Tensor — Tensor

Tensor naprężenia Cauchy'ego drugiego rzędu ( ) opisuje siły naprężenia doświadczane przez materiał w danym punkcie. Iloczyn tensora naprężenia i wektora jednostkowego , skierowanego w danym kierunku, jest wektorem opisującym siły naprężenia działające na materiał w punkcie opisanym przez tensor naprężenia, wzdłuż płaszczyzny prostopadłej do . Ten obraz przedstawia wektory naprężeń wzdłuż trzech prostopadłych kierunków, z których każdy jest reprezentowany przez ścianę sześcianu. Ponieważ tensor naprężeń opisuje odwzorowanie, które przyjmuje jeden wektor jako dane wejściowe i daje jeden wektor jako wynik, jest to tensor drugiego rzędu.

W matematyce , A napinacz jest algebraiczna obiekt, który opisuje multilinear zależność pomiędzy zestawami algebraicznych obiektów związanych z przestrzeni wektorowej . Obiekty, między którymi tensory mogą mapować, obejmują wektory i skalary , a nawet inne tensory. Istnieje wiele typów tensorów, w tym skalary i wektory (które są najprostszymi tensorami), wektory dualne , wieloliniowe odwzorowania między przestrzeniami wektorowymi, a nawet niektóre operacje, takie jak iloczyn skalarny . Tensory są definiowane niezależnie od jakiejkolwiek bazy , chociaż często są one odnoszone przez ich składowe w bazie związanej z określonym układem współrzędnych.

Tensory stały się ważne w fizyce , ponieważ zapewniają one zwięzłe matematyczne ramy dla formułowania i rozwiązywania problemów fizyki w takich dziedzinach jak mechanika ( stres , elastyczność , mechaniki płynów , moment bezwładności , ...) elektrodynamiki ( tensor pola elektromagnetycznego , Maxwell tensora , przenikalności , podatność magnetyczna , ...), albo ogólnie względność ( tensor naprężeń energii , krzywizna napinacz , ...) i inne. W zastosowaniach powszechne jest badanie sytuacji, w których w każdym punkcie obiektu może wystąpić inny tensor; na przykład naprężenie w obiekcie może się różnić w zależności od miejsca. Prowadzi to do koncepcji pola tensorowego . W niektórych obszarach pola tensorowe są tak wszechobecne, że często nazywa się je po prostu „tensorami”.

Tullio Levi-Civita i Gregorio Ricci-Curbastro spopularyzowali tensory w 1900 r. – kontynuując wcześniejszą pracę Bernharda Riemanna i Elwina Bruno Christoffela i innych – w ramach absolutnego rachunku różniczkowego . Pojęcie włączony alternatywnej formulacji wewnętrznej geometrii różniczkowej z kolektora w postaci krzywizny tensora Riemanna .

Definicja

Choć pozornie różne, różne podejścia do definiowania tensorów opisują tę samą koncepcję geometryczną przy użyciu innego języka i na różnych poziomach abstrakcji. Na przykład tensory są definiowane i omawiane dla aplikacji statystycznych i uczenia maszynowego .

Jako tablice wielowymiarowe

Tensor może być reprezentowany jako tablica (potencjalnie wielowymiarowa). Tak jak wektor w przestrzeni n - wymiarowej jest reprezentowany przez jednowymiarową tablicę z n składowymi względem danej bazy , tak każdy tensor względem bazy jest reprezentowany przez tablicę wielowymiarową. Na przykład operator liniowy jest reprezentowany w bazie jako dwuwymiarowa tablica kwadratów n × n . Liczby w tablicy wielowymiarowej są znane jako składowe skalarne tensora lub po prostu jego składowe . Oznaczone są przez indeksy określające ich pozycję w tablicy, jako indeksy dolne i indeksy górne , po symbolicznej nazwie tensora. Na przykład, składowe tensora T rzędu 2 mogą być oznaczone T ij  , gdzie i oraz j są indeksami biegnącymi od 1 do n , lub również przez TI
j
. To, czy indeks jest wyświetlany jako indeks górny czy dolny, zależy od właściwości transformacji tensora, opisanych poniżej. Zatem podczas gdy T ij i TI
j
mogą być wyrażone jako macierze n przez n i są powiązane liczbowo przez żonglowanie indeksami , różnica w ich prawach transformacji wskazuje, że niewłaściwie byłoby ich dodawanie. Całkowita liczba indeksów wymaganych do jednoznacznej identyfikacji każdego składnika jest równa wymiarowi tablicy i nazywana jest porządkiem , stopniem lub rangą tensora. Jednak termin „ranga” ma ogólnie inne znaczenie w kontekście macierzy i tensorów.

