Wielokrotna całka - Multiple integral

Część serii artykułów o
Rachunek różniczkowy
Twierdzenie podstawowe integralna reguła Leibniza Granice funkcji Ciągłość Twierdzenie o wartości średniej Twierdzenie Rolle'a
Mechanizm różnicowy Definicje Pochodna  ( uogólnienia ) Mechanizm różnicowy nieskończenie mały funkcji całkowity Koncepcje Notacja różniczkowa Druga pochodna Niejawne zróżnicowanie Różnicowanie logarytmiczne Powiązane stawki Twierdzenie Taylora Zasady i tożsamości Suma Produkt Łańcuch Moc Iloraz Zasada L'Hôpital Odwrotność Generał Leibniz Formuła Faà di Bruno Reynoldsa
Całka Listy całek Transformacja całkowa Definicje Pochodna pierwotna Całka  ( niewłaściwa ) Całka Riemanna Integracja Lebesgue'a Integracja konturu Całka funkcji odwrotnych Integracja przez Części Dyski Cylindryczne muszle Podstawienie  ( trygonometryczne , Weierstrassa , Eulera ) Wzór Eulera Frakcje częściowe Zmiana kolejności Formuły redukcyjne Różniczkowanie pod znakiem całkowym Algorytm Richa
Seria Geometryczny  ( arytmetyczno-geometryczny ) Harmoniczny Zmienny Moc Dwumianowy Taylor Testy konwergencji Limit sumy (test terminowy) Stosunek Źródło Całka Bezpośrednie porównanie Porównanie limitów Seria naprzemienna Kondensacja Cauchy'ego Dirichleta Abel
Wektor Gradient Rozbieżność Kędzior Laplace'a Kierunkowa pochodna Tożsamości Twierdzenia Gradient Warzywa Stokesa Rozbieżność uogólniony Stokes
Wiele zmiennych Formalizmy Matryca Napinacz Zewnętrzny Geometryczny Definicje Częściowa pochodna Wielokrotna całka Całka liniowa Całka powierzchniowa Całka objętości Jakobian heski
Specjalistyczne Frakcyjny Maliavin Stochastyczny Wariacje
Różnorodny Wstępny rachunek różniczkowy Historia Słowniczek Lista tematów Pszczoła integracyjna Analiza
v T mi

W matematyce (zwłaszcza wielowymiarowy nazębnego ) następuje wielokrotne integralną jest całką z funkcją wielu zmiennych rzeczywistych , na przykład f ( x , y ) i F ( x , y , z ) . Całki funkcji dwóch zmiennych po obszarze w ( płaszczyźnie liczb rzeczywistych ) nazywane są całkami podwójnymi , a całki funkcji trzech zmiennych po obszarze (przestrzeń 3D liczb rzeczywistych) są nazywane całkami potrójnymi . Aby uzyskać całki wielokrotne funkcji jednej zmiennej, zobacz wzór Cauchy'ego na powtarzane całkowanie . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Wstęp

Tak jak całka oznaczona funkcji dodatniej jednej zmiennej reprezentuje obszar obszaru między wykresem funkcji a osią x , tak całka podwójna funkcji dodatniej dwóch zmiennych reprezentuje objętość obszaru między powierzchnią określoną przez funkcję (na trójwymiarowej płaszczyźnie kartezjańskiej, gdzie z = f ( x , y ) ) oraz na płaszczyźnie, która zawiera jego dziedzinę . Jeśli jest więcej zmiennych, całka wielokrotna da hiperobjętości funkcji wielowymiarowych.

Wielokrotna integracja funkcji w n zmiennych: f ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) w dziedzinie D jest najczęściej reprezentowana przez zagnieżdżone znaki całkowe w odwrotnej kolejności wykonywania (najbardziej lewy znak całki jest obliczany jako ostatni ), po których następują argumenty funkcji i całki w odpowiedniej kolejności (całka względem skrajnego prawego argumentu jest obliczana jako ostatnia). Dziedzina integracji jest albo symbolicznie reprezentowana dla każdego argumentu nad każdym znakiem całkowym, albo jest skracana przez zmienną w skrajnym prawym znaku całkowym:

${\ Displaystyle \ int \ cdots \ int _ {\ mathbf {D}} \ f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \ dx_ {1} \! \ cdots dx_ {n}}$

Ponieważ pojęcie pierwotna jest zdefiniowana tylko dla funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, zwykle definicja całki nieoznaczonej nie od razu sięgać do wielokrotnej całki.

Definicja matematyczna

Dla n > 1 rozważmy tak zwaną „półotwartą” n- wymiarową hiperprostokątną domenę T , zdefiniowaną jako:

${\ Displaystyle T = [a_ {1}, b_ {1}) \ razy [a_ {2}, b_ {2}] \ razy \ cdots \ razy [a_ {n}, b_ {n}} \ podseteq \ mathbb {R} ^{n}.}$

Podziel każdy przedział [ a _j , b _j ) na skończoną rodzinę I _j nienakładających się podprzedziałów i _{j α} , przy czym każdy podprzedział jest zamknięty na lewym końcu i otwarty na prawym końcu.

Wtedy skończona rodzina podprostokątów C dana przez

${\ Displaystyle C = I_ {1} \ razy I_ {2} \ razy \ cdots \ razy I_ {n}}$

jest partycja o T ; to znaczy, że podprostokąty C _k nie zachodzą na siebie, a ich sumą jest T .

Niech f  : T → R będzie funkcją określoną na T . Rozważmy podział C z T zdefiniowany powyżej, taki, że C jest rodziną m podprostokątów C _m i

${\ Displaystyle T = C_ {1} \ filiżanka C_ {2} \ filiżanka \ cdots \ filiżanka C_ {m}}$

Możemy przybliżyć całkowitą ( n + 1) th-wymiarową objętość ograniczoną poniżej przez n- wymiarowy hiperprostokąt T i powyżej przez n- wymiarowy wykres f z następującą sumą Riemanna :

${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {m} f (P_ {k}) \ \ operatorname {m} (C_ {k})}$

gdzie P _k jest punktem w C _{k ,} a m( C _k ) jest iloczynem długości przedziałów, których iloczyn kartezjański wynosi C _k , znany również jako miara C _k .

