorów bazowych . Na przykład w trzech wymiarach są trzy z nich:

Mają one intuicyjną interpretację jako wektory o długości jednostki wskazujące odpowiednio oś x , y i z kartezjańskiego układu współrzędnych . Pod tym względem każdy wektor a w R 3 może być wyrażony w postaci:

lub

gdzie a 1 , a 2 , a 3 są nazywane składowymi wektora (lub rzutami wektora ) a na podstawie wektorów lub równoważnie na odpowiednich osiach kartezjańskich x , y i z (patrz rysunek), podczas gdy a 1 , a 2 , a 3 to odpowiednie komponenty skalarne (lub projekcje skalarne).

We wprowadzających podręcznikach fizyki standardowe wektory bazowe są często oznaczane zamiast tego (lub , w którym symbol kapelusza ^ zwykle oznacza wektory jednostkowe ). W tym przypadku komponenty skalarne i wektorowe są oznaczone odpowiednio a x , a y , a z oraz a x , a y , a z (zwróć uwagę na różnicę pogrubioną). Zatem,

Notacja e i jest zgodna z notacją indeksu i konwencją sumowania powszechnie stosowaną w matematyce wyższego poziomu, fizyce i inżynierii.

Rozkład lub rozdzielczość

Jak wyjaśniono powyżej , wektor jest często opisywany przez zestaw komponentów wektora, które sumują się, tworząc dany wektor. Zazwyczaj składowe te są rzutami wektora na zbiór wzajemnie prostopadłych osi odniesienia (wektory bazowe). Mówi się, że wektor jest rozłożony lub rozwiązany w odniesieniu do tego zestawu.

Ilustracja składowych stycznych i normalnych wektora do powierzchni.

Dekompozycja lub rozdzielczość wektora na składowe nie jest unikalna, ponieważ zależy od wyboru osi, na które rzutowany jest wektor.

Ponadto, zastosowanie modułu kartezjańskiego wektory, takie jak , jako podstawa , w której reprezentuje wektor nie jest uprawniony. Wektory mogą być również wyrażane w postaci dowolnej podstawy, w tym wektorów jednostkowych układu współrzędnych cylindrycznych ( ) lub sferycznego układu współrzędnych ( ). Te dwie ostatnie opcje są wygodniejsze do rozwiązywania problemów, które posiadają odpowiednio symetrię cylindryczną lub sferyczną.

Wybór bazy nie wpływa na właściwości wektora ani na jego zachowanie podczas przekształceń.

Wektor można również podzielić w odniesieniu do „nieustalonych” wektorów bazowych, które zmieniają swoją orientację w funkcji czasu lub przestrzeni. Na przykład wektor w przestrzeni trójwymiarowej można rozłożyć względem dwóch osi, odpowiednio normalnej i stycznej do powierzchni (patrz rysunek). Ponadto promieniowe i styczne składowe wektora odnosi się do odległości od obrotu przedmiotu. Pierwsza jest równoległa do promienia, a druga prostopadła do niego.

W takich przypadkach każdy z komponentów może być z kolei rozłożony w odniesieniu do ustalonego układu współrzędnych lub zbioru bazowego (np. globalnego układu współrzędnych lub bezwładnościowego układu odniesienia ).

Podstawowe właściwości

Poniższa sekcja wykorzystuje kartezjański układ współrzędnych z wektorami bazowymi

i zakłada, że ​​wszystkie wektory mają początek jako wspólny punkt bazowy. Wektor a zostanie zapisany jako

Równość

Mówi się, że dwa wektory są równe, jeśli mają tę samą wielkość i kierunek. Równoważnie będą równe, jeśli ich współrzędne są równe. Więc dwa wektory

oraz

są równe, jeśli

Wektory przeciwne, równoległe i antyrównoległe

Dwa wektory są przeciwne, jeśli mają tę samą wielkość, ale przeciwny kierunek. Więc dwa wektory

oraz

są przeciwne, jeśli

Dwa wektory są równoległe, jeśli mają ten sam kierunek, ale niekoniecznie tę samą wartość, lub antyrównoległe, jeśli mają przeciwny kierunek, ale niekoniecznie tę samą wartość.

