System współrzędnych - Coordinate system

Układ sferycznych współrzędnych jest powszechnie stosowany w fizyce . Każdemu punktowi w przestrzeni euklidesowej przypisuje trzy liczby (znane jako współrzędne): odległość promieniowa r , kąt biegunowy θ ( theta ) i kąt azymutalny φ ( phi ). Symbol ρ ( rho ) jest często używany zamiast r .

W geometrii , A układu współrzędnych, to system wykorzystuje jeden lub większą liczbę cyfr lub współrzędne , aby jednoznacznie ustalić położenie tych punktów lub innych elementów geometrycznych na A kolektora , takie jak miejsca euklidesowej . Kolejność współrzędnych jest istotna i czasami są one identyfikowane przez ich pozycję w uporządkowanej krotce, a czasami przez literę, jak we „ współrzędnej x ”. Współrzędne są traktowane jako liczby rzeczywiste w elementarnej matematyce , ale mogą być liczbami zespolonymi lub elementami bardziej abstrakcyjnego systemu, takiego jak pierścień przemienny . Użycie układu współrzędnych pozwala na przełożenie problemów geometrycznych na problemy dotyczące liczb i na odwrót ; to jest podstawa geometrii analitycznej .

Wspólne układy współrzędnych

Numer linii

Najprostszym przykładem układu współrzędnych jest identyfikacja punktów na prostej liczbami rzeczywistymi za pomocą osi liczbowej . W tym systemie na danej linii wybierany jest dowolny punkt O ( początek ). Współrzędna punktu P jest zdefiniowana jako odległość ze znakiem od O do P , gdzie odległość ze znakiem jest odległością przyjmowaną jako dodatnią lub ujemną w zależności od tego, po której stronie linii P leży. Każdy punkt otrzymuje unikalną współrzędną, a każda liczba rzeczywista jest współrzędną unikalnego punktu.

Linia liczbowa

Kartezjański układ współrzędnych

Prototypowym przykładem układu współrzędnych jest układ współrzędnych kartezjańskich . W płaszczyźnie wybierane są dwie prostopadłe linie, a współrzędne punktu są traktowane jako odległości ze znakiem do linii.

Współrzędne prostokątne.svg

W trzech wymiarach wybierane są trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny, a trzy współrzędne punktu są znakami odległości do każdej z płaszczyzn. Można to uogólnić, aby utworzyć n współrzędnych dla dowolnego punktu w n- wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

W zależności od kierunku i kolejności osi współrzędnych, trójwymiarowy układ może być układem praworęcznym lub leworęcznym. To jeden z wielu układów współrzędnych.

Biegunowy układ współrzędnych

Innym powszechnym układem współrzędnych płaszczyzny jest układ współrzędnych biegunowych . Jako biegun wybierany jest punkt, a promień z tego punktu jest przyjmowany jako oś biegunowa . Dla danego kąta θ przez biegun przechodzi pojedyncza linia, której kąt z osią biegunową wynosi θ (mierzony w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara od osi do linii). Wtedy na tej linii znajduje się unikalny punkt, którego odległość znaku od początku wynosi r dla danej liczby r . Dla danej pary współrzędnych ( r , θ) istnieje jeden punkt, ale każdy punkt jest reprezentowany przez wiele par współrzędnych. Na przykład ( r , θ ), ( r , θ+2π) i (- r , θ+π) są współrzędnymi biegunowymi tego samego punktu. Biegun jest reprezentowany przez (0, θ) dla dowolnej wartości θ.

Cylindryczne i sferyczne układy współrzędnych

Cylindryczny układ współrzędnych

Istnieją dwie popularne metody rozszerzania układu współrzędnych biegunowych do trzech wymiarów. W układzie współrzędnych cylindrycznych , A z -coordinate w tym samym znaczeniu jak w kartezjańskim układzie współrzędnych dodawane do R i θ współrzędne biegunowe potrójne ( rθZ ). Współrzędne sferyczne idą o krok dalej, przekształcając parę współrzędnych cylindrycznych ( rz ) na współrzędne biegunowe ( ρφ ) dając trójkę ( ρθφ ).