Średnicy z subrectangle C _k jest największym długości przedziałów, których iloczyn jest C _k . Średnicę danej przegrody T określa się jako największą ze średnic podprostokątów w przegrodzie. Intuicyjnie, w miarę jak średnica przegrody C jest coraz mniejsza, liczba podprostokątów m rośnie , a miara m( C _k ) każdego podprostokąta maleje. Mówi się, że funkcja f jest całkowalna Riemanna, jeśli granica

${\ Displaystyle S = \ lim _ {\ delta \ do 0} \ suma _ {k = 1} ^ {m} f (P_ {k}) \ \ operatorname {m} (C_ {k})}$

istnieje, gdzie granica jest przyjmowana na wszystkie możliwe przegrody o średnicy T co najwyżej δ .

Jeśli f jest całkowalną Riemanna, S nazywamy całką Riemanna z f przez T i oznaczamy

${\ Displaystyle \ int \ cdots \ int _ {T} \, f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \ dx_ {1} \! \ cdots dx_ {n}}$

Często notacja ta jest skracana jako

${\ Displaystyle \ int _ {T} \! f (\ mathbf {x}) \ d ^ {n} \ mathbf {x}}$

gdzie x reprezentuje n- krotkę ( x ₁ , …, x _n ), a d ⁿ x jest n- wymiarową różnicą objętości .

Całka Riemanna funkcji zdefiniowanej na dowolnie ograniczonym zbiorze n- wymiarowym może być zdefiniowana przez rozszerzenie tej funkcji do funkcji zdefiniowanej na półotwartym prostokącie, którego wartości wynoszą zero poza domeną funkcji pierwotnej. Wtedy całka funkcji pierwotnej po domenie pierwotnej jest definiowana jako całka funkcji rozszerzonej po domenie prostokątnej, jeśli istnieje.

W dalszej części całka Riemanna w n wymiarach będzie nazywana całką wielokrotną .

Nieruchomości

Całki wielokrotne mają wiele właściwości wspólnych z całkami funkcji jednej zmiennej (liniowość, przemienność, monotoniczność itd.). Jedną z ważnych właściwości całek wielokrotnych jest to, że wartość całki jest w pewnych warunkach niezależna od kolejności całki. Ta właściwość jest popularnie znana jako twierdzenie Fubiniego .

Szczególne przypadki

W przypadku , całki ${\ Displaystyle T \ podseteq \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ Displaystyle l = \ iint _ {T} f (x, y) \ dx \ dy}$

jest całką podwójną z f na T , a jeśli całka ${\ Displaystyle T \ podseteq \ mathbb {R} ^ {3}}$

${\ Displaystyle l = \ iint _ {T} f (x, y, z) \ dx \ dy \ dz}$

jest potrójną całką z f na T .

Zauważ, że zgodnie z konwencją całka podwójna ma dwa znaki całkowe, a całka potrójna ma trzy; jest to konwencja notacyjna, która jest wygodna podczas obliczania całki wielokrotnej jako całki iterowanej, jak pokazano w dalszej części tego artykułu.

Metody integracji

Rozwiązanie problemów z całkami wielokrotnymi polega w większości przypadków na znalezieniu sposobu na zredukowanie całki wielokrotnej do całki iterowanej , serii całek jednej zmiennej, z których każda jest bezpośrednio rozwiązywalna. Dla funkcji ciągłych jest to uzasadnione twierdzeniem Fubiniego . Czasami możliwe jest uzyskanie wyniku integracji poprzez bezpośrednie badanie bez żadnych obliczeń.

Oto kilka prostych metod integracji:

Całkowanie funkcji stałych

Gdy całka jest funkcją stałą c , całka jest równa iloczynowi c i mierze dziedziny całkowania. Jeżeli c = 1 , a domena jest podregion R ² , integralna daje fragment obszaru, podczas gdy domena jest podregion R ³ , integralny daje objętość obszaru.

Przykład. Niech f ( x , y ) = 2 i

${\ Displaystyle D = \ lewo \ {(x, y) \ w \ mathbb {R} ^ {2} \ :\ 2 \ równoważnik x \ równoważnik 4 \ ; \ 3 \ równoważnik r \ równoważnik 6 \ prawo \}}$

w którym to przypadku

${\ Displaystyle \ int _ {3} ^ {6} \ int _ {2} ^ {4} \ 2 \ dx \, dy = 2 \ int _ {3} ^ {6} \ int _ {2} ^ { 4}\ 1\ dx\,dy=2\cdot \operatorname {obszar} (D)=2\cdot (2\cdot 3)=12,}$

ponieważ z definicji mamy:

${\ Displaystyle \ int _ {3} ^ {6} \ int _ {2} ^ {4} \ 1 \ dx \, dy = \ operatorname {obszar} (D).}$

Wykorzystanie symetrii

Gdy dziedzina całkowania jest symetryczna względem początku w odniesieniu do co najmniej jednej ze zmiennych całkowania, a podcałka jest nieparzysta w odniesieniu do tej zmiennej, całka jest równa zeru, ponieważ całki po dwóch połówkach dziedziny mają ta sama wartość bezwzględna, ale przeciwne znaki. Gdy całka jest parzysta względem tej zmiennej, całka jest równa dwukrotności całki po jednej połowie dziedziny, ponieważ całki po dwóch połówkach dziedziny są równe.

Przykład 1. Rozważmy funkcję f ( x , y ) = 2 sin( x ) − 3 y ³ + 5 scałkowana po dziedzinie

${\ Displaystyle T = \ lewo \ {(x, y) \ w \ mathbb {R} ^ {2} \ : \ x ^ {2} + Y ^ {2} \ leq 1 \ po prawej \}}$

krążek o promieniu  1 wyśrodkowany na początku z uwzględnioną granicą.