Tak jak zmieniają się składowe wektora, gdy zmieniamy bazę przestrzeni wektorowej, składowe tensora również zmieniają się pod wpływem takiej transformacji. Każdy typ tensora jest wyposażony w prawo transformacji, które szczegółowo opisuje, w jaki sposób komponenty tensora reagują na zmianę bazy . Składniki wektora mogą reagować na dwa różne sposoby na zmianę bazy (patrz kowariancja i kontrawariancja wektorów ), gdzie nowe wektory bazy są wyrażane w kategoriach starych wektorów bazy jako,

Tutaj R j i są wpisami macierzy zmiany bazy, aw skrajnym prawym wyrażeniu znak sumowania został pominięty: jest to konwencja sumowania Einsteina , która będzie używana w tym artykule. Składowe v i wektora kolumnowego v przekształcają się z odwrotnością macierzy R ,

gdzie czapka oznacza komponenty w nowej podstawie. Nazywa się to kontrawariantnym prawem transformacji, ponieważ składowe wektora przekształcają się przez odwrotność zmiany bazy. Natomiast składowe w i , kowektora (lub wektora wierszowego), w transformują się samą macierzą R ,

Nazywa się to prawem transformacji kowariantnej , ponieważ składowe kowektora są przekształcane przez tę samą macierz, co macierz zmiany bazy. Składniki bardziej ogólnej transformacji tensorowej przez kombinację przekształceń kowariantnych i kontrawariantnych, z jednym prawem transformacji dla każdego indeksu. Jeśli macierz transformacji indeksu jest macierzą odwrotną transformacji bazowej, wówczas indeks nazywa się kontrawariantnym i jest umownie oznaczany indeksem górnym (indeksem górnym). Jeśli macierz transformacji indeksu jest samą transformacją bazową, to indeks nazywa się kowariantnym i jest oznaczony indeksem dolnym (indeksem dolnym).

Jako prosty przykład, macierz operatora liniowego w odniesieniu do bazy jest prostokątną tablicą, która przekształca się przy zmianie bazy macierzy o . Dla poszczególnych wpisów macierzy to prawo transformacji ma postać więc tensor odpowiadający macierzy operatora liniowego ma jeden indeks kowariantny i jeden indeks kontrawariantny: jest typu (1,1).

Kombinacje składowych kowariantnych i kontrawariantnych o tym samym indeksie pozwalają wyrazić geometryczne niezmienniki. Na przykład fakt, że wektor jest tym samym obiektem w różnych układach współrzędnych, można uchwycić za pomocą następujących równań, korzystając ze wzorów zdefiniowanych powyżej:

,

gdzie jest delta Kroneckera , która działa podobnie do macierzy jednostkowej i powoduje zmianę nazw indeksów ( w tym przykładzie j na k ). Wskazuje to na kilka cech notacji składowej: zdolność do dowolnego przestawiania terminów ( przemienność ), potrzebę używania różnych indeksów podczas pracy z wieloma obiektami w tym samym wyrażeniu, możliwość zmiany nazw indeksów oraz sposób, w jaki kontrawariant i tensory kowariantne łączą się w taki sposób, że wszystkie wystąpienia macierzy transformacji i jej odwrotności znoszą się, tak że wyrażenia takie jak mogą być natychmiast widoczne jako geometrycznie identyczne we wszystkich układach współrzędnych.

Podobnie operator liniowy, postrzegany jako obiekt geometryczny, w rzeczywistości nie zależy od podstawy: jest po prostu mapą liniową, która przyjmuje wektor jako argument i tworzy inny wektor. Prawo transformacji określające, jak macierz składowych operatora liniowego zmienia się wraz z bazą, jest zgodne z prawem transformacji dla wektora kontrawariantnego, tak że działanie operatora liniowego na wektor kontrawariantny jest reprezentowane we współrzędnych jako iloczyn macierzy ich odpowiednie reprezentacje współrzędnych. Oznacza to, że składniki są podane przez . Te składniki przekształcają się w sposób kontrawariantny, ponieważ

Prawo transformacji dla tensora porządku p + q z indeksami kontrawariantnymi p i indeksami kowariantnymi q jest zatem podane jako:

Tutaj indeksy z podstawami oznaczają składowe w nowych współrzędnych, a indeksy bez podstaw oznaczają składowe w starych współrzędnych. Mówi się, że taki tensor jest porządku lub typu ( p , q ) . Terminy „porządek”, „typ”, „ranga”, „wartościowość” i „stopień” są czasami używane dla tego samego pojęcia. W tym przypadku termin „zamówienie” lub „zamówienie całkowite” będzie używany dla całkowitego wymiaru tablicy (lub jej uogólnienie w innych definicjach), p + q w poprzednim przykładzie, a termin „typ” dla pary dającej liczba indeksów kontrawariantnych i kowariantnych. Tensor typu ( p , q ) jest również nazywany w skrócie a ( p , q ) -tensorem .

Ta dyskusja uzasadnia następującą formalną definicję:

Definicja. Tensor typu ( p , q ) jest przypisaniem tablicy wielowymiarowej

do każdej podstawy f = ( e 1 , ..., e n ) wystąpienia n -wymiarowej przestrzeni wektorowej taka, że jeśli zastosujemy zmianę podstawy

wtedy tablica wielowymiarowa podlega prawu transformacji

Definicja tensora jako wielowymiarowej tablicy spełniającej prawo transformacji wywodzi się z pracy Ricciego.

Równoważne określenia tensora wykorzystuje oświadczenia o ogólnym grupę liniową . Jest działanie w ogólnej grupy liniowego na zbiór wszystkich uporządkowanych zasad o w n -wymiarowej przestrzeni wektorowej. Jeżeli jest bazą uporządkowaną i macierzą odwracalną , to akcja jest dana przez

Niech F będzie zbiorem wszystkich uporządkowanych baz. Wtedy F jest główną przestrzenią jednorodną dla GL( n ). Niech W będzie przestrzenią wektorową i niech będzie reprezentacją GL( n ) na W (czyli homomorfizmem grupowym ). Wtedy tensor typu jest odwzorowaniem ekwiwariantnym . Równoważność oznacza tutaj, że

Kiedy jest reprezentacją tensorową ogólnej grupy liniowej, daje to zwykłą definicję tensorów jako tablic wielowymiarowych. Ta definicja jest często używana do opisywania tensorów na rozmaitościach i łatwo uogólniać na inne grupy.

