Całka powierzchniowa - Surface integral
Część serii artykułów o |
Rachunek różniczkowy |
---|
W matematyce , szczególnie w rachunku różniczkowym wielu zmiennych , całka powierzchniowa jest uogólnieniem całek wielokrotnych na całkowanie po powierzchniach . Można ją traktować jako analog całki podwójnej całki krzywoliniowej . Mając daną powierzchnię, można całkować pole skalarne (czyli funkcję pozycji, która zwraca skalar jako wartość) na powierzchni lub pole wektorowe (czyli funkcję zwracającą wektor jako wartość). Jeśli obszar R nie jest płaski, jest nazywany powierzchnią, jak pokazano na ilustracji.
Całki powierzchniowe mają zastosowanie w fizyce , szczególnie w teoriach klasycznego elektromagnetyzmu .
Całki powierzchniowe pól skalarnych
Aby znaleźć wyraźny wzór dla całki powierzchniowej na powierzchni S , musimy parametryzacji S definiując system krzywoliniowych współrzędnych na S , podobnie jak szerokość i długość geograficzną na kuli . Niech taka parametryzacja będzie r ( s , t ) , gdzie ( s , t ) zmienia się w pewnym obszarze T na płaszczyźnie . Wtedy całka powierzchniowa jest dana wzorem
w tym modelu ekspresja pomiędzy pasami po stronie prawej jest wielkością z iloczynu z pochodnych cząstkowych o r ( s , t ) i jest znana jest jako powierzchnia elementu (które, na przykład, wydajność mniejszą wartość w pobliżu bieguny kuli, gdzie linie długości geograficznej zbiegają się bardziej dramatycznie, a współrzędne szerokości geograficznej są bardziej zwarte). Całkę powierzchniową można również wyrazić w postaci równoważnej
gdzie g jest wyznacznikiem pierwszej podstawowej postaci odwzorowania powierzchni r ( s , t ) .
Na przykład, jeśli chcemy znaleźć pole powierzchni wykresu jakiejś funkcji skalarnej, powiedzmy z = f ( x , y ) , mamy
gdzie r = ( x , y , z ) = ( x , y , f ( x , y )) . Tak więc , i . Więc,
który jest standardowym wzorem na pole tak opisywanej powierzchni. Można rozpoznać wektor w przedostatnim wierszu powyżej jako wektor normalny do powierzchni.
Zauważ, że ze względu na obecność iloczynu krzyżowego powyższe wzory działają tylko dla powierzchni osadzonych w przestrzeni trójwymiarowej.
Można to postrzegać jako całkowanie formy objętości Riemanna na sparametryzowanej powierzchni, gdzie tensor metryczny jest podany przez pierwszą podstawową formę powierzchni.
Całki powierzchniowe pól wektorowych
Rozważmy pole wektorowe v na powierzchni S , to znaczy dla każdego r = ( x , y , z ) w S , v ( r ) jest wektorem.
Całka powierzchniowa może być zdefiniowana składowo zgodnie z definicją całki powierzchniowej pola skalarnego; wynikiem jest wektor. Odnosi się to na przykład do wyrażania pola elektrycznego w pewnym stałym punkcie z powodu powierzchni naładowanej elektrycznie lub grawitacji w pewnym stałym punkcie z powodu arkusza materiału.
Alternatywnie, jeśli całkujemy normalną składową pola wektorowego na powierzchni, wynikiem jest skalar, zwykle nazywany strumieniem przechodzącym przez powierzchnię. Wyobraź sobie, że mamy płyn przepływający przez S , taki, że v ( r ) określa prędkość płynu w r . Strumień jest zdefiniowana jako ilość płynu przepływającego przez S na jednostkę czasu.
Ta ilustracja sugeruje, że jeśli pole wektorowe jest styczne do S w każdym punkcie, wówczas strumień wynosi zero, ponieważ płyn po prostu płynie równolegle do S , a nie do środka ani na zewnątrz. Oznacza to również, że jeśli v nie płynie tylko wzdłuż S , to znaczy, jeśli v ma zarówno styczną, jak i normalną składową, to tylko normalna składowa ma udział w strumieniu. Opierając się na tym rozumowaniu, aby znaleźć przepływ, trzeba wziąć iloczyn skalarny o V z jednostki powierzchni normalnego N do S w każdym punkcie, który umożliwi nam pole skalarne i zintegrować pola otrzymanego jak wyżej. Znajdujemy formułę
Iloczyn krzyżowy po prawej stronie tego wyrażenia jest (niekoniecznie jednostkową) normalną powierzchni określoną przez parametryzację.
Ten wzór definiuje całkę po lewej stronie (zwróć uwagę na kropkę i zapis wektorowy elementu powierzchni).