Dodawanie i odejmowanie

Załóżmy teraz, że a i b niekoniecznie są równymi wektorami, ale mogą mieć różne wartości i kierunki. Suma a i b to

Dodawanie można przedstawić graficznie przez umieszczenie ogonka strzałki b na czubku strzałki a , a następnie narysowanie strzałki od ogona a do grotu b . Nowa narysowana strzałka reprezentuje wektor a + b , jak pokazano poniżej:

Dodanie dwóch wektorów a i b

Ten sposób dodawania jest czasami nazywany regułą równoległoboku ponieważ i b tworzą boki równoległoboku i + b jest jeden z przekątnych. Jeśli a i b są wektorami związanymi, które mają ten sam punkt bazowy, ten punkt będzie również punktem bazowym a + b . Można sprawdzić geometrycznie, że a + b = b + a i ( a + b ) + c = a + ( b + c ).

Różnica a i b to

Odejmowanie dwóch wektorów można geometrycznie zilustrować w następujący sposób: aby odjąć b od a , umieść ogony a i b w tym samym punkcie, a następnie narysuj strzałkę od główki b do główki a . Ta nowa strzałka reprezentuje wektor (-b) + a , gdzie (-b) jest przeciwieństwem b , patrz rysunek. Oraz (-b) + a = ab .

Odejmowanie dwóch wektorów a i b

Mnożenie przez skalar

Mnożenie wektora przez skalar przez współczynnik 3 rozciąga wektor.

Wektor można również pomnożyć lub przeskalować przez liczbę rzeczywistą r . W kontekście konwencjonalnej algebry wektorowej te liczby rzeczywiste są często nazywane skalarami (od scale ), aby odróżnić je od wektorów. Operacja mnożenia wektora przez skalar nazywana jest mnożeniem przez skalar . Otrzymany wektor to

Intuicyjnie, pomnożenie przez skalar r rozciąga wektor o czynnik r . Geometrycznie można to zwizualizować (przynajmniej w przypadku, gdy r jest liczbą całkowitą) jako umieszczenie r kopii wektora w linii, w której punkt końcowy jednego wektora jest punktem początkowym następnego wektora.

Jeśli r jest ujemne, wektor zmienia kierunek: odwraca się o kąt 180°. Poniżej podano dwa przykłady ( r = -1 i r = 2):

W mnożenie przez skalar - i 2 a wektora A

Mnożenie przez skalar jest rozdzielne względem dodawania wektorów w następującym sensie: r ( a + b ) = r a + r b dla wszystkich wektorów a i b oraz wszystkich skalarów r . Można również pokazać, że ab = a + (−1) b .

Długość

Długość lub wielkość lub norma z wektora A oznaczamy przez ‖ ‖ lub, rzadziej, | a |, którego nie należy mylić z wartością bezwzględną ("normą" skalarną).

Długość wektora a można obliczyć za pomocą normy euklidesowej

co jest konsekwencją twierdzenia Pitagorasa, ponieważ wektory bazowe e 1 , e 2 , e 3 są ortogonalnymi wektorami jednostkowymi.

Jest to równe pierwiastkowi kwadratowemu z iloczynu skalarnego , omówionego poniżej, wektora z samym sobą:

Wektor jednostkowy
Normalizacja wektora a na wektor jednostkowy â

Wektor jednostkowy jest każdy wektor o długości jeden; zwykle wektory jednostkowe są używane po prostu do wskazania kierunku. Wektor o dowolnej długości można podzielić przez jego długość, aby utworzyć wektor jednostkowy. Nazywa się to normalizacją wektora. Wektor jednostkowy jest często oznaczony kapeluszem, jak w â .

