Zasada mocy - Power rule

Część serii artykułów o
Rachunek różniczkowy
Twierdzenie podstawowe integralna reguła Leibniza Granice funkcji Ciągłość Twierdzenie o wartości średniej Twierdzenie Rolle'a
Mechanizm różnicowy Definicje Pochodna  ( uogólnienia ) Mechanizm różnicowy nieskończenie mały funkcji całkowity Koncepcje Notacja różniczkowa Druga pochodna Niejawne zróżnicowanie Różnicowanie logarytmiczne Powiązane stawki Twierdzenie Taylora Zasady i tożsamości Suma Produkt Łańcuch Moc Iloraz Zasada L'Hôpital Odwrotność Generał Leibniz Formuła Faà di Bruno Reynoldsa
Całka Listy całek Transformacja całkowa Definicje Pochodna pierwotna Całka  ( niewłaściwa ) Całka Riemanna Integracja Lebesgue'a Integracja konturu Całka funkcji odwrotnych Integracja przez Części Dyski Cylindryczne muszle Podstawienie  ( trygonometryczne , Weierstrassa , Eulera ) Wzór Eulera Frakcje częściowe Zmiana kolejności Formuły redukcyjne Różniczkowanie pod znakiem całkowym Algorytm Richa
Seria Geometryczny  ( arytmetyczno-geometryczny ) Harmoniczny Zmienny Moc Dwumianowy Taylor Testy konwergencji Limit sumy (test terminowy) Stosunek Źródło Całka Bezpośrednie porównanie Porównanie limitów Seria naprzemienna Kondensacja Cauchy'ego Dirichlet Abel
Wektor Gradient Rozbieżność Kędzior Laplace'a Kierunkowa pochodna Tożsamości Twierdzenia Gradient Warzywa Stokesa Rozbieżność uogólniony Stokes
Wiele zmiennych Formalizmy Matryca Napinacz Zewnętrzny Geometryczny Definicje Częściowa pochodna Wielokrotna całka Całka liniowa Całka powierzchniowa Całka objętości Jakobian heski
Specjalistyczne Frakcyjny Maliavin Stochastyczny Wariacje
Różnorodny Wstępny rachunek różniczkowy Historia Słowniczek Lista tematów Pszczoła integracyjna Analiza
v T mi

W rachunku The zasada zasilania służy do odróżnienia funkcje postaci , ilekroć jest liczbą rzeczywistą. Ponieważ różniczkowanie jest operacją liniową na przestrzeni funkcji różniczkowalnych, wielomiany można również różniczkować za pomocą tej reguły. Reguła potęgowa leży u podstaw szeregu Taylora, ponieważ wiąże szereg potęgowy z pochodnymi funkcji . ${\ Displaystyle f (x) = x ^ {r}}$${\ Displaystyle r}$

Stwierdzenie zasady władzy

Niech będzie funkcją satysfakcjonującą dla wszystkich , z . Następnie, ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle f (x) = x ^ {r}}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle r \ w \ mathbb {R} }$

${\ Displaystyle f '(x) = rx ^ {r-1} \,.}$

Reguła władzy dla integracji stanowi, że:

${\ Displaystyle \ int \! x ^ {r} \ dx = {\ Frac {x ^ {r + 1}} {r + 1}} + C}$

dla dowolnej liczby rzeczywistej . Można to wyprowadzić, odwracając regułę mocy w celu zróżnicowania. ${\displaystyle r\neq -1}$

