Twierdzenie Rolle'a - Rolle's theorem

W przypadku rzeczywistego -valued funkcja

f

jest ciągłą w zamkniętym przedziale

[ , b]

, różniczkowalną w przedziale otwartym

( , b)

i

f ( ) = f (b)

, to istnieje

C

w otwartym przedziale

(a, b)

takie, że

f'(c) = 0

.

W rachunku , twierdzenie rolle'a lub lemat Rolle w zasadzie stanowi, że każdy rzeczywista różniczkowalną funkcją że osiąga takie same wartości w dwóch różnych punktach musi mieć co najmniej jeden stacjonarny punkt gdzieś między nimi, to jest punkt, w którym pierwsza pochodna (nachylenie styczna do wykresu funkcji) wynosi zero. Twierdzenie nosi imię Michela Rolle'a .

Standardowa wersja twierdzenia

W przypadku rzeczywistego -valued funkcja $f$ jest ciągłą w odpowiednim przedziale zamkniętym $[ , b]$ , różniczkowalną w przedziale otwartym $( , b)$ i $f ( ) = f (b)$ , po czym istnieje co najmniej jeden $c$ w przedział otwarty $(a, b)$ taki, że

{\ Displaystyle f '(c) = 0}

.

Ta wersja twierdzenia Rolle'a służy do udowodnienia twierdzenia o wartości średniej , którego twierdzenie Rolle'a jest rzeczywiście przypadkiem szczególnym. Jest to również podstawa dowodu twierdzenia Taylora .

Historia

Chociaż twierdzenie nosi imię Michela Rolle'a , dowód Rolle'a z 1691 r. obejmował tylko przypadek funkcji wielomianowych. Jego dowód nie wykorzystywał metod rachunku różniczkowego , które w tamtym momencie swojego życia uważał za błędne. Twierdzenie to zostało po raz pierwszy udowodnione przez Cauchy'ego w 1823 jako następstwo dowodu twierdzenia o wartości średniej . Nazwa „Twierdzenie Rolle'a” została po raz pierwszy użyta przez Moritza Wilhelma Drobischa z Niemiec w 1834 roku i przez Giusto Bellavitisa z Włoch w 1846 roku.

Przykłady

Pierwszy przykład

Półkole o promieniu

r

.

Dla promienia $r > 0$ rozważ funkcję

{\ Displaystyle f (x) = {\ sqrt {r ^ {2}-x ^ {2}}} \ quad x \ w [-r, r].}

Jego wykres to górny półokrąg wyśrodkowany na początku. Funkcja ta jest ciągła na przedział zamkniętą $[- r, R]$ i różniczkowalną w przedziale otwartym $(- r, r)$ , ale nie różniczkowalną w końcowych $- R$ i $R$ . Ponieważ $f (- r) = f (r)$ , twierdzenie Rolle'a ma zastosowanie i rzeczywiście istnieje punkt, w którym pochodna $f$ wynosi zero. Zauważ, że twierdzenie ma zastosowanie nawet wtedy, gdy funkcja nie może być zróżnicowana w punktach końcowych, ponieważ wymaga tylko, aby funkcja była różniczkowalna w otwartym przedziale.

Drugi przykład

Wykres funkcji wartości bezwzględnej.

Jeżeli różniczkowalność nie powiedzie się w wewnętrznym punkcie przedziału, wniosek z twierdzenia Rolle'a może się nie sprawdzić. Rozważ funkcję wartości bezwzględnej

{\ Displaystyle f (x) = | x |, \ qquad x \ w [-1,1].}

Wtedy $f (-1) = f (1)$ , ale nie ma $c$ między -1 a 1, dla którego $f'(c)$ wynosi zero. Dzieje się tak, ponieważ ta funkcja, chociaż ciągła, nie jest różniczkowalna przy $x = 0$ . Zauważ, że pochodna $f$ zmienia swój znak przy $x = 0$ , ale bez osiągnięcia wartości 0. Twierdzenia nie można zastosować do tej funkcji, ponieważ nie spełnia warunku, że funkcja musi być różniczkowalna dla każdego $x$ w przedziale otwartym. Jednakże, gdy wymóg różniczkowalności zostanie usunięty z twierdzenia Rolle'a, $f$ nadal będzie miało krytyczną liczbę w otwartym przedziale $(a, b)$ , ale może nie dać tangensa poziomego (jak w przypadku wartości bezwzględnej przedstawionej na wykresie ).

