Druga pochodna - Second derivative

Druga pochodna funkcji kwadratowej jest stała .

W rachunku The druga pochodna lub druga pochodna celu , z funkcją F jest pochodna pochodnej f . Z grubsza rzecz biorąc, druga pochodna mierzy, jak zmienia się sama szybkość zmian wielkości; na przykład druga pochodna położenia obiektu względem czasu jest chwilowym przyspieszeniem obiektu lub szybkością, z jaką zmienia się prędkość obiektu względem czasu. W notacji Leibniza :

${\ Displaystyle \ mathbf {a} = {\ Frac {d \ mathbf {v}} {dt}} = {\ Frac {d ^ {2} {\ boldsymbol {x}}} {dt ^ {2}}} ,}$

gdzie a to przyspieszenie, v to prędkość, t to czas, x to pozycja, a d to chwilowa „delta” lub zmiana. Ostatnie wyrażenie jest drugą pochodną pozycji (x) względem czasu. ${\ Displaystyle {\ tfrac {d ^ {2} {\ pogrubiony symbol {x}}} {dt ^ {2}}}}$

Na wykresie funkcji druga pochodna odpowiada krzywiźnie lub wklęsłości wykresu. Wykres funkcji z dodatnią drugą pochodną jest wklęsły do ​​góry, podczas gdy wykres funkcji z ujemną drugą pochodną krzywych odwrotnie.

Druga pochodna reguła potęgi

Zasada mocy dla pierwszej pochodnej, jeżeli są stosowane dwa razy spowoduje drugą zasadę zasilania pochodna, jak następuje:

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ lewo [x ^ {n} \ prawo] = {\ Frac {d} {dx}} {\ Frac {d} dx}}\left[x^{n}\right]={\frac {d}{dx}}\left[nx^{n-1}\right]=n{\frac {d}{dx}} \left[x^{n-1}\right]=n(n-1)x^{n-2}.}$

Notacja

Druga pochodna funkcji jest zwykle oznaczana . To jest: ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f''(x)}$

${\displaystyle f''=\lewo(f'\prawo)'}$

Używając notacji Leibniza dla pochodnych, zapisujemy drugą pochodną zmiennej zależnej y względem zmiennej niezależnej x

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} r} {dx ^ {2}}}.}$

Notacja ta wywodzi się z następującego wzoru:

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} r} {dx ^ {2}}} \ = \ {\ Frac {d} {dx}} \ lewo ({\ Frac {dy} {dx}} \Prawidłowy).}$

Notacja alternatywna

Jak zaznaczono w poprzedniej sekcji, standardową notacją Leibniza dla drugiej pochodnej jest . Jednak ta forma nie jest algebraicznie manipulowana. Oznacza to, że chociaż jest on uformowany tak, jak ułamek różniczkowy, ułamka nie można rozdzielić na części, terminów nie można usunąć itp. Ograniczeniu temu można jednak zaradzić, stosując alternatywny wzór na drugą pochodną. Wynika to z zastosowania zasady ilorazu do pierwszej pochodnej. W ten sposób otrzymujemy formułę: ${\textstyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}$

${\ Displaystyle y ''(x) = {\ Frac {d} {dx}} \ lewo ({\ Frac {dy} {dx}} \ prawo) = {\ Frac {d \ lewo ({\ Frac {dy }{dx}}\right)}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-{\frac {dy}{dx}}{\frac {d^ {2}x}{dx^{2}}}}$

W tym wzorze oznacza operator różnicowy stosowane do , to znaczy , oznacza zastosowanie operatora różnicowego dwukrotnie, to jest , i odnosi się do kwadratu różnicy stosowane do operatora , np . ${\displaystyle du}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle d (u)}$${\displaystyle d^{2}u}$${\displaystyle d(d(u))}$${\ Displaystyle du ^ {2}}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle (d (u)) ^ {2}}$

Napisane w ten sposób (z uwzględnieniem znaczenia podanej powyżej notacji) terminami drugiej pochodnej można dowolnie manipulować jak każdym innym terminem algebraicznym. Na przykład, wzór funkcji odwrotnej dla drugiej pochodnej można wywnioskować z manipulacji algebraicznych powyższego wzoru, jak również z reguły łańcucha dla drugiej pochodnej. To, czy wprowadzenie takiej zmiany w zapisie jest wystarczająco pomocne, aby było warte zachodu, jest nadal przedmiotem dyskusji.