Jako mapy wieloliniowe

Wadą definicji tensora przy użyciu podejścia macierzowego wielowymiarowego jest to, że z definicji nie wynika, że ​​zdefiniowany obiekt jest rzeczywiście bazowo niezależny, jak można oczekiwać od obiektu wewnętrznie geometrycznego. Chociaż można wykazać, że prawa transformacyjne rzeczywiście zapewniają niezależność od podstawy, czasami preferowana jest bardziej wewnętrzna definicja. Jedno podejście, które jest powszechne w geometrii różniczkowej, polega na definiowaniu tensorów względem ustalonej (skończenie wymiarowej) przestrzeni wektorowej V , którą zwykle uważa się za określoną przestrzeń wektorową o pewnym znaczeniu geometrycznym, taką jak przestrzeń styczna do rozmaitości. W tym ujęciu tensor typu ( p , q ) T jest definiowany jako odwzorowanie wieloliniowe ,

gdzie V jest odpowiednią przestrzenią dualną kowektorów, która jest liniowa w każdym ze swoich argumentów. Powyższe zakłada V jest przestrzenią liniową nad liczb rzeczywistych , . Mówiąc bardziej ogólnie, V można przejąć nad dowolnym polem F (np. liczbami zespolonymi ), przy czym F zastępuje jako współdziedzinę odwzorowań wieloliniowych.

Stosując wieloliniowe odwzorowanie T typu ( p , q ) do bazy { e j } dla V i kobazę kanoniczną { ε i } dla V ,

a ( p + q ) - można uzyskać tablicę wymiarową składników. Inny wybór bazy da różne składniki. Ale ponieważ T jest liniowe we wszystkich swoich argumentach, składniki spełniają prawo transformacji tensorowej używane w definicji tablicy wieloliniowej. Wielowymiarowa tablica składowych T tworzy zatem tensor zgodnie z tą definicją. Co więcej, taka tablica może być realizowana jako składowe pewnej mapy wieloliniowej T . To motywuje do oglądania map wieloliniowych jako wewnętrznych obiektów leżących u podstaw tensorów.

Postrzegając tensor jako odwzorowanie wieloliniowe, konwencjonalnie identyfikuje się podwójną dualność V ∗∗ przestrzeni wektorowej V , tj. przestrzeń funkcjonałów liniowych na dualnej przestrzeni wektorowej V , z przestrzenią wektorową V . Zawsze istnieje naturalna mapa liniowa od V do jej podwójnej podwójnej, podana przez obliczenie formy liniowej w V względem wektora w V . To odwzorowanie liniowe jest izomorfizmem w skończonych wymiarach i często jest wtedy celowe, aby zidentyfikować V z jego podwójnym dualem.

Korzystanie z produktów tensorowych

W przypadku niektórych zastosowań matematycznych czasami przydatne jest bardziej abstrakcyjne podejście. Można to osiągnąć definiując tensory jako elementy iloczynów tensorowych przestrzeni wektorowych, które z kolei są definiowane za pomocą uniwersalnej własności . Tensor typu ( p , q ) definiowany jest w tym kontekście jako element iloczynu tensorowego przestrzeni wektorowych,

Podstawa v I o V i podstawa w j o W naturalnie wywołać podstawa v ıwagowo j z produktu napinacz VW . Składowymi tensora T są współczynniki tensora względem bazy otrzymanej z bazy { e i } dla V i jej bazy dualnej { ε j } , tj.

Korzystając z własności iloczynu tensorowego, można wykazać, że składowe te spełniają prawo transformacji dla tensora typu ( p , q ) . Co więcej, uniwersalna własność iloczynu tensorowego daje zależność 1 do 1 między tensorami zdefiniowanymi w ten sposób a tensorami zdefiniowanymi jako odwzorowania wieloliniowe.

Ta korespondencja 1 do 1 może być zarchiwizowana w następujący sposób, ponieważ w przypadku skończenie wymiarowym istnieje kanoniczny izomorfizm między przestrzenią wektorową a jej podwójnym dualem:

Ostatnia linia wykorzystuje uniwersalną własność iloczynu tensorowego, że istnieje zgodność 1 do 1 między mapami z i .

Produkty tensorowe można definiować bardzo ogólnie – na przykład z wykorzystaniem dowolnych modułów w pierścieniu. W zasadzie można by zdefiniować „tensor” po prostu jako element dowolnego iloczynu tensorowego. Jednak literatura matematyczna zwykle rezerwuje termin tensor dla elementu iloczynu tensorowego dowolnej liczby kopii pojedynczej przestrzeni wektorowej V i jej dualnej, jak wyżej.