Aby znormalizować wektor a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) , przeskaluj wektor o odwrotność jego długości ‖ a ‖. To jest:

Wektor zerowy

Wektor zerowy jest wektorem o długości zero. Zapisany we współrzędnych wektor to (0, 0, 0) i jest powszechnie oznaczany , 0 lub po prostu 0. W przeciwieństwie do innych wektorów, ma on dowolny lub nieokreślony kierunek i nie może być znormalizowany (to znaczy nie jest wektorem jednostkowym, który jest wielokrotnością wektora zerowego). Suma wektora zerowego z dowolnym wektorem a to a (czyli 0 + a = a ).

Produkt kropkowy

Iloczyn skalarny dwóch wektorów a i b (czasami nazywany iloczyn skalarny , lub od jego wynik jest skalar The iloczyn skalarny ) jest oznaczona na  ∙  B, i jest określona jako:

gdzie θ jest miarą kąta między a i b (patrz funkcja trygonometryczna dla wyjaśnienia cosinusa). Geometrycznie oznacza to, że a i b są rysowane ze wspólnym punktem początkowym, a następnie długość a jest mnożona przez długość składowej b, która wskazuje w tym samym kierunku co a .

Iloczyn skalarny można również zdefiniować jako sumę iloczynów składników każdego wektora as

Produkt krzyżowy

Produkt przekroju (nazywany także produktem wektor lub produkt zewnętrzna ) jest sensowne jedynie w trzech lub siedmiu wymiarach. Iloczyn krzyżowy różni się od iloczynu skalarnego przede wszystkim tym, że wynikiem iloczynu krzyżowego dwóch wektorów jest wektor. Iloczyn poprzeczny, oznaczony a  ×  b , jest wektorem prostopadłym do obu a i b i jest zdefiniowany jako

gdzie θ jest miarą kąta między a i b , a n jest jednostkowym wektorem prostopadłym do obu a i b, który uzupełnia układ prawoskrętny . Ograniczenie praworęczności jest konieczne, ponieważ istnieją dwa wektory jednostkowe, które są prostopadłe do obu a i b , a mianowicie n i (− n ).

Ilustracja produktu krzyżowego

Produkt krzyżowy a  ×  b jest zdefiniowany tak, że a , b i a  ×  b również stają się układem prawoskrętnym (chociaż a i b niekoniecznie są ortogonalne ). To jest zasada prawej ręki .

Długość a  x  b mogą być interpretowane jako strefy równoległoboku o i b jako boki.

Iloczyn krzyżowy można zapisać jako

W przypadku arbitralnych wyborów orientacji przestrzennej (tj. uwzględniając lewoskrętne i prawoskrętne układy współrzędnych) iloczynem krzyżowym dwóch wektorów jest pseudowektor zamiast wektora (patrz poniżej).

Potrójny produkt skalarny

Skalarne produkt potrójne (zwany również produkt pudełko lub produktem mieszanym potrójne ) nie jest nowym operatorem, ale sposób stosowania mnożenie dwóch innych operatorów do trzech wektorów. Skalarny iloczyn potrójny jest czasami oznaczany przez ( a b c ) i definiowany jako:

Ma trzy podstawowe zastosowania. Po pierwsze, wartość bezwzględna produktu pudełkowego to objętość równoległościanu, którego krawędzie są określone przez trzy wektory. Po drugie, potrójny iloczyn skalarny wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy te trzy wektory są liniowo zależne , co można łatwo udowodnić, biorąc pod uwagę, że aby te trzy wektory nie tworzyły objętości, wszystkie muszą leżeć na tej samej płaszczyźnie. Po trzecie, iloczyn pudełkowy jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy trzy wektory a , b i c są prawoskrętne.

