Formularz objętości - Volume form

W matematyce , A tworzą objętość w różniczkowej kolektora jest forma górna-wymiarowej (to znaczy tworzą różnica górnej stopniu). W ten sposób na kolektorze wymiaru , forma objętość jest -a-, A odcinek z pakietu linii . Rozmaitość przyjmuje formę objętości, która nigdzie nie znika, wtedy i tylko wtedy, gdy jest orientowalna. Orientowany rozdzielacz ma nieskończenie wiele form głośności, pomnożenie objętości formy w zależności daje inną postać głośności. Na rozmaitościach nieorientowalnych można zamiast tego zdefiniować słabsze pojęcie gęstości . ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ textstyle \ Omega ^ {n} (M) = {\ Bigwedge} ^ {n} (T ^ {*} M)}$

Postać Objętość zapewnia możliwość określenia całkę o funkcji w różniczkowej kolektora. Innymi słowy, z formy objętościowej powstaje miara, względem której funkcje mogą być całkowane przez odpowiednią całkę Lebesgue'a . Wartość bezwzględna formy objętościowej to element objętościowy , który jest również znany jako forma objętościowa skręcona lub forma pseudo-objętościowa . Definiuje również miarę, ale istnieje na dowolnej rozmaitości różniczkowej, orientowalnej lub nie.

Rozmaitości Kählera , będące rozmaitościami złożonymi , są naturalnie zorientowane, a więc posiadają formę objętościową. Bardziej ogólnie, th zewnętrzna potęga formy symplektycznej na rozmaitości symplektycznej jest formą objętościową. Wiele klas rozmaitości ma kanoniczne formy objętości: mają dodatkową strukturę, która umożliwia wybór preferowanej formy objętości. Zorientowane rozmaitości pseudoriemannowskie mają powiązaną kanoniczną postać objętości. ${\ Displaystyle n}$

Orientacja

Dodaje się będzie tylko do orientacji w różniczkowalnych kolektorów (jest to bardziej ogólnego pojęcia zdefiniowane w dowolnym topologicznej kolektora).

Rozmaitość jest orientowalna, jeśli ma atlas współrzędnych, których wszystkie funkcje przejścia mają dodatnie determinanty jakobianu . Wybór maksymalnego takiego atlasu jest orientacją na . Formularz objętość na nasuwających orientacji w sposób naturalny jako atlas współrzędnych wykresy na które wysyłają do pozytywnego wielokrotności postaci euklidesowej głośności . ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle dx ^ {1} \ klin \ cdots \ klin dx ^ {n}}$

Formularz objętościowy pozwala również na określenie preferowanej klasy ramek na . Wywołaj prawoskrętną bazę wektorów stycznych, jeśli ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle (X_ {1}, \ ldots, X_ {n})}$

${\ Displaystyle \ omega (X_ {1}, X_ {2}, \ kropki, X_ {n})> 0.}$

Zbiór wszystkich ramek praworęcznych jest rozpatrzony przez grupę o ogólnym liniowego odwzorowania na wymiary z dodatnim wyznacznika. Stanowią one główny sub-pakiet z liniowego wiązki ramki o , a więc orientacji związany z postaci kanonicznej objętościowych daje zmniejszenie wiązki ramki o z sub-pakiet z grupy strukturalnej . To znaczy, że z formy objętościowej powstaje -structure on . Większa redukcja jest oczywiście możliwa, biorąc pod uwagę ramki, które mają ${\ Displaystyle \ operatorname {GL} ^ {+} (n)}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ operatorname {GL} ^ {+} (n)}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ operatorname {GL} ^ {+} (n)}$${\ Displaystyle \ operatorname {GL} ^ {+} (n)}$${\ Displaystyle M}$

${\ Displaystyle \ omega (X_ {1}, X_ {2}, \ kropki, X_ {n}) = 1.}$

( 1 )

W ten sposób forma objętościowa daje również początek strukturze. I odwrotnie, mając strukturę -można odzyskać formę objętościową, nakładając ( 1 ) dla specjalnych ram liniowych, a następnie rozwiązując wymaganą formę , wymagając jednorodności w jej argumentach. ${\ Displaystyle \ operatorname {SL} (n)}$${\ Displaystyle \ operatorname {SL} (n)}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ omega}$