Tensory w nieskończonych wymiarach

Ta dyskusja na temat tensorów do tej pory zakłada skończoną wymiarowość rozpatrywanych przestrzeni, gdzie przestrzenie tensorów uzyskane przez każdą z tych konstrukcji są naturalnie izomorficzne . Konstrukcje przestrzeni tensorów na podstawie iloczynu tensorowego i odwzorowań wieloliniowych można uogólniać zasadniczo bez modyfikacji na wiązki wektorowe lub snopy koherentne . W nieskończenie wymiarowych przestrzeniach wektorowych nierównoważne topologie prowadzą do nierównoważnych pojęć tensora, a te różne izomorfizmy mogą lub nie, w zależności od tego, co dokładnie oznacza tensor (patrz topologiczny iloczyn tensora ). W niektórych zastosowaniach zamierzony jest iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta , których własności są najbardziej zbliżone do przypadku skończenie wymiarowego. Bardziej współczesny pogląd jest taki, że to struktura tensorów jako symetryczna monoidalna kategoria koduje ich najważniejsze właściwości, a nie konkretne modele tych kategorii.

Pola tensorowe

W wielu zastosowaniach, zwłaszcza w geometrii różniczkowej i fizyce, naturalne jest rozważanie tensora ze składowymi będącymi funkcjami punktu w przestrzeni. To była sceneria oryginalnej pracy Ricciego. We współczesnej terminologii matematycznej taki obiekt nazywa się polem tensorowym , często nazywanym po prostu tensorem.

W tym kontekście często wybierana jest podstawa współrzędnych dla przestrzeni wektorowej stycznej . Prawo przekształcenia można wtedy wyrazić w postaci pochodnych cząstkowych funkcji współrzędnych,

definiowanie transformacji współrzędnych,

Przykłady

Podstawowym przykładem odwzorowania, które można opisać jako tensor, jest iloczyn skalarny, który odwzorowuje dwa wektory na skalar. Bardziej złożonym przykładem jest tensor naprężenia Cauchy'ego T , który pobiera kierunkowy wektor jednostkowy v i odwzorowuje go na wektor naprężenia T ( v ) , który jest siłą (na jednostkę powierzchni) wywieraną przez materiał po ujemnej stronie płaszczyzna prostopadła do v względem materiału po dodatniej stronie płaszczyzny, co wyraża związek między tymi dwoma wektorami, pokazany na rysunku (po prawej). Produkt krzyż , gdzie dwa wektory są odwzorowane na trzecim, jest ściśle rzecz biorąc nie jest to tensor ponieważ zmienia swój znak w tych przemianach, które zmieniają orientację układu współrzędnych. Symboli antysymetryczne całkowicie jednak umożliwia wygodną obsługę produktu poprzecznym na jednakowo zorientowanych trójwymiarowych układów współrzędnych.

Ta tabela pokazuje ważne przykłady tensorów na przestrzeniach wektorowych i pól tensorowych na rozmaitościach. Tensory są klasyfikowane według ich typu ( n , m ) , gdzie n to liczba indeksów kontrawariantnych, m to liczba indeksów kowariantnych, a n + m to łączny rząd tensora. Na przykład forma dwuliniowa jest tym samym, co tensor (0, 2) ; iloczyn skalarny jest przykładem (0, 2) -tensor, ale nie wszystkie (0 2) -tensors są produktami wewnętrzne. We wpisie tabeli (0, M ) M oznacza wymiarowość podstawowej przestrzeni wektorowej lub rozmaitości, ponieważ dla każdego wymiaru przestrzeni potrzebny jest oddzielny indeks, aby wybrać ten wymiar, aby uzyskać maksymalnie kowariantny tensor antysymetryczny.

Przykładowe tensory na przestrzeniach wektorowych i pola tensorowe na rozmaitościach
m
0 1 2 3 m
n 0 Skalarny , np. krzywizna skalarna Kowektor , funkcjonał liniowy , 1-postać , np. moment dipolowy , gradient pola skalarnego Forma bilinear np iloczyn skalarny , kwadrupolowy chwili , metryka napinacz , Ricci krzywizny , 2-formy , forma symplektycznych 3-forma Np. moment ośmiopolowy Np. M -forma tj. forma objętości
1 Wektor euklidesowy Transformacja liniowa , delta Kroneckera Np. produkt krzyżowy w trzech wymiarach Np. tensor krzywizny Riemanna
2 Odwrotny tensor metryczny , dwuwektor , np. struktura Poissona Np. tensor elastyczności
n Wielowektorowy

Podnoszenie indeksu na ( n , m ) -tensorze daje ( n + 1, m − 1) -tensor; odpowiada to przesuwaniu się po przekątnej w dół i w lewo na stole. Symetrycznie obniżenie indeksu odpowiada przesuwaniu się po przekątnej w górę iw prawo po stole. Skurcz z górną o mniejszej indeksach ( n , m ) -tensor wytwarza ( n - 1, m - 1) -tensor; odpowiada to poruszaniu się po skosie w górę iw lewo na stole.

Orientacja określona przez uporządkowany zestaw wektorów.
Odwrócona orientacja odpowiada zanegowaniu produktu zewnętrznego.
Interpretacja geometryczna elementów stopnia n w rzeczywistej algebrze zewnętrznej dla n = 0 (punkt ze znakiem ), 1 (zorientowany odcinek lub wektor), 2 (zorientowany element płaszczyzny), 3 (zorientowana objętość). Zewnętrzny iloczyn n wektorów można zwizualizować jako dowolny n- wymiarowy kształt (np. n - równoległobok , n - elipsoida ); z wielkością ( hiperobjętość ) i orientacją określoną przez tę na jej n − 1- wymiarowej granicy i po której stronie znajduje się wnętrze.

