Moduł generowany skończenie - Finitely generated module

W matematyce , o skończenie generowany moduł to moduł , który ma skończoną agregatu prądotwórczego . Skończenie generowany moduł na pierścieniu R może być również nazywany skończonym modułem R , skończonym modułem nad R lub modułem typu skończonego .

Pojęcia pokrewne obejmują skończenie skojarzeniu modułów , skończenie prezentowanych modułów , skończenie związanych modułów i spójnych modułów , z których wszystkie są zdefiniowane poniżej. W pierścieniu Noetherian pokrywają się koncepcje nieskończenie generowanych, nieskończenie przedstawionych i spójnych modułów.

Skończenie wygenerowany moduł nad ciałem jest po prostu skończenie wymiarową przestrzenią wektorową , a skończenie wygenerowany moduł nad liczbami całkowitymi to po prostu skończenie wygenerowana grupa abelowa .

Definicja

Lewy R -module M jest skończenie generowany, jeżeli istnieją ₁ , ₂ , ..., _n z M, tak, że dla każdego x w M istnieją R ₁ , R ₂ , ..., r _N w R gdzie x = r ₁ a ₁ + r ₂ a ₂ + ... + r _n a _n .

Zestaw { ₁ , ₂ , ..., _n } określa się jako zespół prądotwórczy z M w tym przypadku. Skończony zespół prądotwórczy nie musi być podstawą, ponieważ nie muszą być liniowo niezależne nad R . Prawdą jest, że: M jest generowane w sposób skończony wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje suriektywna R- liniowa mapa :

${\ displaystyle R ^ {n} \ do M}$

dla pewnego n ( M jest ilorazem swobodnego modułu o skończonej randze.)

Jeśli zbiór S generuje moduł, który jest generowany skończenie, to istnieje skończony zbiór generujący, który jest zawarty w S , ponieważ tylko skończenie wiele elementów w S jest potrzebnych do wyrażenia dowolnego skończonego zestawu generującego, a te skończone elementy tworzą zestaw generujący . Jednak może się zdarzyć, że S nie zawiera żadnego skończonego zestawu generującego o minimalnej liczności . Na przykład {1} i zbiór liczb pierwszych generują zbiory postrzegane jako -moduł, ale zestaw generujący utworzony z liczb pierwszych ma co najmniej dwa elementy. ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

W przypadku, gdy moduł M jest przestrzeń wektora przez pola B oraz zespół prądotwórczy liniowo niezależne , n jest dobrze zdefiniowane i jest określany jako wymiar w M ( dobrze zdefiniowane oznacza, że każdy liniowy niezależny zespół prądotwórczy jest n elementów: to jest twierdzenie o wymiarach dla przestrzeni wektorowych ).

Każdy moduł jest sumą skierowanego zbioru jego skończenie generowanych podmodułów.

Moduł M jest skończenie generowany tylko wtedy, gdy każdy wzrost łańcucha M _i podmodułów ze związków M stabilizuje: to znaczy, nie jest pewne i tak, że M _i = K . Ten fakt z lematem Zorna oznacza, że ​​każdy niezerowy, skończenie generowany moduł dopuszcza maksymalne podmoduły . Jeśli jakikolwiek rosnący łańcuch podmodułów ustabilizuje się (tj. Dowolny podmoduł jest generowany w sposób skończony), wówczas moduł M nazywany jest modułem Noetherian .

Przykłady

• Jeśli moduł jest generowany przez jeden element, nazywany jest modułem cyklicznym .
• Niech R będzie całką dziedziną, w której K będzie polem ułamków. Następnie każdy skończenie generowane R -submodule I o K jest ułamkowy idealnym , to znaczy istnieją pewne niezerowe R w R w taki sposób, rI jest zawarta w R . Rzeczywiście, można przyjąć R być produktem mianownik generatorów I . Jeśli R jest Noetherian, to każdy ułamkowy ideał powstaje w ten sposób.
• Skończenie generowane moduły na pierścieniu liczb całkowitych Z pokrywają się z nieskończenie generowanymi grupami abelowymi . Są one całkowicie klasyfikowane przez twierdzenie o strukturze , przyjmując Z jako główną dziedzinę idealną.
• Skończenie generowane (powiedzmy po lewej) moduły nad pierścieniem rozdzielającym są dokładnie skończonymi wymiarami przestrzeni wektorowej (nad pierścieniem rozdzielającym).