Dowody

Dowód dla prawdziwych wykładników

Na początek powinniśmy wybrać roboczą definicję wartości , gdzie jest dowolną liczbą rzeczywistą. Chociaż możliwe jest zdefiniowanie wartości jako granicy ciągu potęg wymiernych, które zbliżają się do potęgi niewymiernej, ilekroć napotykamy taką potęgę, lub jako najmniejszą górną granicę zbioru potęg wymiernych mniejszych niż dana potęga, ten rodzaj definicja nie podlega zróżnicowaniu. Dlatego lepiej jest używać definicji funkcjonalnej, którą zwykle przyjmuje się dla wszystkich wartości , gdzie jest naturalną funkcją wykładniczą i jest liczbą Eulera . Po pierwsze, możemy wykazać, że pochodna is . ${\ Displaystyle f (x) = x ^ {r}}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle x ^ {r} = \ exp (r \ ln x) = e ^ {r \ ln x}}$${\displaystyle x>0}$${\displaystyle \exp}$${\displaystyle e}$${\ Displaystyle f (x) = e ^ {x}}$${\ Displaystyle f '(x) = e ^ {x}}$

Jeśli , to , gdzie jest funkcją logarytmu naturalnego , odwrotną funkcją funkcji wykładniczej, jak zademonstrował Euler. Ponieważ te dwie ostatnie funkcje są równe dla wszystkich wartości , ich pochodne są również równe, ilekroć istnieje którakolwiek pochodna, więc mamy, zgodnie z regułą łańcucha , ${\ Displaystyle f (x) = e ^ {x}}$${\ Displaystyle \ ln (f (x)) = x}$${\ Displaystyle \ ln }$${\displaystyle x>0}$

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {f (x)}} \ cdot f '(x) = 1}$

lub , zgodnie z wymaganiami. Dlatego stosując zasadę łańcucha do , widzimy, że ${\ Displaystyle f '(x) = f (x) = e ^ {x}}$${\ Displaystyle f (x) = e ^ {r \ ln x}}$

${\ Displaystyle f '(x) = {\ Frac {r} {x}} e ^ {r \ ln x} = {\ Frac {r} {x}} x ^ {r}}$

co upraszcza . ${\ Displaystyle rx ^ {r-1}}$

Kiedy możemy użyć tej samej definicji z , gdzie teraz mamy . To z konieczności prowadzi do tego samego rezultatu. Zauważ, że ponieważ nie ma konwencjonalnej definicji, gdy nie jest liczbą wymierną, niewymierne funkcje potęgowe nie są dobrze zdefiniowane dla ujemnych podstaw. Ponadto, ponieważ potęgi wymierne -1 z parzystymi mianownikami (w najniższych kategoriach) nie są liczbami rzeczywistymi, wyrażenia te mają wartość rzeczywistą tylko dla potęg wymiernych z nieparzystymi mianownikami (w najniższych kategoriach). ${\displaystyle x<0}$${\ Displaystyle x ^ {r} = ((-1) (-x)) ^ {r} = (-1) ^ {r} (-x) ^ {r}}$${\displaystyle -x>0}$${\ Displaystyle (-1) ^ {r}}$${\ Displaystyle r}$

Wreszcie, ilekroć funkcja jest różniczkowalna w , granica definiująca pochodną wynosi: ${\displaystyle x=0}$

${\ Displaystyle \ lim _ {h \ do 0} {\ Frac {h ^ {r} -0 ^ {r}} {h}}}$

co daje 0 tylko wtedy, gdy jest liczbą wymierną z nieparzystym mianownikiem (w najniższych kategoriach) i 1, gdy r = 1. Dla wszystkich innych wartości r wyrażenie nie jest dobrze zdefiniowane dla , jak omówiono powyżej, lub nie jest liczba rzeczywista, więc granica nie istnieje jako pochodna o wartości rzeczywistej. W dwóch przypadkach, które istnieją, wartości zgadzają się z wartością istniejącej reguły mocy równej 0, więc nie trzeba robić wyjątku. ${\ Displaystyle r}$${\displaystyle r>1}$${\ Displaystyle h ^ {r}}$${\ Displaystyle h<0}$