Nieruchomości

Zakładając podstawę rzeczywistej przestrzeni wektorowej, np. układ współrzędnych w otaczającej przestrzeni, tensor może być reprezentowany jako zorganizowana wielowymiarowa tablica wartości liczbowych w odniesieniu do tej konkretnej podstawy. Zmiana podstawy przekształca wartości w tablicy w charakterystyczny sposób, który pozwala na zdefiniowanie tensorów jako obiektów podlegających temu zachowaniu transformacyjnemu. Na przykład istnieją niezmienniki tensorów, które muszą być zachowane przy każdej zmianie bazy, przez co tylko niektóre wielowymiarowe tablice liczb stają się tensorem. Porównaj to z tablicą reprezentującą niebędący tensorem, ponieważ znak zmienia się pod wpływem przekształceń zmieniających orientację.

Ponieważ składowe wektorów i ich dualne transformują się inaczej pod wpływem zmiany ich baz dualnych, istnieje prawo transformacji kowariantnej i/lub kontrawariantnej, które wiąże tablice, które reprezentują tensor w odniesieniu do jednej bazy i ten w odniesieniu do drugiej. . Liczby odpowiednio wektorów: n ( wskaźniki kontrawariantne ) i wektorów dualnych : m ( wskaźniki kowariantne ) na wejściu i wyjściu tensora określają typ (lub walencję ) tensora, pary liczb naturalnych ( n , m ) , które określają dokładną formę prawa przekształceń. ten rząd tensora jest sumą tych dwóch liczb.

Kolejność (również stopień lubrank ) tensora jest więc sumą rzędów jego argumentów plus rząd wynikowego tensora. Jest to również wymiar tablicy liczb potrzebnych do reprezentowania tensora w odniesieniu do określonej podstawy lub równoważnie liczby indeksów potrzebnych do oznaczenia każdego składnika w tej tablicy. Na przykład w ustalonej podstawie standardowa mapa liniowa, która odwzorowuje wektor na wektor, jest reprezentowana przez macierz (tablica dwuwymiarowa), a zatem jest tensorem drugiego rzędu. Prosty wektor może być reprezentowany jako tablica jednowymiarowa, a zatem jest tensorem pierwszego rzędu. Skalary są prostymi liczbami, a zatem są tensorami 0-go rzędu. W ten sposób tensor reprezentujący iloczyn skalarny, biorąc dwa wektory i dając w wyniku skalar, ma rząd2 + 0 = 2, taki sam jak tensor naprężeń, biorąc jeden wektor i zwracając inny1 + 1 = 2. Symbol -,mapujący dwa wektory na jeden wektor, miałby kolejność2 + 1 = 3.

Zbiór tensorów w przestrzeni wektorowej i jej dualizm tworzy algebrę tensorów , która pozwala na iloczyny dowolnych tensorów. Proste zastosowania tensorów rzędu 2 , które można przedstawić jako macierz kwadratową, można rozwiązać przez sprytne ułożenie transponowanych wektorów i zastosowanie zasad mnożenia macierzy, ale iloczyn tensorowy nie powinien być z tym mylony.

Notacja

Istnieje kilka systemów notacji, które służą do opisywania tensorów i wykonywania z nimi obliczeń.

rachunek Ricciego

Ricci rachunek jest nowoczesna formalizm oraz oznaczenie dla indeksów tensor: wskazanie wewnętrznych i zewnętrznych wyrobów , kowariancji i kontrawariancji , sumowanie z napinaczem składników, symetrii i antysymetrii i częściowych i covariant pochodnych .

Konwencja sumowania Einsteina

Konwencja Einstein podsumowanie zrezygnuje z pisania znaki sumowania , pozostawiając sumowanie niejawny. Dowolny powtarzający się symbol indeksu jest sumowany: jeśli indeks i zostanie użyty dwukrotnie w danym wyrazie wyrażenia tensorowego, oznacza to, że wyraz ma być zsumowany dla wszystkich i . W ten sposób można zsumować kilka odrębnych par indeksów.

Notacja graficzna Penrose'a

Notacja graficzna Penrose'a to notacja schematyczna, która zastępuje symbole tensorów kształtami, a ich indeksy liniami i krzywymi. Jest niezależny od elementów bazowych i nie wymaga symboli dla indeksów.

Notacja indeksu abstrakcyjnego

Notacja indeks abstrakcyjny to sposób tensorów zapisu tak, że indeksy nie są już myśleli jako numeryczne, ale raczej są wielomianami . Ten zapis oddaje wyrazistość indeksów i niezależność od podstawy notacji bezindeksowej.

Notacja bez komponentów

Komponent niefarmakologiczne tensorów zastosowań notacji, który podkreśla, że tensory nie opierają się na jakiejkolwiek podstawie, i jest definiowana w kategoriach produktu tensora przestrzeni wektorowej .

Operacje

Istnieje kilka operacji na tensorach, które ponownie tworzą tensor. Liniowy charakter tensora implikuje, że dwa tensory tego samego typu mogą być do siebie dodawane i że tensory mogą być mnożone przez skalar z wynikami analogicznymi do skalowania wektora . Na komponentach te operacje są po prostu wykonywane na komponentach. Operacje te nie zmieniają typu tensora; ale są też operacje, które dają tensor innego typu.