Rozmaitość można orientować wtedy i tylko wtedy, gdy ma formę objętościową. Rzeczywiście, jest to wycofanie deformacji od , gdzie dodatnie liczby rzeczywiste są osadzone jako macierze skalarne. Tak więc każda -struktura jest redukowalna do -struktury, a -struktury pokrywają się z orientacjami na . Mówiąc konkretniej, trywialność wiązki determinującej jest równoznaczna z orientowalnością, a wiązka liniowa jest trywialna wtedy i tylko wtedy, gdy ma nigdzie nie znikającą sekcję. Zatem istnienie formy objętościowej jest równoznaczne z orientowalnością. ${\ Displaystyle \ operatorname {SL} (n) \ do \ operatorname {GL} ^ {+} (n)}$${\ Displaystyle \ operatorname {GL} ^ {+} = \ operatorname {SL} \ razy \ mathbb {R} ^ {+}}$${\ Displaystyle \ operatorname {GL} ^ {+} (n)}$${\ Displaystyle \ operatorname {SL} (n)}$${\ Displaystyle \ operatorname {GL} ^ {+} (n)}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ Omega ^ {n} (M)}$

Stosunek do środków

Biorąc pod uwagę postać objętość na zorientowanej kolektora The gęstość jest objętość pseudo postać na nieorientowane kolektora otrzymanego zapominając o orientacji. Gęstości można również określać bardziej ogólnie na rozgałęźnikach nieorientowalnych. ${\ Displaystyle \ omega}$ ${\displaystyle |\omega |}$

Dowolna pseudoforma objętości (a zatem także dowolna forma objętości) definiuje miarę na zbiorach borelowskich przez ${\ Displaystyle \ omega}$

${\ Displaystyle \ mu _ {\ omega} (U) = \ int _ {U} \ omega.}$

Różnica polega na tym, że podczas gdy miarę można zintegrować na podzbiorze (borelowym) , formularz objętości można zintegrować tylko na zorientowanej komórce. W rachunku jednozmiennym pisanie uważa się za formę objętości, a nie po prostu miarę i wskazuje „integruj się nad komórką z przeciwną orientacją, czasami oznaczaną ”. ${\textstyle \int _{b}^{a}f\,dx=-\int _{a}^{b}f\,dx}$${\displaystyle dx}$${\textstyle \int _{b}^{a}}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle {\overline {[a,b]}}}$

Co więcej, ogólne miary nie muszą być ciągłe ani gładkie: nie muszą być określone przez formę objętości, ani bardziej formalnie, ich pochodna Radona–Nikodyma względem danej formy objętości nie musi być absolutnie ciągła .

Rozbieżność

Biorąc pod uwagę postać objętość ω na M , można określić rozbieżności o pole wektorowe X jako jedynej funkcji skalarnej wartościach, oznaczoną div  X spełniających

${\ Displaystyle (\ nazwa operatora {div} X) \ omega = L_ {X} \ omega = d (X \ mathbin {\! \ lrcorner} \ omega)}$

gdzie L _X oznacza pochodną Lie wzdłuż X i oznacza produkt wewnętrzny lub lewy skurcz z Ohm wzdłuż X . Jeśli X jest zwartym polem wektorowym, a M jest rozmaitością z brzegiem , to twierdzenie Stokesa implikuje ${\displaystyle X\mathbin {\!\lrcorner} \omega}$

${\ Displaystyle \ int _ {M} (\ nazwa operatora {div} X) \ omega = \ int _ {\ częściowy M} X \ mathbin {\! \ lrcorner} \ omega,}$

co jest uogólnieniem twierdzenia o dywergencji .

W solenoidalne pola wektorowe są te z div X = 0 . Jak wynika z definicji pochodnej Lie że forma objętość zachowany pod przepływem z solenoidalnego pola wektorowego. Zatem pola wektorowe solenoidowe są dokładnie tymi, które mają przepływy zachowujące objętość. Fakt ten jest dobrze znany na przykład w mechanice płynów, gdzie rozbieżność pola prędkości mierzy ściśliwość płynu, co z kolei reprezentuje stopień zachowania objętości wzdłuż przepływów płynu.