Korzystając z właściwości liniowości, całkę można rozłożyć na trzy części:

${\ Displaystyle \ iint _ {T} \ lewo (2 \ sin x-3y ^ {3} + 5 \ prawej) \ dx \ dy = \ iint _ {T} 2 \ sin x \ dx \ dy -\iint _{T}3y^{3}\,dx\,dy+\iint _{T}5\,dx\,dy}$

Funkcja 2 sin( x ) jest funkcją nieparzystą w zmiennej x a dysk T jest symetryczny względem osi y , więc wartość pierwszej całki wynosi 0. Podobnie funkcja 3 y ³ jest funkcją nieparzystą z Y i T są symetryczne względem płaszczyzny x -osiowy, a więc tylko wkład ostateczny wynik, że w trzecim całkowitej. Zatem całka pierwotna jest równa powierzchni dysku razy 5, czyli 5 π .

Przykład 2. Rozważmy funkcję f ( x , y , z ) = x exp( y ² + z ² ) i jako obszar całkowania kulkę o promieniu 2 wyśrodkowaną na początku,

${\ Displaystyle T = \ lewo \ {(x, y, z) \ w \ mathbb {R} ^ {3} \ : \ x ^ {2} + r ^ {2} + z ^ {2} \ równa 4 \Prawidłowy\}.}$

„Kula” jest symetryczna względem wszystkich trzech osi, ale wystarczy całkować względem osi x, aby pokazać, że całka wynosi 0, ponieważ funkcja jest nieparzystą funkcją tej zmiennej.

Normalne domeny na R ²

Ta metoda ma zastosowanie do dowolnej domeny D, dla której:

• występ z D na albo X -osiowy lub Y -osiowy jest ograniczona przez dwie wartości a b
• każda linia prostopadła do tej osi, która przechodzi między tymi dwiema wartościami, przecina dziedzinę w przedziale, którego punkty końcowe są podane przez wykresy dwóch funkcji, α i β .

Taka domena będzie tutaj nazywana zwykłą domeną . W innych miejscach w literaturze domeny normalne są czasami nazywane domenami typu I lub typu II, w zależności od osi, nad którą domena jest połączona włóknem. We wszystkich przypadkach funkcja do całkowania musi być całkowalna Riemanna w dziedzinie, co jest prawdą (na przykład), jeśli funkcja jest ciągła.

x- oś

Jeśli dziedzina D jest normalna względem osi x , a f  : D → R jest funkcją ciągłą ; wtedy α ( x ) i β ( x ) ( obie są zdefiniowane na przedziale [ a , b ] ) są dwiema funkcjami determinującymi D . Następnie, według twierdzenia Fubiniego:

${\ Displaystyle \ iint _ {D} f (x, y) \ dx \ dy = \ int _ {a} ^ {b} dx \ int _ {\ alfa (x)} ^ {\ beta (x) }f(x,y)\,dy.}$

oś y

Jeśli D jest normalne względem osi y oraz f  : D → R jest funkcją ciągłą; następnie α ( Y ) i β ( y ) (z których oba są zdefiniowane w przedziale [ , b ] ) są dwie funkcje, które określają D . Ponownie, przez twierdzenie Fubiniego:

${\ Displaystyle \ iint _ {D} f (x, y) \ dx \ dy = \ int _ {a} ^ {b} dy \ int _ {\ alfa (y)} ^ {\ beta (y) }f(x,y)\,dx.}$

Normalne domeny na R ³

Jeżeli T jest dziedziną normalną względem płaszczyzny xy i wyznaczoną przez funkcje α ( x , y ) i β ( x , y ) , to

${\ Displaystyle \ iint _ {T} f (x, y, z) \ dx \ dy \ dz = \ iint _ {D} \ int _ {\ alfa (x, y)} ^ {\ beta ( x,y)}f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy}$

Ta definicja jest taka sama dla pozostałych pięciu przypadków normalności na R ³ . Można go w prosty sposób uogólnić na dziedziny w R ⁿ .

Zmiana zmiennych

Granice integracji często nie są łatwo wymienialne (bez normalności lub ze złożonymi formułami do integracji). Dokonuje się zmiany zmiennych, aby przepisać całkę w bardziej „komfortowym” obszarze, który można opisać prostszymi wzorami. W tym celu funkcja musi zostać dostosowana do nowych współrzędnych.

Przykład 1a. Funkcja to f ( x , y ) = ( x − 1) ² + √ y ; jeśli przyjmiemy podstawienie u = x − 1 , v = y zatem x = u + 1 , y = v otrzymujemy nową funkcję f ₂ ( u , v ) = ( u ) ² + √ v .

• Podobnie jest z domeną, ponieważ jest ona ograniczona oryginalnymi zmiennymi, które zostały wcześniej przekształcone ( na przykład x i y ).
• różniczki dx i dy przekształcają się przez wartość bezwzględną wyznacznika macierzy Jakobianu zawierającej pochodne cząstkowe przekształceń dotyczących nowej zmiennej (rozważmy jako przykład przekształcenie różniczkowe we współrzędnych biegunowych).

Istnieją trzy główne "rodzaje" zmian zmiennej (jeden w R ² , dwa w R ³ ); jednak bardziej ogólne podstawienia mogą być wykonane na tej samej zasadzie.

Współrzędne biegunowe

W R ^2, jeśli dziedzina ma symetrię kołową, a funkcja ma pewne szczególne cechy, można zastosować transformację do współrzędnych biegunowych (patrz przykład na rysunku), co oznacza, że ​​punkty generyczne P ( x , y ) we współrzędnych kartezjańskich przełączają się na ich odpowiednie punkty we współrzędnych biegunowych. Pozwala to na zmianę kształtu domeny i uproszczenie operacji.

Podstawowa relacja do dokonania przekształcenia jest następująca:

${\ Displaystyle f (x, y) \ rightarrow f (\ rho \ cos \ varphi , \ rho \ sin \ varphi ).}$

Przykład 2a. Funkcja to f ( x , y ) = x + y i stosując przekształcenie otrzymujemy

${\ Displaystyle f (\ rho , \ varphi ) = \ rho \ cos \ varphi + \ rho \ sin \ varphi = \ rho (\ cos \ varphi + \ sin \ varphi ).}$

Przykład 2b. Funkcja to f ( x , y ) = x ² + y ² , w tym przypadku mamy:

${\ Displaystyle f (\ rho , \ varphi ) = \ rho ^ {2} \ lewo (\ cos ^ {2} \ varphi + \ sin ^ {2} \ varphi \ po prawej) = \ rho ^ {2}}$

przy użyciu tożsamości trygonometrycznej Pitagorasa (bardzo przydatne do uproszczenia tej operacji).