W składowych ( w odniesieniu do prawoskrętnej bazy ortonormalnej ), jeśli trzy wektory są traktowane jako wiersze (lub kolumny, ale w tej samej kolejności), potrójny iloczyn skalarny jest po prostu wyznacznikiem macierzy 3 na 3 mając trzy wektory jako wiersze

Skalarny iloczyn potrójny jest liniowy we wszystkich trzech wpisach i antysymetryczny w następującym sensie:

Konwersja między wieloma bazami kartezjańskimi

Wszystkie przykłady dotychczas nie zajmował wektorami wyrażone w tej samej zasadzie, a mianowicie e podstawą { E 1 , E 2 , e 3 }. Jednak wektor można wyrazić w postaci dowolnej liczby różnych zasad, które niekoniecznie są ze sobą wyrównane i nadal pozostają tym samym wektorem. W bazie e wektor a jest wyrażany z definicji jako

.

Składowe skalarne w bazie e są z definicji:

,
,
.

W innej ortonormalnej bazie n = { n 1 , n 2 , n 3 } , która niekoniecznie jest wyrównana z e , wektor a jest wyrażony jako

a składowe skalarne w bazie n są z definicji,

,
,
.

Wartości p , q , r i u , v , w odnoszą się do wektorów jednostkowych w taki sposób, że wynikowa suma wektorów jest dokładnie tym samym wektorem fizycznym a w obu przypadkach. Powszechnie spotyka się wektory znane jako różne podstawy (na przykład jedna podstawa przymocowana do Ziemi, a druga do poruszającego się pojazdu). W takim przypadku konieczne jest opracowanie metody konwersji między bazami, aby można było wykonać podstawowe operacje wektorowe, takie jak dodawanie i odejmowanie. Jednym ze sposobów wyrażenia u , v , w w kategoriach p , q , r jest użycie macierzy kolumnowych wraz z macierzą kierunku cosinus zawierającą informacje, które wiążą te dwie bazy. Takie wyrażenie można utworzyć przez podstawienie powyższych równań do postaci

,
,
.

Rozłożenie mnożenia przez kropkę daje

,
,
.

Zastąpienie każdego iloczynu skalarnego unikalnym skalarem daje

,
,
,

a te równania można wyrazić jako jedno równanie macierzowe

.

To równanie macierzowe wiąże składowe skalarne a w bazie n ( u , v i w ) z tymi w bazie e ( p , q i r ). Każdy element macierzy c jk jest kierunkiem cosinusowym odnoszącym się n j do e k . Termin kierunkowy cosinus odnosi się do cosinusa kąta między dwoma wektorami jednostkowymi, który jest również równy ich iloczynowi skalarnemu . W związku z tym,

Odnosząc się łącznie do e 1 , e 2 , e 3 jako bazy e i do n 1 , n 2 , n 3 jako bazy n , macierz zawierająca wszystkie c jk jest znana jako „ macierz transformacji od e do n ” lub „ macierz rotacji od e do n ” (bo można ją sobie wyobrazić jako „obrót” wektora od jednej bazy do drugiej) lub „ macierz kierunku cosinus od e do n ” (bo zawiera cosinusy kierunku) . Właściwości macierzy rotacji są takie, że jej odwrotność jest równa jej transpozycji . Oznacza to, że „macierz rotacji od e do n ” jest transpozycją „macierzy rotacji od n do e ”.

Właściwości kierunkowej macierzy cosinusów C to:

  • wyznacznikiem jest jedność, |C| = 1
  • odwrotność jest równa transpozycji,
  • wiersze i kolumny są ortogonalnymi wektorami jednostkowymi, dlatego ich iloczyny skalarne wynoszą zero.

Zaletą tej metody jest to, że macierz kierunku cosinus można zwykle uzyskać niezależnie, używając kątów Eulera lub kwaternionów do powiązania dwóch baz wektorowych, dzięki czemu konwersje baz mogą być wykonywane bezpośrednio, bez konieczności obliczania wszystkich iloczynów skalarnych opisanych powyżej .