Kilka faktów

Każdy homomorficzny obraz nieskończenie generowanego modułu jest generowany w sposób skończony. Ogólnie rzecz biorąc, podmoduły nieskończenie generowanych modułów nie muszą być generowane w sposób skończony. Jako przykład rozważmy pierścień R  =  Z [ X ₁ , X ₂ , ...] wszystkich wielomianów w policzalnych wielu zmiennych. Sam R jest skończonym R- modułem (z {1} jako zestawem generującym). Rozważmy podmoduł K składający się ze wszystkich tych wielomianów z zerowym członem stałym. Ponieważ każdy wielomian zawiera tylko skończenie wiele terminów, których współczynniki są niezerowe, R -moduł K nie jest generowany w sposób skończony.

Ogólnie mówi się, że moduł jest Noetherian, jeśli każdy podmoduł jest generowany w sposób skończony. Skończenie generowany moduł nad pierścieniem Noetherian jest modułem Noetherian (i rzeczywiście ta właściwość charakteryzuje pierścienie Noetherian): Moduł nad pierścieniem Noetherian jest generowany w sposób skończony wtedy i tylko wtedy, gdy jest to moduł Noetherian. To przypomina, ale nie jest dokładnie , podstawowym twierdzeniem Hilberta , które stwierdza, że ​​pierścień wielomianowy R [ X ] nad pierścieniem Noetherian R jest Noetherian. Oba fakty sugerują, że skończenie generowana algebra przemienna na pierścieniu Noether jest znowu pierścieniem Noetherian.

Mówiąc bardziej ogólnie, algebra (np. Pierścień), która jest generowanym modułem skończonym, jest algebrą skończoną . I odwrotnie, jeśli skończenie generowana algebra jest całkowa (po pierścieniu współczynników), to jest to skończenie wygenerowany moduł. (Zobacz element integralny, aby uzyskać więcej informacji).

Niech 0 → M ′ → M → M ′ ′ → 0 będzie dokładną sekwencją modułów. Wtedy M jest generowane skończenie, jeśli M ′ , M ′ ′ są generowane skończenie. Jest na to kilka częściowych rozmów. Jeśli M jest generowane skończenie, a M '' jest przedstawiane w sposób skończony (co jest silniejsze niż generowane skończenie; patrz poniżej), to M ′ jest generowane skończenie. Ponadto M jest Noetherianem (odp. Artyńskim) wtedy i tylko wtedy, gdy M ′ , M ′ ′ są Noetherianem (odp. Artyńskim).

Niech B będzie pierścieniem, a A jego subringiem, tak aby B był wiernie płaskim prawym modułem A. Następnie lewy -module F jest skończoną pozyskane (wzgl. Skończenie przedstawiony), wtedy i tylko wtedy, gdy B -module B ⊗ _A F jest skończoną pozyskane (wzgl. Skończenie przedstawione).

Skończenie generowane moduły w pierścieniu przemiennym

Na skończenie wytworzonych modułów powyżej pierścienia przemiennego R , lemat Nakayama jest to zasadnicze. Czasami lemat pozwala udowodnić zjawisko w przestrzeniach skończonych wymiarach dla modułów generowanych skończenie. Na przykład, jeśli f  : M → M jest suriekcją R -endomorphism o skończonej wytworzonej moduł M , a f jest za pomocą wstrzyknięć i dlatego jest automorfizmem z M . To mówi po prostu, że M to moduł Hopfian . Podobnie, artyński moduł M jest koHopfianem : każdy endomorfizm iniekcyjny f jest również endomorfizmem suriektywnym.

Każdy R -moduł jest indukcyjnym ograniczeniem nieskończenie generowanych R- podmodułów. Jest to przydatne do osłabienia założenie na skończonej przypadku (np charakterystyka płaskości z funktora Tor ).