Przekształcenia dziedziny dokonuje się poprzez określenie długości promienia korony i amplitudy opisywanego kąta, aby określić przedziały ρ , φ zaczynając od x , y .

Przykład 2c. Dziedziną jest D = { x ² + y ² ≤ 4} , czyli obwód o promieniu 2; oczywiste jest, że kąt pokrycia jest kątem okręgu, więc φ zmienia się od 0 do 2 π , podczas gdy promień korony waha się od 0 do 2 (korona o promieniu wewnętrznym równym zero jest po prostu okręgiem).

Przykład 2d. Dziedziną jest D = { x ² + y ² ≤ 9, x ² + y ² ≥ 4, y ≥ 0} , czyli okrągła korona w dodatniej półpłaszczyźnie y (patrz rysunek w przykładzie); φ opisuje kąt płaski, podczas gdy ρ zmienia się od 2 do 3. Dlatego transformowana dziedzina będzie następującym prostokątem :

${\ Displaystyle T = \ {2 \ równoważnik \ rho \ równoważnik 3 \ 0 \ równoważnik \ varphi \ równoważnik \ pi \}.}$

Jacobiego wyznacznik tej transformacji jest następujący:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy (x, y)} {\ częściowy (\ rho, \ varphi )}} = {\ zacząć {vmatrix} \ cos \ varphi & - \ rho \ grzech \ varphi \ \ \ grzech \varphi &\rho \cos \varphi \end{vmatrix}}=\rho }$

który został uzyskany przez wstawienie pochodnych cząstkowych x = ρ cos( φ ) , y = ρ sin( φ ) w pierwszej kolumnie względem ρ i w drugiej względem φ , więc różniczki dx dy w tym przekształceniu stają się ρ dρ dφ .

Po przekształceniu funkcji i ocenie dziedziny można zdefiniować wzór na zmianę zmiennych we współrzędnych biegunowych:

${\ Displaystyle \ iint _ {D} f (x, y) \, dx \, dy = \ iint _ {T} f (\ rho \ cos \ varphi, \ rho \ sin \ varphi ) \ rho \, d \ rho \,d\varphi .}$

φ obowiązuje w przedziale [0, 2π], podczas gdy ρ , który jest miarą długości, może mieć tylko wartości dodatnie.

Przykład 2e. Funkcja to f ( x , y ) = x a dziedzina jest taka sama jak w przykładzie 2d. Z poprzedniej analizy D znamy przedziały ρ (od 2 do 3) i φ (od 0 do π ). Teraz zmieniamy funkcję:

${\ Displaystyle f (x, y) = x \ longrightarrow f (\ rho, \ varphi ) = \ rho \ cos \ varphi.}$

na koniec zastosujmy wzór na całkowanie:

${\ Displaystyle \ iint _ {D} x \, dx \, dy = \ iint _ {T} \ rho \ cos \ varphi \ rho \ d \ rho \ d \ varphi.}$

Gdy znane są interwały, masz

${\ Displaystyle \ int _ {0}^ {\ pi} \ int _ {2} ^ {3} \ rho ^ {2} \ cos \ varphi \ d \ rho \ d \ varphi = \ int _ {0 }^{\pi }\cos \varphi \ d\varphi \left[{\frac {\rho ^{3}}{3}}\right]_{2}^{3}={\Big [}\ grzech \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }\ \left(9-{\frac {8}{3}}\right)=0.}$

Współrzędne cylindryczne

W R ³ integracja narzędzia domen z okrągłej podstawy mogą być wykonane przez przejście do współrzędnych walcowych ; przekształcenie funkcji odbywa się według następującej relacji:

${\ Displaystyle f (x, y, z) \ rightarrow f (\ rho \ cos \ varphi, \ rho \ sin \ varphi, z)}$

Przekształcenie domeny można osiągnąć graficznie, ponieważ zmienia się tylko kształt podstawy, a wysokość jest zgodna z kształtem regionu początkowego.

Przykład 3a. Obszar to D = { x ² + y ² ≤ 9, x ² + y ² ≥ 4, 0 ≤ z ≤ 5} (to jest „rurka”, której podstawą jest okrągła korona z przykładu 2d i której wysokość wynosi 5) ; jeśli zastosuje się transformację, region ten otrzymuje się:

${\ Displaystyle T = \ {2 \ równoważnik \ rho \ równoważnik 3 \ 0 \ równoważnik \ varphi \ równoważnik 2 \ pi \ 0 \ równoważnik z \ równoważnik 5 \}}$

(to znaczy równoległościan, którego podstawa jest podobna do prostokąta w Przykładzie 2d i którego wysokość wynosi 5).

Ponieważ składnik z jest niezmienny podczas transformacji, różniczki dx dy dz zmieniają się jak przy przejściu do współrzędnych biegunowych: dlatego stają się ρ dρ dφ dz .

Wreszcie możliwe jest zastosowanie ostatecznej formuły do ​​współrzędnych cylindrycznych:

${\ Displaystyle \ iint _ {D} f (x, y, z) \ dx \ dy \ dz = \ iint _ {T} f (\ rho \ cos \ varphi, \ rho \ sin \ varphi, z )\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz.}$

Metoda ta jest wygodna w przypadku domen cylindrycznych lub stożkowych lub w obszarach, w których łatwo jest wydzielić odstęp z, a nawet przekształcić kołową podstawę i funkcję.