Możemy to również zinterpretować jako szczególny przypadek całkowania 2 form, w którym identyfikujemy pole wektorowe z formą 1, a następnie całkujemy jego dual Hodge'a po powierzchni. Jest to równoznaczne z całkowaniem po zanurzonej powierzchni, gdzie jest indukowana forma objętości na powierzchni, uzyskana przez wewnętrzne pomnożenie metryki Riemanna przestrzeni otoczenia przez zewnętrzną normalną powierzchni.
Całki powierzchniowe różniczkowych 2-postaci
Pozwolić
będzie różniczkową 2-postacią określoną na powierzchni S i niech
być orientacji zachowaniu parametryzacja S się w D . Zmieniając współrzędne od do , formy różniczkowe przekształcają się jako
Tak transformaty , gdzie oznacza determinantę z jakobian funkcji przejścia od celu . Transformacje pozostałych form są podobne.
Wtedy całka powierzchniowa f na S jest dana przez
gdzie
jest elementem powierzchni normalnym do S .
Zauważmy, że całka powierzchniowa tej 2-formy jest taka sama jak całka powierzchniowa pola wektorowego, które ma składowe , i .
Twierdzenia z całkami powierzchniowymi
Różne użyteczne wyniki dla całek powierzchniowych można uzyskać za pomocą geometrii różniczkowej i rachunku wektorowego , takich jak twierdzenie o dywergencji i jego uogólnienie, twierdzenie Stokesa .
Zależność od parametryzacji
Zauważmy, że zdefiniowaliśmy całkę powierzchniową za pomocą parametryzacji powierzchni S . Wiemy, że dana powierzchnia może mieć kilka parametryzacji. Na przykład, jeśli przesuniemy położenie bieguna północnego i bieguna południowego na sferze, szerokość i długość geograficzna zmienią się dla wszystkich punktów na sferze. Naturalnym pytaniem jest zatem, czy definicja całki powierzchniowej zależy od wybranej parametryzacji. W przypadku całek pól skalarnych odpowiedź na to pytanie jest prosta; wartość całki powierzchniowej będzie taka sama bez względu na użytą parametryzację.
W przypadku całek pól wektorowych sprawa jest bardziej skomplikowana, ponieważ w grę wchodzi normalna powierzchni. Można udowodnić, że przy danych dwóch parametryzacjach tej samej powierzchni, której normalne powierzchni są skierowane w tym samym kierunku, otrzymuje się tę samą wartość dla całki powierzchni z obydwoma parametryzacjami. Jeżeli jednak normalne dla tych parametryzacji wskazują w przeciwnych kierunkach, wartość całki powierzchniowej otrzymanej przy użyciu jednej parametryzacji jest ujemna od wartości uzyskanej przy użyciu drugiej parametryzacji. Wynika z tego, że dla danej powierzchni nie musimy trzymać się żadnej unikalnej parametryzacji, ale podczas całkowania pól wektorowych musimy z góry zdecydować, w którym kierunku będzie wskazywać normalna, a następnie wybrać dowolną parametryzację zgodną z tym kierunkiem.
Inną kwestią jest to, że czasami powierzchnie nie mają parametryzacji obejmującej całą powierzchnię. Oczywistym rozwiązaniem jest wtedy podzielenie tej powierzchni na kilka części, obliczenie całki powierzchniowej na każdym kawałku, a następnie zsumowanie ich wszystkich. Rzeczywiście tak to działa, ale przy całkowaniu pól wektorowych należy ponownie uważać, jak wybrać wektor wskazujący normalną dla każdego kawałka powierzchni, tak aby po złożeniu kawałków z powrotem wyniki były spójne. W przypadku cylindra oznacza to, że jeśli zdecydujemy, że dla obszaru bocznego normalna będzie wskazywać na zewnątrz ciała, to dla górnej i dolnej części kołowej, normalna również musi być skierowana na zewnątrz ciała.
Wreszcie, istnieją powierzchnie, które nie dopuszczają normalnej powierzchni w każdym punkcie ze spójnymi wynikami (na przykład pasek Möbiusa ). Jeśli taka powierzchnia zostanie podzielona na części, na każdym kawałku zostanie wybrana parametryzacja i odpowiednia normalna powierzchni, a części zostaną ponownie złożone, okaże się, że wektorów normalnych pochodzących z różnych części nie da się pogodzić. Oznacza to, że na pewnym skrzyżowaniu dwóch kawałków będziemy mieć wektory normalne skierowane w przeciwnych kierunkach. Taka powierzchnia nazywana jest nieorientowalną i na tego rodzaju powierzchni nie można mówić o całkowaniu pól wektorowych.
Zobacz też
- Twierdzenie o dywergencji
- Twierdzenie Stokesa
- Całka liniowa
- Element objętości
- Całka objętości
- Kartezjański układ współrzędnych
- Elementy objętości i pola powierzchni w sferycznych układach współrzędnych
- Elementy objętości i pola powierzchni w cylindrycznych układach współrzędnych
- Metoda holsztyńsko-śledziowa