Zmniejszone pierścień - Reduced ring

W teorii pierścień , A pierścień R jest nazywany zmniejszona pierścienia , jeśli nie ma niezerowy nilpotent elementy. Równoważnie, pierścień jest zmniejszona, jeśli nie ma on niezerowe elementy o punkcie zero, czyli x ²  = 0 oznacza, x  = 0. algebrę na przemiennej pierścienia nazywany jest zmniejszone algebraiczne jeżeli jego Bazowy pierścień jest zmniejszona.

W nilpotent elementy pierścienia przemiennego R stanowią idealny z R , zwany nilradical z R ; zatem przemienne pierścienia zmniejsza się tylko wtedy, gdy jego nilradical zero. Ponadto przemienne pierścienia zmniejsza się tylko wtedy, gdy jedyny element zawarte we wszystkich głównych idei zero.

Pierścień iloraz R / I redukuje się wtedy i tylko wtedy , że jest to rodnik idealny .

Niech D oznacza zbiór wszystkich zerodivisors zredukowanym pierścieniu R . Następnie D jest sumą wszystkich minimalnych ideał pierwszy .

Przez pierścień noetherowski R , mówimy skończenie generowane moduł M ma lokalnie stałą pozycję, gdy jest lokalnie stałą (lub równoważnie ciągłe) Funkcja w Spec R . Wówczas R jest zredukowany wtedy i tylko wtedy, gdy każdy moduł skończenie generowane lokalnie stałej rankingu jest rzutowe .${\ Displaystyle {\ mathfrak {t}} \ mapsto \ OperatorName {dim} _ {k ({\ mathfrak {t}})} (M \ otimes K ({\ mathfrak {t}}))}$

Przykłady i przykłady nie-

• Subrings , produkty i lokalizacje zredukowanych pierścieni ponownie zmniejszona pierścienie.
• Pierścień liczb całkowitych Z jest zmniejszona pierścień. Każde pole i każdy pierścień wielomianów nad polem (w dowolnie wielu zmiennych) jest zmniejszona pierścień.
• Mówiąc bardziej ogólnie, każdy integralną domeny jest zmniejszona pierścień ponieważ nilpotent element jest tym bardziej dzielnik zera . Z drugiej strony, nie każdy zredukowany pierścień jest integralną domeny. Na przykład, pierścień Z [ x , y ] / ( XY ) zawiera x + (XY), oraz y + (xy) jako dzielnik zera, ale nie niezerowych elementów nilpotent. Jako inny przykład, pierścień Z x Z zawiera (1,0) i (0,1) jako dzielnik zera, ale nie zawiera elementy różne od zera nilpotent.
• Pierścień Z / 6 Z jest ograniczona, jednak Z / 4 Z nie jest zmniejszona: Klasa 2 + 4 Z jest nilpotent. Na ogół, Z / n Z zmniejsza się tylko wtedy, gdy n  = 0 lub n jest kwadratowy wolne całkowitą .
• Jeśli R jest przemienne pierścienia i N jest nilradical z R , to pierścień iloraz R / N jest zmniejszony.
• Pierścienia przemiennego R stanowi charakterystyczną p jakiegoś liczby pierwszej P zmniejsza się tylko wtedy, gdy jego endomorfizm frobeniusa to za pomocą wstrzyknięć . (por idealne pole ).

uogólnienia

Zredukowane pierścienie odgrywają podstawową rolę w geometrii algebraicznej , gdzie pojęcie to jest uogólniony do koncepcji zmniejszonej programu .

Zobacz też

• Całkowity pierścień iloraz # Całkowity pierścień frakcji zmniejszonym pierścieniem

Uwagi

Referencje

• N. Bourbaki , algebrę , Hermann Paryż 1972, rozdz. II, § 2.7
• N. Bourbaki , Algebra , Springer 1990, rozdz. V, § 6.7
• Eisenbud, David , przemienne Algebra z dążąc do geometrii algebraicznej , absolwent Teksty w Matematyki, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN  0-387-94268-8 .