Stosując kilka kolejnych mnożeń macierzowych, każdy wektor może być wyrażony w dowolnej podstawie, o ile znany jest zbiór kierunkowych cosinusów wiążących kolejne bazy.

Inne wymiary

Z wyjątkiem produktów krzyżowych i potrójnych, powyższe formuły uogólniają się na dwa wymiary i wyższe wymiary. Na przykład dodawanie uogólnia na dwa wymiary jako

i w czterech wymiarach jak

Produkt krzyżowy nie daje się łatwo uogólnić na inne wymiary, chociaż robi to blisko spokrewniony produkt zewnętrzny , którego wynikiem jest dwuwektor . W dwóch wymiarach jest to po prostu pseudoskalar

Siedem-wymiarowej produkt krzyż jest podobny do produktu poprzecznym, że jego wynik jest wektor prostopadły do dwóch argumentów; nie ma jednak naturalnego sposobu wyboru jednego z możliwych takich produktów.

Fizyka

Wektory mają wiele zastosowań w fizyce i innych naukach.

Długość i jednostki

W abstrakcyjnych przestrzeniach wektorowych długość strzałki zależy od skali bezwymiarowej . Jeśli reprezentuje na przykład siłę, „skala” ma wymiar fizyczny długość/siłę. Tak więc zazwyczaj występuje spójność skali między wielkościami o tym samym wymiarze, ale poza tym stosunki skali mogą się różnić; na przykład, jeśli "1 niuton" i "5 m" są reprezentowane przez strzałkę 2 cm, skale to odpowiednio 1 m:50 N i 1:250. Równa długość wektorów o różnych wymiarach nie ma szczególnego znaczenia, chyba że istnieje jakaś stała proporcjonalności nieodłącznie związana z układem, który przedstawia diagram. Również długość wektora jednostkowego (wymiarowej długości, a nie długości/siły itp.) nie ma znaczenia niezmiennego w układzie współrzędnych.

Funkcje o wartościach wektorowych

Często w dziedzinach fizyki i matematyki wektor ewoluuje w czasie, co oznacza, że ​​zależy od parametru czasu t . Na przykład, jeśli r reprezentuje wektor położenia cząstki, to r ( t ) daje parametryczną reprezentację trajektorii cząstki. Funkcje o wartościach wektorowych można różnicować i całkować przez różniczkowanie lub całkowanie składników wektora, a wiele znanych reguł z rachunku różniczkowego nadal obowiązuje dla pochodnej i całki funkcji o wartościach wektorowych.

Pozycja, prędkość i przyspieszenie

Położenie punktu x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) w przestrzeni trójwymiarowej można przedstawić jako wektor położenia, którego punktem bazowym jest początek

Wektor pozycji ma wymiary długości .

Biorąc pod uwagę dwa punkty x = ( x 1 , x 2 , x 3 ), y = ( y 1 , y 2 , y 3 ) ich przemieszczenie jest wektorem

który określa pozycję y względem x . Długość tego wektora daje odległość w linii prostej od x do y . Przemieszczenie ma wymiary długości.

Prędkość v punktu lub cząsteczki jest wektor, długość daje prędkość . Dla stałej prędkości pozycja w czasie t będzie

gdzie x 0 jest pozycją w czasie t = 0. Prędkość jest pochodną pozycji w czasie. Jego wymiary to długość/czas.

Przyspieszenie a punktu jest wektorem będącym pochodną prędkości w czasie. Jego wymiary to długość/czas 2 .