Przypadki specjalne

Grupy kłamstw

Dla dowolnej grupy Liego można zdefiniować formę objętości naturalnej przez translację. Oznacza to, że jeśli ω _e jest elementem , to forma lewostronna może być zdefiniowana przez , gdzie L _g jest tłumaczeniem lewostronnym. W konsekwencji każda grupa Liego jest zorientowana. Ta forma objętości jest unikalna aż do skalara, a odpowiadająca jej miara jest znana jako miara Haara . ${\ Displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} ^ {n} T_ {e} ^ {*} G}$${\ Displaystyle \ omega _ {g} = L_ {g ^ {-1}} ^ {*} \ omega _ {e}}$

Rozmaitości symplektyczne

Każda rozmaitość symplektyczna (a właściwie każda rozmaitość prawie symplektyczna ) ma naturalną formę objętości. Jeśli M jest 2 n- wymiarową rozmaitością o formie symplektycznej ω , to ω ⁿ nigdzie nie jest zerem w konsekwencji niezdegeneracji formy symplektycznej. W konsekwencji każda rozmaitość symplektyczna jest orientowalna (w rzeczywistości zorientowana). Jeśli rozmaitość jest zarówno symplektyczna, jak i riemannowska, to obie formy objętościowe zgadzają się, jeśli rozmaitością jest Kähler .

Forma objętości Riemanna

Każdy zorientowane pseudo Riemanna (w tym Riemanna ) rozdzielacza ma postać objętości naturalnego. We współrzędnych lokalnych można to wyrazić jako

${\ Displaystyle \ omega = {\ sqrt {| g |}} dx ^ {1} \ klin \ kropki \ klin dx ^ {n}}$

gdzie są 1-formy, które tworzą pozytywnie zorientowaną podstawę dla wiązki kostycznej rozmaitości. Tutaj jest wartość bezwzględna wyznacznika reprezentacji macierzowej tensora metrycznego na rozmaitości. ${\ Displaystyle dx ^ {i}}$${\displaystyle |g|}$

Forma objętości jest różnie oznaczana przez

${\ Displaystyle \ omega = \ operatorname {vol} _ {n} = \ varepsilon = {\ gwiazda} (1).}$

Tutaj the jest gwiazdą Hodge'a , a więc ostatnia forma , podkreśla, że ​​forma objętości jest podwójną Hodge'a odwzorowywania stałej na rozmaitości, która jest równa tensorowi Levi-Civita ε . ${\displaystyle {\gwiazda}}$${\displaystyle {\gwiazda}(1)}$

Chociaż grecka litera ω jest często używana do oznaczenia formy tomów, notacja ta nie jest uniwersalna; symbol ω często ma wiele innych znaczeń w geometrii różniczkowej (takich jak forma symplektyczna).

Niezmienniki formy objętości

Formy objętościowe nie są unikalne; tworzą one torsor nad nieznikającymi funkcjami na kolektorze, jak następuje. Biorąc pod uwagę nieznikającą funkcję f na M i formę objętości , jest formą objętości na M . I odwrotnie, biorąc pod uwagę dwie formy objętości , ich stosunek jest funkcją nieznikającą (dodatni, jeśli definiują tę samą orientację, ujemną, jeśli definiują przeciwne orientacje). ${\ Displaystyle \ omega}$${\displaystyle f\omega}$${\displaystyle \omega,\omega'}$

We współrzędnych obie są po prostu niezerową funkcją razy miara Lebesgue'a , a ich stosunek jest stosunkiem funkcji, który jest niezależny od wyboru współrzędnych. Wewnętrznie, jest to pochodna Radona-Nikodyma w stosunku do . Na zorientowanej rozmaitości proporcjonalność dowolnych dwóch form objętościowych można traktować jako formę geometryczną twierdzenia Radona-Nikodyma . ${\ Displaystyle \ omega '}$${\ Displaystyle \ omega}$