Przykład

Biorąc pod uwagę funkcję

${\ Displaystyle f (x) = x ^ {3},}$

pochodna f jest funkcją

${\ Displaystyle f ^ {\ prime} (x) = 3x ^ {2}.}$

Druga pochodna f jest pochodną , mianowicie ${\displaystyle f^{\prim}}$

${\ Displaystyle f ^ {\ prime \ prime} (x) = 6x.}$

Związek z wykresem

Działka od do . Linia styczna jest niebieska w miejscach, gdzie krzywa jest wklęsła do góry, zielona w miejscach, w których krzywa jest wklęsła w dół i czerwona w punktach przegięcia (0, /2 i ).${\ Displaystyle f (x) = \ grzech (2x)}$${\displaystyle -\pi/4}$${\displaystyle 5\pi/4}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \pi}$

Wklęsłość

Druga pochodna funkcji f może być użyta do wyznaczenia wklęsłości wykresu f . Funkcja, której druga pochodna jest dodatnia, będzie wklęsła (nazywana również wypukłą), co oznacza, że linia styczna będzie leżeć poniżej wykresu funkcji. Podobnie funkcja, której druga pochodna jest ujemna, będzie wklęsła (również nazywana po prostu wklęsłą), a jej styczne będą leżeć nad wykresem funkcji.

Punkty przegięcia

Jeśli druga pochodna funkcji zmieni znak, wykres funkcji zmieni się z wklęsłego w dół na wklęsły w górę lub odwrotnie. Punkt, w którym to się dzieje, nazywa się punktem przegięcia . Zakładając, że druga pochodna jest ciągła, musi przyjąć wartość zero w dowolnym punkcie przegięcia, chociaż nie każdy punkt, w którym druga pochodna ma wartość zero, jest koniecznie punktem przegięcia.

Test drugiej pochodnej

Zależność między drugą pochodną a wykresem można wykorzystać do sprawdzenia, czy punkt stacjonarny dla funkcji (tj. punkt, w którym ) jest lokalnym maksimum lub lokalnym minimum . Konkretnie, ${\ Displaystyle f '(x) = 0}$

• Jeśli , to ma lokalne maksimum na .${\ Displaystyle f ^ {\ prime \ prime} (x) <0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$
• Jeśli , to lokalne minimum wynosi .${\ Displaystyle f ^ {\ prime \ prime} (x)>0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$
• Jeśli , drugi test pochodnych nie mówi nic o punkcie , możliwym punkcie przegięcia.${\ Displaystyle f ^ {\ prime \ prime} (x) = 0}$${\displaystyle x}$

Powód, dla którego druga pochodna daje te wyniki, można zobaczyć za pomocą analogii ze świata rzeczywistego. Rozważmy pojazd, który na początku porusza się do przodu z dużą prędkością, ale z ujemnym przyspieszeniem. Oczywiście pozycja pojazdu w punkcie, w którym prędkość osiągnie zero, będzie maksymalną odległością od pozycji wyjściowej – po tym czasie prędkość stanie się ujemna, a pojazd cofnie się. To samo dotyczy minimum, z pojazdem, który początkowo ma bardzo ujemną prędkość, ale dodatnie przyspieszenie.

Limit

Możliwe jest napisanie jednej granicy dla drugiej pochodnej:

${\ Displaystyle f ''(x) = \ lim _ {h \ do 0} {\ Frac {f (x + h) -2f (x) + f (xh)} {h ^ {2}}}.}$

Granica nazywana jest drugą pochodną symetryczną . Należy zauważyć, że druga pochodna symetryczna może istnieć nawet wtedy, gdy (zwykle) druga pochodna nie.