Przykład 3b. Funkcją jest f ( x , y , z ) = x ² + y ² + z i jako dziedzina całkowania ten cylinder : D = { x ² + y ² ≤ 9, -5 ≤ z ≤ 5} . Transformacja D we współrzędnych cylindrycznych jest następująca:

${\ Displaystyle T = \ {0 \ równoważnik \ rho \ równoważnik 3 \ 0 \ równoważnik \ varphi \ równoważnik 2 \ pi \ -5 \ równoważnik z \ równoważnik 5 \}.}$

podczas gdy funkcja staje się

${\ Displaystyle f (\ rho \ cos \ varphi, \ rho \ sin \ varphi, z) = \ rho ^ {2} + z}$

Na koniec można zastosować wzór na całkowanie:

${\ Displaystyle \ iint _ {D} \ lewo (x ^ {2} + Y ^ {2} + z \ prawej) \ dx \ dy \ dz = \ iint _ {T} \ lewo (\ rho ^ {2}+z\prawo)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz;}$

opracowanie formuły, którą masz

${\ Displaystyle \ int _ {-5} ^ {5} dz \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ varphi \ int _ {0} ^ {3} \ po lewej (\ rho ^ {3} + \rho z\right)\,d\rho =2\pi \int _{-5}^{5}\left[{\frac {\rho ^{4}}{4}}+{\frac {\ rho ^{2}z}{2}}\right]_{0}^{3}\,dz=2\pi \int _{-5}^{5}\left({\frac {81}{ 4}}+{\frac {9}{2}}z\prawo)\,dz=\cdots =405\pi .}$

Współrzędne sferyczne

W R ³ niektóre domeny mają symetrię sferyczną, więc możliwe jest określenie współrzędnych każdego punktu obszaru integracji dwoma kątami i jedną odległością. Można więc wykorzystać przejście do współrzędnych sferycznych ; funkcja jest przekształcana przez tę relację:

${\ Displaystyle f (x, y, z) \ longrightarrow f (\ rho \ cos \ theta \ sin \ varphi , \ rho \ sin \ theta \ sin \ varphi , \ rho \ cos \ varphi )}$

Punkty na osi z nie mają dokładnej charakterystyki we współrzędnych sferycznych, więc θ może wahać się od 0 do 2 π .

Lepszą domeną integracyjną dla tego fragmentu jest sfera.

Przykład 4a. Dziedziną jest D = x ² + y ² + z ² ≤ 16 (kula o promieniu 4 i środku w początku); stosując transformację uzyskasz region

${\ Displaystyle T = \ {0 \ równoważnik \ rho \ równoważnik 4 \ 0 \ równoważnik \ varphi \ równoważnik \ pi \ 0 \ równoważnik \ theta \ równoważnik 2 \ pi \}.}$

Jakobian wyznacznik tej transformacji jest następujący:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy (x, y, z)} {\ częściowy (\ rho, \ theta, \ varphi)}} = {\ zacząć {vmatrix} \ cos \ theta \ sin \ varphi &-\ rho \sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \varphi &0&-\rho \sin \varphi \end{vmatrix}}=\rho ^{2}\sin \varphi }$

Dx, dy dz różnicowe są zatem przekształcone p ² sin ( cp ) dρ dθ dφ .

Daje to ostateczną formułę całkowania:

${\ Displaystyle \ iint _ {D} f (x, y, z) \ dx \ dy \ dz = \ iint _ {T} f (\ rho \ sin \ varphi \ cos \ theta \ rho \ sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi .}$

Lepiej jest używać tej metody w przypadku kulistych domen i w przypadku funkcji, które mogą być łatwo uproszczony przez pierwszą podstawową stosunku trygonometrii przedłużony do R ³ (patrz przykład 4B); w innych przypadkach może być lepiej użyć współrzędnych cylindrycznych (patrz przykład 4c).

${\ Displaystyle \ iint _ {T} f (a, b, c) \ rho ^ {2} \ sin \ varphi \ d \ rho \ d \ theta \ d \ varphi.}$

Dodatkowa ρ ² i sin cp pochodzą z Jacobiego.

W poniższych przykładach role φ i θ zostały odwrócone.

Przykład 4b. D jest tym samym regionem, co w Przykładzie 4a, a f ( x , y , z ) = x ² + y ² + z ² jest funkcją do całkowania. Jego transformacja jest bardzo łatwa:

${\ Displaystyle f (\ rho \ sin \ varphi \ cos \ theta, \ rho \ sin \ varphi \ sin \ theta, \ rho \ cos \ varphi ) = \ rho ^ {2},}$

podczas gdy znamy przedziały transformowanego obszaru T z D :

${\ Displaystyle T = \ {0 \ równoważnik \ rho \ równoważnik 4 \ 0 \ równoważnik \ varphi \ równoważnik \ pi \ 0 \ równoważnik \ theta \ równoważnik 2 \ pi \}.}$

Stosujemy zatem formułę całkową:

${\ Displaystyle \ iint _ {D} \ lewo (x ^ {2} + Y ^ {2} + z ^ {2} \ prawej) \ dx \ dy \ dz = \ iint _ {T} \ rho ^{2}\,\rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi ,}$

i rozwijając się, otrzymujemy

${\ Displaystyle \ iint _ {T} \ rho ^ {4} \ sin \ theta \ d \ rho \ d \ theta \ d \ varphi = \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin \ varphi \,d\varphi \int _{0}^{4}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi \int _{0}^ {\pi }\sin \varphi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\,d\varphi =2\pi \left[{ \frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }= {\frac {4096\pi {5}}.}$

Przykład 4c. Dziedziną D jest kula o środku w punkcie początkowym i promieniu 3 a ,

${\ Displaystyle D = \ lewo \ {x ^ {2} + Y ^ {2} + z ^ {2} \ leq 9a ^ {2} \ prawej \}}$

a f ( x , y , z ) = x ² + y ² jest funkcją do całkowania.

Patrząc na dziedzinę, wygodne wydaje się przyjęcie przejścia do współrzędnych sferycznych, w rzeczywistości przedziały zmiennych, które wyznaczają nowy obszar T , to oczywiście:

${\ Displaystyle T = \ {0 \ równoważnik \ rho \ równoważnik 3a \ 0 \ równoważnik \ varphi \ równoważnik 2 \ pi \ 0 \ równoważnik \ theta \ równoważnik \ pi \}.}$

Jednak stosując transformację otrzymujemy

${\ Displaystyle f (x, y, z) = x ^ {2} + y ^ {2} \ longrightarrow \ rho ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ cos ^ {2} \ varphi + \ rho ^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi =\rho ^{2}\sin ^{2}\theta .}$

Stosując wzór na całkowanie otrzymujemy:

${\ Displaystyle \ iint _ {T} \ rho ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ rho ^ {2} \ sin \ theta \ d \ rho \ d \ theta \ d \ varphi = \ iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi }$

które można rozwiązać, zamieniając je w iterowaną całkę.