Produkt tensorowy

Produkt tensor trwa dwa tensorów, S i T , i tworzy nowy tensor, ST , których kolejność jest suma zamówień oryginalnych tensorów. W przypadku opisu odwzorowań wieloliniowych iloczyn tensorowy po prostu mnoży dwa tensory, tj

co ponownie tworzy mapę, która jest liniowa we wszystkich swoich argumentach. W przypadku składowych efektem jest pomnożenie składowych dwóch tensorów wejściowych parami, tj.

Jeśli S jest typu ( l , k ), a T jest typu ( n , m ) , to iloczyn tensorowy ST ma typ ( l + n , k + m ) .

Skurcz

Skrócenie tensora to operacja, która redukuje tensor typu ( n , m ) do tensora typu ( n − 1, m − 1) , którego ślad jest przypadkiem szczególnym. W ten sposób zmniejsza całkowity rząd tensora o dwa. Operacja jest osiągana przez zsumowanie składników, dla których jeden określony indeks kontrawariantny jest taki sam, jak jeden określony indeks kowariantny, w celu wytworzenia nowego składnika. Składniki, dla których te dwa indeksy są różne, są odrzucane. Na przykład, tensor (1, 1) może być skrócony do skalara poprzez . Gdzie suma jest ponownie dorozumiana. Gdy tensor (1, 1) jest interpretowany jako odwzorowanie liniowe, operacja ta nazywana jest trace .

Skrócenie jest często używane w połączeniu z iloczynem tensorowym, aby skrócić indeks z każdego tensora.

Skrócenie można również rozumieć, używając definicji tensora jako elementu iloczynu tensorowego kopii przestrzeni V z przestrzenią V , najpierw rozkładając tensor na liniową kombinację prostych tensorów, a następnie stosując czynnik z V do współczynnika od V . Na przykład tensor można zapisać jako kombinację liniową

Skrócenie T na pierwszej i ostatniej szczelinie jest wtedy wektorem

W przestrzeni wektorowej z iloczynem skalarnym (zwanym również metryką ) g termin skrócenie służy do usuwania dwóch kontrawariantnych lub dwóch kowariantnych indeksów przez utworzenie śladu z tensorem metrycznym lub jego odwrotnością. Na przykład (2, 0) -tensor może być skrócony do skalara (przy założeniu konwencji sumowania).

Podnoszenie lub obniżanie indeksu

Gdy przestrzeń wektorowa jest wyposażona w niezdegenerowaną formę dwuliniową (lub tensor metryczny, jak często się go nazywa w tym kontekście), można zdefiniować operacje, które przekształcają indeks kontrawariantny (górny) na indeks kowariantny (dolny) i odwrotnie. Tensor metryczny to (symetryczny) ( 0, 2) -tensor; możliwe jest zatem skrócenie górnego indeksu tensora z jednym z dolnych indeksów tensora metrycznego w produkcie. Daje to nowy tensor z taką samą strukturą indeksu jak poprzedni tensor, ale z niższym indeksem, ogólnie pokazanym w tej samej pozycji, co skrócony indeks górny. Ta operacja jest dość graficznie znana jako obniżanie indeksu .

I odwrotnie, można zdefiniować operację odwrotną i nazywa się to podnoszeniem indeksu . Jest to równoważne podobnemu skróceniu na iloczynie z (2, 0) -tensorem. Ten odwrotny tensor metryczny zawiera składniki, które są macierzą odwrotną do składników tensora metrycznego.

Aplikacje

Mechanika kontinuum

Ważnych przykładów dostarcza mechanika kontinuum . Naprężenia wewnątrz ciała stałego lub płynu są opisane przez pole tensorowe. Tensor naprężeń , a szczep napinacz są oba pola drugiego rzędu tensora i podobne w ogólnym liniowej materiału elastycznego według czwartego rzędu elastyczność tensora dziedzinie. Szczegółowo, tensor określający ilościowo naprężenie w trójwymiarowym obiekcie stałym ma komponenty, które można wygodnie przedstawić jako tablicę 3 × 3. Każda z trzech ścian sześciennego segmentu bryły o nieskończenie małej objętości jest poddana pewnej określonej sile. Składowe wektora siły są również trzy. Zatem do opisania naprężenia w tym nieskończenie małym segmencie w kształcie sześcianu wymagane są 3 × 3 lub 9 składowych. W granicach tej bryły znajduje się cała masa różnych wielkości naprężeń, z których każda wymaga 9 wielkości do opisania. Dlatego potrzebny jest tensor drugiego rzędu.

Jeśli określony element powierzchni wewnątrz materiału zostanie wyróżniony, materiał po jednej stronie powierzchni przyłoży siłę po drugiej stronie. Na ogół siła ta nie będzie prostopadła do powierzchni, ale będzie zależeć od orientacji powierzchni w sposób liniowy. Jest to opisane przez tensor typu (2, 0) w elastyczności liniowej , a dokładniej przez pole tensorowe typu (2, 0) , ponieważ naprężenia mogą się zmieniać w zależności od punktu.

Inne przykłady z fizyki

Typowe aplikacje to:

Zastosowania tensorów porządku > 2

Pojęcie tensora rzędu drugiego jest często utożsamiane z pojęciem macierzy. Tensory wyższego rzędu wychwytują jednak idee ważne w nauce i technice, co wykazano sukcesywnie w wielu dziedzinach w miarę ich rozwoju. Dzieje się tak np. w polu widzenia komputerowego , gdzie tensor trójogniskowy uogólnia macierz fundamentalną .