Uogólnienie

Drugi przykład ilustruje następujące uogólnienie twierdzenia Rolle'a:

Rozważmy funkcję ciągłą o wartościach rzeczywistych $f$ na przedziale domkniętym $[a, b]$ z $f (a) = f (b)$ . Jeśli dla każdego $x$ w otwartym przedziale $(a, b)$ granica po prawej stronie

{\ Displaystyle f '(x ^ {+}): = \ lim _ {h \ do 0 ^ {+}} {\ Frac {f (x + h) - f (x)} {h}}}

i limit lewej ręki

{\ Displaystyle f '(x ^ {-}): = \ lim _ {h \ do 0 ^ {-}} {\ Frac {f (x + h) - f (x)} {h}}}

istnieją w rozszerzonej prostej rzeczywistej $[-\infty, \infty]$ , to istnieje pewna liczba $c$ w otwartym przedziale $(a, b)$ taka, że jedna z dwóch granic

{\ Displaystyle f '(c ^ {+}) \ quad {\ tekst {i}} \ quad f '(c ^ {-})}

jest ≥ 0, a druga ≤ 0 (w rozszerzonej linii rzeczywistej). Jeśli granice prawo- i lewostronne zgadzają się dla każdego $x$ , to zgadzają się w szczególności dla $c$ , stąd pochodna $f$ istnieje w $c$ i jest równa zeru.

Uwagi

Jeśli $f$ jest wypukłe lub wklęsłe, to pochodne prawo- i lewoskrętne istnieją w każdym punkcie wewnętrznym, stąd powyższe granice istnieją i są liczbami rzeczywistymi.
Ta uogólniona wersja twierdzenia wystarcza do udowodnienia wypukłości, gdy pochodne jednostronne rosną monotonicznie :

{\ Displaystyle f '(x ^ {-}) \ leq f '(x ^ {+}) \ leq f '(y ^ {-}), \ qquad x <y.}

Dowód wersji uogólnionej

Ponieważ dowód dla standardowej wersji twierdzenia Rolle'a i uogólnienie są bardzo podobne, dowodzimy uogólnienia.

Idea dowodu dowodzić, że jeśli $f ( ) = f (b)$ , a następnie $f$ musi osiągnąć albo maksymalną lub minimalną gdzieś pomiędzy i $B$ , przykładowo co $c$ , a funkcja może zmieniać przed wzrostem do zmniejszania ( lub odwrotnie) w $c$ . W szczególności, jeśli pochodna istnieje, musi wynosić zero w $c$ .

Z założenia, $f$ jest ciągłe na $[a, b]$ , a twierdzenie o wartości ekstremalnej osiąga zarówno maksimum jak i minimum w $[a, b]$ . Jeśli oba są osiągnięte w punktach końcowych $[a, b]$ , to $f$ jest stałe w $[a, b] ,$ a więc pochodna $f$ wynosi zero w każdym punkcie w $(a, b)$ .

Przyjmijmy wówczas, że maksymalna uzyskuje się przy wewnętrznym punkcie $C$ o $( , b)$ (argument do minimum jest bardzo podobne, to pod uwagę $- F$ ). Powyższe granice prawej i lewej strony zbadamy osobno.

Dla rzeczywistego $h$ takiego , że $c + h$ jest w $[a, b]$ , wartość $f (c + h)$ jest mniejsza lub równa $f (c) ,$ ponieważ $f$ osiąga maksimum w $c$ . Dlatego dla każdego $h > 0$ ,

{\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}\równ 0,

W związku z tym

{\ Displaystyle f '(c ^ {+}): = \ lim _ {h \ do 0 ^ {+}} {\ Frac {f (c + h) - f (c)} {h}} \ równoważnik 0 ,}

gdzie granica istnieje z założenia, może wynosić minus nieskończoność.

Podobnie, dla każdego $h < 0$ nierówność się odwraca, ponieważ mianownik jest teraz ujemny i otrzymujemy

{\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}\geq 0,

W związku z tym

{\ Displaystyle f '(c ^ {-}): = \ lim _ {h \ do 0 ^ {-}} {\ frac {f (c + h) - f (c)} {h}} \ geq 0 ,}

gdzie granica może być plus nieskończoność.

Wreszcie, gdy powyższe granice prawej i lewej strony zgadzają się (w szczególności, gdy $f$ jest różniczkowalne), to pochodna $f$ w $c$ musi wynosić zero.

(Alternatywnie możemy bezpośrednio zastosować twierdzenie Fermata o punkcie stacjonarnym ).