Wyrażenie po prawej można zapisać jako iloraz różnicowy ilorazów różnicowych:

${\ Displaystyle {\ Frac {f (x + h) -2f (x) + f (xh)} {h ^ {2}}} = {\ Frac {{\ Frac {f (x + h) - f ( x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(xh)}{h}}}{h}}.}$

Limit ten można postrzegać jako ciągłą wersję drugiej różnicy dla sekwencji .

Jednak istnienie powyższej granicy nie oznacza, że ​​funkcja ma drugą pochodną. Powyższa granica daje tylko możliwość obliczenia drugiej pochodnej – ale nie podaje definicji. Kontrprzykładem jest funkcja znaku , która jest zdefiniowana jako: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$

${\ Displaystyle \ operatorname {sgn} (x) = {\ zacząć {przypadki} -1 i {\ tekst {jeśli}} x <0, \ \ 0 i {\ tekst {jeśli}} x = 0, \ \ 1 i {\ tekst{if }}x>0.\end{cases}}}$

Funkcja znaku nie jest ciągła w punkcie zerowym, dlatego druga pochodna dla nie istnieje. Ale powyższy limit istnieje dla : ${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=0}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ lim _ {h \ do 0} {\ Frac {\ Operator {Sgn} (0 + H)-2 \ Operator {Sgn} (0) + \ Operator {Sgn} (0 -h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\nazwa operatora {sgn}(h)-2\cdot 0+\nazwa operatora {sgn}(-h) }{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\nazwa operatora {sgn}(h)+(-\nazwa operatora {sgn}(h))}{h^ {2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.\end{aligned}}}$

Przybliżenie kwadratowe

Tak jak pierwsza pochodna jest powiązana z przybliżeniami liniowymi , druga pochodna jest powiązana z najlepszym przybliżeniem kwadratowym funkcji f . Jest to funkcja kwadratowa, której pierwsza i druga pochodna są takie same jak f w danym punkcie. Wzór na najlepsze przybliżenie kwadratowe do funkcji f wokół punktu x = a to

${\ Displaystyle f (x) \ ok. f (a) + f '(a) (xa) + {\ tfrac {1} {2}} f ''(a) (xa) ^ {2}.}$

To przybliżenie kwadratowe jest wielomianem Taylora drugiego rzędu dla funkcji o środku x  =  a .

Wartości własne i wektory własne drugiej pochodnej

Dla wielu kombinacji warunków brzegowych można otrzymać wyraźne wzory na wartości własne i wektory własne drugiej pochodnej . Na przykład, zakładając i jednorodne warunki brzegowe Dirichleta (tj. ), wartości własne to , a odpowiadające im wektory własne (zwane również funkcjami własnymi ) to . Tutaj,${\displaystyle x\w [0,l]}$${\ Displaystyle v (0) = v (L) = 0}$${\ Displaystyle \ lambda _ {j} = - {\ tfrac {j ^ {2} \ pi ^ {2}} {L ^ {2}}}}$${\ Displaystyle v_ {j} (x) = {\ sqrt {\ tfrac {2} {l}}} \ sin \ lewo ({\ tfrac {j \ pi x} {l}} \ po prawej)}$${\ Displaystyle v''_ {j} (x) = \ lambda _ {j} v_ {j} (x), \, j = 1, \ ldots, \ infty.}$

W przypadku innych dobrze znanych przypadków zobacz wartości własne i wektory własne drugiej pochodnej .