Jednorodny układ współrzędnych

Punkt na płaszczyźnie może być reprezentowany we współrzędnych jednorodnych przez trójkę ( xyz ), gdzie x / z i y / z są kartezjańskimi współrzędnymi punktu. Wprowadza to „dodatkową” współrzędną, ponieważ do określenia punktu na płaszczyźnie potrzebne są tylko dwa, ale ten system jest przydatny, ponieważ reprezentuje dowolny punkt na płaszczyźnie rzutowej bez użycia infinity . Ogólnie rzecz biorąc, jednorodny układ współrzędnych to taki, w którym istotne są tylko stosunki współrzędnych, a nie rzeczywiste wartości.

Inne powszechnie stosowane systemy

Niektóre inne popularne układy współrzędnych są następujące:

Istnieją sposoby opisywania krzywych bez współrzędnych za pomocą wewnętrznych równań, które wykorzystują wielkości niezmienne, takie jak krzywizna i długość łuku . Obejmują one:

Współrzędne obiektów geometrycznych

Układy współrzędnych są często używane do określania położenia punktu, ale mogą być również używane do określania położenia bardziej złożonych figur, takich jak linie, płaszczyzny, okręgi lub kule . Na przykład współrzędne Plückera służą do określenia położenia linii w przestrzeni. Gdy zachodzi taka potrzeba, typ opisywanej figury jest używany do rozróżnienia typu układu współrzędnych, na przykład termin współrzędne linii jest używany dla dowolnego układu współrzędnych, który określa położenie linii.

Może się zdarzyć, że układy współrzędnych dla dwóch różnych zbiorów figur geometrycznych są równoważne pod względem ich analizy. Przykładem tego są układy jednorodnych współrzędnych punktów i linii w płaszczyźnie rzutowej. Mówi się, że dwa systemy w takim przypadku są dualistyczne . Systemy dualistyczne mają tę właściwość, że wyniki z jednego systemu mogą być przenoszone na drugi, ponieważ te wyniki są tylko różnymi interpretacjami tego samego wyniku analitycznego; jest to znane jako zasada dualności .

Transformacje

Ponieważ często istnieje wiele różnych możliwych układów współrzędnych do opisywania figur geometrycznych, ważne jest, aby zrozumieć, w jaki sposób są one powiązane. Relacje takie są opisywane przez przekształcenia współrzędnych, które dają wzory na współrzędne w jednym układzie na współrzędne w innym układzie. Na przykład w płaszczyźnie, jeśli współrzędne kartezjańskie ( xy ) i współrzędne biegunowe ( rθ ) mają ten sam początek, a oś biegunowa jest dodatnią osią x , to transformacja współrzędnych ze współrzędnych biegunowych na kartezjańskie jest wyrażona wzorem x  =  r  cos θ i y  =  r  sin θ .

Z każdym bijection z przestrzeni do siebie mogą być skojarzone dwie transformacje współrzędnych:

  • tak, że nowe współrzędne obrazu każdego punktu są takie same jak stare współrzędne oryginalnego punktu (wzory na odwzorowanie są odwrotnością tych na przekształcenie współrzędnych)
  • tak, że stare współrzędne obrazu każdego punktu są takie same jak nowe współrzędne oryginalnego punktu (wzory dla mapowania są takie same jak dla transformacji współrzędnych)

Na przykład w 1D , jeśli odwzorowanie jest translacją 3 w prawo, pierwsze przesuwa początek z 0 na 3, tak że współrzędna każdego punktu jest mniejsza o 3, podczas gdy druga przesuwa początek z 0 na -3 , tak aby współrzędna każdego punktu wynosiła 3 więcej.