Wyłączenie wyrażenia${\displaystyle 0^{0}}$ (przypadek x = 0) z naszego schematu potęgowania wynika z faktu, że funkcja nie ma granicy w punkcie (0,0), ponieważ zbliża się do 1, gdy x zbliża się do 0, natomiast zbliża się do 0, gdy y zbliża się do 0 W związku z tym przypisanie mu jakiejkolwiek szczególnej wartości byłoby problematyczne, ponieważ wartość ta byłaby sprzeczna z jednym z dwóch przypadków zależnych od zastosowania. Tradycyjnie jest to niezdefiniowane. ${\ Displaystyle f (x, y) = x ^ {y}}$${\displaystyle x^{0}}$${\ Displaystyle 0 ^ {y}}$

Dowody dla niezerowych wykładników całkowitych

Dowód przez indukcję (dodatnie liczby całkowite)

Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą. Wymagane jest udowodnienie, że${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dx}} x ^ {n} = nx ^ {n-1}.}$

Kiedy , W związku z tym obowiązuje zasada podstawowa. ${\displaystyle n=1}$${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dx}} x ^ {1} = \ lim _ {h \ do 0} {\ Frac {(x + h) -x} {h}} = 1 = 1 x ^ { 1-1}.}$

Załóżmy, że instrukcja obowiązuje dla pewnej dodatniej liczby całkowitej k , tj.${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dx}} x ^ {k} = kx ^ {k-1}.}$

Kiedy ,${\displaystyle n=k+1}$${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dx}} x ^ {k + 1} = {\ Frac {d} {dx}} (x ^ {k} \ cdot x) = x ^ {k} \ cdot { \frac {d}{dx}}x+x\cdot {\frac {d}{dx}}x^{k}=x^{k}+x\cdot kx^{k-1}=x^{ k}+kx^{k}=(k+1)x^{k}=(k+1)x^{(k+1)-1}}$

Zgodnie z zasadą indukcji matematycznej zdanie jest prawdziwe dla wszystkich dodatnich liczb całkowitych n .

Dowód przez twierdzenie dwumianowe (liczby całkowite dodatnie)

Niech , gdzie${\ Displaystyle y = x ^ {n}}$${\ Displaystyle n \ w \ mathbb {N}}$

Następnie ${\ Displaystyle {\ Frac {dy} {dx}} = \ Lim _ {h \ do 0} {\ Frac {(x + h) ^ {n}-x ^ {n}} {h}}}$ ${\ Displaystyle = \ lim _ {h \ do 0} {\ Frac {1} {h}} \ lewo [x ^ {n} + {\ Binom {n} {1}} x ^ {n-1} h + {\binom {n}{2}}x^{n-2}h^{2}+...+{\binom {n}{n}}h^{n}-x^{n}\right ]}$

${\ Displaystyle = \ lim _ {h \ do 0} \ lewo [{\ Binom {n} {1}} x ^ {n-1} + {\ Binom {n} {2}} x ^ {n-2 }h+...+{\binom {n}{n}}h^{n-1}\right]}$

${\ Displaystyle = nx ^ {n-1}}$

Uogólnienie do ujemnych wykładników całkowitych

Dla dodatnią liczbę całkowitą N , nie mówiąc , tak że m jest dodatnią liczbą całkowitą. Stosując zasadę wzajemności ,${\displaystyle n=-m}$${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dx}} x ^ {n} = {\ Frac {d} {dx}} \ lewo ({\ Frac {1} {x ^ {m}}} \ prawej) = {\frac {-{\frac {d}{dx}}x^{m}}{(x^{m})^{2}}}=-{\frac {mx^{m-1}}{ x^{2m}}}=-mx^{-m-1}=nx^{n-1}.}$

Podsumowując, dla dowolnej niezerowej liczby całkowitej ,${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dx}} x ^ {n} = nx ^ {n-1}.}$

Uogólnienie na racjonalne wykładniki

Po udowodnieniu, że reguła potęgi obowiązuje dla wykładników całkowitych, reguła może zostać rozszerzona na wykładniki wymierne.