${\ Displaystyle \ iint _ {T} \ rho ^ {4} \ sin ^ {3} \ theta \ d \ rho \ d \ theta \ d \ varphi = \ pod nawiasem {\ int _ {0} ^ { 3a}\rho ^{4}d\rho } _{I}\,\underbrace {\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,d\theta } _{II} \,\underbrace {\int _{0}^{2\pi }d\varphi } _{III}}$.

${\ Displaystyle I = \ lewo. \ int _ {0} ^ {3 a} \ rho ^ {4} d \ rho = {\ Frac {\ rho ^ {5}} {5}} \ po prawej \ vert _ {0 }^{3a}={\frac {243}{5}}a^{5}}$,

${\ Displaystyle II = \ int _ {0} ^ {\ pi } \ grzech ^ {3} \ theta \, d \ theta =- \ int _ {0} ^ {\ pi } \ grzech ^ {2} \ teta \,d(\cos \theta )=\int _{0}^{\pi }(\cos ^{2}\theta -1)\,d(\cos \theta )=\left.{\frac { \cos ^{3}\theta }{3}}\right|_{0}^{\pi }-\left.\cos \theta \right|_{0}^{\pi }={\frac { 4}{3}}}$,

${\ Displaystyle III = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ varphi = 2 \ pi}$.

Zebranie wszystkich części,

${\ Displaystyle \ iint _ {T} \ rho ^ {4} \ sin ^ {3} \ theta \ d \ rho \ d \ theta \ d \ varphi = ja \ cdot II \ cdot III = {\ Frac {243}{5}}a^{5}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot 2\pi ={\frac {648}{5}}\pi a^{5}}$.

Alternatywnie ten problem można rozwiązać, wykorzystując przejście do współrzędnych cylindrycznych. Nowe interwały T to

${\ Displaystyle T = \ lewo \ {0 \ leq \ rho \ równoważnik 3a \ 0 \ leq \ varphi \ równoważnik 2 \ pi \ - {\ sqrt {9a ^ {2} - \ rho ^ {2}}} \leq z\leq {\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\right\};}$

z interwał został uzyskany przez podzielenie piłkę w dwóch półkul po prostu przez rozpuszczenie nierówności ze wzoru D (i przekształcając bezpośrednio x ² + y ² w p ² ). Nowa funkcja jest po prostu ρ ² . Stosowanie formuły integracyjnej

${\ Displaystyle \ iint _ {T} \ rho ^ {2} \ rho \ d \ rho \ d \ varphi \ dz.}$

Wtedy dostajemy

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ varphi \ int _ {0} ^ {3 a} \ rho ^ {3} d \ rho \ int _ {- {\ sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}}^{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,dz&=2\pi \int _{0}^ {3a}2\rho ^{3}{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,d\rho \\&=-2\pi \int _{9a^{2} }^{0}(9a^{2}-t){\sqrt {t}}\,dt&&t=9a^{2}-\rho ^{2}\\&=2\pi \int _{0} ^{9a^{2}}\left(9a^{2}{\sqrt {t}}-t{\sqrt {t}}\right)\,dt\\&=2\pi \left(\int _{0}^{9a^{2}}9a^{2}{\sqrt {t}}\,dt-\int _{0}^{9a^{2}}t{\sqrt {t}} \,dt\right)\\&=2\pi \left[9a^{2}{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}-{\frac {2} {5}}t^{\frac {5}{2}}\right]_{0}^{9a^{2}}\\&=2\cdot 27\pi a^{5}\left(6 -{\frac {18}{5}}\right)\\&={\frac {648\pi }{5}}a^{5}.\end{wyrównany}}}$

Dzięki przejściu do współrzędnych cylindrycznych udało się zredukować całkę potrójną do łatwiejszej całki jednej zmiennej.

Zobacz także wpis objętości różnicowej w nabla we współrzędnych cylindrycznych i sferycznych .

Przykłady

Całka podwójna po prostokącie

Załóżmy, że chcemy całkować funkcję wielu zmiennych f nad obszarem A :

${\ Displaystyle A = \ lewo \ {(x, y) \ w \ mathbf {R} ^ {2} \ :\ 11 \ równoważnik x \ równoważnik 14 \ ; \ 7 \ równoważnik r \ równoważnik 10 \ prawo \} \mbox{ i }}f(x,y)=x^{2}+4y\,}$

Na tej podstawie formułujemy iterowaną całkę

${\ Displaystyle \ int _ {7} ^ {10} \ int _ {11} ^ {14} (x ^ {2} + 4 lata) \ dx \ dy}$

Całka wewnętrzna jest wykonywana jako pierwsza, całkując względem x i przyjmując y jako stałą, ponieważ nie jest to zmienna całkowania . Wynik tej całki, który jest funkcją zależną tylko od y , jest następnie całkowany względem y .

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ int _ {11} ^ {14} \ po lewej (x ^ {2} + 4 lata \ po prawej) \ dx = \ po lewej [{\ Frac {1} {3}} x ^{3}+4yx\right]_{x=11}^{x=14}\\&={\frac {1}{3}}(14)^{3}+4y(14)-{\ szczelina {1}{3}}(11)^{3}-4y(11)\\&=471+12y\end{wyrównany}}}$

Następnie całkujemy wynik względem y .