Przykład powiązania między generacją skończoną a elementami całkowymi można znaleźć w algebrach przemiennych. Powiedzenie, że algebra przemienna A jest nieskończenie wygenerowanym pierścieniem nad R oznacza, że ​​istnieje zbiór elementów G = { x ₁ , ..., x _n } A taki, że najmniejszy podrzęd z A zawierający G i R to A samo. Ponieważ produkt pierścienia może być używany do łączenia elementów, generowane są nie tylko R- liniowe kombinacje elementów G. Na przykład pierścień wielomianowy R [ x ] jest generowany w sposób skończony przez {1, x } jako pierścień, ale nie jako moduł . Jeśli A jest algebrą przemienną (z jednością) nad R , to następujące dwie instrukcje są równoważne:

• A to nieskończenie generowany moduł R.
• Jest zarówno skończenie generowane przez pierścień R i integralnym przedłużeniem z R .

Ranga ogólna

Niech K będzie skończenie generowane przez moduł integralną domeny A z polem z frakcji K . Wówczas wymiar nazywa się ranga rodzajowe z M na A . Ta liczba jest taka sama jak liczba maksymalna A -linearly niezależnych wektorami M lub równoważnie w stopniu maksymalnym wolnej modułem z M . (por rangę grupa przemienna ). Ponieważ , to moduł skręcanie . Kiedy A jest Noetherian, z powodu ogólnej swobody , istnieje element f (w zależności od M ) taki, który jest wolnym -modułem. Następnie ranga tego bezpłatnego modułu jest ranga generycznym M . ${\ displaystyle \ operatorname {dim} _ {K} (M \ otimes _ {A} K)}$${\ Displaystyle (M / F) _ {(0)} = M _ {(0)} / F _ {(0)} = 0}$${\ displaystyle M / F}$${\ Displaystyle M [f ^ {- 1}]}$${\ displaystyle A [f ^ {- 1}]}$

Teraz przypuśćmy, że dziedzina całkowa A jest generowana jako algebra nad ciałem k przez nieskończenie wiele jednorodnych elementów stopni . Załóżmy, że M jest oceniana jako dobrze i niech będzie seria Poincaré z M . Przez twierdzenia Hilberta-Serre , istnieje wielomian F takie, że . Potem jest ranga generycznym M . ${\ displaystyle d_ {i}}$${\ Displaystyle P_ {M} (t) = \ suma \ operatorname {dim} _ {k} (M_ {n}) t ^ {n}}$${\ Displaystyle P_ {M} (t) = F (t) \ prod (1-t ^ {d_ {i}}) ^ {- 1}}$${\ Displaystyle F (1)}$

Skończenie generowany moduł nad główną domeną idealną jest wolny od skręcania wtedy i tylko wtedy, gdy jest wolny. Jest to konsekwencja twierdzenia o strukturze dla nieskończenie generowanych modułów w głównej domenie idealnej , której podstawowa forma mówi, że skończenie generowany moduł na PID jest bezpośrednią sumą modułu skrętnego i modułu swobodnego. Ale można to również przedstawić bezpośrednio w następujący sposób: niech M będzie wolnym od skręcania generowanym modułem skończonym na PID A, a F maksymalnym swobodnym podmodułem. Niech f będzie w A takim, że . Wtedy jest wolny, ponieważ jest to podmoduł wolnego modułu, a A to PID. Ale teraz jest izomorfizmem, ponieważ M jest wolny od skręcania. ${\ Displaystyle fM \ podzbiór F}$${\ displaystyle fM}$${\ displaystyle f: M \ do fM}$

Zgodnie z tym samym argumentem, co powyżej, skończenie generowany moduł w domenie Dedekind A (lub bardziej ogólnie pierścieniu półdziedzicznym ) jest wolny od skrętów wtedy i tylko wtedy, gdy jest rzutowy ; w konsekwencji skończenie generowany moduł nad A jest bezpośrednią sumą modułu skrętnego i modułu rzutowego. Skończenie generowany moduł rzutowy nad całką domeną Noetherian ma stałą rangę, więc ogólna ranga skończenie generowanego modułu nad A jest rangą jego części rzutowej.