Brak lokalnej struktury

Forma objętościowa na rozmaitości nie ma struktury lokalnej w tym sensie, że na małych otwartych zbiorach nie jest możliwe odróżnienie danej formy objętościowej od formy objętościowej w przestrzeni euklidesowej ( Kobayashi 1972 ). Oznacza to, że dla każdego punktu P na M , jest otwartym otoczeniem U o s i dyfeomorfizmu cp z U na zbiorze otwartym w R ⁿ , takich, że forma głośności U jest pullback od wzdłuż cp . ${\ Displaystyle dx ^ {1} \ klin \ cdots \ klin dx ^ {n}}$

W konsekwencji, jeśli M i N są dwiema rozmaitościami, każda z formami objętości , to dla dowolnych punktów istnieją otwarte sąsiedztwa U od m i V od n oraz odwzorowanie takie, że forma objętości na N ograniczona do sąsiedztwa V odciąga do postaci objętości na M ograniczone do sąsiedztwa U : . ${\ Displaystyle \ omega _ {M} \ omega _ {N}}$${\ Displaystyle m \ w M, n \ w N}$${\ Displaystyle f \ dwukropek U \ do V}$${\ Displaystyle f ^ {*} \ omega _ {N} \ vert _ {V} = \ omega _ {M} \ vert _ {U}}$

W jednym wymiarze można to udowodnić w ten sposób: mając postać objętości na , zdefiniuj ${\ Displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle \ mathbf {R} }$

${\ Displaystyle f (x): = \ int _ {0} ^ {x} \ omega.}$

Następnie standardowa miara Lebesgue'a cofa się do poniżej f : . Konkretnie, . W wyższych wymiarach, przy danym punkcie , ma sąsiedztwo lokalnie homeomorficzne do , i można zastosować tę samą procedurę. ${\displaystyle dx}$ ${\ Displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle \ omega = f ^ {*} dx}$${\displaystyle \omega =f'\,dx}$${\ Displaystyle m \ w M}$${\ Displaystyle \ mathbf {R} \ razy \ mathbf {R} ^ {n-1}}$

Globalna struktura: objętość

Forma objętości na połączonej rozmaitości M ma jeden niezmiennik globalny, a mianowicie (całkowitą) objętość, oznaczoną jako , która jest niezmienna w mapach zachowujących formę objętościową; może to być nieskończone, tak jak dla miary Lebesgue'a na . W odłączonym kolektorze objętość każdego połączonego komponentu jest niezmiennikiem. ${\ Displaystyle \ mu (M)}$${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {n}}$

W symbolach, jeśli jest homeomorfizmem rozmaitości, który odwołuje się do , wtedy ${\ Displaystyle f \ dwukropek M \ do N}$${\ Displaystyle \ omega _ {N}}$${\ Displaystyle \ omega _ {M}}$

${\ Displaystyle \ mu (N) = \ int _ {N} \ omega _ {N} = \ int _ {f (M)} \ omega _ {N} = \ int _ {M} f ^ {*} \ omega _{N}=\int _{M}\omega _{M}=\mu (M)\,}$

a kolektory mają tę samą objętość.

Formy objętości można również cofnąć pod mapy pokrycia , w którym to przypadku mnożą objętość przez liczność włókna (formalnie przez integrację wzdłuż włókna). W przypadku nieskończonej okładki arkuszowej (takiej jak ), forma objętości w kolektorze o skończonej objętości powraca do formy objętości w kolektorze o nieskończonej objętości. ${\ Displaystyle \ mathbf {R} \ do S ^ {1}}$

Zobacz też

• Cylindryczny układ współrzędnych § Elementy liniowe i objętościowe
• Miara (matematyka)
• Metryka Poincaré zapewnia przegląd formy objętości na płaszczyźnie złożonej
• Sferyczny układ współrzędnych § Całkowanie i różniczkowanie we współrzędnych sferycznych

Bibliografia

• Kobayashi, S. (1972), Grupy transformacji w geometrii różniczkowej , Klasyka matematyki , Springer, ISBN 3-540-58659-8, OCLC  31374337.
• Spivak, Michael (1965), Rachunek na Manifolds , Reading, Massachusetts: WA Benjamin, Inc., ISBN 0-8053-9021-9.