Siła, energia, praca

Siła to wektor o wymiarach masa×długość/czas 2, a drugie prawo Newtona to mnożenie przez skalar

Praca jest iloczynem skalarnym siły i przemieszczenia

Wektory, pseudowektory i transformacje

Alternatywna charakterystyka wektorów euklidesowych, zwłaszcza w fizyce, opisuje je jako listy wielkości, które zachowują się w określony sposób przy przekształceniu współrzędnych . Kontrawariantny wektor wymagane jest posiadanie komponentów „przekształcać przeciwnego do podstawy” pod zmiany podstawy . Sam wektor nie zmienia się, gdy podstawa jest przekształcana; zamiast tego komponenty wektora dokonują zmiany, która anuluje zmianę w podstawie. Innymi słowy, gdyby osie referencyjne (i wyprowadzona z nich podstawa) zostały obrócone w jednym kierunku, reprezentacja składowa wektora obróciłaby się w przeciwnym kierunku, aby wygenerować ten sam wektor końcowy. Podobnie, gdyby osie referencyjne były rozciągnięte w jednym kierunku, składowe wektora zmniejszyłyby się w sposób dokładnie kompensujący. Matematycznie, jeśli baza podlega transformacji opisanej przez macierz odwracalną M , tak że wektor współrzędnych x jest transformowany do x ′ = M x , to wektor kontrawariantny v musi być podobnie transformowany przez v ′ = M v . To ważne wymaganie odróżnia wektor kontrawariantny od jakiejkolwiek innej trójki fizycznie znaczących wielkości. Na przykład, jeśli V składa się z x , y , i ż -components od prędkości , a V jest kontrawariantny wektor: gdy współrzędne przestrzeni są rozciągnięte, obracać lub skręcone, to składowe prędkości przekształcić w taki sam sposób, . Z drugiej strony, na przykład, trójka składająca się z długości, szerokości i wysokości prostokątnego pudełka może składać się na trzy składowe wektora abstrakcyjnego , ale ten wektor nie byłby kontrawariantny, ponieważ obracanie pudełka nie zmienia długość, szerokość i wysokość pudełka. Przykładami wektorów kontrawariantnych są przemieszczenie , prędkość , pole elektryczne , pęd , siła i przyspieszenie .

W języku różnicowego geometrii , wymaganie, że składniki wektora transformacji według tej samej macierzy transformacji współrzędnych odpowiada wyznaczającą kontrawariantny wektor się napinacz z kontrawariantny jeden stopień. Alternatywnie, wektor kontrawariantny definiuje się jako wektor styczny , a zasady przekształcania wektora kontrawariantnego wynikają z reguły łańcucha .

Niektóre wektory przekształcają się jak wektory kontrawariantne, z tym wyjątkiem, że gdy są odbijane przez lustro, odwracają się i zyskują znak minus. Mówi się, że transformacja, która zmienia praworęczność w leworęczność i odwrotnie, podobnie jak lustro, zmienia orientację przestrzeni. Wektor, który otrzymuje znak minus, gdy zmienia się orientacja przestrzeni, nazywamy pseudowektorem lub wektorem osiowym . Zwykłe wektory są czasami nazywane prawdziwymi wektorami lub wektorami biegunowymi, aby odróżnić je od pseudowektorów. Pseudowektory występują najczęściej jako iloczyn krzyżowy dwóch zwykłych wektorów.

Jednym z przykładów pseudowektora jest prędkość kątowa . Jadąc samochodem i patrząc w przyszłość, każde z kół ma wektor prędkości kątowej skierowany w lewo. Jeśli świat odbija się w lustrze, które przełącza lewą i prawą stronę samochodu, odbicie tego wektora prędkości kątowej wskazuje na prawo, ale rzeczywisty wektor prędkości kątowej koła nadal wskazuje na lewą stronę, co odpowiada minusowi znak. Inne przykłady pseudowektorów obejmują pole magnetyczne , moment obrotowy lub bardziej ogólnie dowolny iloczyn krzyżowy dwóch (prawdziwych) wektorów.

To rozróżnienie między wektorami a pseudowektorami jest często ignorowane, ale staje się ważne w badaniu właściwości symetrii . Zobacz parzystość (fizyka) .

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Zabiegi matematyczne

Zabiegi fizyczne

Zewnętrzne linki