Dziedzina optyki nieliniowej zajmuje się badaniem zmian gęstości polaryzacji materiału pod wpływem ekstremalnych pól elektrycznych. Generowane fale polaryzacyjne są związane z generowaniem pól elektrycznych za pomocą nieliniowego tensora podatności. Jeżeli polaryzacja P nie jest liniowo proporcjonalna do pola elektrycznego E , ośrodek określa się jako nieliniowy . Z dobrym przybliżeniem (dla wystarczająco słabych pól, zakładając, że nie występują stałe momenty dipolowe), P jest określone przez szereg Taylora w E, którego współczynniki są nieliniowymi podatnościami:

Oto podatność liniowa, dająca efekt Pockelsa i generowanie drugiej harmonicznej oraz daje efekt Kerra . To rozwinięcie pokazuje, w jaki sposób tensory wyższego rzędu powstają naturalnie w przedmiocie.

Uogólnienia

Iloczyny tensorowe przestrzeni wektorowych

Przestrzenie wektorowe iloczynu tensorowego nie muszą być takie same i czasami elementy takiego ogólniejszego iloczynu tensorowego nazywane są „tensorami”. Na przykład, element przestrzeni iloczynu tensorowego VW jest „tensorem” drugiego rzędu w tym bardziej ogólnym sensie, a tensor rzędu d może być podobnie zdefiniowany jako element iloczynu tensorowego d różnych przestrzeni wektorowych. Tensor typu ( n , m ) , w sensie zdefiniowanym wcześniej, jest również tensorem rzędu n + m w tym bardziej ogólnym sensie. Pojęcie iloczynu tensorowego można rozszerzyć na dowolne moduły w pierścieniu .

Tensory w nieskończonych wymiarach

Pojęcie tensora można na wiele sposobów uogólnić do nieskończonych wymiarów . Po pierwsze, na przykład, jest przez produkt napinającej w przestrzeni Hilberta . Innym sposobem uogólnienia idei tensora, powszechnej w analizie nieliniowej , jest definicja odwzorowań wieloliniowych, gdzie zamiast używania skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych i ich dualności algebraicznych , stosuje się nieskończenie wymiarowe przestrzenie Banacha i ich ciągłe dualności . Tensory żyją więc w sposób naturalny na rozmaitościach Banacha i rozmaitościach Frécheta .

Gęstości tensorów

Załóżmy, że jednorodny ośrodek wypełnia R 3 , tak że gęstość ośrodka jest opisana przez pojedynczą wartość skalarną ρ w kg m- 3 . Masę, w kg, regionu Ω uzyskuje się przez pomnożenie ρ przez objętość regionu Ω lub równoważne całkowanie stałej ρ w regionie:

gdzie współrzędne kartezjańskie xyz są mierzone wm. Jeśli jednostki długości zostaną zmienione na cm, to wartości liczbowe funkcji współrzędnych muszą zostać przeskalowane o współczynnik 100:

Liczbową wartość gęstości ρ należy również przekształcić o, aby skompensować, tak aby liczbowa wartość masy w kg była nadal podana przez całkę z . Tak więc (w jednostkach kg cm- 3 ).

Mówiąc ogólniej, jeśli współrzędne kartezjańskie xyz przechodzą transformację liniową, to wartość liczbowa gęstości ρ musi się zmienić o współczynnik odwrotności wartości bezwzględnej wyznacznika transformacji współrzędnych, tak aby całka pozostała niezmienna o zmiana formuły zmiennych dla całkowania. Taka wielkość, która skaluje się o odwrotność wartości bezwzględnej wyznacznika mapy przejścia współrzędnych nazywamy gęstością skalarną . Aby zamodelować niestałą gęstość, ρ jest funkcją zmiennych xyz ( pole skalarne ), a przy krzywoliniowej zmianie współrzędnych przekształca się o odwrotność jakobianu zmiany współrzędnych. Aby uzyskać więcej na temat wewnętrznego znaczenia, zobacz Gęstość na rozmaitości .

Gęstość tensora przekształca się jak tensor pod zmianą współrzędnych, z tą różnicą, że dodatkowo pobiera czynnik wartości bezwzględnej wyznacznika przejścia współrzędnych:

Tutaj w nazywa się wagą. Ogólnie każdy tensor pomnożony przez potęgę tej funkcji lub jej wartość bezwzględną nazywamy gęstością tensora lub tensorem ważonym. Przykład gęstości napinającej jest gęstość prądu od elektromagnetyzmu .

W ramach transformacji afinicznej współrzędnych, tensor przekształca się przez liniową część samej transformacji (lub jej odwrotność) na każdym indeksie. Pochodzą one z racjonalnych reprezentacji ogólnej grupy liniowej. Nie jest to jednak najogólniejsze prawo transformacji liniowej, jakie może mieć taki obiekt: gęstości tensorowe są nieracjonalne, ale wciąż są półprostymi reprezentacjami. Kolejna klasa przekształceń pochodzi z logarytmicznej reprezentacji ogólnej grupy liniowej, redukowalnej, ale nie półprostej reprezentacji, składającej się z ( x , y ) ∈ R 2 z prawem transformacji

Obiekty geometryczne

Prawo transformacji dla tensora zachowuje się jak funktor w kategorii dopuszczalnych układów współrzędnych, w ogólnych przekształceniach liniowych (lub innych przekształceniach w ramach pewnej klasy, takich jak lokalne dyfeomorfizmy ). To sprawia, że ​​tensor jest szczególnym przypadkiem obiektu geometrycznego, w sens techniczny, że jest to funkcja układu współrzędnych przekształcającego się funkcjonalnie pod wpływem zmian współrzędnych. Przykładami obiektów podlegających ogólniejszym prawom transformacji są dżety i, bardziej ogólnie, naturalne wiązki .