Linie współrzędnych/krzywe i płaszczyzny/powierzchnie

W dwóch wymiarach, jeśli jedna ze współrzędnych w układzie współrzędnych punktu jest utrzymywana na stałym poziomie, a druga współrzędna może się zmieniać, wynikowa krzywa jest nazywana krzywą współrzędnych . W kartezjańskim układzie współrzędnych krzywe współrzędnych są w rzeczywistości liniami prostymi , a więc liniami współrzędnych . W szczególności są to linie równoległe do jednej z osi współrzędnych. Dla innych układów współrzędnych krzywe współrzędnych mogą być krzywymi ogólnymi. Na przykład krzywe współrzędnych we współrzędnych biegunowych otrzymane przez utrzymywanie stałej r są okręgami o środku w początku. Układ współrzędnych, dla którego niektóre krzywe współrzędnych nie są liniami, nazywany jest krzywoliniowym układem współrzędnych . Ta procedura nie zawsze ma sens, na przykład nie ma krzywych współrzędnych w jednorodnym układzie współrzędnych .

Powierzchnie współrzędnych trójwymiarowych współrzędnych paraboloidalnych.

W przestrzeni trójwymiarowej, jeśli jedna współrzędna jest utrzymywana na stałym poziomie, a pozostałe dwie mogą się zmieniać, wynikowa powierzchnia jest nazywana powierzchnią współrzędnych . Na przykład, powierzchnie współrzędnych uzyskane przez utrzymywanie stałej ρ w sferycznym układzie współrzędnych są kulami ze środkiem w początku. W przestrzeni trójwymiarowej przecięcie dwóch powierzchni współrzędnych jest krzywą współrzędnych. W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy mówić o płaszczyznach współrzędnych .

Podobnie hiperpowierzchnie współrzędnych to ( n − 1) -wymiarowe przestrzenie wynikające z ustalenia pojedynczej współrzędnej n -wymiarowego układu współrzędnych.

Mapy współrzędnych

Pojęcie mapy współrzędnych lub wykresu współrzędnych ma kluczowe znaczenie dla teorii rozmaitości. Mapa współrzędnych jest zasadniczo układem współrzędnych dla podzbioru danej przestrzeni z tą właściwością, że każdy punkt ma dokładnie jeden zestaw współrzędnych. Dokładniej, odwzorowanie współrzędnych jest homeomorfizmem od otwartego podzbioru przestrzeni X do otwartego podzbioru R n . Często nie jest możliwe zapewnienie jednego spójnego układu współrzędnych dla całej przestrzeni. W tym przypadku zbiór map współrzędnych jest zestawiany w celu utworzenia atlasu obejmującego przestrzeń. Przestrzeń wyposażona w taki atlas nazywa się rozmaitością, a dodatkową strukturę można zdefiniować na rozmaitości, jeśli struktura jest spójna w miejscu nakładania się map współrzędnych. Na przykład rozmaitość różniczkowalna to rozmaitość, w której zmiana współrzędnych z jednej mapy współrzędnych na inną jest zawsze funkcją różniczkowalną.

Współrzędne oparte na orientacji

W geometrii i kinematyce układy współrzędnych są używane do opisywania (liniowego) położenia punktów oraz kątowego położenia osi, płaszczyzn i brył sztywnych . W tym drugim przypadku orientacja drugiego (zwykle określanego jako „lokalny”) układu współrzędnych, przymocowanego do węzła, jest definiowana na podstawie pierwszego (zwykle określanego jako „globalny” lub „światowy” układ współrzędnych). Na przykład orientacja bryły sztywnej może być reprezentowana przez macierz orientacji , która zawiera w trzech kolumnach współrzędne kartezjańskie trzech punktów. Punkty te służą do określenia orientacji osi układu lokalnego; są to wierzchołki trzech wektorów jednostkowych wyrównanych z tymi osiami.

Zobacz też

Relatywistyczne układy współrzędnych

Bibliografia

Cytaty

Źródła

Linki zewnętrzne