Uogólnianie indywidualnych przypadków

1. Niech , gdzie${\ Displaystyle y = x ^ {\ Frac {1} {n}} = x ^ {m}}$${\ Displaystyle n \ w \ mathbb {N}}$

Następnie ${\ Displaystyle y ^ {n} = x}$

Zgodnie z zasadą łańcucha otrzymujemy${\ Displaystyle ny ^ {n-1} \ cdot {\ Frac {dy} {dx}} = 1}$

Zatem, ${\ Displaystyle {\ Frac {dy} {dx}} = {\ Frac {1} {ny ^ {n-1}}} = {\ Frac {1} {n \ lewo (x ^ {\ Frac {1} {n}}\right)^{n-1}}}={\frac {1}{n}}x^{{\frac {1}{n}}-1}=mx^{m-1} }$

2. Niech , gdzie , aby${\ Displaystyle y = x ^ {\ Frac {n} {m}} = x ^ {p}}$${\ Displaystyle m, n \ w \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle p \ w \ mathbb {Q} ^ {+}}$

Przez reguły łańcucha ,${\ Displaystyle {\ Frac {dy} {dx}} = {\ Frac {d} {dx}} \ po lewej (x ^ {\ Frac {1} {m}} \ po prawej) ^ {n} = n \ po lewej (x^{\frac {1}{m}}\right)^{n-1}\cdot {\frac {1}{m}}x^{{\frac {1}{m}}-1} ={\frac {n}{m}}x^{{\frac {n}{m}}-1}=px^{p-1}}$

3. Niech , gdzie i${\ Displaystyle y = x ^ {q}}$${\displaystyle q=-p}$${\ Displaystyle p \ w \ mathbb {Q} ^ {+}}$

Używając reguły łańcucha i reguły wzajemności , mamy${\ Displaystyle {\ Frac {dy} {dx}} = {\ Frac {d} {dx}} \ po lewej ({\ Frac {1} {x}} \ po prawej) ^ {p} = p \ po lewej ({ \frac {1}{x}}\right)^{p-1}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=-px^{-p-1 }=qx^{q-1}}$

Z powyższych wyników możemy wywnioskować, że gdy r jest liczbą wymierną ,${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dx}} x ^ {r} = rx ^ {r-1}.}$

Dowód przez niejawne różnicowanie

Prostsze uogólnienie reguły potęgi na racjonalne wykładniki wykorzystuje zróżnicowanie niejawne.

Niech , gdzie tak . ${\ Displaystyle y = x ^ {r} = x ^ {p/q}}$${\ Displaystyle p, q \ w \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle r \ w \ mathbb {Q}}$

Następnie,

${\ Displaystyle y ^ {q} = x ^ {p}}$

${\ Displaystyle qy ^ {q-1} {\ Frac {dy} {dx}} = px ^ {p-1}}$

Rozwiązując dla , ${\displaystyle dy/dx}$

${\ Displaystyle {\ Frac {dy} {dx}} = {\ Frac {px ^ {p-1}} {qy ^ {q-1}}}.}$

Ponieważ , ${\ Displaystyle y = x ^ {p/q}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dx}} x ^ {p/q} = {\ Frac {px ^ {p-1}} {qx ^ {pp/q}}}.}$

Stosowanie praw wykładników,

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dx}} x ^ {p/q} = {\ Frac {p} {q}} x ^ {p-1} x ^ {-p + p / q} = { \frac {p}{q}}x^{p/q-1}.}$

Tak więc, pozwalając , możemy wywnioskować, że kiedy jest liczbą wymierną. ${\displaystyle r=p/q}$${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dx}} x ^ {r} = rx ^ {r-1}}$${\ Displaystyle r}$