Uogólnienie na wyższe pochodne

Możemy również uogólnić twierdzenie Rolle'a, wymagając, aby $f$ miało więcej punktów o równych wartościach i większej regularności. Załóżmy, że…

funkcja $f$ jest $n - 1$ razy różniczkowalna w sposób ciągły na przedziale domkniętym $[a, b]$ a $n-$ ta pochodna istnieje na przedziale otwartym $(a, b)$ , oraz
istnieje $n$ przedziałów podanych przez $a 1 < b 1 \leq a 2 < b 2 \leq \dots \leq a n < b n$ w $[a, b]$ takie, że $f (a k) = f (b k)$ dla każdego $k$ od 1 do $n$ .

Wtedy istnieje liczba $c$ w $(a, b)$ taka, że $n-$ ta pochodna $f$ w $c$ wynosi zero.

Czerwona krzywa to wykres funkcji z 3 pierwiastkami w przedziale

[-3, 2]

. Zatem jego druga pochodna (wykresowana na zielono) również ma pierwiastek w tym samym przedziale.

Wymagania dotyczące $n-$ tej pochodnej $f$ można osłabić, jak w powyższym uogólnieniu, podając odpowiednie (być może słabsze) twierdzenia dla prawych i lewych granic zdefiniowanych powyżej z $f (n - 1)$ zamiast $f$ .

W szczególności ta wersja twierdzenia zakłada, że jeśli funkcja wystarczająco różniczkowalna ma $n$ pierwiastków (a więc mają tę samą wartość, czyli 0), to istnieje wewnętrzny punkt, w którym $f (n - 1)$ znika.

Dowód

Dowód wykorzystuje indukcję matematyczną . Przypadek $n = 1$ jest po prostu standardową wersją twierdzenia Rolle'a. Dla $n > 1$ przyjmij hipotezę indukcyjną, że uogólnienie jest prawdziwe dla $n - 1$ . Chcemy to udowodnić dla $n$ . Załóżmy, że funkcja $f$ spełnia hipotezy twierdzenia. Przy standardowym tw Rolka jest dla każdej liczby całkowitej $K$ od 1 do $n$ , istnieje $c, k$ na wolnym odstępie $(a k, b k)$ , tak że $F "(C k) = 0$ . Zatem pierwsza pochodna spełnia założenia na $n - 1$ przedziałach domkniętych $[c 1, c 2], \dots, [c n - 1, c n]$ . Zgodnie z hipotezą indukcyjną istnieje $c$ takie, że $(n - 1)$ pierwsza pochodna $f'$ w $c$ wynosi zero.

Uogólnienia na inne dziedziny

Twierdzenie Rolle'a jest własnością funkcji różniczkowalnych nad liczbami rzeczywistymi, które są polem uporządkowanym . Jako taki, nie uogólnia na inne pola , ale następujący wniosek tak: jeśli wielomian rzeczywisty (ma wszystkie swoje pierwiastki) po liczbach rzeczywistych, to jego pochodna również. Tę właściwość można nazwać właściwością pola Własność Rolle'a . Pola bardziej ogólne nie zawsze mają funkcje różniczkowalne, ale zawsze mają wielomiany, które można różnicować symbolicznie. Podobnie, bardziej ogólne pola mogą nie mieć porządku, ale istnieje pojęcie pierwiastka wielomianu leżącego w polu.

Zatem twierdzenie Rolle'a pokazuje, że liczby rzeczywiste mają własność Rolle'a. Każde pole algebraicznie domknięte, takie jak liczby zespolone, ma własność Rolle'a. Jednak liczby wymierne nie są – na przykład $x 3 - x = x (x - 1)(x + 1)$ rozkładają się na czynniki wymierne , ale ich pochodna,

{\ Displaystyle 3x ^ {2} -1 = 3 \ lewo (x-{\ tfrac {1} {\ sqrt {3}}} \ prawo) \ lewo (x + {\ tfrac {1} {\ sqrt {3}) }}\dobrze),}

nie. Pytanie, które pola spełniają własność Rolle'a, zostało postawione w ( Kaplansky 1972 ). W przypadku pól skończonych odpowiedź brzmi, że tylko $F 2$ i $F 4$ mają własność Rolle'a.

W przypadku wersji złożonej zobacz indeks Voorhoeve .

Zobacz też

Bibliografia

Dalsza lektura

Leithold, Louis (1972). Rachunek z geometrią analityczną (2nd ed.). Nowy Jork: Harper & Row. s. 201–207. Numer ISBN 0-06-043959-9.
Taylor, Angus E. (1955). Rachunek zaawansowany . Boston: Ginn i Spółka. s. 30–37.

Linki zewnętrzne

"Twierdzenie Rolle" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
Twierdzenia Rolle'a i wartości średniej na przecięciu węzła .
Dowód systemu Mizar : http://mizar.org/version/current/html/rolle.html#T2

Languages

In other projects