Spinory

Podczas zmiany z jednej bazy ortonormalnej (zwanej ramą ) na inną przez obrót, składowe tensora przekształcają się o ten sam obrót. Ta transformacja nie zależy od drogi przebytej przez przestrzeń kadrów. Jednak przestrzeń ram nie jest po prostu połączona (patrz orientacja splątania i sztuczka z płytami ): w przestrzeni ramek są ciągłe ścieżki o tych samych konfiguracjach początku i końca, które nie są odkształcalne jedna w drugą. Możliwe jest dołączenie dodatkowego dyskretnego niezmiennika do każdej ramki, która zawiera tę zależność od ścieżki, i która okazuje się (lokalnie) mieć wartości ±1. Spinor jest obiektem, który przekształca jak tensora pod obrotów w ramce, oprócz ewentualnego znakiem, która jest określona przez wartość dyskretnego niezmienne.

Krótko mówiąc, spinory są elementami reprezentacji spinowej grupy rotacyjnej, podczas gdy tensory są elementami jej reprezentacji tensorowych . Inne grupy klasyczne mają reprezentacje tensorowe, a więc także tensory kompatybilne z grupą, ale wszystkie niezwarte grupy klasyczne mają również nieskończenie wymiarowe reprezentacje unitarne.

Historia

Koncepcje późniejszej analizy tensorowej powstały z prac Carla Friedricha Gaussa w geometrii różniczkowej , a na sformułowanie duży wpływ miała teoria form algebraicznych i niezmienników rozwinięta w połowie XIX wieku. Samo słowo „tensor” zostało wprowadzone w 1846 roku przez Williama Rowana Hamiltona, aby opisać coś innego niż to, co obecnie oznacza tensor. Współczesne zastosowanie wprowadził Woldemar Voigt w 1898 roku.

Rachunek tensorowy został opracowany około 1890 roku przez Gregorio Ricci-Curbastro pod tytułem absolutny rachunek różniczkowy i pierwotnie przedstawiony przez Ricci-Curbastro w 1892 roku. Został udostępniony wielu matematykom dzięki publikacji Ricci-Curbastro i Tullio Levi-Civita 's 1900 tekst klasyczny Zastosowania Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs (Metody bezwzględnego rachunku różniczkowego i ich zastosowania).

W 20 wieku, przedmiotem stał się znany jako tensor analizy i osiągnąć szerszą akceptację z wprowadzeniem Einstein „s teorii względności , około 1915. Ogólna teoria względności jest sformułowane całkowicie w języku tensorów. Einstein dowiedział się o nich z wielkim trudem od geometra Marcela Grossmanna . Następnie Levi-Civita zainicjował korespondencję z Einsteinem, aby poprawić błędy popełnione przez Einsteina podczas korzystania z analizy tensorowej. Korespondencja trwała w latach 1915-17 i charakteryzowała się wzajemnym szacunkiem:

Podziwiam elegancję twojej metody liczenia; musi być przyjemnie jeździć po tych polach na koniu prawdziwej matematyki, podczas gdy podobni do nas muszą mozolnie przedzierać się pieszo.

—  Albert Einstein

Stwierdzono również, że tensory są przydatne w innych dziedzinach, takich jak mechanika kontinuum . Niektóre dobrze znane przykłady tensorów w geometrii różniczkowej to formy kwadratowe, takie jak tensory metryczne i tensor krzywizny Riemanna . Zewnętrzny algebra od Hermann Grassmann , od połowy XIX wieku, jest sama teoria tensor i bardzo geometryczny, ale to było trochę czasu, zanim to było widać, z teorii różniczkowych formach , jak w naturalny sposób zunifikowany z tensor rachunku. Dzieło Élie Cartana uczyniło formy różniczkowe jednym z podstawowych rodzajów tensorów stosowanych w matematyce.

Od około lat 20. XX w. zdano sobie sprawę, że tensory odgrywają podstawową rolę w topologii algebraicznej (na przykład w twierdzeniu Künnetha ). Odpowiednio, w wielu gałęziach algebry abstrakcyjnej , szczególnie w algebrze homologicznej i teorii reprezentacji, działają różne typy tensorów . Multilinear algebra mogą być rozwijane w ogólności większy niż dla skalarów pochodzących z pola . Na przykład skalary mogą pochodzić z pierścienia . Ale teoria jest wtedy mniej geometryczna, a obliczenia bardziej techniczne i mniej algorytmiczne. Tensory są uogólniane w ramach teorii kategorii za pomocą pojęcia kategorii monoidalnej od lat 60. XX wieku.

Zobacz też

Podstawowy

Aplikacje

Uwagi

Bibliografia

Konkretny

Ogólny

Zewnętrzne linki