Równoważne definicje i moduły generowane w sposób skończony

Następujące warunki są równoważne z nieskończonym generowaniem M (fg):

• Dla dowolnej rodziny podmodułów { N _i | i ∈ I} w M , jeżeli , po czym na pewnej ograniczonej podgrupy C stanowi I .${\ displaystyle \ sum _ {i \ in ja} N_ {i} = M \,}$${\ displaystyle \ sum _ {i \ in F} N_ {i} = M \,}$
• Dla dowolnego łańcucha podmodułów { N _i | i ∈ I} w M , jeśli , a następnie N _i = M dla niektórych I w I .${\ Displaystyle \ bigcup _ {i \ in ja} N_ {i} = M \,}$
• Jeśli jest epimorfizmem , a ograniczenie jest epimorfizmem do pewnego podzbioru skończonej F o I .${\ Displaystyle \ phi: \ bigoplus _ {i \ w ja} R \ do M \,}$${\ Displaystyle \ phi: \ bigoplus _ {i \ w F} R \ do M \,}$

Na podstawie tych warunków łatwo zauważyć, że bycie w sposób skończony jest własnością zachowaną przez równoważność Mority . Warunki są również wygodne do zdefiniowania podwójną pojęcie skończenie skojarzeniu modułu M . Następujące warunki są równoznaczne z skończoną kogeneracją modułu (np. Cog.):

• Dla dowolnej rodziny podmodułów { N _i | i ∈ I} w M , jeśli , a następnie przez pewien skończonego podzespołu M o I .${\ displaystyle \ bigcap _ {i \ in I} N_ {i} = \ {0 \} \,}$${\ displaystyle \ bigcap _ {i \ in F} N_ {i} = \ {0 \} \,}$
• Dla dowolnego łańcucha podmodułów { N _i | i ∈ I} w K , jeśli , a następnie N _i = {0} dla niektórych I w I .${\ displaystyle \ bigcap _ {i \ in I} N_ {i} = \ {0 \} \,}$
• Jeśli jest monomorfizm , przy czym każda jest R modułu, a następnie jest monomorfizm do pewnego podzbioru skończonej F o I .${\ Displaystyle \ phi: M \ do \ prod _ {i \ in ja} N_ {i} \,}$${\ displaystyle N_ {i}}$${\ Displaystyle \ phi: M \ do \ prod _ {i \ w F} N_ {i} \,}$

Zarówno moduły fg, jak i f.cog. moduły mają interesujące związki z modułami Noetherian i Artinian oraz radykałem Jacobsona J ( M ) i socle soc ( M ) modułu. Poniższe fakty ilustrują dwoistość między tymi dwoma warunkami. Dla modułu M :

• M jest Noetherian wtedy i tylko wtedy, gdy każdy podmoduł N z M jest fg
• M jest artynianem wtedy i tylko wtedy, gdy każdy moduł ilorazowy M / N jest f.cog.
• M jest FG tylko wtedy, gdy J ( M ) jest zbędne modułem z M i M / J ( M ) jest fg
• M to f.cog. wtedy i tylko wtedy, gdy soc ( M ) jest niezbędna modułem z M , SOC ( M ) jest fg
• Jeśli M jest półprostym modułem (takim jak soc ( N ) dla dowolnego modułu N ), to jest fg wtedy i tylko wtedy, gdy f.cog.
• Jeśli M jest fg i niezerowe, to M ma maksymalny moduł podrzędny, a dowolny moduł ilorazowy M / N jest równy fg
• Jeśli M to f.cog. i niezerowe, to M ma minimalny podmoduł, a każdy podmoduł N z M to f.cog.
• W przypadku N i M / N są fg następnie tak samo M . To samo dotyczy sytuacji, gdy „fg” jest zastępowane przez „f.cog”.

Moduły skończenie kogenerowane muszą mieć skończony jednolity wymiar . Można to łatwo zauważyć, stosując charakterystykę za pomocą skończenie wygenerowanego cokołu podstawowego. Nieco asymetrycznie, skończenie generowane moduły nie muszą mieć wymiar jednolitego skończonych. Na przykład nieskończony bezpośredni iloczyn niezerowych pierścieni jest skończenie generowanym (cyklicznym!) Modułem nad sobą, jednak wyraźnie zawiera nieskończoną bezpośrednią sumę niezerowych podmodułów. Moduły generowane w sposób skończony niekoniecznie mają również skończony, współjednorodny wymiar : każdy pierścień R z jednością taką, że R / J ( R ) nie jest półprostym pierścieniem, jest kontrprzykładem.