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ int _ {7} ^ {10} (471 + 12 lat) \ dy = {\ duży [} 471 lat + 6 lat ^ {2} {\ duży]} _ {y = 7} ^{y=10}\\&=471(10)+6(10)^{2}-471(7)-6(7)^{2}\\&=1719\end{wyrównany}}}$

W przypadkach, gdy całka podwójna wartości bezwzględnej funkcji jest skończona, porządek całkowania jest wymienny, to znaczy całkowanie najpierw względem x i całkowanie najpierw względem y dają ten sam wynik. To jest twierdzenie Fubiniego . Na przykład wykonanie poprzedniego obliczenia z odwróconą kolejnością daje ten sam wynik:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ int _ {11} ^ {14} \ int _ {7} ^ {10} \ \ lewo (x ^ {2} + 4 lata \ po prawej) \ dy \ dx i =\int _{11}^{14}{\Duży [}x^{2}y+2y^{2}{\Duży ]}_{y=7}^{y=10}\,dx\\ &=\int _{11}^{14}\,(3x^{2}+102)\,dx\\&={\Duży [}x^{3}+102x{\Duży ]}_{x =11}^{x=14}\\&=1719.\end{wyrównany}}}$

Całka podwójna nad normalną domeną

Rozważ region (patrz grafika w przykładzie):

${\ Displaystyle D = \ {(x, y) \ w \ mathbf {R} ^ {2} \ : \ x \ geq 0, y \ równoważnik 1, y \ geq x ^ {2} \}}$

Oblicz

${\ Displaystyle \ iint _ {D} (x + y) \ dx \ dy.}$

Ta domena jest normalna w odniesieniu do obu osi x i y . Aby zastosować formuły, należy znaleźć funkcje określające D oraz przedziały, w których te funkcje są zdefiniowane. W tym przypadku dwie funkcje to:

${\ Displaystyle \ alfa (x) = x ^ {2} {\ tekst {i}} \ beta (x) = 1}$

podczas gdy przedział jest określony przez przecięcia funkcji z x  = 0, więc przedział wynosi [ a ,  b ] = [0, 1] (normalność została wybrana względem osi x dla lepszego zrozumienia wizualnego).

Teraz można zastosować formułę:

${\ Displaystyle \ iint _ {D} (x + y) \ dx \ dy = \ int _ {0} ^ {1} dx \ int _ {x ^ {2}} ^ {1} (x + y )\,dy=\int _{0}^{1}dx\ \left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1} }$

(najpierw obliczana jest druga całka, biorąc pod uwagę x jako stałą). Pozostałe operacje polegają na zastosowaniu podstawowych technik integracji:

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ lewo [xy + {\ Frac {y ^ {2}} {2}} \ prawo] _ {x ^ {2}} ^ {1} \ dx = \int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx= \cdots ={\frac {13}{20}}.}$

Jeśli wybierzemy normalność względem osi y, możemy obliczyć

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} dy \ int _ {0} ^ {\ sqrt {y}} (x + y) \ dx.}$

i uzyskać tę samą wartość.

Obliczanie objętości

Korzystając z wcześniej opisanych metod, można obliczyć objętości niektórych typowych brył.

• Cylinder : Objętość cylindra o wysokości h i kołowej podstawie o promieniu R można obliczyć przez całkowanie stałej funkcji h na kołowej podstawie przy użyciu współrzędnych biegunowych.

${\ Displaystyle \ operatorname {objętość} = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ varphi \ \ int _ {0} ^ {R} h \ rho \ d \ rho = 2 \ pi h \ lewo[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h}$

Jest to zgodne z wzorem na objętość pryzmatu

${\ Displaystyle \ operatorname {objętość} = {\ tekst {powierzchnia podstawowa}} \ razy {\ tekst {wysokość}}.}$

• Kula : Objętość kuli o promieniu R można obliczyć, całkując stałą funkcję 1 po kuli przy użyciu współrzędnych sferycznych.

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ tekst {objętość}} i = \ iint _ {D} f (x, y, z) \ dx \ dy \ dz \ \ & = \ iint _ {d }1\,dV\\&=\iiint _{S}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi \\&=\int _{0} ^{2\pi }\,d\theta \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d \rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi {\frac {R^{3}}{3}}\,d\varphi \\&={\frac {2 }{3}}\pi R^{3}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R ^{3}.\end{wyrównany}}}$

• Czworościan ( ostrosłup trójkątnylub 3- simplex ): Objętość czworościanu z jego wierzchołkiem na początku i krawędziami długości ℓ wzdłuż osi x , y i z można obliczyć przez całkowanie funkcji stałej 1 po czworościanie.

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ tekst {objętość}} i = \ int _ {0} ^ {\ ell} dx \ int _ {0} ^ {\ ell _ x} \ dy \ int _ { 0}^{\ell -xy}\,dz\\&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}(\ell -xy)\,dy \\&=\int _{0}^{\ell }\left(l^{2}-2\ell x+x^{2}-{\frac {(\ell -x)^{2}} {2}}\right)\,dx\\&=\ell ^{3}-\ell \ell ^{2}+{\frac {\ell ^{3}}{3}}-\left[{ \frac {\ell ^{2}x}{2}}-{\frac {\ell x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}\right] _{0}^{\ell }\\&={\frac {\ell ^{3}}{3}}-{\frac {\ell ^{3}}{6}}={\frac {\ ^{3}}{6}}\end{wyrównany}}}$

Jest to zgodne ze wzorem na objętość piramidy

${\ Displaystyle \ operatorname {objętość} = {\ Frac {1} {3}} \ razy {\ tekst {obszar bazowy}} \ razy {\ tekst {wysokość}} = {\ Frac {1} {3}} \ razy {\frac {\ell ^{2}}{2}}\times \ell ={\frac {\ell ^{3}}{6}}.}$

Wielokrotna niewłaściwa całka

W przypadku dziedzin lub funkcji nieograniczonych, które nie są ograniczone w pobliżu granicy dziedziny, należy wprowadzić całkę niewłaściwą podwójną lub całkę niewłaściwą potrójną .

Całki wielokrotne i całki iterowane

Twierdzenie Fubiniego mówi, że jeśli

${\ Displaystyle \ iint _ {A \ razy B} \ lewo | f (x, y) \ prawo | \, d (x, y) <\ infty,}$

to znaczy, jeśli całka jest absolutnie zbieżna, to całka wielokrotna da taki sam wynik jak każda z dwóch iterowanych całek:

${\ Displaystyle \ iint _ {A \ razy B} f (x, y) \ d (x, y) = \ int _ {A} \ lewo (\ int _ {B} f (x, y) \, dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy.}$

W szczególności nastąpi to, jeśli | f ( x , y ) | jest funkcją ograniczoną, a A i B są zbiorami ograniczonymi .