Historia

Zasada potęgowania całek została po raz pierwszy zademonstrowana w formie geometrycznej przez włoskiego matematyka Bonaventurę Cavalieri na początku XVII wieku dla wszystkich dodatnich wartości całkowitych , aw połowie XVII wieku dla wszystkich potęg racjonalnych przez matematyków Pierre de Fermat , Evangelista Torricelli , Gilles de Roberval , John Wallis i Blaise Pascal , z których każdy pracuje niezależnie. Były to wówczas traktaty o wyznaczaniu pola między wykresem wymiernej funkcji potęgowej a osią poziomą. Jednak z perspektywy czasu uważa się, że jest to pierwsze odkryte ogólne twierdzenie rachunku różniczkowego. Zasada potęgi dla różniczkowania została wyprowadzona przez Isaaca Newtona i Gottfrieda Wilhelma Leibniza , każdy niezależnie, dla funkcji potęgi wymiernej w połowie XVII wieku, którzy następnie wykorzystali ją do wyprowadzenia zasady potęgi dla całek jako operacji odwrotnej. Odzwierciedla to konwencjonalny sposób przedstawiania powiązanych twierdzeń we współczesnych podręcznikach rachunku podstawowego, gdzie reguły różniczkowania zwykle poprzedzają reguły całkowania. ${\displaystyle {\displaystyle n}}$

Chociaż obaj stwierdzili, że ich reguły, demonstrowane tylko dla wielkości racjonalnych, działają dla wszystkich rzeczywistych potęg, żaden z nich nie szukał na to dowodu, ponieważ w tamtym czasie zastosowania teorii nie dotyczyły tak egzotycznych funkcji potęgi, ani kwestii zbieżności nieskończone serie były wciąż niejednoznaczne.

Wyjątkowy przypadek został rozwiązany przez flamandzkiego jezuitę i matematyka Grégoire de Saint-Vincent i jego ucznia Alfonsa Antonio de Sarasa w połowie XVII wieku, którzy wykazali, że związana z nim całka określona ${\displaystyle r=-1}$

${\ Displaystyle \ int _ {1} ^ {x} {\ Frac {1} {t}} \ dt}$

reprezentująca obszar pomiędzy prostokątną hiperbolą a osią x, była funkcją logarytmiczną, której podstawę ostatecznie odkryto jako liczbę transcendentalną e . Współczesnym zapisem wartości tej całki oznaczonej jest , logarytm naturalny. ${\displaystyle xy=1}$${\ Displaystyle \ ln (x)}$

Uogólnienia

Złożone funkcje zasilania

Jeśli weźmiemy pod uwagę funkcje postaci, w której jest dowolną liczbą zespoloną i jest liczbą zespoloną w szczelinie zespolonej płaszczyzny, która wyklucza punkt rozgałęzienia 0 i wszelkie połączone z nim rozgałęzienie i użyjemy konwencjonalnej definicji wielowartościowej , to jest to proste pokaż, że na każdej gałęzi logarytmu zespolonego ten sam argument użyty powyżej daje podobny wynik: . ${\ Displaystyle f (z) = z ^ {c}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle z}$${\ Displaystyle z ^ {c}: = \ exp (c \ ln z)}$${\ Displaystyle f '(z) = {\ Frac {c} {z}} \ exp (c \ ln z)}$

Ponadto, jeśli jest liczbą całkowitą dodatnią, to nie ma potrzeby cięcia gałęzi: można zdefiniować , lub zdefiniować dodatnie potęgi całkowe przez mnożenie zespolone i wykazać, że dla wszystkich zespolonych , z definicji pochodnej i twierdzenia dwumianowego . ${\displaystyle c}$${\ Displaystyle f (0) = 0}$${\ Displaystyle f '(z) = cz ^ {c-1}}$${\displaystyle z}$

Jednak ze względu na wielowartościowy charakter złożonych funkcji potęgowych dla wykładników niecałkowitych, należy uważać na określenie gałęzi używanego logarytmu zespolonego. Ponadto bez względu na to, która gałąź jest używana, jeśli nie jest liczbą całkowitą dodatnią, funkcja nie jest różniczkowalna przy 0. ${\displaystyle c}$

Bibliografia

Dalsza lektura

• Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; i Edwards, Bruce H. (2003). Rachunek pojedynczej zmiennej: wczesne funkcje transcendentalne (wydanie trzecie). Firma Houghton Mifflin. ISBN  0-618-22307-X .