Skończenie przedstawione, skończenie powiązane i spójne moduły

Inne sformułowanie jest takie: skończenie generowany moduł M to taki, dla którego istnieje epimorfizm

F: R ^k → M .

Przypuśćmy, że mamy teraz epimorfizm,

φ: M → M .

dla modułu M i wolnego modułu F .

• Jeśli jądro φ jest generowane w sposób skończony, to M nazywamy modułem skończenie powiązanym . Ponieważ M jest izomorficzne do F / ker (φ), zasadniczo wyraża to, że M jest otrzymywane przez wzięcie swobodnego modułu i wprowadzenie skończenie wielu relacji w F (generatory ker (φ)).
• Jeśli jądro φ jest generowane w sposób skończony, a F ma skończoną rangę (tj. F = R ^k ), to o M mówi się, że jest skończonym modułem . Tutaj M jest określone za pomocą skończenie wielu generatorów (obrazy k generatorów F = R ^k ) i skończenie wielu relacji (generatory ker (φ)). Zobacz także: bezpłatna prezentacja . Skończenie przedstawione moduły można scharakteryzować abstrakcyjną własnością w ramach kategorii R -modułów : są to właśnie obiekty zwarte w tej kategorii.
• Spójne moduł M jest skończoną generowane moduł którego skończenie generowane podmoduły są skończenie przedstawiony.

Na każdym pierścieniu R spójne moduły są prezentowane w sposób skończony, a moduły prezentowane w sposób skończony są zarówno generowane, jak i skończenie powiązane. W przypadku pierścienia Noetherian R skończenie generowane, skończone i spójne są równoważnymi warunkami na module.

W przypadku modułów projekcyjnych lub płaskich występuje pewna zwrotnica. Skończenie generowany moduł rzutowy jest przedstawiany w sposób skończony, a skończenie powiązany moduł płaski jest rzutowany.

Prawdą jest również, że następujące warunki są równoważne dla pierścienia R :

1. R to właściwy, spójny pierścień .
2. Moduł R _R to spójny moduł.
3. Każdy skończony poprawny moduł R jest spójny.

Chociaż koherencja wydaje się bardziej uciążliwym warunkiem niż skończenie generowane lub prezentowane w sposób skończony, jest od nich ładniejsza, ponieważ kategoria modułów koherentnych jest kategorią abelową , podczas gdy generalnie ani skończenie generowane, ani prezentowane skończenie moduły nie tworzą kategorii abelowej.

Zobacz też

• Element integralny
• Lemat Artina – Reesa
• Moduł generowany licznie
• Algebra skończona

Bibliografia

Podręczniki

• Atiyah, MF; Macdonald, IG (1969), Wprowadzenie do algebry przemiennej , Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont., Pp. Ix + 128, MR  0242802
• Bourbaki, Nicolas , algebra przemienna. Rozdziały 1--7 . Przetłumaczone z francuskiego. Przedruk angielskiego tłumaczenia z 1989 roku. Elementy matematyki (Berlin). Springer-Verlag, Berlin, 1998. xxiv + 625 str. ISBN  3-540-64239-0
• Kaplansky, Irving (1970), Commutative rings , Boston, Mass .: Allyn and Bacon Inc., str. X + 180, MR  0254021
• Lam, TY (1999), Wykłady o modułach i pierścieniach , Graduate Texts in Mathematics nr 189, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5
• Lang, Serge (1997), Algebra (3rd ed.), Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-55540-0
• Matsumura, Hideyuki (1989), teoria pierścienia przemiennego , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8 , Translated from the Japanese by M.Reid (2 ed.), Cambridge: Cambridge University Press, str. Xiv + 320, ISBN 0-521-36764-6, MR  1011461
• Springer, Tonny A. (1977), Invariant teoria , Lecture Notes in Mathematics, 585 , Springer, doi : 10.1007 / BFb0095644 , ISBN 978-3-540-08242-2.