Generalizacja na wyższe wymiary

Heski

Druga pochodna uogólnia się na wyższe wymiary poprzez pojęcie drugiej pochodnej cząstkowej . Dla funkcji f : R ³  →  R , obejmują one trzy części składowe drugiego rzędu

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy ^ {2} f} {\ częściowy x ^ {2}}}, \; {\ Frac {\ częściowy ^ {2} f} {\ częściowy y ^ {2}}} ,{\text{ i }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}$

i mieszane częściowe

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy ^ {2} f} {\ częściowy x \, \ częściowy y}}, \; {\ Frac {\ częściowy ^ {2} f} {\ częściowy x \, \ częściowy z }},{\text{ i }}{\frac {\częściowy ^{2}f}{\częściowy y\,\częściowy z}}.}$

Jeśli zarówno obraz jak i domena funkcji mają potencjał, wtedy dopasowują się one do symetrycznej macierzy znanej jako Hessian . Wartości własne tej macierzy można wykorzystać do implementacji wielowymiarowego analogu testu drugiej pochodnej. (Patrz także drugi test pochodnej cząstkowej .)

Laplace'a

Innym powszechnym uogólnieniem drugiej pochodnej jest Laplace'a . Jest to operator różniczkowy (lub ) zdefiniowany przez ${\ Displaystyle \ nabla ^ {2}}$${\ Displaystyle \ Delta}$

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} f = {\ Frac {\ częściowy ^ {2} f} {\ częściowy x ^ {2}}} + {\ Frac {\ częściowy ^ {2} f} {\ częściowy y ^{2}}}+{\frac {\częściowy ^{2}f}{\częściowy z^{2}}}.}$

Laplasjan funkcji jest równa rozbieżności z gradientem , a ślad na Heskiego matrycy.

Zobacz też

• Chirpyness , druga pochodna fazy chwilowej
• Różnica skończona , używana do przybliżenia drugiej pochodnej
• Test drugiej pochodnej cząstkowej
• Symetria drugich pochodnych

Bibliografia

Dalsza lektura

Wydrukować

• Antona, Howarda; Bivens, Irlandia; Davis, Stephen (2 lutego 2005), Rachunek: Early Transcendentals Single and Multivariable (8th ed.), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5
• Apostol, Tom M. (czerwiec 1967), Rachunek, tom. 1: Rachunek jednej zmiennej z wprowadzeniem do algebry liniowej , 1 (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1
• Apostol, Tom M. (czerwiec 1969), Rachunek, tom. 2: Rachunek różniczkowy wielu zmiennych i algebra liniowa z aplikacjami , 1 (wyd. 2), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5
• Eves, Howard (2 stycznia 1990), Wprowadzenie do historii matematyki (6 wyd.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4
• Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (28 lutego 2006), Rachunek: Wczesne funkcje transcendentalne (4 wyd.), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5
• Spivak, Michael (wrzesień 1994), Rachunek (3rd ed.), Opublikuj lub zgiń, ISBN 978-0-914098-89-8
• Stewart, James (24 grudnia 2002), Rachunek (wyd. 5), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7
• Thompson, Silvanus P. (8 września 1998), Rachunek to proste (poprawiony, zaktualizowany, rozszerzony ed.), New York: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0

Książki online

• Crowell, Benjamin (2003), rachunek różniczkowy
• Garrett, Paul (2004), Uwagi dotyczące rachunku różniczkowego pierwszego roku
• Hussain, Faraz (2006), Zrozumienie rachunku różniczkowego
• Keisler, H. Jerome (2000), Rachunek elementarny: podejście wykorzystujące nieskończoność
• Mauch, Sean (2004), nieskrócona wersja książki stosowanej przez Seana , zarchiwizowane z oryginału na 2006-04-15
• Sloughter, Dan (2000), Równania różnicowe do równań różniczkowych
• Dziwny, Gilbert (1991), rachunek różniczkowy
• Stroyan, Keith D. (1997), Krótkie wprowadzenie do rachunku nieskończoności , zarchiwizowane z oryginału na 11.09.2005
• Wikibooki, rachunek różniczkowy

Zewnętrzne linki

• Dyskretna druga pochodna z nierówno rozmieszczonych punktów