Jeśli całka nie jest całkowicie zbieżna, należy uważać, aby nie pomylić pojęć całki wielokrotnej i całki iterowanej , zwłaszcza że ta sama notacja jest często używana dla obu koncepcji. Notacja

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} f (x, y) \ dy \ dx}$

oznacza, w niektórych przypadkach, iterowaną całkę zamiast prawdziwej całki podwójnej. W iterowanej całce całka zewnętrzna

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ cdots \ dx}$

jest całką względem x następującej funkcji x :

${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{1}f(x,y)\dy.}$

Z drugiej strony, całka podwójna jest definiowana w odniesieniu do powierzchni w płaszczyźnie xy . Jeśli całka podwójna istnieje, to jest równa każdej z dwóch iterowanych całek (albo " dy dx " albo " dx dy ") i często oblicza się ją, obliczając jedną z iterowanych całek. Ale czasami dwie iterowane całki istnieją, gdy nie ma całki podwójnej, a w niektórych takich przypadkach dwie iterowane całki są różnymi liczbami, tj.

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} f (x, y) \ dy \ dx \ neq \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0}^{1}f(x,y)\,dx\,dy.}$

Jest to przykład przegrupowania całki warunkowo zbieżnej .

Z drugiej strony, niektóre warunki zapewniają, że dwie iterowane całki są równe, nawet jeśli całka podwójna nie musi istnieć. Według twierdzenia Fichtenholza – Lichtensteina , jeśli f jest ograniczone na [0, 1] × [0, 1] i istnieją obie iterowane całki, to są one równe. Ponadto istnienie całek wewnętrznych zapewnia istnienie całek zewnętrznych. Według Sierpińskiego całka podwójna nie musi w tym przypadku istnieć nawet jako całka Lebesgue'a .

Notacja

${\ Displaystyle \ int _ {[0,1] \ razy [0,1]} f (x, y) \ dx \ dy}$

może być stosowany, jeśli ktoś chce być emfatyczny w zamiarze całki podwójnej, a nie całki iterowanej.

Kilka praktycznych zastosowań

Całkiem ogólnie, tak jak w przypadku jednej zmiennej, można użyć całki wielokrotnej, aby znaleźć średnią funkcji w danym zbiorze. Biorąc pod uwagę zbiór D ⊆ R ⁿ i całkowalną funkcję f nad D , średnia wartość f nad jego dziedziną jest dana wzorem

${\ Displaystyle {\ bar {f}} = {\ Frac {1} {m (D)}} \ int _ {D} f (x) \ dx,}$

gdzie m ( D ) jest środek o D .

Dodatkowo całki wielokrotne są wykorzystywane w wielu zastosowaniach w fizyce . Poniższe przykłady pokazują również pewne różnice w notacji.

W mechanice The moment bezwładności jest obliczana w całkowitej objętości (potrójny całkowitej) z gęstością zważony z kwadratem odległości od osi:

${\ Displaystyle I_ {z} = \ iint _ {V} \ rho r ^ {2} \ dV.}$

Potencjał grawitacyjny związane z rozkładu masy określonej przez masę środka dm na trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej R ³ jest

${\ Displaystyle V (\ mathbf {x} ) = - \ iint _ {\ mathbf {R} ^ {3}} \ Frac {G} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {y} |}} \ ,dm(\mathbf {y} ).}$

Jeśli istnieje funkcja ciągła ρ ( x ) reprezentująca gęstość rozkładu w punkcie x , tak że dm ( x ) = ρ ( x ) d ³ x , gdzie d ³ x jest elementem objętości euklidesowej , wtedy potencjał grawitacyjny wynosi

${\ Displaystyle V (\ mathbf {x} ) = - \ iint _ {\ mathbf {R} ^ {3}} \ Frac {G} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {y} |}} \ ,\rho (\mathbf {y} )\,d^{3}\mathbf {y} .}$

W elektromagnetyzmu , równania Maxwella mogą być zapisywane za pomocą wielu całki obliczyć sumę pól magnetycznych i elektrycznych. W poniższym przykładzie pole elektryczne wytworzone przez rozkład ładunków danych przez gęstość ładunku objętościowego ρ ( r → ) jest otrzymywane przez całkę potrójną z funkcji wektorowej:

${\ Displaystyle {\ vec {E}} = {\ Frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ iint {\ Frac {{\ vec {R}} - {\ vec {R}} '}{\left\|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right\|^{3}}}\rho ({\vec {r}}')\,d^{ 3}r'.}$

Można to również zapisać jako całkę w odniesieniu do podpisanej miary reprezentującej rozkład ładunku.

Zobacz też

• Główne twierdzenia analityczne dotyczące całek wielokrotnych:
  • Twierdzenie o dywergencji
  • Twierdzenie Stokesa
  • Twierdzenie Greena

Bibliografia

Dalsza lektura

• Adams, Robert A. (2003). Rachunek: kompletny kurs (5th ed.). Numer ISBN 0-201-79131-5.
• Jain, RK; Iyengara, SRK (2009). Zaawansowana matematyka inżynierska (3rd ed.). Wydawnictwo Narosa. Numer ISBN 978-81-7319-730-7.
• Herman, Edwin „Jed” i Strang, Gilbert (2016): Rachunek  różniczkowy : Tom 3 : OpenStax, Rice University, Houston, Teksas, USA. ISBN  978-1-50669-805-2 . ( PDF )

Zewnętrzne linki

• Weisstein, Eric W. „Całka wielokrotna” . MatematykaŚwiat .
• LD Kudryavtsev (2001) [1994], "Całka wielokrotna" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press
• Mathematical Assistant on Web obliczanie online całek podwójnych we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych (obejmuje etapy pośrednie w rozwiązaniu, wspierane przez Maxima (oprogramowanie) )